CAPITULO 4 SISTEMAS DE EQUAÇÕES NÃO LINEARES

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1 INTRODUÇÃO CAPITULO 4 SISTEMAS DE EQUAÇÕES NÃO LINEARES O capítlo ateio se iicio com ma discssão sobe a modelaem matemática de sistemas físicos qe pemitisse sa aálise, cocepção e até mesmo poeto. Foi etão apesetada ma foma de iabiliza a obteção da solção apoximada das eqações matemáticas qe modelam o compotameto físico do sistema, paa obte sa esposta o tempo e/o espaço. Paa tato, é feita a apoximação do sistema eal cotío po m sistema apoximado disceto, ciado assim m coto de eqações matemáticas, ma paa cada poto do sistema disceto (malha) qe po sa ez apoxima o sistema cotío. A classe de poblemas tatados o capítlo eloba sistemas físicos qe apesetam compotameto liea, potato, podedo se epesetados po m modelo matemático de eqações lieaes. Foam etão apesetados métodos paa a solção de sistemas de eqações lieaes. Na ealidade, costata-se qe a maioia dos sistemas físicos apeseta compotameto ão liea. Esses sistemas ão podem se adeqadamete modelados matematicamete po sistemas de eqações lieaes. As leis físicas qe eem se compotameto leam à fomlação de sistemas de eqações matemáticas ão lieaes. Paa pee a esposta desses sistemas, é ecessáio o deseolimeto de métodos méicos paa a solção dessas eqações ão lieaes simltaeamete. Neste capítlo são apesetados e disctidos áios métodos méicos de solção de sistemas de eqações ão lieaes. A discssão é cotextalizada com o so de exemplos de sistemas físicos eais e os modelos matemáticos coespodetes. 4.. O PROBLEMA O poblema é fomlado de foma eal pela seite eqação etoial: ( ) (4.),, K, é m homeomofismo sficietemete sae de R R., com tato como o mapeameto ieso ode ( ) T Um homeomofismo é ma bieção ( ) cotíos. Fisicamete, m homeomofismo siifica qe o pocesso modelado po tem ma solção úica paa qalqe coto de codições de etada y, i.e., ( x) y, e qe a solção x aia cotiamete com a etada y. Refee-se a esta oção como m pocesso bem posto. 4.. O MÉTODO DE ITERAÇÃO FUNCIONAL Aaloamete ao poblema idimesioal apesetado a Seção.5 deste lio, deseole-se aoa m pocesso iteatio paa ea ma seqêcia de etoes qe

2 89 idealmete coeiia paa o eto solção do poblema fomlado pela Eq. (4.), cofome se see: ( ) Potato, see-se a elação de ecoêcia: ( ) G( ) (4.) (4.) ( ) + G (4.) É possíel se demostado qe a codição de coeêcia paa o pocesso iteatio da Eq. (4.) é qe G( ) sea m mapeameto cotatio (Execício 4.), ma ez qe se tata de ma iteação de poto fixo (ide Capítlo ). Um cometáio baseado a obseação pática é qe o método é bastate simples alebicamete, poém a codição de coeêcia omalmete é difícil de se satisfeita, i.e., qe a fção etoial G( ) costída a pati da explicitação do eto a Eq. (4.) sea m mapeameto cotatio. Note qe a foma de explicitação do eto apesetada a Eq. (4.) é apeas ma das possíeis alteatias paa tal. Na edade, a pati das eqações alébicas qe fomlam o sistema, podem se obtidas mitas otas fomas paa G( ). O método pode se melhoado tilizado a seite fomlação alteatia: ( ) α A( ) ( ) α d( ) + G (4.4) ode α é ma costate ão la qe pode aia a cada iteação e ( ) ão sila qe depede de. O podto A( ) ( ) coeção. Esse método cia ma foma ecsia de bsca a solção de ( ) A( ) ( ) se e somete se ( ). A é ma matiz defie o assim chamado eto de. Note qe A fómla básica de iteação apesetada a Eq. (4.4) defie ma ade aiedade de métodos paa a solção de sistemas de eqações ão lieaes. No etato, a maio dificldade com esses métodos iteatios eside a escolha da matiz A, qe podza etoes de coeção eficazes qe leem a obte a solção. Neste capítlo são apesetados e disctidos métodos qe se eqadam a defiição matemática da Eq. (4.4) O MÉTODO DE PICARD É possíel deia m método bastate simples a pati do poblema de poto fixo, qe é deomiado de sbstitição scessia o Picad. Paa tato, eescee-se a Eq. (4.) qe epeseta o esído do sistema de eqações em aálise, cofome se see: ( ) h( ) A Eqação ((4.5) see o seite pocesso iteatio: ( ) (4.5) + h (4.6)

