r r CAPÍTULO 3. FONTES USADAS EM GEOELECTROMAGNETISMO

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1 Pospcção Gofísica I Capítulo. Fonts usadas m golctomagntismo Fnando. Santos-006 CPÍTULO. FONTS USDS GOLCTOGNTISO.1. Intodução.. Fonts m pospcção golética com cont contínua (sistividad.. Onda plana incidindo vticalmnt na supfíci d um smi-mio infinito.4. Campo gado po um dipolo magnético vtical num mio infinito.5. Campo lctomagnético quasi-stacionáio.6. Campo gado po um dipolo léctico num mio infinito.1. Intodução s fonts usadas m pospcção golctomagnética podm s classificadas m natuais atificiais. Os fnómnos natuais gados d campo lctomagnético vaiávl, como as tovoadas, as intacçõs do vnto sola com o campo gomagnético (Figua.1.1, o movimnto d massas d água com gand contúdo d iõs po mplo, constitum algumas das fonts natuais. s fonts atificiais, constuídas plo omm, são galmnt mnos potnts caactiam-s po um spcto d ngia bastant mais limitado qu as fonts natuais. Figua.1. mosta o spcto d ngia associado ao campo lctomagnético natual. Pod obsva-s qu a ngia diminui m tono dos 1... Fonts m pospcção golética com cont contínua (sistividad Figua.1.1. spcto d ngia do campo lctomagnético natual as spctivas fonts. Figua.1.. spcto d ngia do campo lctomagnético natual. font usada no método da sistividad é constituída po um gado d cont d baia fquência. Como as fquências usadas são baias a toia cospondnt às conts contínuas é válida. Consid-s, ntão, uma font pontual d cont contínua, d intnsidad I, na supfíci d um smi-mio infinito, omogéno isotópico d sistividad léctica ρ ou d condutividad σ (Figua..1. Tm-s ntão, I nds J (..1 Dado qu o campo léctico é d muito baia fquência, pod s psntado plo potncial léctico V, gadv (.. Paa uma font pontual as supfícis quipotnciais são sfas concênticas. O potncial léctico num ponto P( é dado po (após intgação tndo m atnção a istência d simtia sféica: Iρ V ( π (.. Figua..1. Font pontual na supfíci d um smi-mio infinito. Na pática não é possívl aplica-s uma única font pontual sndo smp ncssáio a utiliação d duas fonts (léctodos d cont m m B (paa qu o cicuito léctico s fc, uma positiva outa ngativa. Nst caso (Figua.. o potncial léctico num ponto P( pod s calculado tndo m atnção qu o potncial é aditivo, vindo: Iρ 1 1 V ( ( π B (..4 1

2 Pospcção Gofísica I Capítulo. Fonts usadas m golctomagntismo Fnando. Santos-006 ond B distância do ponto P aos pontos B, spctivamnt. dnsidad d cont J J i J ( L psntam a j J k no ponto P é dada po: I ( L J ( i ( j ( k π B B B (..5 Num ponto Q(L/,0, localiado na vtical passando plo ponto cntal O(L/,0,0 a componnt J sá, I L J ( L /,0, / (..6 π ( L / 4 No ponto O(L/,0,0 à supfíci, t-s-á 0 4I 1 J (L/, 0, 0 (..7 π L Figua... Duas fonts pontuais B d sinal oposto na supfíci d um smi-mio infinito. Na Figua.. apsnta-s a vaiação da dnsidad d cont (nomaliada J /J o com a pofundidad (mantndo-s constant a distância nt os léctodos B, isto é Lconstant ao longo da vtical no ponto O. dnsidad d cont dcsc com o aumnto da pofundidad atingindo o valo J J o / quando L/. (cíciofacilmnt s vifica qu quando L vaia, J é máimo paa L. Pod, também, calcula-s a facção d cont I qu cicula numa áa limitada po 1 contida no plano (L/,,. cont lmnta atavés da áa lmnta ds (d d é, J/Jo I I Ldd J dd π δ (..8 [( L / ] / sndo a facção d cont dada po, /L Figua... Vaiação da dnsidad d cont nomaliada com a pofundidad. I I (..9 L d π 1 d [( L / ] / ( actg π L actg L 1 facção d cont qu atavssa a áa contida nt 1 é máima quando os L léctodos d cont stão spaados d 1. S s consida o plano abaio d 1, isto é, paa a facção d cont sá I 1 actg 1 I π L (..10

