Dispositivos Conversores Eletromagnéticos de Energia

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1 Dispositivos Convsos Eltomagnéticos d Engia

2 . Intodução...3. Consvação d Engia SISTEMA MAGNÉTICO DE EXCITAÇÃO ÚNICA TENSÃO INDUZIDA E ENERGIA MAGNÉTICA ARMAZENADA EM UMABOBINA FORÇA MECÂNICA E ENERGIA EM UM RELÉ FUNÇÃO DE ESTADO, VARIÁVEIS, CO-ENERGIA Sistmas d Campo Elético d Excitação Única Balanço d Engia VARIÁVEIS, CO-ENERGIA FORÇA SISTEMA COM DUPLA EXCITAÇÃO ENERGIA ARMAZENADA NO CAMPO TORQUE ELETROMAGNÉTICO... 8 EXERCÍCIOS PROPOSTOS...

3 . Intodução São aquls qu convtm ngia lética m mcânica vic-vsa. Engia Elética ou Engia Mcânica Exmplo: Micofons; Alto-falants; Rls ltomagnéticos; Instumntos d mdidas; Motos gados. O lo d ligação nt stas ngias (lética mcânica) é a ngia dos campos léticos magnéticos. Ação motoa Engia Elética Engia dos Campos Engia Mcânica. Consvação d Engia Elo d Ligação Ação gadoa Um pincípio gal, aplicávl a todos os sistmas físicos nos quais massa não é ciada nm dstuída, é o pincípio da consvação d ngia, qu afima: ngia não é ciada nm pdida, la mamnt muda d foma. Est pincípio, justamnt com as lis d campos lto magnéticos, d cicuitos léticos, a mcânica Nwtoniana, é um mio convnint paa dtmina as laçõs caactísticas do acoplamnto ltomcânico. A convsão ltomcânica d ngia nvolv ngia m quato fomas, pla consvação da ngia, lva à sguint lação nt las. Ação motoa: Engia Elética d Entada Pdas Engia d Amaznada Engia + no + Campo Engia Mcânica d Saída W Wp + Wcmp + Wmc. 3

4 Ação gadoa: { }{ }{ }{ } Engia Pdas Engia Engia Mcânica d + Amaznada + Elética d Engia no d Entada Campo Saída W Wp + Wcmp + Wmc. Pod-s classifica, ou mlho, numa as pdas da sguint foma: a) Pdas léticas atavés da sistência dos nolamntos ( q i ); b) Pdas no acoplamnto magnético atavés do núclo (Hists Foucaut); c) Pdas Mcânicas atavés dos atitos (mancais) vntilação. Uma outa psntação do sistma antio, pod s obtido, lvando-s m conta as pdas d ngia d acodo com sua pocdência, ond o pimio mmbo da quação. é xpsso m tmos das conts tnsõs no cicuito lético do dispositivo. A fig.. mosta ssa configuação. Sistma Elético Calo ( q i ) Calo Pdas Pdas Magnéticas Calo Mcânicas q + i - v f - - Campo d Acoplamnto Sistma Mcânico Ação motoa Ação gadoa Fig.. Considando-s o sistma antio opando como ação motoa, o difncial d ngia da font lética no tmpo dt é v f idt, a pda d ngia na sistência do dispositivo sá q i dt. A ngia líquida d ntada sá: dw v f idt- q i dt dw (v f - q i)i dt.3 E, pla Li d Kichhoff, tm-s: v f - q i (f.c..m ou f..m.).4 Substituindo-s.4 m.3, tm-s: dw idt.5 Pod-s xpssa a quação.5, lvando-s m considação a ngia d acoplamnto magnético mais a ngia mcânica, da sguint foma: Suponha-s qu o sistma sja idal (sm pdas), ntão pod-s scv: dw l dw cmp + dw mc.6 A quação.6 juntamnt com as Lis d Faaday a mcânica Nwtoniana são a bas fundamntal paa a anális dos dispositivos convsos d ngia. 4

