FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS REAIS

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Igor Bandeira Rios
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1 INTRODUÇÃO FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS REAIS Uma ganda ísica pod dpnd d divsas outas gandas Po mplo: a vlocidad do som m um gás idal dpnd da dnsidad do gás d sua pssão Muitas unçõs dpndm d mais d uma vaiávl indpndnt: - a áa d um tângulo dpnd d duas quantidads compimnto lagua; - a unção V π² calcula o volum d um cilindo cicula to a pati do su aio altua ; - o volum d um paallpípdo tângulo d compimnto lagua altua é dado po V potanto o volum dpnd das dimnsõs ; - s um objto stá localiado no spaço a tmpatua m um ponto P do objto pod dpnd d tês coodnadas tangulas d P; - S a tmpatua d um objto no spaço vaia com o tmpo t ntão stão m jogo quato vaiávis: t As unçõs ais d váias vaiávis ais indpndnts são dinidas basicamnt da msma oma qu as d uma vaiávl Os domínios são conjuntos d pas odnados númos ais tiplas quáduplas n-uplas as imagns são conjuntos d númos ais Tomas 87 Swokowski 47 EXEMPO GRÁFICO: sulta: ± Da quação ² ² ² ² > qu é da supíci séica d cnto na oigm aio PoMsCalos Hniqu calosjc@aoocomb

2 PoMsCalos Hniqu IMITES E CONTINUIDADE A dinição do it d uma unção d duas ou tês vaiávis é simila à dinição do it d uma unção d uma vaiávl DEFINIÇÃO INTUITIVA DE IMITE: S s apoima d um númo quando do domínio d s apoima d indicamos: PROPRIEDADES DOS IMITES DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS As gas a sgui são vdadias s M k são númos ais M g Rga da Soma: M g ] [ Rga da Dinça: M g ] [ Rga do Poduto: M g ] [ 4 Rga da Multiplicação po Constant: k k ] [ 5 Rga do Quocint: M g 6 Rga da Potência: s s ] [ S s om intios sm nnum ato comum s dsd qu s sja um nº al s s é pa assumimos qu >

3 PoMsCalos Hniqu EXEMPOS: Calculando os imits: 5 Rsolução: 5 4 Rsolução: Rsolução: Então: Como o dnominado s apoima d o é pciso pimiamnt tia a indtminação Multiplicando plo conjugado das aís Colocando m vidência Simpliicando Einado a indtminação

4 ATIVIDADES PRÁTICAS Encont os sguints its: 5 Rsposta: 5/ ou 5 Rsposta: 4 4 Rsposta: 6 4 Rsposta: /6 ou 77 5 sc tg π 4 Rsposta: 6 Rsposta: 7 Rsposta: ½ ou 5 ln 8 Rsposta: 9 Rsposta: Rsposta: PoMsCalos Hniqu calosjc@aoocomb 4

5 Rsposta: ½ ou 5 4 Rsposta: ¼ ou 5 P 4 Rsposta: 9/ ou 58 4 sn sc P Rsposta: 5 P π Rsposta: PoMsCalos Hniqu calosjc@aoocomb 5

6 PoMsCalos Hniqu 6 DERIVADAS PARCIAIS FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS DERIVADAS PARCIAIS O cálculo d divadas nvolvndo unçõs d váias vaiávis é na alidad o cálculo da divada d uma vaiávl aplicado a váias vaiávis uma d cada v Quando iamos todas as vaiávis indpndnts d uma unção divamos m lação a uma dssas vaiávis obtmos uma divada pacial Dinimos a divada d uma unção d uma vaiávl como: Sja uma unção d duas vaiávis As divadas paciais pimias d m lação a a são as unçõs tais como: NOTAÇÕES PARA DERIVADAS PARCIAIS: camado DE S w ntão w w

7 EXEMPOS: S ³² ² ac a b Rsolução: a 4 Considando como constant dinciando m lação a Considando como constant dinciando m lação a b 4 4 Pimio ncontamos a divada pacial m lação a m sguida substituímos os valos 8 Pimio ncontamos a divada pacial m lação a m sguida substituímos os valos PoMsCalos Hniqu calosjc@aoocomb 7

8 Função d tês vaiávis w calcul a divada pacial m lação a cada uma das vaiávis d w ³² 4 Rsolução: w Considando constants w Considando constants w Considando constants Ac Rsolução: w w ou w w s w ² Considando constant tmos: u v u v uv ntão ² : u ² v Rga d divação a s usada: Evidência u u u 4 Ac Rsolução: w ou w w s w sn sn sn Considando constant tmos: u v u v uv ntão sn : u v sn Rga d divação a s usada: sn u u u PoMsCalos Hniqu calosjc@aoocomb 8

9 PoMsCalos Hniqu Encont s Rsolução: sn sn 6 Ac as divadas sgundas d s ³² ² Rsolução: ª ª ª ª 4 6 OBS: Tmos qu: ou 7 Encont w s w Rsolução: w w Rga d Divação Quocint : u u v uv v v²

10 ATIVIDADES PRÁTICAS RESOVA AS DERIVADAS PARCIAIS OBSERVANDO OS EXEMPOS DADOS EM NOSSA PARTE TEÓRICA: Encont os valos d no ponto 4 5 s ² Rsposta: 7 S ncont Rsposta: sn sn Encont a divada pacial d quata odm s ² ² 4 Calcula as divadas paciais d ª odm das unçõs a ² 4 b ² ² c ² d ² ³ g PoMsCalos Hniqu calosjc@aoocomb

11 5 Encont todas as divadas paciais d sgunda odm das unçõs: a b sn c ² sn d ln 6 Viiqu s ond ln Obs: A Equação acima é camada Equação d aplac Tata-s d uma quação dincial divadas d alta lvância pois é dscitoa modla d compotamntos m váios campos da ciência como po mplo a astonomia o ltomagntismo a mcânica dos luídos omulando-ls as unçõs potncial gavitacional lética luídica nt outas aplicaçõs BIBIOGRAFIA: SWOKOWSKI EW Cálculo com Gomtia Analítica Vol BOYCE WE Equaçõs Dinciais Elmntas PISKOUNOV N Cálculo Di Intgal VolII THOMAS GB Cálculo Vol BOUOS P Cálculo Dincial Intgal Vol EITHOD O Calculo Com Gomtia Analítica STEWART J Cálculo Vol PESQUISE PARA APROFUNDAR SEU CONHECIMENTO PoMsCalos Hniqu calosjc@aoocomb

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