O MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO PARA PLACAS DE REISSNER CONSIDERANDO INTERAÇÃO SOLO-ESTRUTURA

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1 O MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO PARA PLACAS DE REISSNER CONSIDERANDO INTERAÇÃO SOLO-ESTRUTURA NATÁLIA SOUZA RIBEIRO UNIVERSIDADE ESTADUAL DO NORTE FLUMINENSE DARCY RIBEIRO UENF CAMPOS DOS GOYTACAZES RJ Abl 05

2 O MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO PARA PLACAS DE REISSNER CONSIDERANDO INTERAÇÃO SOLO-ESTRUTURA NATÁLIA SOUZA RIBEIRO Tese e Dotoao aesetaa ao Ceto e Cêa e Teologa a Uvesae Estaal o Note Flmese Day Rbeo omo ate as egêas aa a obteção e títlo e Doto em Egehaa Cvl. Oetaoa: Vâa José Kaam UNIVERSIDADE ESTADUAL DO NORTE FLUMINENSE DARCY RIBEIRO UENF CAMPOS DOS GOYTACAZES RJ Abl 05

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4 À mha famíla Ao me amoao v

5 AGRADECIMENTOS À Des mha habtação fote à qal osso eoe otamete os é a mha oha e fotaleza. À mha oetaoa Vâa José Kaam ela oetação aêa elos esametos e etvo ate a ealzação este tabalho. Aos mes as mãos e amoao mha famíla qe tato amo. Sem o etvo eles amas hegaa até aq. À mha amga Môa Altoé qe mesmo state fsamete seme está esete em mha va e é omo ma mã aa mm. Ao amgo e omae Ségo Atôo Bm J ela amzae olaboação e elas hoas e esabafo esotação e aa qe foam fametas ao logo esses aos. Ao amgo Fábo Belém ela aa hoas e ovesas e oselhos. amzae. À amga Cássa elas hoas tas a salha elo etvo ateção e Fele e Mltom. Aos amgos qe oqste o ovívo esses aos em eseal Zéla À CAPES Cooeação e Aefeçoameto e Pessoal e Nível Seo elo aoo faeo. A toas as essoas qe eta o etamete otbíam aa a ealzação este tabalho. v

6 SUMÁRIO LISTA DE FIGURAS... LISTA DE SÍMBOLOS... RESUMO... v ABSTRACT... v CAPÍTULO... INTRODUÇÃO.... Coseações Ias.... Revsão Bblogáfa Obetvos Ogazação a Tese... 8 CAPÍTULO... 0 TEORIA DE REISSNER PARA ANÁLISE DE FLEXÃO DE PLACAS Itoção Fomlação Bása Eessões as tesões..... Mometos e esfoços esltates as tesões..... Desloametos geealzaos Mometos e esfoços otates Defomações eseífas Eqações e eqlíbo Coções e otoo... 7 CAPÍTULO... 8 O MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO APLICADO À TEORIA DE REISSNER Itoção Eqações Itegas... 8 v

7 .. Deção as eqações tegas a at o Métoo os Resíos Poeaos.... Eqação Itegal aa m Poto o Cotoo Solção Fametal Desloametos geealzaos Foças e sefíe geealzaas....5 Tasfomação as Itegas e Foças e Domío em Itegas e Cotoo Eessões aa Desloametos e Esfoços os Potos Iteos Desloametos Mometos e esfoços otates... 7 CAPÍTULO IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA DAS EQUAÇÕES DA PLACA Itoção Dsetzação as Eqações Itegas Sstema e eqações Cállo os esloametos os otos teos Mometos e esfoços otates os otos teos Elemetos e Cotoo Elemeto qaáto otío Elemeto qaáto esotío Nó Dlo CAPÍTULO EQUAÇÕES INTEGRAIS DO SOLO Itoção Eqação Itegal aa m Sólo Tmesoal Eqação Itegal aa m Poto o Cotoo e m Sólo Tmesoal Eqações Itegas aa o Sólo Tmesoal Sem-Ifto Solção fametal aa otos o omío o solo Solção fametal aa otos a sefíe o solo... 6 v

8 5.5 O Métoo os Elemetos e Cotoo alao às Eqações Itegas o Solo Elemetos e otoo aa a sefíe lve o solo CAPÍTULO IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA DAS EQUAÇÕES DO SOLO Itoção Dsetzação as Eqações Itegas CAPÍTULO INTERAÇÃO PLACA-SOLO Itoção Eqações Itegas aa o Coto Plaa-Solo CAPÍTULO APLICAÇÕES Itoção Eemlo : Plaa Qaaa om Boos Lves Eemlo : Plaa Cla om Boo Lve Eemlo : Plaa Retagla om Boos Lves CAPÍTULO CONCLUSÕES REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS... 9 v