5 .3 SISTEMA MAGNÉTICO DE EXCITAÇÃO ÚNICA Estuda-s-á nst tópico os dispositivos bobinados com ntfo, nt uma pat fixa outa móvl, no qual é amaznada considávl ngia no campo magnético. Ex.: lés ltomagnéticos..3. TENSÃO INDUZIDA E ENERGIA MAGNÉTICA ARMAZENADA EM UMABOBINA Sja a fig.3. I φ N v f fig.3. Pla Li d Faaday, tm-s: dλ /dt N dφ/dt 3. O difncial d ngia lética d ntada é dado po: dw l.i.dt i.dλ 3. Supondo-s qu, não haja pdas, toda ngia d ntada é amaznada no campo magnético. λ λ W l W cmp i.dλ I/N. dλ 3.3 A lação nt o fluxo φ a f..m. é dada pla lutância R, dfinidas no cap. I..3. FORÇA MECÂNICA E ENERGIA EM UM RELÉ A fig. 3. apsnta um squma d um lé, ond é mostado uma font lética alimntando o dispositivo, bm como, uma foça mcânica xtna, agindo paa mant a amadua no dslocamnto X. A foça poduzida plo campo magnético fcmp é também mostada na fig. 3., pocua mov a amadua na dição X. X Vf S I f cmp amadua Fig. 3. 5

6 No caso stático, supondo qu não haja foças d atito, a foça no campo a foça mcânica staão quilibadas. f cmp f mc 3.. S pmiti à amadua mov-s uma distância dx, ntão o campo aliza tabalho sob a amadua dwmc, isto poqu a foça o dslocamnto stão no msmo sntido. Sab-s qu, paa movimnto linas, tm-s: Engia mcânica Foça x Dslocamnto ou sja, o difncial d ngia mcânica sá: dwmc fcmp.dx 3.. A foça mcânica o dslocamnto stão m sntidos opostos, d modo qu o tabalho alizado pla font mcânica é ngativo. Supondo-s qu, não haja aclação, a amadua s dslocamnto, ntão pod s scv: fmc.dx fcmp.dx dwmc 3..3 S a amadua stivss aclando, ou houvss uma caga mcânica, ntão as foças mcânica do campo não siam iguais. Rtonado-s às quaçõs.6 3. lvando-s m considação à q. 3..3, obtéms: dwl i.dλ dwcmp + fmc.dx 3..4 S a amadua fo considada stacionáia, ntão dx toda vaiação na ngia no campo vm da font lética, como na q dwcmp i.dλ 3..5 S os fluxos concatnados são considados stacionáios, dλ, ntão toda vaiação na ngia no campo vm da font mcânica, confom q dwcmp -fmc.dx 3..6 A condição dλ sulta da imposição d tnsão nula nos tminais do nolamnto sm sistência. Enttanto pod-s t um λ finito paa assgua uma foça fcmp tansfidoa d ngia paa o campo a pati dos tminais mcânicos. Po xmplo, pod-s nvia uma cont i ao nolamnto, mantndo-s o dslocamnto fixo x da amadua, cutocicuitando-s os tminais do nolamnto. Paa uma indutância constant a ngia amaznada magnticamnt é dada po λ. S o fluxo é constant, ntão a ngia total no L campo é popocional ao volum do ntfo. S pmiti qu x aumnt, ntão o volum é duzido, a ngia fui do campo magnético, d acodo com a q FUNÇÃO DE ESTADO, VARIÁVEIS, CO-ENERGIA Engia é uma função d stado d um sistma consvativo. Da q tm-s: dwcmp(λ, i.dλ - fmc.dx