3 9 Obsea-se a pática qe esse aloitmo tem m aio de coeêcia ade. Aqi defie-se aio de coeêcia como a distâcia ete o eto iicial estimado paa o eto solção. No etato, a elocidade (o taxa) de coeêcia é ealmete baixa. Potato, é iteessate bsca fomas de melhoa a taxa de coeêcia, e ma delas é obtida pela seite fómla de elaxação: h (4.7) ( ) it ode it é m eto itemediáio obtido como estimatia paa a iteação +. O alo sado de fato paa + é obtido po homotopia sado m paâmeto α, tal qe α <, cofome se see: ( α) it + α + (4.8) Veifica-se qe poblemas ão lieaes feqüetemete exibem m compotameto oscilatóio de coeêcia. Nesses casos, o so da Eq. (4.8) pode taze ades beefícios. O método de Picad omalmete é tilizado as iteações iiciais de ma estatéia eal de solção de sistemas de eqações ão lieaes, paa iabiliza a coeêcia de métodos mais ápidos, como po exemplo, o método de Newto qe seá abodado aida este Capítlo. Isto se dee ao fato de qe o método apeseta m aio de coeêcia bastate ade, poém tem baixa taxa de coeêcia, daí o iteesse de combia o método com métodos mais ápidos qe teham aio de coeêcia baixo. Exemplo 4.) Resola o sistema ( ) abaixo meicamete pelo método de Picad tilizado ma fómla de elaxação apopiada, cosideado ma toleâcia T,, Ache o eto solção ( ), sado o eto de aloes iiciais T (,, ) Solção 5 Iicialmete, eescee-se o sistema a foma seida pela Eq. (4.6), cofome se see: h h h ( + ) ( + ) + / 5 Assim, a fómla de iteação de Picad com elaxação é dada po / h( ) e + α + ( α) it it 6.

4 9 Utilizado α, e m poama comptacioal (DVD em aexo ao lio), obtém-se o seite históico de coeêcia: Método de Picad om i ( ).556 ( ). ( ) -.6 om i ( ).4894 ( ).458E- ( ) om i ( ).699 ( ) E- ( ) om E- M M M M M M i 7 ( ).65 ( ) E- ( ) om E i 8 ( ).65 ( ) E- ( ) om.8e i 9 ( ).65 ( ) 5.796E- ( ) om 9.4E-7 coeed i 9 iteatios O MÉTODO DE NEWTON Um método qe apeseta ma taxa de coeêcia bastate melho do qe o método de Picad é o método de Newto. Cofome disctido o Capítlo, paa ma eqação ão liea, o método de Newto apeseta coeêcia de seda odem, i.e., O ( e i ), ode e i é o eo a iteação i. O fato é qe se obsea a mesma taxa de coeêcia qado o método é aplicado a sistemas de eqações ão lieaes (Execício 4.).