3 Pospcção Gofísica I Capítulo. Fonts usadas m golctomagntismo Fnando. Santos-006 I/I Figua..4 mosta como vaia a facção d cont qu cicula no plano acima d 1. O gáfico mosta qu paa o caso dos léctodos d cont stam spaados d L, mtad da cont cicula na camada acima da pofundidad 1 L/. cício. Qual dvá s a distância L paa s obt o máimo d dnsidad d cont na camada nt m 1 00? Qual é o valo da facção d cont nssa camada? /L Figua..4. Facção d cont num mio omogéno isotópico... Onda plana incidindo vticalmnt na supfíci d um smi-mio infinito No método T, d acodo com a ipóts d Cagniad-Tikonov, consida-s qu a font é uma onda lctomagnética qu incid vticalmnt na supfíci d um smi-mio infinito conduto, omogéno isotópico. Os campos léctico magnético induidos no mio são paallos à supfíci do mio, isto é, 0. Nstas condiçõs acitando qu os campos são do tipo -iωt, a quação qu g a difusão dos campos no mio conduto é 1, Lap k 0 (..1 scv-s-á d k d 0 (.. ond o númo d onda k, não lvando m atnção os fnómnos d dslocamnto, é psso po k iωµσ (1 i ωµσ (..i ou k g ig (...ii solução gal da quação d difusão é ik ik solução tm, contudo, d cumpi a condição 0 (..4 (..5 quando, plo qu sá 1 Paa simplifica, a notação usada combina as quaçõs paa os campos magnético léctico, simultânamnt.

4 Pospcção Gofísica I Capítulo. Fonts usadas m golctomagntismo Fnando. Santos-006 ik ik i ik j (..6 Pof. fctiva (km sistividad (om-m Os campos léctico magnético são dados po : i g t g i( g ωt g ( ω { i j} i g t g i( g ωt g ( ω { i j} (..7 O dcaimnto da amplitud dos campos dpnd da fquência do campo mas também da sistividad (condutividad do mio. O campo pnta tanto mais no mio quanto maio fo a sistividad dst mno fo a sua fquência (Figua..1. Dfinindo-s a pofundidad fctiva δ como a pofundidad a qu a amplitud do campo é 1/ da amplitud na supfíci do mio t-s-á, Figua..1. Pofundidad fctiva como função da sistividad do mio (paa uma f1. mplitud( 0 mplitud( δ gδ (..8 plo qu s tm, paa a pofundidad fctiva δ δ 1 g ωµσ Tρ Tρ (..9 Nst última pssão a pofundidad fctiva é pssa m km. Figua.4.1. Dipolo magnético spctivos sistmas d coodnadas. cício. Calcul a pofundidad fctiva d uma onda lctomagnética d fquência 1 m dois mios isotópicos com sistividads lécticas iguais a 0. om-m 100 om-m..4. Campo gado po um dipolo magnético vtical num mio infinito Consid-s a font d campo lctomagnético constituída po uma spia (ou n spias cicula num mio infinito isotópico d condutividad σ ond s fa cicula uma cont altnada d fquência ω (Figua.4.1. Paa uma spia d aio pquno, sta compota-s como um dipolo magnético d momnto i t SIk. S psnta a áa da spia I I ω o. O campo monocomático (t, d fquência ω fas, é psntado po, ( t cos( ωt i cos( ωt j cos( ωt k Usando a psntação d ul dos númos complos tm-s, i cos( ( ωt ωt plo qu s tá, { ˆ iωt } ( t i ˆ i { } i i j k 4

5 Pospcção Gofísica I Capítulo. Fonts usadas m golctomagntismo Fnando. Santos-006 O poblma sá analisado com cuso ao potncial vctoial a toia gal do lctomagntismo st potncial cumpiá a quação Lap k 0. D acodo com (.4.1 ond k iωµσ ω µε. Dvido à simtia da font apnas a componnt vtical sá não nula. Considm-s dois sistmas d fência (Figua.4.1, um cilíndico (,, outo sféico (,,. No sistma d coodnadas sféicas (, tm-s: 1 ( 0 k (.4. solução dsta quação é, C ik (.4. constant C pod s dtminada considando-s o potncial stático d um dipolo 4 tndo-s, Não avndo acumulação d cagas div 0 pod dfini-s o potncial vctoial po ot. tndndo-s a uma das quaçõs d awll t-s-á ot ot σ ε σot ε ot( σ ε 0 tndndo qu o otacional é nulo, é possivl dfini um potncial scala U tal qu σ ε gadu Po outo lado ot ot( ot iωµ tndo m atnção a lação ot( ot gad( div Lap gad( div Lap iωµ ( σ ε gadu gad( div iωµ U Lap iωµ ( σ ε condição d Lont stablc qu div iωµ U 0 plo qu Lap k 0 com k iωµσ ω µε viá, 4 Tm-s div ik 1 cos C( cos ik ( 5