9 LISTA DE FIGURAS Fga. Reesetação o moelo laa-solo...0 Fga. Sstema e ooeaas... Fga. Esfoços esltates: mometos e esfoços otates... Fga.4 Elemeto e laa em eqlíbo...5 Fga. Regão oteo a laa...9 Fga. Plaa om oto o otoo...9 Fga 4. Plaa va em elemetos e otoo e éllas teas...45 Fga 4. Elemetos e otoo qaátos otíos...5 Fga 4. Elemetos e otoo qaátos esotíos...5 Fga 5. Sólo tmesoal...56 Fga 5. Tesões atates em m elemeto ftesmal o sólo...56 Fga 7. Tesões atates o oto laa-solo...7 Fga 8. Plaa qaaa: setzação em elemetos e 8 éllas...75 Fga 8. Plaa qaaa: setzação em elemetos e 56 éllas...76 Fga 8. Plaa qaaa: esloameto tasvesal Fga 8.4 Plaa qaaa: setzação em 6 elemetos e 8 éllas...78 Fga 8.5 Plaa qaaa: fato I w vess gez elatva K...79 Fga 8.6 Plaa qaaa om otos aos...79 Fga 8.7 Plaa la: setzação em 40 elemetos e 00 éllas...8 Fga 8.8 Plaa la: esloameto o vess fato e gez...8 Fga 8.9 Plaa la: esloameto tasvesal 0 aa X Fga 8.0 Plaa la: mometo M 0 ao logo o ao aa X Fga 8. Plaa la: eação o solo 0 ao logo o ao aa X Fga 8. Plaa la: eação o solo 0 ao logo o ao aa X...84 Fga 8. Plaa la: eação o solo 0 ao logo o ao aa X Fga 8.4 Plaa etagla: setzação em 8 elemetos e 45 éllas...85 Fga 8.5 Plaa etagla: setzação em 56 elemetos e 7 éllas...86 Fga 8.6 Plaa etagla: fato I w vess gez elatva K aa 8 elemetos e 45 éllas...86 Fga 8.7 Plaa etagla om otos aos...87

10 Fga 8.8 Plaa etagla: fato I w vess gez elatva K aa 56 elemetos e 7 éllas...87

11 LISTA DE SÍMBOLOS Íes: gegos vaam e a latos vaam e a w fleha otações omoetes o teso e tesões omoetes o teso e efomações eseífas e fleão omoetes o teso e efomações eseífas salhates tasvesas M mometos fletoes e tosoes o ae e ommeto Q esfoços otates o ae e ommeto eos ooeaos atesaos omoetes os esloametos geealzaos omoetes as foças e sefíe geealzaas b omoetes as foças e omío omoetes o oeao e Nave omoetes o teso e esloametos a solção fametal omoetes o teso e foças e sefíe a solção fametal v fções qe satsfazem etemaa eqação e Posso omoetes o teso qe mltla as foças e k k sefíe a eessão os esfoços os otos teos omoetes o teso qe mltla os esloametos a eessão os esfoços os otos teos w omoetes o teso qe mltla as foças e omío a eessão os esfoços os otos teos h esessa a laa

12 E G mólo e elastae logtal mólo e elastae tasvesal oefete e Posso E h D ( ) 0 h gez à fleão a laa ostate aateísta as eqações e Resse q aga tasvesal o ae e áea eação o solo oto fote o oto aga oto amo stâa o oto ao oto evaa e em elação à ooeaa z oto eesso o λ o-seo eto a omal em elação ao eo K 0 e K fções e Bessel mofaas e oem tea elta e Koeke ( ) elta e Da oeao e Lalae veto e ógtas f veto oesoete aos valoes estos e vetoes qe otém os valoes oas e esloametos e foças e sefíe esetvamete b veto qe otém a aela a aga stbía m veto qe otém a aela a eação o solo A matz o sstema e eqações A f N matz qe otém as fções e teolação U e P matzes qe otém os esloametos e foças e sefíe a solção fametal esetvamete H e G matzes qe otém as tegas sobe os elemetos e otoo

13 J aobao aa tegação os elemetos e otoo omío a egão aalsaa omío a egão qe otém e o otoo está ftamete state a laa omío a élla otoo a egão efa o otoo a egão efa o ate o otoo oe os esloametos geealzaos são estos ate o otoo oe as foças e sefíe geealzaas são estas otoo a élla N úmeo total e éllas a laa e úmeo e elemetos o otoo N úmeo e elemetos o otoo e aa élla tea e