5 9 Deia-se o método de Newto a pati do sistema de eqações epesetado de foma compacta po: ( ) (4.) Uma expasão em séie de Taylo ao edo de m poto abitáio póximo à aiz estabelece qe: ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + L + ( ) ode (,, K, ), (,, K, ), (,, K, ) (4.9) e é o úmeo de eqações do sistema a se esolido. Além disso, a séie foi tcada a pimeia deiada. A Eqação (4.9), qe é etoial, detemia m sistema de eqações alébicas lieaes a se esolido paa o eto difeeça w ( ). Isto é melho isalizado a matiz a sei, costída a pati da Eq. (4.9): M ( ) ( ) ( ) ( ) L O L M M A Eqação (4.) see o seite pocesso iteatio: ( ) ( ) ( ) w ( ) ( ) M ( ) (4.) + (4.) ode epeseta a iteação atal e + a iteação seite. O pocesso se iicia a pati de m eto iicial estimado. Potato, em cada iteação, o alo estimado paa a iteação seite +, é obtido a pati de: + w + (4.) Assim, o poblema cosiste em esole a cada iteação, o sistema de eqações lieaes defiido pela Eq. (4.) po m método méico qalqe (dieto o idieto), o qal pode se escito de foma compacta po: M ( ) w ( ) (4.) ode ( ) ( ) M é deomiada como matiz Jacobeaa do pocesso. Com o so de otação idicial, os elemetos da matiz Jacobeaa deem se calclados de foma exata po:

6 9 m i i ( i, ) (4.4) A coeêcia seá obtida qado: (4.5) ( ) ε ode ε é ma toleâcia pé-especificada com alo póximo a zeo MÉTODO DE NEWTON MODIFICADO Uma ade dificldade com os métodos apesetados até aoa este capítlo é qe eles eqeem alto tempo comptacioal paa esole poblemas com ade úmeo de eqações, e.., ma matiz Jacobeaa de ade dimesão a cada iteação qe pode também te elemetos qe eqeiam mitas opeações aitméticas, i.e., de difícil cálclo aaliticamete. Assim, é ecomedáel bsca estatéias paa edção do tempo comptacioal qado se aplica o método de Newto Retilização da matiz Jacobeaa Uma maeia de eita esse csto é a de ão compta ma oa matiz Jacobeaa a cada iteação. Paa tato, pode-se pesa em etiliza a matiz Jacobeaa calclada paa ma detemiada iteação po áias otas iteações sbseqüetes, o mais eeicamete m opeado fixo. Combiado as Eqs. (4.) e (4.) obtém-se a iteação de Newto po: M (4.6) + ( ) ( ) Assim, ao iés de ecalcla a matiz M a cada iteação, pode-se tiliza: + M (4.7) ( ) ( ) ode o sbscito i epeseta ma detemiada iteação (e.., a pimeia iteação). Esse pocedimeto faz o opeado M ( i ) se fixo po tatas iteações qato se matie m compotameto decescete de ma iteação paa desea, i.e., eqato ( ) a póxima, i.e., eqato o pocesso se matie em m camiho de coeêcia. Potato, ma oa matiz M é calclada somete qado ( ) ameta em elação à iteação estie edzido, e assim ateio, matedo-a fixa oamete eqato ( ) scessiamete até o pocesso coei paa a solção Matiz Jacobeaa méica Esta estatéia diz espeito ao cálclo dos elemetos da matiz Jacobeaa de acodo com a Eq. (4.4) meicamete. Paa tato, é possíel tiliza-se ma apoximação méica o cálclo da deiada, cofome se see: i