6 Pospcção Gofísica I Capítulo. Fonts usadas m golctomagntismo Fnando. Santos-006 ik iωµ (.4.4 Viá ntão, fando-s uso da dfinição do potncial vctoial da cospondnt pssão do campo magnético (m coodnadas sféicas, 1 iωµ ( ik (1 ik sn k ik gad U (1 ikcos (.4.5 iωµ k iωµ gad U ik (1 ik k sn Nomaliando plo campos gados plo dipolo no vaio 5 viá: ik ( 1 ik ik ( 1 ik (.4.6 D acodo com a condição d Lont div iωµ U tm-s 1 U div iωµ como o potncial d um dipolo é U o cos o viá fando ω 0 U U iωµ C 5 Num mio não conduto (k0 iωµ sn o o o cos sn ik (1 ik k 6

7 Pospcção Gofísica I Capítulo. Fonts usadas m golctomagntismo Fnando. Santos-006 É usual pssa os campos nas componnts m quadatua (Q m fas (In, Q Q snψ In In cosψ Q snψ In cosψ (.4.7 com ψ ψ b [ a ( 1 b ] 1/ a a actg( 1 b b [( 1 b b a ( a ab ] 1/ a ab a actg 1 b b a ( s constants a b são dadas po, [ 1 (1 ] 1/ 1/ µε 1/ a ω ( α µε 1/ 1/ ω( (1 α 1 [ ] 1/ b (.4.8 psntam as pats al imagináia d k, spctivamnt. ganda concida po tangnt loss é σ α (.4.9 ωε á dois casos a studa: 1 s as conts d dslocamnto fom dominants, ntão α<<1. Nst caso (dsnvolvndo m séi d potência d α 1 a ω( µε 1/ 1 α 8 ( µ 1 1/ b σ ( 1 α ε 8 (.4.11 Quando α 0 a pat al do númo d onda é popocional à fquência do campo, não dpndndo da condutividad do mio. pat imagináia, da qual dpnd o amotcimnto do campo, é, po sua v, popocional à condutividad 7

8 Pospcção Gofísica I Capítulo. Fonts usadas m golctomagntismo Fnando. Santos-006 invsamnt popocional à aí quadada da pmitividad léctica do mio, não dpndndo da fquência. s as conts d condução fom dominants, ntão α>>1 (dsnvolvndo m séi d potência d 1/α 1 1 (1 δ α 1 1 (1 δ α a (.4.1 b (.4.1 ond δ σωµ (.4.14 psnta a pofundidad d invstigação. Quando α o númo d onda não dpnd da pmitividad léctica do mio, potanto, a atnuação do campo b 1 µωσ 1/ ( δ (.4.15 sá mais intnsa paa as fquências mais lvadas paa os mios d maio condutividad..5. Campo lctomagnético quasi-stacionáio Quando as conts d condução são dominants, isto é, quando k iωµσ (.5.1 ou k (1 i( ωµσ / 1 / (1 i / δ (.5. as componnts do campo lctomagnético são ik ( 1 ik ik ( 1 ik (.5. ik (1 ik k Dfinindo o númo d indução p (qu psnta a distância misso-cpto pssa m unidads d pofundidad fctiva, po p / δ ωµσ 1/ ( / (.5.4 as componnts m quadatua fas da componnt do campo magnético são, Q p [( 1 p snp p cos p] In p [ 1 p cos p psnp ] ( (.5.6 8

9 Pospcção Gofísica I Capítulo. Fonts usadas m golctomagntismo Fnando. Santos-006 isto é, o campo magnético pod s psntado como a soma d duas componnts, uma dsfasadas d π/ lativamnt à cont no misso (componnt m quadatua outa dsfasada d π ou m fas. Consid-s o compotamnto do campo paa as baias fquências. Usando-s o dsnvolvimnto m séi da ponncial, n0 ik n ( ik / n! (.5.7 tm-s, (1 n n! n / n iπn / 4 1 p (.5.8 Paa as componnts do campo (paa p<<1 Q p p In 1 p (.5.9 stas pssõs mostam qu paa as baias fquências as componnts Q In dpndm d modo difnt da fquência do campo, da condutividad do mio da distância misso-cpto. cícios. 1- ost qu paa as baias fquências a componnt Q do campo magnético é popocional à fquência invsamnt popocional a é dada po Q σµωcos - ost qu nst caso a componnt Q do campo scundáio é infio ao campo pimáio. - ost qu, paa as altas fquências, as componnts m quadatua m fas da componnt adial do campo tndm a o..6. Campo gado po um dipolo léctico num mio infinito Figua.6.1. Dipolo léctico. Consid-s um dipolo léctico (Figua.6.1 num mio infinito (omogéno isotópico com momnto iωt p p k (.6.1 o m qu ρi dl p o o (.6. 9