7 Esta quação mosta a ngia no campo magnético do dispositivo sm pdas d xcitação única, como função d duas vaiávis indpndnts λ x. O difncial da ngia dwcmp pod s xpsso matmaticamnt m tmos das divadas paciais, ou sja: dwcmp(λ, Wcmp. dλ Wcmp dx +. λ x 3.3. Como as vaiávis λ x são indpndnts, os coficints das quaçõs dvm também sm iguais, lvando às quaçõs paaméticas: i Wcmp( λ, λ 3.3. fmc fcmp - Wcmp(λ, x A q cospond à cospond à q paa a ngia do campo quando amadua é fixa dx. A q cospond à q paa a ngia do campo quando o fluxo concatnado é fixo dλ. Not-s qu a ngia smp foi xpssa até agoa m tmos da vaiávl lética λ. A foça na q é obtida como uma função do fluxo concatnado λ. Uma outa foma d xpssa a foça é atavés d outa função d stado, ou sja, a co-ngia magnética. A scolha da função d stado é qustão d convniência, la dpnd das vaiávis qu s qu obt no sultado, da dscição incial do sistma. A co-ngia W cmp é dfinida como uma função d i x tal qu: W cmp(i, i.λ - Wcmp(λ, Esta xpssão é obtida a pati da quação d ngia i.dλ, ou sja: d(i.λ) i.dλ + λ.di Aplicando-s o difncial m 3.3.4, tm-s: dw cmp(i, d(i,λ) dwcmp(λ, Substituindo-s as quaçõs m 3.3.6, tm-s: dw cmp(i, λ.di + fmc.dx Expssando-s o difncial da co-ngia m função d suas divadas paciais, tms: dw cmp(i, W ' cmp( i, W' cmp( i, x di + ) dx i x Como as vaiávis i x são indpndnts, os coficints das quaçõs dvm s iguais, sultando nas quaçõs paaméticas. λ W ' cmp( i, i W ' cmp( i, x fmc fcmp Compaando-s as quaçõs , vê-s qu a pimia dá a foça m tmos do fluxo concatnado a Sgunda dá a foça m tmos d cont. A scolha da ngia ou co-ngia paa dtminação da foça, dpnd galmnt das vaiávis qu s dsjam nas xpssõs finais. 7

8 A co-ngia paa um sistma d xcitação única, quando a posição da amadua é fixa d dx, é obtida da q , ou sja: W`cmp λ.di 3.3. W cmp Paa um sistma lina, no qual λ é popocional a L, a co-ngia é dada po: i Wcmp L i` di` L i 3.3. Exmplo O cicuito magnético mostado na fig. 3.3 é fito d aço fundido.o oto é liv paa gia m tono d um ixo vtical, as dimnsõs são mostadas na figua. Dduzi uma xpssão, m unidads MKS, paa o conjugado no oto, m tmos das dimnsõs do campo magnético nos dois ntfos. Dspza os fitos d spaiamnto. A indução magnética máxima nas poçõs dos ntfos é limitada a apoximadamnt 3 kilolinhas\pol, dvido à satuação no aço. Calcula o conjugado máximo m N.m paa as sguints dimnsõs:,pol., h,pol., g,pol.. Apêndic A fig.3.3 No sistma dinâmico com dslocamnto lina, a lação nt foças aclação é dado po : dv f D f M dt 8

9 ond: f -foça sistnt f D - foça dsnvolvida M - massa v - vlocidad No sistma dinâmico com dslocamnto angula, caso do xmplo, tm-s: T D T R J. T D T R dω dt π dn J 6 dt ond: T D toqu dsnvolvido [N.m] T R toqu sistnt [N.m] J momnto d inécia [kg.m ] ω - vlocidad angula [ad\s] n vlocidad lina [pm] Po analogia, o toqu dsnvolvido na gião do ntfo, paa um dispositivo com xcitação única dslocamnto angula é dado po : ou ω`cmp θ T D ( Hg, θ) ωcmp θ T D ( λ, θ) O conjugado T D pod s obtido atavés das quaçõs spctivamnt. Apêndic B A dnsidad d co-ngia paa um sistma lina com xcitação única é dada po: `cmp volum W Hg Hg B dh µ H dh µ Hg Outa foma d calcula a dnsidad da co-ngia é: Sab-s qu paa um sistma lina d xcitação única, tm-s: W`cmpWcmp L i Da Li d Ampè, tm-s: I g. Hg \ N D indutos, tia-s: L µ A N g Substituindo-s i L m Wcmp, fica: W`cmp µ A N g g Hg N 9

10 W cmp (g.a). µ.hg / Solução T D W cmp W cmp [dnsidad d W cmp] x [volum ntfo (V E )] Cálculo do volum do ntfo Tabalha-s-á com a áa média (A M ). A M Aco.h (+,5 g).θ. h V E A M.g V E (+,5g).θ. h.g V E g.h.θ.( +,5g) W cmp,5. µ.hg.(g.h.θ).(+,5g) Finalmnt: T D ω cmp(h,θ) g.h.hg.(+,5g). µ θ b) Convt a indução magnética dimnsõs do dispositivo m unidads MKS. Bg 3. -8, [Wb/m ] (,54. - ) g,.,54. -,54 [m] h,.,54. -,54 [m] µ 4π. -7 Substituindo sts valos tm-s: T D,54.,54.(,).(,54+,5.,54) 4π. -7 T D 5,59 [N.m]