14 RESUMO Neste tabalho tlza-se o Métoo os Elemetos e Cotoo (MEC) e a teoa e fleão e laas e Resse aa aálse e teação solo-estta. A aboagem tlza a mesma solção fametal á emegaa a aálse e laas elo MEC e aa osea a eação o solo são aesetaas as aelas oesoetes as eqações tegas o oblema. Ao sstema e eqações ogal são aesetaas eqações estas aa otos a tefae a laa om o solo obteo-se assm o sstema e eqações aa a laa. Esta tefae é setzaa em éllas teas ostates e as tegas oesoetes são tasfomaas em tegas sobe os otoos as éllas. Paa a setzação o otoo são emegaos elemetos e otoo qaátos oeo estes se otíos o esotíos. O solo é oseao omo m sem-esaço fto e são estas eqações tegas aa otos a sefíe o mesmo tlzao a solção fametal e Bossesq-Cet. A egão a sefíe o solo em otato om a laa também é setzaa em éllas teas e aós a mlemetação méa tem-se m sstema e eqações aa o solo. Os sstemas e eqações fomaos om as eqações a laa e om as eqações o solo são aolaos aa faze a teação solo-estta. Paa a valação os esltaos os mesmos são omaaos om esltaos e tabalhos qe tlzam métoos méos om otas aboages o e solções aalítas. Palavas Chave: Teoa e Resse Métoo os Elemetos e Cotoo Iteação Solo-Estta. v

15 ABSTRACT The Boay Elemet Metho (BEM) a Resse s theoy fo late beg ae se ths wok fo the aalyss of sol-stte teato. The aoah ses the same fametal solto aleay emloye the aalyss of lates by the BEM a oe to ose the sol eato the oesog aels ae ae to the tegal eqatos of the oblem. Eqatos wtte fo ots of the otat aea ae ae to the ogal system of eqatos a so a eqato system fo the late s obtae. Ths ego s setze to ostat teal ells a the oesog tegals ae tasfome to tegals ove the boay of the ells. Fo the setzato of the boay qaat boay elemets ae emloye a they may be otos o sotos. The sol s amtte as a fte halfsae a tegal eqatos ae wtte fo ots at the sol sfae by sg the fametal solto of Bossesq-Cet. The ego of the sol sfae otat wth the late s also setze to teal ells a afte efomg the meal mlemetato oe has a system of eqatos fo the sol. The system of eqatos fome fom the late eqatos a fom the sol eqatos ae ole to aomlsh the sol-stte teato. To valate the eslts they ae omae to eslts obtae fom stes that se meal methos wth othe aoahes o to aalytal soltos. Keywos: Resse s theoy; Boay Elemet Metho; Sol Stte Iteato. v

16 CAPÍTULO INTRODUÇÃO. Coseações Ias Plaas são elemetos esttas tlzaos em vesos tos e esttas aatezaas o aeseta as as tês mesões mto gaes em omaação om a teea e om aegameto tasvesal à sa sefíe méa. O sgmeto e teoas aa o esto e laas ata o sélo XIX om o sgmeto a teoa e Khhoff também hamaa teoa lássa e fleão e laas alável a laas elgaas om eqeos esloametos (Tmosheko 970). Nesta teoa a solção o oblema é obta a at e ma eqação feeal e qata oem oe evem se satsfetas as oções e otoo o boo. A al hótese a teoa lássa osste em qe segmetos e eta omas à sefíe méa ates a fleão emaeem etos omas à sefíe méa e alteaos o ommeto aós a fleão aaetao efomações salhates tasvesas las. Como alteatva ao so a teoa e Khhoff Resse (944) toz o efeto as efomações salhates tasvesas a solção o oblema o qe levo a m sstema e eqações feeas e seta oem a qal evem se satsfetas tês oções e otoo o boo. Nesta teoa segmetos e eta omas à sefíe méa ates a efomação a laa ão emaeem mas eessaamete omas a esta sefíe aós a efomação. Potato tal teoa emte o esto e laas elgaas e esessas e em omaação om a teoa e Khhoff aeseta melhoes esltaos os boos e atos a laa. O Métoo os Elemetos e Cotoo (MEC) fo esevolvo aós os hamaos métoos e omío tas omo feeças ftas e elemetos ftos. Ao otáo os métoos taos qe oseam fções e teolação o omío o oblema o MEC osea em geal estas fções aeas o otoo. Além sso aa qe m oblema ossa se esolvo elo MEC é eessáo qe ma solção fametal sea ohea. A solção fametal tlzaa o MEC eeseta a esosta as eqações feeas o oblema aa os efetos asaos em m oto qalqe

