CAMPOS ELÉCTRICOS. Formalismo do Electromagnetismo (equações de Maxwell)

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1 CAMPOS ELÉCTRICOS Fomalsmo do Elctomagntsmo (quaçõs d Maxwll) Explcatvo d todos os fnómnos qu nvolvm popdads léctcas magnétcas PROPRIEDADES DAS CARGAS ELÉCTRICAS Exstm dos tpos d cagas: postvas ngatvas. As cagas consvam-s. Exstm foças d atacção d pulsão nt as cagas, caso sjam d snas contáos ou do msmo snal, spctvamnt. Estas foças são popoconas ao nvso do quadado da dstânca nt as cagas. ISOLADORES E CONDUTORES Quanto à capacdad d tanspota cagas léctcas, os matas dvdm-s m: () Condutos possum cagas léctcas lvs. () Isolants têm dfculdad m tanspota caga léctca. () Sm-condutos possum popdads ntmédas. Exstm váas fomas d alta o stado d lctzação d um copo, po xmplo: () Po contacto. () Po ndução pod nvolv lctzação (condutos) ou polazação (solants). 7

2 LEI DE COULOMB A l d Coulomb fo uma l stablcda com bas nos sgunts dados xpmntas: () A foça léctca nt duas cagas tm a dcção da lnha qu as un, () é nvsamnt popoconal ao quadado da dstânca nt las, () é popoconal ao poduto das cagas, (v) é atactva quando as cagas têm snas contáos pulsva, quando têm snas guas. Matmatcamnt, a l é xpssa atavés da lação: F léc k q q 1 u, com k a constant d Coulomb: 1 9 k Nm / C 4 πε, 0 ε 0 a pmtvdad do vazo: ε C / Nm Como sa pvsívl plo cálculo vctoal, também as foças léctcas cumpm o pncípo da sobposção das foças. D modo qu a foça qu actua sob uma patícula é a soma d todas as foças xcdas sob la. Como xmplo lustatvo, consda duas cagas postvas q 1 q uma tca caga ngatva, q 3, num ponto da lnha qu un as duas pmas. Pod dmonsta-s qu a coodnada m qu a foça aplcada à patícula q 3 dada po: x CAMPO ELÉCTRICO ( ± q q ) L q 1 ( q q ) 1 O campo léctco é dfndo pla azão nt a foça léctca qu actua sob uma caga d pova postva colocada num dtmnado ponto do spaço o valo dssa caga. 1 8

3 E F q léc 0 k Q u Tndo m conta sta dfnção, faclmnt s conclu qu: () O campo tm smp a dcção sntdo da foça. () O campo é ndpndnt da patícula d pova, dpndndo apnas das cagas qu lh dão ogm. () O campo xst msmo na ausênca da caga d pova. (v) A caga d pova dv s tão pquna quanto possívl, paa qu não ntfa no campo qu stá stablcdo. Como xmplo lustatvo, pod consda-s o campo léctco cado po um dpolo: E léc k qa 3 y CAMPO ELÉCTRICO DE UMA DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA Consda-s uma dstbução contínua quando a dstânca nt as cagas é muto mno do qu a dstânca ao ponto d mdda. Paa o cálculo do campo léctco poduzdo po uma dstbução contínua d cagas, utlza-s o statagma d dvd o volum total m volums nfntsmas cospondnts a cagas q. Nss caso o campo sá dado po: q Eléc k lm q q u k u 0 k dq u Na abodagm contínua, sugm conctos mpotants como as dnsdads d caga volúmca, supfcal lna: Q Q Q ρ s λ, váldas paa dstbuçõs unfoms d caga, d um V A l modo mas gal, tmos: 9