10 Pospcção Gofísica I Capítulo. Fonts usadas m golctomagntismo Fnando. Santos-006 sndo ρ a sistividad léctica do mio I I iωt o a intnsidad da cont. Na apoimação quasi-stacionáia a divgência dos campos léctico magnético são nulas plo s pod dfini um potncial vctoial tal qu: ot (.6. Tndo m atnção a quação d awll qu tadu a li d Faada, tm-s ot( 0 µ (.6.4 plo qu o campo léctico sá dados po: gadu µ (.6.5 O potncial U não é compltamnt dfinido pla quação antio sndo ncssáio lacioná-lo com o potncial vctoial atavés d uma outa quação concida como condição d Lont qu é, div σu 0 (.6.6 Obtém-s, ntão, a quação d lmolt, Lap k 0 (.6.7 Po aõs d simtia todas as componnts do potncial vcto são nulas cpto a componnt Z (num sistma d coodnadas cilíndico. quação antio, m coodnadas sféicas, scv-s 6 : 1 ( k 0 (.6.8 solução dsta quação é: C ik (.6.9 dtminação d C fa-s compaando-s o campo magnético do dipolo léctico oscilant, quando a fquência tnd a o, com o campo d um dipolo léctico d cont constant. O campo magnético ot ( No sistma d coodnadas sféicas as componnts do potncial são: 0 cos sn 10

11 Pospcção Gofísica I Capítulo. Fonts usadas m golctomagntismo Fnando. Santos-006 apnas tm a componnt não nula C ik (1 ik sn (.6.11 Quando ω 0 sta componnt dv s idêntica à d um dipolo stacionáio, Idl vindo, sn (.6.1 Idl C p o σ ( π componnt do campo magnético sá: poσ ik (1 ik sn (.6.14 sta pssão mosta qu as linas d campo magnético fomam cicunfências num plano oiontal com simtia no io qu contêm o dipolo (Figua.6.. s componnts do campo léctico podm s calculados a pati d: 1 iµω gad( div (.6.15 σ vindo, Figua.6.. Linas d campo léctico magnético d um dipolo léctico vtical. po ik (1 ik cos (.6.16 po ik (1 ik k sn O campo léctico, qu tm duas fonts, as cagas lécticas na supfíci dos léctodos as vaiaçõs do campo magnético, stá polaiado nos planos midionais. D modo smlant ao qu s f paa o dipolo magnético, pod studa-s o campo lctomagnético gado plo dipolo léctico paa valos baios do númo d indução. Usando os dsnvolvimntos m séi concidos tm-s, paa as pats imagináia al: Idl µω 1 Q ( µω / cos ( σ π Idl ρ 1 In ( µω / cos ( σ π 11

12 Pospcção Gofísica I Capítulo. Fonts usadas m golctomagntismo Fnando. Santos-006 Q In Idl µω / sn ( ( µω Idl ρ / sn ( ( µω σ σ Idl µωσ 1 / Q sn ( ( µωσ Idl 1 1 / In sn ( ( µωσ (.6.17 Pod obsva-s o sguint: - componnt m fas (In do campo léctico é fomada po dois tmos indpndnts (um galvânico outo um tmo d vot. O tmo galvânico é popocional à sistividad do mio coincid com o campo stacionáio. O sgundo tmo é puamnt indutivo é popocional à ai quadada da condutividad do mio a (ω /. - componnt d quadatua (Q do campo léctico é puamnt indutiva sndo o pimio tmo popocional à fquência ( não dpnd da condutividad, pois é o sultado da vaiação do pimio tmo da componnt m fas do campo magnético o sgundo tmo igual ao da componnt In. - O pimio tmo a componnt In do campo magnético psnta um campo stacionáio qu não dpnd da condutividad do mio. vaiação dst campo dá oigm à componnt indutiva da componnt d quadatua do campo léctico. s conts assim oiginadas dão oigm ao campo magnético dscito no tmo Q qu é popocional à fquência à condutividad léctica. O sgundo tmo sulta da intacção nt as conts induidas no mio. 1