17 o omío hamao oto amo evo a alação e ma foça oetaa táa em m eto oto hamao oto fote. Esta solção eee as aateístas o omío e o otoo a egão oe o oblema está seo. A solção fametal e Kelv aa oblemas elástos efos em m omío fto homogêeo sótoo e elásto-lea é obta a at a eqação e Nave qao ma aga táa oetaa é alaa em m oto fote (Love 944). A solção fametal e Bossesq-Cet eeseta o oblema e agas oetaas omas e tageas à sefíe e otoo e sólos tmesoas oseao o omío sem-fto homogêeo sótoo elástolea e lve e foças e sefíe o otoo. Nesta solção o oto e alação a foça táa é m oto qalqe a sefíe. Já a solção e Ml (Ml 96) o oto e alação a foça táa é m oto qalqe o teo este omío (lo a sefíe). A mção a mesão as eqações tegas o oblema faz om qe o MEC teha omo ma as aateístas as a eção as aomações evolvas qao omaao a métoos qe tlzam aomações o omío. Neste aso os valoes allaos os otos teos tato os esloametos omo mometos e esfoços otates tem a mesma esão á qe evam-se os tesoes a hamaa solção fametal qe é ma solção eata ão aaetao ea e esão. Além sso ooe mção a oem os sstemas e eqações a seem esolvos. A teação solo estta ooa a foma omo ma estta eage às soltações ao se sbmeta a m aegameto eteo aesetao agas as fações em fção as oções o solo e o to e estta. Uma as vatages e se osea a teação solo estta é a ossblae e se estmaem os efetos a estbção e esfoços os elemetos esttas a foma e a tesae os ealqes feeas toao os oetos mas efetes e ofáves. Etão é motate qe sea avalao o oesso e teação estete ete o solo e a estta. Neste tabalho é aesetaa ma fomlação aa aálse e teação solo-estta tlzao o Métoo os Elemetos e Cotoo e a teoa e Resse aa fleão e laas. São oseaas laas aoaas sobe o solo seo o solo oseao omo m sem-esaço fto. Também fo ealzaa a mlemetação omtaoal a fomlação aesetaa em lgagem Fota.

18 Ialmete é aesetao m esmo a teoa e Resse aa aálse e fleão e laas lo a oseação a eação o solo. Em sega as eqações tegas básas a laa são ezas aa m oto o omío a at o Métoo os Resíos Poeaos e osteomete estas aa m oto o otoo. Os tesoes a solção fametal também são aesetaos assm omo obtas as eqações qe emtem o állo os esloametos e esfoços os otos teos. As tegas e foças e omío elatvas às agas alaas a laa são esevolvas aa agas fomemete stbías e tasfomaas em tegas sobe o otoo a laa. Amte-se qe o omío a laa aoao sobe o solo é vo em éllas taglaes o qalateas ostates e as tegas e omío elatvas à eação o solo são tasfomaas em m somatóo e tegas sobe o omío e aa élla tea e osteomete estas últmas tegas são tasfomaas em tegas sobe o otoo e aa élla. O otoo a laa é setzao em elemetos qaátos qe oem se otíos o esotíos. As eqações tegas a laa são estas em foma setzaa aa foma m sstema e eqações algébas. São estas tês eqações aa aa oto oal o otoo ma aa aa ma as tês eções geealzaas. Como as foças e eação o solo também são ógtas são estas eqações aoas ao sstema ogal osttías elas eqações os esloametos tasvesas os otos staos os etos geométos as éllas. Posteomete são aesetaas as eqações tegas o solo baseaas a Teoa a Elastae Tmesoal aa sólos homogêeos. São mostaas as eqações tegas aa sólos tmesoas aa otos o omío e o otoo. Além sso são aesetaas as eqações tegas o solo qao este é sosto omo m meo otío sem-fto. Em sega mosta-se a alação o MEC às eqações o solo. A sefíe lve o solo é oseaa va em elemetos e otoo (e sefíe) taglaes o qalateas ostates e as eqações o esloameto tasvesal e otos e sefíe o solo são estas em foma setzaa a fm e se obte m sstema e eqações algébas aa o solo.