4 ρ dq dv s dq da λ Como xmplo lustatvo, pod consda-s o campo léctco cado po uma baa cagada: E k d Q ( l + d ) dq dl LINHAS DE CAMPO ELÉCTRICO As lnhas d campo léctco laconam-s com st da sgunt foma: () O vcto campo léctco é tangnt às lnhas d campo. () O nº d lnhas d campo po undad d áa qu atavssam uma supfíc ppndcula ao campo é popoconal à ampltud do campo nssa gão. Popdads das lnhas d campo: () As lnhas comçam nas cagas postvas tmnam nas ngatvas (ou ntão comçam ou acabam no nfnto s a caga total não fo nula). () O nº d lnhas qu chgam ou patm d uma caga é popoconal à sua ampltud. () As lnhas não s cuzam. Vfqu-s qu sta foma d dsnha lnhas d campo é compatívl com a l d Coulomb. É fácl pova qu: Eα N 4π, dsd qu s consd uma sfa cntada numa caga pontual Dbldads dsta psntação: () Dão a lusão d qu o campo léctco é dscontínuo. 30

5 () Apacm como uma psntação b-dmnsonal d uma aldad t-dmnsonal. Exmplos d dstbução d lnhas d campo dvdo a váas confomaçõs d caga: a) b) c) d) ) Rpa-s qu num ponto afastado as lnhas c), d) ) são smlhants às a) b). MOVIMENTO DE PARTÍCULAS CARREGADAS NUM CAMPO UNIFORME Rpa-s qu uma caga qu sja colocada num campo léctco unfom, fca sujta a uma foça, plo qu tá um movmnto unfommnt aclado, com aclação: qe a m S a patícula fo postva a aclação tá o sntdo do campo, caso contáo tá o sntdo contáo. É com bas nst sultado qu s constom os oscloscópos: 31

6 LEI DE GAUSS L d Gauss Foma altnatva d calcula o campo léctco cado po uma dstbução d cagas FLUXO ELÉCTRICO O fluxo léctco numa dtmnada supfíc é dfndo como o nº d lnhas d campo qu a atavssam. Então, o fluxo léctco atavés d uma supfíc fchada va s popoconal à caga no su nto não á dpnd da foma dssa supfíc. Comc-s po calcula o fluxo léctco numa stuação smpls consd-s um campo léctco unfom E uma supfíc A qu lh é ppndcula. O fluxo vm dado po: N φ E.A poqu: N A EA A φ (N m / C) S a supfíc não fo ppndcula ao campo, tmos: φ E.Acosϑ, sndo ϑ o ângulo nt E A. No caso mas gal m qu o campo léctco vaa m do da supfíc tm-s: φ lm A 0 E. A sup E. da E no caso d uma supfíc fchada, obtém-s: E. da E da n φ, sndo E n a componnt do campo nomal à supfíc. 3

7 LEI DE GAUSS A L d Gauss fonc uma lação nt o fluxo calculado atavés d uma supfíc fchada a caga xstnt no su nto. O cálculo do fluxo atavés d uma sfa qu nvolv uma caga Q postva vm dado po: Q φ ε Na vdad, msmo qu a supfíc consdada não sja sféca, o fluxo sá gual, uma vz qu é popoconal ao númo d lnhas d campo. Quanto ao fluxo d um campo cado po cagas no xto da supfíc consdada, faclmnt s vfca qu é nulo. Combnando os dos sultados admtndo, uma vz mas, a sobposção dos campos: φ E. da Q ε nt O fluxo atavés d qualqu supfíc fchada é gual à caga no su nto dvdda pla constant ε Nos poblmas m qu a L d Gauss é utlzada, dv t-s m atnção o sgunt: (v) A supfíc consdada não tm, ncssaamnt, aldad físca. (v) Esta é uma abodagm muto útl paa casos m qu sja vdnt um lvado nívl d smta. (v) A scolha da supfíc é cucal. APLICAÇÕES DA LEI DE GAUSS A ISOLANTES CARREGADOS Calcul-s o campo cado po uma sfa solant com dnsdad d caga ρ caga total postva Q. (consd-s pontos no nto no xto da sfa). E k Q no xto: 33

