( ). ( ) ( 2.2 Valor Esperado e Momentos. Função Geratriz de Momentos Seja X uma variável aleatória, então, se o valor esperado de existe

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Manuella Henriques da Rocha
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1 . Valo Espao omnos Função Gaiz omnos Sja uma vaiávl alaóia, não, s o valo spao xis paa oo valo m algum invalo ( h,h, h > 0, l é inio como a Função Gaiz omnos, noaa Fomalmn, x E. ( x x R (. caso isco x E. ( xx caso confnuo

2 . Valo Espao omnos No-s qu: 0 0 E E Tal unção po s ulizaa paa obnção imiaa momnos m ono a oigm Toma.4: Sja uma vaiávl alaóia paa a qual a Função Gaiz omnos (GF xis. Enão: ' ( ( 0 µ E. Ou sja, o -ésimo momno m ono a oigm po s obo calculano-s a ivaa om na oigm.

3 . Valo Espao omnos Po xmplo,. ' 0 µ µ E( Pova: A pova az uso o sguin sulao o cálculo. Lma.: x x S uma g(x é inia po g ( x. ( x ou g( x. ( xx x R ( Convg paa h, h g x, h > 0, não xis paa qualqu oo inio posivo > 0. Além iso, sua ivaa po s oba inciano-s no inio o somaóio ou a ingal: g ( x x R ( x ( x g( x ( h, h x ( xx

4 . Valo Espao omnos x E. ( x A pa s sulao com ou x R ( x E. ( xx ( h, h x R ( x ( x, xisno paa, h > 0, m-s: ou x ( xx. Como x x. x, x x. x, x x. x,..., vm: x R x ( x ( x ou x x ( xx, qu, avaliano m 0, ga inalmn: ( 0 ( 0 x x R ( x E ou x x x E

5 . Valo Espao omnos Ex..4 (. c.: x Sja uma vaiávl alaóia com nsia ( x I( 0, ( x. Obnha a Função Gaiz omnos a uliz paa ga a méia a vaiância. Como µ E x x x x x E. ( x x. I( x x. x ( x 0 x x 0 0 ( ( 0 ( 0 0,, não: 0

6 . Valo Espao omnos Vimos qu Va ( σ µ µ. Como Assim, ', ( E Va Va E E( ( 0 ( 0

7 . Valo Espao omnos Toma. Sja uma vaiávl alaóia com uma Função Gaiz omnos uma vaiávl alaóia Y inia como Y a + b. Enão: b ( a Y. Pova: Da inição, y E. Com Y a + b, Y Y ax b b ( ax E E ( ax+ b E b ( a Y ou

8 . Valo Espao omnos Ex..5: Sja uma vaiávl alaóia com nsia Y obnha a Va ( a pa.. Dina Como oi viso (x..4,. Assim, Y cospon ao svio m ono sua méia. No-s qu Y a + b com a b - quival a Y. Também oi viso qu. Logo, usano o Toma.: No-s, além iso, qu Va µ E Y ( b ( a ( ( E( µ E(. x ( x I( x 0, Y 0 0

9 . Valo Espao omnos Ex..5 (connuação Como m-s, po im:, como já obo no xmplo anio! + + Va

10 . Valo Espao omnos Como já ancipao, a Função Gaiz omnos ambém po s úl na inicação a unção nsia uma vaiávl alaóia. O sguin oma sablc as coniçõs Toma.4 S uma Função Gaiz omnos xis paa uma vaiávl alaóia com nsia ( x, não sa unção é única. Além iso, sa Função Gaiz omnos mina unicamn a nsia, paa ponos com pobabilia in zo. Enão: - Há única GF paa caa nsia - S uas nsias apsnam msma GF, ais nsias im apnas m ponos ou invalos com pobabilia zo

11 . Valo Espao omnos Ex..6: Sja a vaiávl alaóia com nsia, a < b. Sja ambém oua alaóia Z al qu,. ( x po s ulizaa paa spciica a nsia Z? Assim,, Z ( x ( b a I[ ]( x a, b b a / ( b a [ ] x x E ( x x ( b a I[ a, b] x b x ( b a x ( b a b a b a ( x a 0 x 0 0. é associaa à msma Função Gaiz omnos b a ( z ( b a I[ ]( z a, b

12 . Valo Espao omnos Sobuo ian vaiávis alaóias inpnns, po s muio úl ob momnos a pa oua unção, chamaa Função Gaiz Cumulava Função Gaiz Cumulava A Função Gaiz Cumulava uma vaiávl alaóia é inia como: ln( ( ψ omnos., ou sja, cospon ao logaimo a Função Gaiz Cosponnmn, o -ésimo cumulavo é ao po: k ψ ( 0.

13 . Valo Espao omnos Função Gaiz Cumulava É possívl mosa qu: ψ 0 ' ψ ( 0 - k µ µ, k µ σ, k µ k 4 4 µ 4. σ. Pova: xcício paa casa. Obsvação: po nvolvm, muias vzs, linaização nos logaimos, as ivaas as Funçõs Gaizs Cumulavas são, m gal, mais ácis sm obas qu as ivaas as Funçõs Gaizs os omnos.

14 . Valo Espao omnos Ex..7 (.cap. ( Com paa < (x..5, é possívl ob a Função Gaiz Cumulava como: ψ ln( ln ( [ ] ln( O qu pmi ob mais imiaamn os sguins momnos: µ k σ µ ψ ( 0 ln( 0 ( ψ ( 0 ( 0 ( 0 ( 0 ( k ψ k 0 0

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