19 4 Em sega é aesetao o aolameto o sstema e eqações a laa om o sstema e eqações o solo geao m úo sstema e eqações qe emte a aálse a teação laa-solo. É motate efatza qe este tabalho é tlzaa a otação atesaa al oe os íes gegos vaam e a e os latos e a.. Revsão Bblogáfa Estem váos tabalhos qe aboam o Métoo os Elemetos e Cotoo aa aálse e laa sobe base elásta o íga e teação solo-estta os qas algs são estaaos a seg. A fomlação aesetaa o Pava e Vet (985) é eaa à aálse e laas sobe base íga atlamete à aálse e laas e so e m efío. Utlzao a teoa e Khhoff e o Métoo os Elemetos e Cotoo moelam m avmeto omleto om toas as estções mostas o olas. Slva e Vet (990) também eaam-se à aálse e laas om vlação tea em se omío; oém a teoa e fleão e laas tlzaa fo a e Resse. Costa e Bebba (985) Beze (987) Pava (989) Saotzaks e Katskaels (99) e Fahl e El-Zafa (995) tlzaam a teoa e Khhoff aa aálse e laas aoaas em base elásta to Wkle om o MEC oém tlzaam feetes aboages. Costa e Bebba (985) amtam qe a laa tem foma e oções e otoo abtáas. Além sso ooaam a solção fametal o efeto a eação o solo e tasfomaam a tegal e omío em tegal e otoo aa aegameto fome. Já Beze (988) amt a solção fametal aa oblemas e fleão e laas sem a oseação a eação o solo e tato esta eação omo aga o ae e áea. Pava (989) também ão ooo o efeto a base elásta a solção fametal oém oseo a ate o omío aoaa a base elásta va em éllas taglaes. Em aa élla aoto ma aomação lea aa a eação a base elásta seo esta esta em fção os esloametos tasvesas os otos as éllas. Além sso tasfomo a tegal e omío efeete a aa élla em tegal sobe o otoo a élla. Na aboagem ealzaa o Saotzaks e Katskaels (99) a eação o solo oe eee leamete o ão

20 5 leamete a efleão a laa. O oemeto e solção fo baseao a eesetação tegal a efleão aa a eqação b-hamôa o qal a eação a fação qe é ógta fo tataa omo temo e aegameto. Um sstema e eqações ão leaes fo obto e as efleões a sefíe méa a laa foam allaas o meo e m oesso teatvo. El-Zafay e Fahl (995) obtveam a solção fametal oseao as fções e Kelv mofaas e os temos elatvos ao aegameto foam ezos aa asos e aga fomemete stbía e oetaa. Já Jago et al. (99) Rashe et al. (998) Rashe e Alaba (000) Xao (00) Rashe (005) e Rbeo (009) tlzaam a teoa e Resse aa aálse e laas aoaas em fações elástas to Wkle elo Métoo os Elemetos e Cotoo. Jago et al. (99) tlzaam o métoo e Hömae aa tasfoma o sstema e eqações feeas o oblema a fm e obteem as solções fametas oesoetes. As solções fametas e laas esessas em ma fação e Wkle foam eessas o ma ombação lea e fções alaes e e sas evaas. Rashe et al. (998) evaam a solção fametal aa laas e Resse aoaas ma fação e Wkle oe a solção fametal tem tês asos feetes eeeo as ostates o oblema seo qe m os tês asos á hava so evao o Jago et al. (99). Rashe e Alaba (000) aesetaam aálses esttas e oblemas átos baseaas a fomlação e Rashe et al. (998) a qal o efeto o solo é ooao etamete as solções fametas o oblema. Po essa azão a eesetação o solo é eeete a setzação o oblema. Rashe (005) esevolve ma fomlação om o Métoo os Elemetos e Cotoo/Domío aa aálse e laas esessas sobe fações elástas em qe tato o otoo omo o omío são setzaos. A efea fomlação é mas abagete qe a esevolva o Rashe e Alaba (000) os também é vála aa solos ãohomogêeos. Já a aboagem ealzaa o Rbeo (009) ão ooa a solção fametal os efetos a eação o solo. Além sso oem-se tlza valoes feetes aa o mólo e fação em feetes egões o omío á qe o mesmo fo vo em éllas. As éllas amtas foam éllas taglaes ostates e as tegas efeetes a aa élla são tasfomaas em tegas sobe o otoo a élla.