8 no nto: Q E k 3 a Calcul-s o campo cado po um fo nfnto com dnsdad d caga lna, λ, constant: E k Calcul-s o campo cado po um plano nfnto com dnsdad d caga supfcal, σ, constant: E λ σ ε CONDUTORES EM EQUILÍBRIO ELECTROSTÁTICO Um conduto dz-s m qulíbo lctostátco quando não xst movmnto d cagas no su nto. Nstas condçõs mosta-s qu: () O campo léctco no su nto é nulo. Caso contáo as cagas tndam a s mov. () As cagas xstnts no nto do conduto ncontam-s à supfíc. S: 0 Q 0 E nt, potanto, as cagas só podão sta à supfíc do conduto. () O campo léctco foa do conduto, mas junto à fonta, é ppndcula à supfíc tm ampltud: σ / ε 0. S foss tangncal as cagas nconta-s-am m movmnto. Pla L d Gauss, pova-s a sua ampltud. 34

9 POTENCIAL ELÉCTRICO O potncal léctco Pmt uma abodagm ngétca dos poblmas d lctomagntsmo. DIFERENÇA DE POTENCIAL E POTENCIAL ELÉCTRICO Comc-s po calcula o tabalho alzado po uma foça léctca sob uma caga sujta a um campo léctco: WF B F ds q A B. 0 A E. ds S a st tabalho fo assocada uma vaação d nga potncal U, tm-s: WF U U f U q 0 U B A q B 0 A E. ds V E. ds U B A f E. ds U q B 0 A E. ds Ond a quantdad U/q 0 é dfnda como a função potncal léctco. Rpa-s qu o potncal léctco é dpndnt do campo, mas ndpndnt da caga, nquanto a nga léctca dpnd d ambos. O potncal léctco xg a dfnção d uma fênca. Po convnção, o potncal num ponto nfnto é nulo. Então: O potncal léctco num qualqu ponto P é o tabalho po undad d caga alzado sob uma patícula postva paa a faz mov do nfnto até ss ponto. A undad d potncal léctco é o volt (V), qu quval a 1J/1C. DIFERENÇAS DE POTENCIAL NUM CAMPO ELÉCTRICO UNIFORME A dfnça d potncal cada po um campo unfom vm dada po: V Ed o qu pod s vfcado pnsando no qu s passa com uma patícula qu é tazda d um ponto A paa um ponto B, ond stá stablcdo um campo léctco com a msma lnha d acção. 35

10 Enquanto qu a vaação d nga potncal, vm dada po: U q0ed S o dslocamnto não acontc sgundo a dcção do campo: V E. s Ed Dond sulta qu qualqu plano ppndcula a um campo léctco unfom s nconta ao msmo potncal. Dfn-s supfíc qupotncal como o luga gométco qu s nconta ao msmo potncal léctco. POTENCIAL ELÉCTRICO E ENERGIA POTENCIAL DEVIDOS A UMA DISTRIBUIÇÃO DE CARGAS A dfnça d potncal cado po uma caga pontual vm dada po: V 1 k q B 1 A 36

11 Pnsando qu no nfnto ( ), V 0, ntão: V k q Dond sulta: V k q, paa um conjunto d patículas cagadas, U k q1q 1, paa a nga potncal fnt à ntacção d duas patículas cagadas. E no caso d uma dstbução d cagas contínua: V k dq CÁLCULO DO CAMPO ELÉCTRICO A PARTIR DO POTENCIAL dv Confom já vmos: dv E. ds. S E tv a dcção x, vm: E E x u x u dx x Ou, numa stuação mas gal: E x V V V, E y, Ez E V gadv x y z Ou sja, as supfícs qupotncas são smp ppndculas ao campo, tndo st a dcção dos potncas mas baxos. 37