11 .5 Sistmas d Campo Elético d Excitação Única Um sistma d convsão d ngia d campo lético pod s tatado d modo análogo ao caso d campo magnético, na obtnção da foça poduzida plo campo lético m função da caga ou tnsão nos tminais léticos. A scolha das vaiávis indpndnts dtmina s a função d stado sá a ngia ou a co-ngia, também, a foma das quaçõs paaméticas..5. Balanço d Engia Apsntação d um dispositivo d campo lético é mostado na fig. 4.. Os tminais léticos do dispositivo são supidos po uma font d connt, com um lmnto d pda m divação. A placa móvl é ligada a um sistma mcânico. O fluxo d ngia paa qualqu vaiação do sistma pod s xpsso pla q..6 dwl dwcmp+dwmc Como i q psntam a cont a caga paa o dispositivo, a ngia lética ntando nos tminais é: dwl v.i.dt dq 4. A ngia mcânica do dispositivo é dada po: dwmc fmc.dx fcmp.dx 4. Rscvndo-s a quação.6 lvando-s m considação as quaçõs 4. 4., tm-s: v.dq dwcmp + fmc.dx, ou dwcmp v.dq-fmc.dx 4. 3 A ngia do campo lético pod s intoduzida atavés dos tminais léticos ou mcânicos. S a ngia é intoduzia plos tminais léticos, com tminal mcânico fixo, dx, obtém-s: dwcmp v.dq 4.4 S o tminal lético fo abto paa mant dq, a ngia sá: dwcmp -fmc.dx 4.5 Em um sistma lina d campo lético, no qual q é popocional a v, isto é, a pmissividad å é constant, a lação nt q v é dfinida pla capacitância. Cq/v

12 E a xpssão da ngia é obtida da q Wcmp q q. v 4.7 C.5. VARIÁVEIS, CO-ENERGIA A ngia do campo lético é uma função das vaiávis indpndnts q x(d). A consquência da scolha da ngia como a função d stado paa dscv o sistma é qu a fmc sá função d q x. S a anális do sistma foss mais convnint com a foça xpssa como uma função d v x, ntão a co-ngia sia slcionada como a função d stado do sistma. A co-ngia é dfinida como: W cmp(v, v.q Wcmp(q,v) 4. Difnciando-s a q. 4., tm s: dw cmp(v, d(v.q) dwcmp(q,v) 4. Substituindo-s a q. 4.3 m 4., obtém-s: dw cmp q.dv + v.dq v.dq + fmcdx dw cmp q.dv + fmcdx 4. A analogia nt os casos d campo lético magnético pod s vista mais compltamnt, xpssando a dnsidad d ngia como uma função da intnsidad d campo lético E do vto dslocamnto D å.e. Assim: Wcmp volum D E'. dd' D D' dd' ε Wcmp D 4.8 volum ε Ond: å constant dilética [C/ v.m] [Faad/m] E campo lético [ v.m] D dnsidad d fluxo lético nt as placas [C/m ] C capacitância [F] Outa foma d calcula a dnsidad d Wcmp. Sab-s qu: Wcmp,5.q.v,5.C.v Wcmp,5.{A/d).å.(E.d) Wcmp,5.(A./d).å.d.(D/å),5.(A/å).d.D Wcmp ( A. d) volum D ε 4.9

13 A co-ngia paa o sistma antio, pod s calculada mantndo-s o tminal mcânico fixo, dx, tazndo o sistma até a tnsão v, tal qu toda co-ngia nta atavés dos tminais léticos. V W cmp(v, q' dv' 4.3 Paa um sistma lina v é popocional a q, å é constant, ntão a q. 4.3, fica: V W cmp(v, C v' dv',5. C. v FORÇA A ngia no campo é uma função d q x, su difncial m tmos das divadas paciais é: dwcmp(q, Wcmp Wcmp dq + dx q x Os coficints das quaçõs dvm s iguais, sultando nas quaçõs paaméticas: Wcmp q v ( q, Wcmp x fmc fcmp - ( q, A co-ngia é função d v x, su difncial m tmos das divadas paciais é: dw cmp(v, W' cmp v dv W' cmp + dx x 4.8 Os coficints das quaçõs dvm s iguais, sultando nas quaçõs paaméticas. q W' cmp (v, v 4.9 W'cmp (v, fmc fcmp 4. x Exmplo : Dtmin a foça nt duas placas paallas, cada uma d áa A m com um campo lético nt las igual a igidz dilética do a, isto é 3x 6 [V/m]. Utiliza a congia a ngia. Solução: 3