21 6 Jago et al. (99) Rashe et al. (999) e Altoé (009) aalsaam laas e Resse aoaas em fações elástas e Pasteak om o Métoo os Elemetos e Cotoo. Jago et al. (99) tlzaam o métoo e Hömae aa a obteção a solção fametal e tozam fções alaes e sas evaas a solção fametal o oblema. A solção fametal aesetaa o Rashe et al. (999) fo esevolva o Rashe e Alaba (997). A fomlação tem tês asos feetes eeeo as ostates o oblema e oss a mesma oem e sglaae qe os oblemas e elastae e as mesões. Altoé (009) oseo as aboages feetes aa ef eqações aoas ao sstema ogal. Na mea aoo ao sstema as eqações tegas os esloametos tasvesas os otos loalzaos o eto geométo e aa élla e as segas evaas e esloametos tasvesas foam allaas o fómlas e feeças ftas. Assm esta aboagem amt omo ógtas aoas aeas os esloametos tasvesas os otos as éllas. Na sega oseo tato o esloameto tasvesal omo sas segas evaas omo ógtas os otos as éllas. Potato aoo ao sstema tato as eqações tegas os esloametos tasvesas omo as eqações tegas as segas evaas estes esloametos. Pttoe e Vaaso (986) e Fahl e El-Zafa (994) aalsaam laas aoaas em fações elástas om o MEC oseao os moelos: Wkle e Pasteak. Pttoe e Vaaso (986) tlzaam a teoa e laas e Khhoff e aesetaam a solção fametal o oblema omo ma Itegal e Bessel- Foe. Além sso fzeam ma teea aboagem aa a fação elásta oseao o solo omo m sem-esaço seo eessáa mas ma eqação oe foam oseaos o esloameto tasvesal e a essão e otato a fação. Em Fahl e El-Zafa (994) a teoa e laas tlzaa fo a e Resse a qal a solção fametal e emas fções oesoetes foam obtas omo ombações e solções aa o aso e m aâmeto e aa o efeto e m sego aâmeto. Sygellaks e Ba (99) e Pava e Bttefel (997) aesetaam fomlações om o Métoo os Elemetos e Cotoo aa aálse e teação laa-solo tlzao a teoa e fleão e laas e Khhoff e amto a solção fametal e Bossesq-Cet aa as eqações tegas o solo. A tefae

22 7 laa-solo fo va em éllas taglaes as qas os esloametos e a eação e otato vaam leamete. Sygellaks e Ba (99) tlzaam oemetos eseas aa o tatameto as sglaaes e alaam oções e otae as omoetes tageas os esloametos e foças e sefíe em toa a tefae laa-solo o qe emt a oseação e attos. Pava e Bttefel (997) tasfomaam as tegas sobe o omío as éllas em tegas sobe o otoo as éllas. Pava e Meoça (00) aesetaam ma fomlação alteatva e elemetos e otoo aa aálse e teação laa-vga. A teoa tlzaa aa a aálse e laas fo a teoa e Khhoff om tês aâmetos e esloametos oas. O esloameto tasvesal ao logo o elemeto e vga é aomao o m olômo e qto ga. Sbsttem as eessões as foças qe atam a tefae estas em fção os esloametos os ós as vgas as eqações a laa e aoam as eqações tegas e esloametos os ós as vgas ao sstema e eqações a laa. Almea (00) aalso a teação solo ão homogêeo-estta va aolameto MEC/MEF em qe esevolve as fomlações aa a estta atavés o Métoo os Elemetos Ftos tlzao a teoa e Khhoff e as fomlações aa o solo e a sbestta atavés o Métoo os Elemetos e Cotoo em aboagem tmesoal. Xao (00) fez aálse e laas aoaas o solo emegao o MEC om a teoa e Resse e oseo a solção fametal e laas elgaas tamete om a solção fametal a eqação mofaa e Helmholtz. A eação o solo fo amta e as maeas: a mea oseao o moelo e Wkle e a sega oseao o solo omo m sem-esaço fto. Neste últmo aso a solção fametal tlzaa as eqações o solo fo a e Bossesq-Cet. Foam tlzaos elemetos e otoo ostates e éllas teas ostates a setzação seo qe as tegas efeetes às agas tasvesas foam allaas oseao o omío as éllas. Obseva-se qe estem váos tabalhos om o MEC qe aboam a teação solo-estta oseao o solo omo sem-esaço fto tlzao a teoa e Khhoff aa fleão e laas. Etetato este aêa e tabalhos om o MEC qe aalsam teação solo-estta oseao a teoa e Resse aa fleão e laas.