12 POTENCIAL DE UM CONDUTOR CARREGADO Rpa-s qu num conduto cagado s vfca: ) dos pontos na supfíc têm o msmo potncal. ) qualqu ponto no su nto têm o msmo potncal. ) o campo léctco numa cavdad no su nto é nulo (possbldad d blnda um ccuto ) APLICAÇÕES kq Anl: V x + a k Baa: Q l + l + d V ln l d 38

13 CAMPOS MAGNÉTICOS Exstênca d pólos magnétcos Dscobta do magntsmo Rlação nt a lctcdad o magntsmo sugmnto do lctomagntsmo O CAMPO MAGNÉTICO Os campos magnétcos são gados na psnça d ímans ou d cagas léctcas m movmnto. Analogamnt ao campo léctco, a xstênca d um campo magnétco é compovada atavés da psnça d um objcto d pova. Nst caso é uma patícula cagada anmada d vlocdad. Nstas condçõs, vfcou-s qu: v) A ampltud da foça magnétca a qu a patícula fca sujta é popoconal à sua caga à sua vlocdad. v) A ampltud da foça magnétca é popoconal à ampltud do campo magnétco. v) S a vlocdad da patícula fo paalla à dcção do campo, a foça sá nula. v) A foça é ppndcula ao plano fomado pla vlocdad da patícula plo campo magnétco. v) O sntdo da foça sob uma caga postva é o oposto ao qu fca sujta uma caga ngatva. x) A ampltud da foça é popoconal ao sno do ângulo fomado pla vlocdad plo campo magnétco. Estas obsvaçõs conduzm à xpssão: F mag qv B, sndo mag F a foça magnétca a qu fca sujta uma patícula d caga q, anmada d uma vlocdad v, sob a acção d um campo magnétco B. 39

14 Rpa-s qu: ) Enquanto a foça léctca é paalla ao campo léctco a foça magnétca é ppndcula ao campo magnétco. ) A foça léctca actua sob cagas m pouso a foça magnétca actua sob cagas m movmnto. ) A foça léctca alza tabalho ao dsloca uma patícula, a foça magnétca não (dsd qu o campo sja staconáo). A undad d campo magnétco no SI é o Tsla (T). FORÇA MAGNÉTICA NUM CONDUTOR ATRAVESSADO POR UMA CORRENTE Sja uma cont léctca dfnda pla lação: I Pod pnsa-s o qu acontc quando uma cont léctca fca sujta a um campo magnétco - pa-s qu uma cont léctca é um fluxo d cagas m movmnto. Consd-s, ntão, um fo d áa A, compmnto l, mgulhado num campo magnétco dq dt B, unfom no nto do qual s movm n cagas q po undad d volum, com vlocdad v. A foça xcda sob o fo sá: F mag ( qv B)nAl 40

15 Mas, pnsando qu a cont léctca vm dada po: Q nqa x I nqav t t I L B, ntão: F mag Paa um fo d foma abtáa, tmos a gnalzação: df mag I ds B ou: I ds B F mag CASO I: Campo magnétco unfom cont léctca constant: F I ds B IL B b mag a, poqu b a nfntsmas qu compõm o pcuso. ds é a soma vctoal d todos os vctos CASO II: Pcuso fchado num campo magnétco unfom pcodo po uma cont constant: b F mag I 0 ds B a, poqu b d s 0 a MOVIMENTO DE UMA PARTÍCULA CARREGADA NUM CAMPO MAGNÉTICO Aplqu-s a l d Nwton a uma patícula cagada, anmada d uma vlocdad, sob a acção d um campo magnétco ppndcula à sua vlocdad. Nstas condçõs a foça é cntal, plo qu a tajctóa da patícula sá ccula d ao: F mag qvb ma... mv qb S a vlocdad da caga tv uma componnt paalla ao campo, ntão a sua tajctóa sá m hélc. 41