7 m i i { (,, K, + ε, K, ) (,, K, )} i ε i ( i, ) 94 (4.8) ode ε dee se estabelecido como m alo sficietemete peqeo a fim do alo calclado paa m se apoxima do alo exato da deiada. i 4.7. CONVERGÊNCIA DO MÉTODO DE NEWTON Como todos os métodos eqadados o item 4., o método de Newto pode se descito siteticamete pela fómla: ( ) + G (4.) Assim, a codição paa coeêcia é qe G( ) sea m mapeameto cotatio. No etato, a maioia dessas fções obtidas a pati do sistema de eqações estabelecido pela G qe seam cotatias cosideado-se todo o Eq. (4.) ão lea à obteção de fções ( ) domíio R, obseado-se o compotameto de fção cotatia apeas em pate do R. Po esta azão, é qe se sabe qe o método de Newto é coeete qado o eto de aloes iiciais estimado paa a iteação de Newto é sficietemete póximo da solção do sistema de eqações, o sea, deto da eião do R em qe G( ) apeseta o compotameto de fção cotatia, aqi deomiada como eião de coeêcia do método. Pela mesma azão, o poblema pode i a ocoe em m poto itemediáio da iteação de Newto, se o alo de i calclado em ma iteação itemediáia i estie foa da eião de coeêcia. Uma das estatéias paa lida com a possibilidade de dieêcia em ma iteação itemediáia do método é a assim chamada bsca po liha ( lie seach ). A estatéia cosiste de altea a Eq. (4.) como se see (Ba e Rose, 98): + t w + (4.9) O paâmeto t é cohecido como paâmeto de lie seach e há áios estdos a liteata paa a sa melho estimatia, basicamete poqe t, tal qe: t O (4.) ( ( ) ) o sea, a medida qe a iteação possee, ( ) A sei, listam-se almas maeias de estima o paâmeto t : a) Ba e Rose (98) seem a fómla: t ( ). (4.) + K

8 95 ode K é ma seqêcia tal qe K K, dode se obsea qe K edz a cada iteação, e K dee se sficietemete ade. Note qe paa a iteação coei, paa δ [, ]: ( ) < δ ( ) + (4.) Potato, iicia-se com t epodzido a iteação de Newto e eifica-se se a Eq. (4.) é satisfeita. Em caso positio, possee-se com t, e em caso eatio, poca-se edzi t, po alma lei, tal como a Eq. (4.), po m ceto úmeo de sb-iteações até qe a Eq. (4.) sea eificada. b) Estima-se m alo costate t < e iicia-se o pocesso da Eq. (4.9). Sempe qe ( ) ameta, cia-se ma sb-iteação, qe diide t po m fato péespecificado γ (e.., sea decescete. γ ), a cada sb-iteação, até qe ( ) Na póxima iteação extea, atibi-se a t o mesmo alo costate do iício do pocesso, e assim scessiamete, cofome se see: t γ t ( ) (4.) c) Usa-se m pocesso aqi deomiado de estimatia de t po semeto de eta secate, cofome mosta a Fi. 4.. ( ) + - ( ) t t Fia 4. Pocesso de detemiação de t po semeto de eta secate.

9 96 Com base a eqação do semeto de eta secate mostado a Fi. 4., detemia-se t cofome se see: t ( ) ( ) + ( ) MÉTODO DE GAUSS-SEIDL NÃO LINEAR (4.4) O aqi deomiado método de Gass-Seidl ão liea cosiste de ma aaloia do pocedimeto iteatio de Gass-Seidl apesetado o Capítlo paa sistemas de eqações lieaes. De fato, o pocedimeto bsca esole seqüecialmete cada eqação do sistema paa cada icóita, matedo fixos os aloes cohecidos das otas icóitas oidos da iteação ateio e tilizado os aloes á cohecidos da iteação atal. Assim, deia-se o método a pati do sistema de eqações epesetado de foma compacta po: ( ) Resole-se, potato, a pati de m alo iicial estimado po m dos métodos de solção de eqações ão lieaes de ma icóita apesetados o Capítlo (e.., bisseção, Newto, secate), em seqêcia, cada eqação do sistema epesetado po (4.) paa obte ( + ), i, cofome se see: i ( ) ( + ) () () (,, K, ) ( + ) ( + ) () () (,,, K, ) ( + ) ( + ) ( + ) () () (,,,, K, ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) (,, K,, ) paa obte M A coeêcia seá obtida qado: M 4 paa obte () ( ) ε ( + ) paa obte ( + ) paa obte M ( + ) (4.) (4.5) (4.6) ode ε é ma toleâcia pé-especificada com alo póximo a zeo MÉTODOS DE CONTINUAÇÃO Todos os métodos até aqi disctidos commete apesetam a possibilidade de ão coeiem paa a solção. Este cotia a se o ade desafio paa esole poblemas ão lieaes. O poblema está dietamete liado à falta de m aio de coeêcia sficietemete ade ieete ao método em qestão. Efim, feita ma estimatia iicial paa o eto solção,, o método iteatio pode ão se capaz de coei paa o eto solção,, ma ez qe a estimatia iicial se ecota mito distate do esltado deseado. Há das maeias picipais de se lida com o poblema de obte boas estimatias iiciais paa o eto solção. As das eolem pocedimetos de bsca (o aeda) pela