23 8. Obetvos O obetvo este tabalho é o esevolvmeto e ma fomlação e mlemetação omtaoal aa aálse e teação solo-estta elo Métoo os Elemetos e Cotoo tlzao a teoa e Resse aa fleão e laas e amto o solo omo m sem-esaço fto. Seá emegao m moelo e aálse qe osea o aolameto ete as eqações tegas a estta oseaas om a solção fametal a teoa e Resse e as eqações tegas o solo oseaas om a solção fametal e Bossesq-Cet. Neste tabalho as tegas efeetes à eação o solo seão tasfomaas em tegas sobe o otoo as éllas evtao-se assm o állo e tegas sglaes..4 Ogazação a Tese Esta tese é aesetaa em 9 aítlos. O tabalho o-se om ma toção sobe as teoas e laas o Métoo os Elemetos e Cotoo os tos e solções fametas a teação solo-estta e os moelos aa oseação e eações o solo. Aeseto-se também ma evsão bblogáfa e os obetvos esta tese. Em sega o Caítlo é aesetaa a teoa e Resse aa aálse e fleão e laas amto-se qe as foças alaas a laa ozem ma eação o solo. São mostaas as eessões as tesões os mometos e esfoços otates os esloametos geealzaos as efomações eseífas as eqações e eqlíbo e as oções e otoo. No Caítlo é aesetaa a fomlação tlzaa o Métoo os Elemetos e Cotoo alao à teoa e Resse oe são ezas as eqações tegas básas a at o Métoo os Resíos Poeaos. Mosta-se aa a tasfomação as tegas e omío em tegas e otoo e as eessões os esloametos e esfoços os otos teos. No aítlo segte Caítlo 4 é mostaa a mlemetação méa as eqações tegas a laa obtas o Caítlo ateo seo estas eqações setzaas a fm e se obte m sstema e eqações algébas. Também são

24 9 mostaas as fções e teolação oseaas aa os elemetos e otoo tlzaos. Já o Caítlo 5 são aesetaas as eqações tegas o solo baseaas a Teoa a Elastae Tmesoal aa sólos homogêeos. São mostaas as eqações tegas aa sólos tmesoas ftos e as eqações tegas aa sólos tmesoas sem-ftos. Posteomete mosta-se a alação o MEC às eqações o solo assm omo os elemetos e otoo tlzaos aa a sefíe o solo. No aítlo segte Caítlo 6 é aesetaa a mlemetação méa as eqações tegas o solo obtas o Caítlo 5 seo estas eqações setzaas a fm e se obte m sstema e eqações algébas aa o solo. No Caítlo 7 mosta-se o aolameto o sstema e eqações a laa om o sstema e eqações o solo obtos esetvamete os aítlos 4 e 6 geao m úo sstema e eqações aa osea a teação laa-solo. No Caítlo 8 são aesetaos algs eemlos assm omo as esetvas aálses e esltaos. Os esltaos obtos este tabalho são omaaos om esltaos e tabalhos qe tlzam métoos méos om otas aboages o om esltaos e solções aalítas. Falmete o Caítlo 9 são aesetaas as olsões sobe a aálse ealzaa este tabalho.

25 0 CAPÍTULO TEORIA DE REISSNER PARA ANÁLISE DE FLEXÃO DE PLACAS. Itoção Neste aítlo são aesetaas as fómlas básas a teoa e Resse aa fleão e laas (Resse 944; Resse 945; Resse 947) as qas ooa-se a eação o solo. A teoa e Resse basea-se a teoa a Elastae e o ío e Hellge-Resse e emte a oseação e tês oções e otoo o boo ostto-se assm m oblema e tegação e seta oem.. Fomlação Bása Cosea-se ma laa leamete elásta homogêea e sotóa om esessa h ostate e seta a m aegameto tasvesal q o ae e áea. Cosea-se aa m aegameto o ae e áea eesetao a eação o solo (Fga.). Fga. Reesetação o moelo laa-solo

26 Além sso eesetam-se o as ooeaas atesaas oe estão a sefíe méa e a eção tasvesal a laa (Fga.). Fga. Sstema e ooeaas.. Eessões as tesões Reesetao as tesões o as oções e aegameto oseaas as faes a laa são este aso: q e 0 aa h (.) e 0 aa h

27 As tesões aas em fção os esfoços esltates vaam ao logo a esessa a segte foma: M (.a) h Q (.b) h h q q 4 (.) h h As tesões omas qe atam a eção tasvesal são oseaas esezíves em elação às emas... Mometos e esfoços esltates as tesões As eessões os mometos fletoes e e toção M e os esfoços otates Q o ae e ommeto atao a sefíe méa a laa são obtas o tegação as tesões e ao logo a esessa seo: M h h (.a) Q h h (.b) Os setos ostvos esses esfoços estão aos a Fga..

