II Funções em IR n. INSTITUTO POLITÉCNICO DE TOMAR Escola Superior de Tecnologia de Tomar. Área Interdepartamental de Matemática Análise Matemática II
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- Rafaela Evelyn Álvaro
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1 INSTITUTO POLITÉCNICO DE TOMAR Ecola Supio d Tcnologia d Toma Áa Intdpatamntal d Matmática Análi Matmática II II Funçõ m IR n Dtmin o domínio da guint funçõ: b) f ( c) f ( d) f ( ) f ( ln( ln ( ) ) f) f ( g) f ( co( ) co( co( h) f ( i) f ( 9 j) f( Calcul o domínio d cada uma da guint funçõ pnt-o gaficamnt: 6 ( b) f ( ln [(6 )( ) ] c) f ( ln( ) d) f ( ) f ( f) f ( ln( ) g) n( h) paa ( tai qu f ( 0 paa ( tai qu Eboc alguma cua d níl aociada à pctia funçõ: b) f ( c) d) f( ) f ( f ( Dtmin o limit (cao itam) da guint funçõ: lim b) lim ( ) ( 00 ) ( ) ( 00 ) ) n( c) lim d) lim ( ) ( 00 ) ( ) ( 00 ) Funçõ m IR n - /9
2 ) lim ( ) ( 00 ) ( ) f) lim ( ) ( 00 ) 5 Dicuta a continuidad da guint funçõ: ln( ) b) c) f ( d) ( (00) ) f ( f) 0 ( (00) f ( f ( 5 f ( a b c 6 Dtmin a diada paciai d ª odm a diada mita da guint funçõ: b) c) f ( ln( f ( d) f ( co 7 Dtmin a diada d ª odm da guint funçõ: f ( co b) f ( ln( ) c) f ( ) in ( ) d) f ( ( h( )) g( ) g ( f ( com f : IR IR difnciál f) f ( Φ Ψ com Φ :IR IR Ψ : IR IR difnciái 8 Mot qu: S co( ln( ntão 0 b) S ( ) ntão 0 c t c) S in( c) ntão paa todo o c al t Funçõ m IR n - /9
3 d) S ln ntão ) S tan( ln( ntão 9 Calcul: u u b) in( 0 Calcul o difncial d ª odm d: acin b) f ( c) f ( t) t no ponto A( ) Dado u 5 calcul: o pctio difnciai b) d quando muda d paa 0 muda d paa 0 c) du quando muda d paa 00 muda d 5 paa 500 Po mio d difnciai obtnha uma apoimação da aiação d: quando ( aia d () a (099) b) p quando aia d a 0 d a 99 d a 0 p d a 97 Calcul apoimadamnt po mio d difnciai o alo d: b) ( ) c) / 5 (0) (95) Funçõ m IR n - /9
4 Mdiu- a dimnõ d uma caia ctangula fchada obtndo- a guint mdida cm cm 5 cm com o poíl d /6 cm Po mio d difnciai obtnha uma apoimação do o máimo paa o guint alo calculado: a áa da upfíci da caia b) o olum da caia 5 Uma lata cilíndica abta tm polgada d diâmto polgada d altua Uando difnciai calcul apoimadamnt: a quantidad d matial da lata ta ti 005 polgada d pua b) o olum da água qu nch a lata 6 Obtnha uma apoimação da aiação da áa d um tiângulo iócl cada um do lado iguai aumnta d 00 paa 0 o ângulo nt l dcc d 0 paa 9 7 Mdiu- o aio a altua d um cilindo cicula cto obtndo- 8 polgada pctiamnt com poíl o d 005 polgada Utiliando difnciai obtnha um alo apoimado do o máimo comtido no cálculo: do olum do cilindo b) da áa d upfíci do cilindo 8 Dtmin uu( abndo qu u u(in( paa 9 Vifiqu ão Difnciai Totai Eacta No cao d o m dtmin a copondnt função ( d ( d b) in( ) d co( d c) ( ) d ( ) d d) (ln d ( d ) (in( ) co( )) d (co( ) in( )) d ( d ( d g) ( ) d (in( ) co( )) d h) ln( d ln( ) d Funçõ m IR n - /9
5 Funçõ m IR n - 5/9 0 Dtmin: ndo () in u u b) ndo u u c) ndo ( ) ( ) in co S n f co ) ( mot qu: S ( ) ( ) n f co ) ( mot qu: S f( ( ) ( ) in co mot qu: Dtmin admitindo qu f( ifica a quação dada: 0 b) 0 c) d) 0 ) ) co(