14 Usando-s o modlo da fig. 4., o spaçamnto nt a placas pod s tomado como (xo a capacitância como C A εo (xo logo, a ngia é dada po: Wcmp(q, q C q (xo A εo Cálculo da foça m lação à ngia: Da q. 4.7, tm-s: fmc fcmp Wcmp(q, x fcmp q A εo (A D) A εo A ( εo E) εo fcmp fcmp fcmp A εo E () 8π 36 9 [N] π 6 (3 6 ) Cálculo da foça m lação à co-ngia: W' cmp(v, Cv A εo v (xo Da q. 4., tia-s: ω' cmp( v, fmc x A v εο ( xo A tnsão v é dada po v E (xo fmc 8π 9 E εo A [N] As duas funçõs d stado poduzm a msma foça, como a spado. É intssant compaa a foça poduzida sob um mto quadado da supfíci qu limita um campo magnético, com o xmplo antio. O valo do campo magnético pod s tomado como B,6 [Wb/m ], qu é um nívl d satuação típico paa matial fomagnético. A ngia m um volum d A m d áa (xo d compimnto, é dada po: ωcmp( B, B A ( xo µ o 4

15 a foça valá: ωcmp( B, fcmp x B A µ o fcmp (,6) 4π 7,3 π 7 [N] Conclusão: A dnsidad d foça nas supfícis qu confinam num campo magnético é cca d 5. vzs maio do qu no caso do campo lético, paa as intnsidad considadas. Est xmplo mosta poqu paticamnt todos os dispositivos d convsão d ngia utilizam o campo magnético m luga do campo lético, com mio d acoplamnto. Apêndic D. No xmplo dtminou-s o toqu m função da intnsidad d campo Hg, não lvando-s m considação paa qual dslocamnto angula o toqu a máximo. Achou-s uma xpssão da sguint foma: T D µ o. g h Hg ( +,5 g) ( Hg, θ) ou h g. ( +,5 g) Bg µ o Não s conhcia o compotamnto d Bg m lação a θ, pdia-s o toqu dsnvolvido máximo paa um campo máximo, ntão : TD ( Bg,θ ) max g (h/µo) Bgmax ( +.5g) Vamos fomula o poblma dtmina paa qual posição angula do oto o toqu sá máximo. Expssa-s-à o toqu m função da cont do dslocamnto, ou sja, lva-s-à m conta a vaiação da indutância com o dslocamnto angula. Sab-s qu a co-ngia magnética é dada pô: w cmp (i, θ) (/) L.i fig.c A indutância L apsnta um compotamnto, confom ilustado na figua C, ou sja: L L + L. cosθ L L + L L L - L θ' 5

16 O toqu dsnvolvido sá: TD (i, θ) ( / θ) [w cnp (i, θ)] i ctc. TD (i, θ) [ (.5. L. i )]/ θ TD / i L/ θ / i d(l + L. cos θ)/ θ TD (i, θ) -i L sn θ Obs.: O toqu oscila snoidalmnt. Pgunta-s: Paa qual θ o toqu é máximo? Rsposta: dtd/dθ θ cosθ θ Paa θ π/4, 3π/4, 5π/4, o toqu sá máximo..6 SISTEMA COM DUPLA EXCITAÇÃO No sistma com dupla xcitação, xistm duas bobinas indpndnts nos quais apsntam m cada qual um fluxo concatnado pópio, um fluxo concatnado mútuo nt las. A fig. 5. apsnta o dispositivo magnético d dupla xcitação. V i θ i fig. 5. V Consida-s-à o sistma totalmnt lina, pois caso contáio, um tatamnto dssa natuza sia xtmamnt dificultoso. Admitindo-s qu o sistma sja lina, sndo o fluxo popocional à cont, pod-s aplica o pincípio da supposição. A fig 5. apsnta as conts, tnsõs, tc., paa um tansduto típico d dupla xcitação. As quaçõs dos fluxos concatnados totais paa as duas bobinas são dadas plas quaçõs λ L. i + M. i 5. λ L. i + M. i 5. 6