10 97 solção. A pimeia delas é a ciação de m poblema tasiete atificial, iseido a Eq. (4.) m paâmeto de tempo, a pati do qal a solção é obtida em m istate iicial t ode o sistema é de fácil solção, passado-se a tiliza essa solção coeida como estimatia iicial paa o istate t t + t, ode t é m icemeto de tempo sficietemete peqeo tal qe sea possíel a coeêcia o istate seite, e assim scessiamete, até atii m alo de t qe sea coespodete ao sistema de eqações oiial a se esolido. Este método é cohecido em Mecâica dos Sólidos a aplicação do método de Elemetos Fiitos como método de caa icemetal (Zieiewicz e Taylo, 989). A seda maeia cosiste de se apoxima adalmete da solção fial ataés de ma séie de solções itemediáias. Esses esltados itemediáios podem te iteesse físico, o simplesmete seem meios de se chea a ma solção deseada ao fial do pocesso. Fomalmete, esses aloitmos são cohecidos como métodos de cotiação (Seydel, 99), e podem se tilizados com qalqe m dos métodos peiamete descitos este Capítlo. Commete, m sistema de eqações ão lieaes epesetatio de m sistema físico qalqe depede de m o mais paâmetos qe caacteizam sa esposta (e.., o úmeo de Reyolds em Mecâica dos Flidos, a maitde de ma codição de cotoo). Paa tata essa qestão, assme-se qe a solção da Eq. (4.) depede de m paâmeto eal, λ. Potato, o poblema passa a se fomlado matematicamete como se see. Resola o sistema de eqações: (, λ) (4.7), tal qe λ R, : R + R. A solção é obtida po métodos de cotiação em dois passos eais: i) Iicia-se com ma solção coeida R, λ R, i.e., (, λ ), e ii) Paa áios aloes de λ esola (, λ). paa obte, paa áios aloes de λ e detemie o camiho ( λ) R, O sedo passo da solção do poblema se apoeita dos aloes peiamete coeidos de e λ. Esta é a essêcia do método de cotiação. O obetio é o de ecota ma fção qe epesete o camiho descito po e λ. No etato, o poblema é qe podem hae potos em qe / e ( λ) ão pode se explicitado (potos de iflexão). Potato, é ecessáio ecota ma paametização γ, tal qe ( γ) e λ λ( γ), e fixa γ o poto iicial, i.e.: ( γ ) e λ ( ) λ γ. Uma das paametizações mais sadas é a cohecida como compimeto de aco s. Neste caso, ( s) e λ λ ( s ) ; ( ) e λ λ ( ). Os métodos de cotiação paa esole o poblema fomlado pela Eq. (4.7) são classificados de acodo com o a de dificldade em odes, iiciado pela odem-zeo. Um método de cotiação simples e eficaz laamete tilizado em poblemas de Mecâica dos Flidos e Tasfeêcia de Calo de odem-zeo cosiste em esole ma séie de poblemas ametado adalmete o alo do paâmeto de cotiação λ. A solção coeida em m alo λ é sada como alo iicial do eto solção o póximo passo λ + λ, com qalqe método méico qe estea sedo sado paa esole o λ +