16 LEI DE BIOT-SAVART Expmntalmnt obsvou-s qu o campo magnétco db cado num ponto P dvdo à passagm d uma cont I no lmnto ds d um fo conduto, cump: x) db é ppndcula a ds a, sndo o vcto posção do ponto P. x) x) x) db é nvsamnt popoconal a. db é popoconal à cont I ao lmnto d compmnto ds.. db é popoconal ao sn θ, sndo θ o ângulo fomado po ds. Matmatcamnt pod-s xpssa sts sultados, atavés da xpssão: I ds u µ 0 7 db km, sndo k m 10 Tm/A 4 π 0, uma vz qu: -7 µ - pmabldad do vácuo tm o valo: 4 10 Tm/A π. Qu é conhcda como a L d Bot-Savat. A gnalzação dsta l paa calcula o campo magnétco cado po uma dstbução d conts, sá: B I ds u km qu é uma xpssão com algumas smlhanças com a ncontada paa o campo léctco: dq E k u Uma aplcação mpotant dsta xpssão é o cálculo do campo cado po um conduto lna ctlíno: B µ 0I 4πR Ou, s o conduto fo consdado nfnto: ( cosϑ cosϑ ) 1 µ 0I B πr 4

17 FORÇA MAGNÉTICA ENTRE DOIS CONDUTORES PARALELOS Calcul-s a foça xstnt nt dos condutos paallos nt s qu são pcodos po conts I 1 I : F 1 I1l B, ond 1 F é a foça xcda plo conduto sob o lmnto d compmnto l do conduto 1. Ou sja, B é o campo magnétco cado plo conduto no lmnto l do conduto 1. Então: µ 0I F1 I1lB I1l µ πa I1I l πa 0, ou, quando s calcula a foça po undad d compmnto: F1 µ 0 l I1I πa F l Quanto ao sntdo das foças, faclmnt s vfca qu las são d atacção quando as conts cculam m sntdo contáo d pulsão, caso contáo. LEI DE AMPÈRE Tndo m conta o cálculo do campo cado po um fo ctlíno nfnto, dtmn-s a quantdad B ds., nstas ccunstâncas: B. ds µ 0I Na vdad, sta xpssão é mas gal, cumpndo-s paa qualqu tajctóa fchada gomta d conts staconáas qu s consdm. É conhcda pla L d Ampè é a l do magntsmo quvalnt à L d Gauss. Pod nunca-s da sgunt foma: O ntgal da quantdad ds fchada guala o poduto B. atavés d uma lnha µ 0I, ond I é a cont staconáa total qu atavssa qualqu supfíc dlmtada pla lnha fchada consdada. 43

18 Uma aplcação ntssant da L d Ampè é o cálculo do campo magnétco cado po um solnód: ) Num ponto xto pod consda-s o campo magnétco nulo. ) Num ponto nto, aplcando a L d Ampè à lnha fchada apsntada na fgua: B µ 0I N l LEI DE FARADAY E LEI DE LENZ A L d Faaday ndca-nos d qu foma é qu campos magnétcos pmtm ga conts léctcas. S um conduto, no nto do qual não cculam cagas s dsloca latvamnt a um campo magnétco, as suas cagas vão sof uma foça qu as mplá a mov-s. A st fnómno dá-s o nom d Indução Magnétca. 44

19 Smlamnt ao qu fo fto paa o campo léctco é possívl dfn fluxo d campo magnétco atavés d uma supfíc A, atavés da xpssão: Φ mag B. da A undad d fluxo magnétco no SI é o Wb (Wb), plo qu é também possívl consda a undad d campo como Wb/m. A foma matmátca d fomalza a ndução magnétca é atavés da l d Faaday: d fm Φ mag qu pod s nuncada da sgunt foma: A foça lctomotz (dfnça d potncal) gada po ndução guala, m valo absoluto, a taxa d vaação do fluxo d campo magnétco atavés da supfíc dlmtada plo ccuto. O snal - na xpssão ndca qu a fm s opõ à causa qu lh du ogm. Qu é a conhcda L d Lnz. dt 45