17 As quaçõs instantânas das tnsõs dos nolamntos são: v R. i + dλ /dt 5.3 v R. i + dλ /dt 5.4 Substituindo-s m , tm-s v R. i + d(l.. i ) /dt+ d(m.. i ) /dt 5.5 v R. i + d(l.. i ) /dt+ d(m.. i ) /dt 5.6 As indutâncias são indpndnts das conts, mas dpndm da posição θ, a qual é função do tmpo. Simultanamnt, as conts são dpndnts do tmpo. Expandindo-s , tm-s: v R. i + L di /dt + i dl /dt + M di /dt + i dm/dt 5.7 v R. i + L di /dt + i dl /dt + M di /dt + i dm/dt 5.8 Multiplicando-s pô i i spctivamnt, daão as quaçõs d potência paa os nolamntos. v i R. i + L i di /dt + i dl /dt + i M di /dt + i i dm/dt 5.9 v i R. i + L i di /dt + i dl /dt + i M di /dt + i i dm/dt 5. Somando-s intgando m lação ao tmpo, dando-a um aspcto d balanço d ngia, tm-s: (v i + v i )dt (R. i + R. i )dt+ [(L i )di + (L i )di + (i M) di + +( i i )dm + i dl + i dl + (i M) di ] 5. A ngia líquida d ntada é dada pô : Wl (v i + v i )dt - (R. i + R. i )dt 5. A Engia amaznada no campo mais a Engia mcânica, fica: Wcmp + Wmc [(L * i)di + (L * i)di + (i * M)di + (i * i)dm + (i)²dl + (i * M)di] ENERGIA ARMAZENADA NO CAMPO O valo da ngia amaznada instantanamnt no campo magnético dpnd dos valos das indutâncias conts no instant considado. Esta ngia pod s obtida, considando-s o tansduto stacionáio, o sistma a s ngizado dsd o valo zo até da cont instantâna quida. Nsta situação não há ngia mcânica (Wmc ), ou sja d os valos das indutâncias são constants os tmos m dl, dl dm dsapacm. Da quação 5.3, obtém-s: t i ( L i' ) di' + ( L i' ) di' Md ( i' i ) dwcmp + i i* i ' Wcmp,5L i L i + Mi i 5.4 +, 5 7

18 .6. TORQUE ELETROMAGNÉTICO A quação 5.4 psnta a ngia amaznada paa alguma posição do oto. S o tansduto gia, a ngia no campo é dtminada com spito ao tmpo dada pla difnciação m lação ao tmpo da 5.4 dwcmp di dl di dl dm di L + i + L + i + ii + im + dt dt dt dt dt dt dt di + im dt dwcmp di dl di dl dm di di i L i i L i i i i M i M dt dt dt dt dt dt dt dt Wcmp 5.5 Intgando-s a xpssão 5.5 m lação ao tmpo, obtém-s: dwcmp Wcmp ( L i di +,5i dl + L i di +, i dl + i i dm + i Mdi i Mdi ) A xpssão 5.6 é agoa gal paa um tansduto m movimnto no qual L, L, M, i, i são todos vaiants com tmpo. Compaando-s as quaçõs , vê-s qu: (,5i dl +, i dl i i ) Wmc 5 + dm Galmnt a ngia d ntada é dividida igualmnt nt as ngias amaznadas no campo paa o tabalho mcânico. T T T T D π dn J 6 dt D Paa um sistma ond não haja aclação ou dsaclação o Tc T. Um xmplo disso são sistmas d gação d ngia lética, ou sja, a fqüência s mantém paticamnt constant Exmplo 3 dn dt. Um tansduto otacional (v fig. 5.) tm as boinas do stato oto as indutâncias d,4[h],[h] spctivamnt, uma indutância mútua d, * cos θ [H], ond θ é o ângulo nt os ixos das bobinas. O valo das conts m ambas bobinas é [A]. a) Dtmin a ngia amaznada no sistma o toqu instantâno paa um ângulo θ qualqu. b) O valo do toqu paa θ 3º. Solução a) Dados: 8