11 98 sistema de eqações (e.., Newto). No etato, em poblemas em qe há a ecessidade de detecta bifcações, o método odem-zeo ão apeseta boa coeêcia. O método de cotiação mais simples de pimeia odem assme qe teha deiadas cotías em elação a e λ. Desta maeia, ma séie de Taylo de (,λ ) pode se sada com tcameto a pimeia deiada paa obte: λ, λ,λ λ (4.8) qe pemite dedzi a seite elação de ecoêcia: + A λ (, λ ) λ, λ (4.9) ode A, λ e λ λ + λ. Obseado a Eq. (4.9) pecebe-se qe esqemas de maio odem podem se deiados, bastado paa isso cosidea deiadas de maio odem o tcameto da séie de Taylo de (,λ ). Neste lio, apeas o esqema de pimeia odem é tatado. Qado λ é peqeo, é poáel qe a oa solção + sea bastate póxima da edadeia solção paa λ +, potato, espea-se qe sado + como alo iicial, o sistema defiido pela Eq. (4.7) eha a coei com qalqe método méico qe estea sedo sado paa esolê-lo. No etato, a medida qe se se maioes aloes paa λ, o alo peisto paa + ealmete se distaciaá da edadeia ca de solção. Nesses casos, o alo peisto pode se coiido. De fato, o poblema eside a escolha de λ. A meos qe a solção itemediáia sea de iteesse, λ dee se tão ade qato possíel paa miimiza o esfoço comptacioal. No etato, o tamaho de qalqe λ é limitado pelo aio de coeêcia do método méico qe estea sedo sado paa obte a solção coiida em λ +. Na ealidade, sa-se a assim chamada cotiação adaptatia ia pocedimetos de seleção heística de λ (Seydel, 99). Um desses pocedimetos é descito a sei. Assme-se em m passo dispõe-se dos aloes, λ e s, e o passo de compimeto de aco é s. A solção o passo + é pocada tal qe: e ode d epeseta ma fção distâcia. d (, ) + λ + {(, ), (, λ ) } s λ + + (4.) (4.) O aloitmo qe é poposto cosiste de esole o passo paa a obteção de, λ, + e λ λ + λ., λ deem satisfaze as eqações: + +

12 99 e ( +, λ + λ ) (4.), λ s (4.) ode epeseta ma oma em R + R R. A oma defie o compimeto de aco. A Eqação (4.) epeseta a estição. Coseqetemete o aloitmo cosiste de :. Dada ma solção iicial R, λ R, e m passo de compimeto de aco iicial s. Paa até faça: a) Compte icemetos, λ ( +, λ + λ ) a pati de, λ s b) Compte + + e λ + λ + λ c) Compte m oo compimeto de aco. O poblema do item a) cosiste da solção de m sistema de eqações ão lieaes. Potato, há dois passos eolidos o pocesso: a.) Ecote aloes iiciais e λ a.) A pati dos aloes iiciais e λ esola o sistema: ( +, λ + λ ) paa obte e λ, λ s O passo a.) é commete cohecido como de pedição. O passo a.) é cohecido como de coeção. Há áios tipos de métodos de pedição, i.e., taete, secate, e o de pedição la, i.e., ( ) e λ, o de maio odem. Como o método da secate eole dois potos e métodos de maio odem eolem áios potos, somete o método da taete é tilizado este texto, admitido qe é de classe C com elação tato a como λ. Potato, sado a Eq. (4.8), obtém-se: Assmido qe A, λ, λ λ, λ, λ s λ s + sea ão sila, etão: (4.4) A - λ, λ λ (4.5)