6 5 Dtmin a diada diccional d f no ponto P na dicção indicada: 5 π P(-) π b) f ( actan P(-) P(-) a iˆ ˆj c) f ( actan d) f ( 9 P(-) a iˆ 5 ˆj 6 Vifiqu a guint funçõ ão homogéna no cao d o m po qu ificam a fómula d Eul c) b) ( f ( f ( f 7 Dtmin a quaçõ do plano tangnt da cta nomal ao gáfico da quaçõ dada no ponto P indicado: P(-) b) 0 P(-) c) f ( 9 P(--5) 8 Dtmin o poíi tmo da guint funçõ: c) f ( b) f ( d) f ) n ( f ( ( 9 Dtmin o poíi tmo locai da guint funçõ ujita à condiçõ d ínculo indicada: 5 b) f ( Funçõ m IR n - 6/9
7 c) f ( d) f ( 0 Dtmin númo ai poitio cuja oma ja 000 cujo poduto ja máimo Paa uma caia ctangula m tampa d olum fio V quai a dimnõ qu minimiam a áa d upfíci? Paa uma caia ctangula m tampa d áa d upfíci A quai a dimnõ latia qu maimiam o olum? Uma companhia plania fabica caia ctangula fchada com 8 pé cúbico d olum S o matial da tampa do fundo cuta o dobo do matial do lado dimnion a caia d modo a minimia o cuto Ptnd- contui uma caia m tampa com a foma d um paallpípdo com m d olum O cuto do matial uado é d 000$00/m paa o fundo 000$00/m paa um pa d lado opoto 000$00/m paa o outo pa d lado opoto Dtmin a dimnõ da caia qu minimiam o cuto da ua contução 5 Suponha qu ptnd pinta uma caia com a foma d um paallpípdo do guint modo: a tampa o fundo ão pintado d pto doi lado opoto pintado d patado o tant lado d douado Sab- qu a tinta douada cuta o dobo da patada o quáduplo da pta Qu dimnõ d t a caia paa qu o u olum ja igual a 8 dm a dpa da ua pintua ja mínima? 6 D- contui um cipint com tampa com a foma d um cilindo cicula cto S a áa da upfíci d t um alo fio S dtmin a dimnõ qu maimim o olum 7 Um homm dja cca um campo ctangula diidi-lo m tê lot iguai po mio d mai dua cca paalla a um do lado do ctângulo S l dipõ d 00 mto d cca qu dimnõ lh popocionaão áa máima? 8 S k( ) ond k é contant po qu: k 0 (Fquência 99/06/) Funçõ m IR n - 7/9
8 Calcul apoimadamnt po mio d difnciai ( ) ( ) (Fquência 99/06/) 0 Conid um tiângulo d lado pímto p Dtmin o alo d paa A p p p p é máima (Fquência 99/06/) o quai a áa do tiângulo ( )( )( ) Encont um alo apoimado paa a hipotnua d um tiângulo ctângulo cujo lado mdm 98 cm 0 cm utiliando difnciai (Fquência 99/06/) S V V V actan po qu 0 (Fquência 99/06/) Calcul cao itam o tmo da guint função ( 5 f (Fquência 99/06/) Mot qu a função dfinida po atifa a quação d difuão f ( t) kt f f k t t (Fquência 99/07/06) 5 Dtmin o poíi tmo locai da função f ( ínculo indicada: ( ( ujito à condiçõ d f (Fquência 99/07/06) 6 Vifiqu a lação ndo g ( [ f ( f ( ] g g com f difnciál (Fquência 99/07/07) 7 Dtmin cao itam o tmo locai da função claifiqu-o (Fquência 99/07/07) ( ( )( ( f Funçõ m IR n - 8/9
9 8 Conid g( ond g é uma função com diada paciai contínua Dtmin o alo d (Fquência 99/09/) 9 Dtmin itim o tmo da função al d aiái ai dfinida po ( ujito à tição ( ) ( ) 5 f (Fquência 99/09/) Funçõ m IR n - 9/9
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