19 L L M,cos i,4, i Wcmp,5i Wcmp,5 [ H ] [ H ] θ[ H ] [ A] L +,5i Wcmp 3 + cosθ L + i i M,4 +,5, +, cosθ dwcmp dl dl T i + i + i i dθ dθ dθ dl dθ dl dθ i i, snθ T T snθ dm dθ Paa T [ N m] Obs: Quando as conts são constants: Wcmp Wmc Exmplo 4 Um tansduto d dupla xcitação, fig. 5. tm um oto cilindo apsntando uma vlocidad angula W [ad/s]. O oto é ngizado atavés d anéis coltos, tndo uma sistência d ohms indutância d, +, * cos [H], ond é o ângulo nt os ixos. O stato tm uma sistência d ohms uma indutância d.[h]. A indutância mútua vaia com cos θ apsnta um valo máximo d,6[h]. sndo as conts do oto stato constants iguais a Ampès spctivamnt, (obtnha) as xpssõs instantânas das tnsõs, toqu potência d ntada paa ângulo d Fig. 5. Sistma com dupla xcitação 9

20 Solução: Dados: [ad/s] L, [H] L, +,cosθ[h] R [Ω] R [Ω] i [A] i [A] M,6cosθ [H],6cos(θt) LKV nas malhas, obtém-s: di di v R.i + L + M + i dt dt.+ ù.. -,6. sn è dm dt di di dm v R.i + L + M + i dt dt dt v + v.+.ù. v 6.sn è ( ) v 6.snè -.snè + i i dl dt dl dt (-,6.sn è ) +..ù.(,.sn è) Paa è ð/ : v v 6.sn 6.sn ( ð/) v 4 [ V] ( ð/).sn ( π ) v 4[ V] Paa è ð/4 : v v 6.sn 6.sn ( ð/4) v 57,7 [ V] ( ð/4).sn ( π ) v 4,3 [ V] 4 Cálculo do toqu paa conts constants: dwmc T dè i dl dè i dl dè + + i. i dm dè

21 T T T. sn è -,6. sn è (-.,. sn è ) +.. (-,6. sn è ) [,6 sn è + sn è] Paa è ð/ : T T,6 [ N.m] Paa è ð/4 : [,6 sn ( ð/) + sn ( π )] T T [,6 sn ( ð/4) + sn ( )] π 4,4 [ N. m] Cálculo da potência d ntada: P in v. i + v è ð/, tm - s P 57,7. + Paa : in. i ( 4,3. ) P 84,6 [ Watts] in EXERCÍCIOS PROPOSTOS ) Um tansduto otacional (fig. Ex. ) tm uma lação lina nt fluxo concatnado cont. A indutância vaia com: L L + L. cos è a) Div a xpssão gal do toqu, paa i constant. b) Calcul o toqu médio s o oto tm uma vlocidad angula constant ù. A cont vaia com I m. cos ( ùt + ä ) è ùt.

22 ) Um tansduto otacional d dupla xcitação tm indutâncias pópias do stato oto d 4 [ H], [ H] spctivamnt, uma indutância mútua d.cosè [ H] é o ângulo nt os dois ixos. Uma cont pmannt d [ A],, ond " è" oco nas duas bobinas. a) Dtmin a ngia amaznada o toqu instantâno paa um ângulo " è" gnéico. b) Considando um pquno movimnto no oto d è 3º. Calcul o toqu instantâno m 3º vifiqu o valo do balanço d ngia. 3) A xpssão T i dl dè não é válida paa um sistma com simpls xcitação com lação não lina nt fluxo cont. Expliqu a azão paa isto ilust sua sposta slcionando uma fómula paa T, i, L è. 4) Um tansduto otacional com simpls xcitação tm uma pmância caactística (confom fig. Ex. 5), no qual é indpndnt da cont. Dduza o toqu instantâno paa è ùt calcul o valo do toqu como um moto d lutância ngizado po uma cont i Im. sn ( ùt + á ). Po 5) Um moto monofásico d lutância tm a sguint lação nt fluxo λ, cont i a posição angula i è ùt, dado po: ( A A. cos è ), o ë a) Div a xpssão do toqu instantâno. b) Expss a vaiação da cont, fluxo toqu com o tmpo sob um ciclo, quando a o cont fo. cos( è + 3 ). I m π/ π 3π/ π θ