13 e potato: A - λ, λ, λ s (4.6) o λ A - s λ, λ, (4.6 ) Obsee qe a Eq. (4.6 ) há dois aloes paa pefeíel tiliza o alo positio. Com o alo detemiado paa λ. A expeiêcia mosta qe é λ, tiliza-se a Eq. (4.5) paa obte. O passo a.) de coeção salmete cosiste da solção de m sistema de eqações ão lieaes. O método de Newto é o mais tilizado e as icóitas são e λ. O passo de cotole de compimeto de aco s tilizado m alo fixo péespecificado o sado m esqema baseado o úmeo de iteações, cofome se see: ode ef s + s (4.7) + é o úmeo de iteações feitas pelo passo de coeção, e ef é m úmeo de efeêcia estabelecido como m úmeo aceitáel de iteações. O poeto 4. ao fial deste capítlo popõe m poblema em qe só é possíel a obteção de solções ao loo de toda a faixa de aiação de m de ses paâmetos ataés do so de m método de cotiação. 4.. PROBLEMAS PROPOSTOS 4.. Demoste qe a codição de coeêcia paa o método da iteação fcioal é qe sea m mapeameto cotatio. 4.. Demoste a taxa de coeêcia do método de Newto qado aplicado a sistemas de eqações ão-lieaes. 4.. Desea-se costi m meisco, costitído pela eião de itesecção ete dois cíclos, cas eqações são: e. Pede-se paa calcla a distâcia ete as extemidades do meisco (o sea, a distâcia

14 ete os potos de itesecção ete ambas os cíclos). Utilize paa tato o Método de Newto-Raphso Obteha os potos de itesecção ete os seites paes de cas. Como foma de obte boas estimatias iiciais paa a tilização de métodos méicos, faça áficos de tais cas (Note qe, em als casos, existem múltiplos paes de solções). Empee os métodos de Newto e da secate paa a obteção de tais solções méicas. a) e b) e c) e d) e 4.5. Cosidee as espécies qímicas A, B, AB e A B. Desea-se a pati das espécies A e B obte como podto a espécie A B. Teoicamete, tal eação podeia se ealizada ataés da seite eação qímica dieta: Na pática, cotdo, qe esse pocesso está elacioado a das eações qímicas itemediáias e eesíeis, apesetadas a sei: Com base as eqações das eações qímicas, pode-se etão, aalia o úmeo de moles () de cada ma das espécies qímicas pesetes a mista fial: (A ) x, (B ) x, (AB) y e (A B ) -x-y. A soma de todos os aloes ateioes foece o úmeo total de moles da mista ( T ), qe esse caso é T +x+y. Paa se aalia a composição da mista, toa-se ecessáio detemia os aloes de x e de y. Paa tato, ecoe-se às seites elações: qe estão elacioadas às eações eesíeis apesetadas ateiomete.nessas elações, K e K são as costates de cada ma das eações qímicas e Y(z) é a fação mola da espécie qímica z, qe é obtida diidido-se (z) po T. Nesse cotexto, detemie os aloes dos úmeos de moles de cada ma das espécies qímicas da mista, sabedo-se qe K, e K,5. Utilize, paa tato, os métodos de Newto e de Newto modificado Solcioe o seite sistema de eqações ão-lieaes, empeado os métodos de Newto e Newto modificado. Tal sistema é poeiete de eações qímicas, obtidas de modo semelhate ao mostado o execício ateio.

15 Admita os seites aloes paa K, K, K e K 4, espectiamete:,,,5,,5 e, Desea-se estda a distibição da tempeata ao loo da espessa de ma paede plaa, com eação olmética de calo, paa a codição de eime pemaete. Tal feômeo pode se modelado ataés da seite eqação difeecial: ode x é a coodeada espacial, T é a tempeata, é a codtiidade témica do mateial e é a taxa olmética de eação de calo. Paa este estdo, cosidea-se qe a codtiidade témica do mateial sea aiáel e depedete icamete da tempeata, sedo modelada ataés de ma elação do tipo, ode a é ma costate cohecida. Empeado-se m método méico paa a discetização da eqação difeecial oiial, obtee-se o seite sistema de eqações: Cosideado-se os seites aloes:, esola o sistema obtido, empeado-se os métodos de Newto e Newto modificado.