28 Fga. Esfoços esltates: mometos e esfoços otates.. Desloametos geealzaos Os esloametos geealzaos e w qe eesetam esetvamete as otações a omal à sefíe méa os laos e o esloameto tasvesal (fleha) oseaos aa otos a sefíe méa a laa são aos a seg e eesetam a méa oeaa os esloametos v e otos staos ao logo a esessa as eções os eos ooeaos (Resse 947). h v h (.4a) h h w v (.4b) h h h

29 4..4 Mometos e esfoços otates Os mometos e esfoços otates são eessos a seg em fção os esloametos geealzaos e são obtos tlzao-se a teoa a elastae aa eqeos esloametos e íos vaaoas. ( ) q M D (.5a) ( ) Q D w (.5b) oe: = oefete e Posso = elta e Koeke E h D = gez à fleão a laa (.6) E = mólo e elastae logtal 0 = ostate aateísta as eqações e Resse (.7) h..5 Defomações eseífas As eessões as efomações eseífas e fleão e salhates tasvesas em fção os esloametos geealzaos a laa são: (.8a) w (.8b)

30 5 Cabe obseva qe a teoa lássa e Khhoff as efomações salhates tasvesas são oseaas esezíves e tem-se assm 0. Coseqetemete as otações são obtas atavés e evaas a fleha o qe ão ooe a teoa e Resse á qe as efomações salhates tasvesas ão são esezaas...6 Eqações e eqlíbo Fazeo-se o eqlíbo e m elemeto e laa ofome oe se obsevao a Fga.4 e oseao a teoa a elastae aa eqeos esloametos são obtas as segtes eqações e eqlíbo: Q q 0 (.9a) M Q 0 (.9b) Fga.4 Elemeto e laa em eqlíbo

31 6 Sbstto as eessões (.5) em (.9) obtém-se o segte sstema e tês eqações feeas leaes: b 0 (.0) oe eeseta as omoetes o oeao e Nave e sas eessões são mostaas a seg: ( ) D ( ) (.) ( ) D (.) ( ) D (.) seo: = = oeao e Lalae (.4) e b eeseta as omoetes as foças e omío qe este aso são: q b (.5) ( ) b q (.6)

32 7..7 Coções e otoo Sea ma laa oe evem se satsfetas tês oções e otoo o boo. Coseao mostaas a seg. oem se efas as oções e otoo Em : w w (.7) Em : (.8) seo: M Q (.9) e M Q (.0) e aa: = otoo total a laa = ate o otoo oe há esloametos estos = ate o otoo oe há foças geealzaas estas e = foças e sefíe geealzaas = o-seos etoes a omal eteo ao otoo Vale essalta qe o taço ama os símbolos a qe os valoes oesoetes são estos.

33 8 CAPÍTULO O MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO APLICADO À TEORIA DE REISSNER. Itoção São ezas este aítlo as eqações tegas e laas a at o Métoo os Resíos Poeaos tlzao a teoa e fleão e laas e Resse. São aesetaos os tesoes a solção fametal e obtas as eqações aa a esolção o oblema o otoo. Também são obtas as eqações os esloametos e esfoços os otos teos sego Kaam e Telles (988) Kaam (99) e Rbeo (009). No Métoo os Elemetos e Cotoo as eqações feeas goveates o oblema são tlzaas aa obteção e eqações tegas oesoetes. Estas eqações tegas evolveo tegas e omío e e otoo são tasfomaas em eqações tegas aeas e otoo o meo o Teoema a Dvegêa o e Gass-Gee seme qe ossível. Paa a obteção as eqações tegas o MEC eessta e ma solção fametal (Bebba et al. 984). Etão estas eqações oem se obtas tlzao a solção fametal omo fção oeaoa atavés o Métoo os Resíos Poeaos.. Eqações Itegas Sea ma laa efa o m omío Ω eesetao o sa sefíe méa e m otoo eesetao ela lha qe a a. Cosee-se aa qe a laa se eote em estao e eqlíbo seta a m aegameto tasvesal q atao em Ω osso ma esessa ostate h e seta aa a ma foça eea elo solo e aoo om a Fga.. Po mao oveêa aq em ate os esloametos geealzaos e w efos em (.4) seão eesetaos esetvamete o aa geeamete omo k. e o

34 9 a laa são: As oções e otoo oseaas aa as tês eções geealzaas em em (.) seo: (.) Cosee-se também m omío om m otoo qe oteha a laa e omío e otoo e qe também estea em estao e eqlíbo Fga (.). Fga. Regão oteo a laa se sege: Coseao as eqações aesetaas o aítlo ateo têm-se o qe

35 0 a) Paa a egão ( ): Desloametos: k Foças e sefíe: k M (.) Q Defomações eseífas: (.4) Esfoços: M Q D D q (.5) Eqações e eqlíbo: M Q 0 Q q 0 (.6)

36 b) Paa a egão ( ): Desloametos: k Foças e sefíe: k M (.7) Q Defomações eseífas: (.8) Esfoços: M Q D D (.9) Eqações e eqlíbo: M Q F 0 (.0) Q F 0 oe:

37 F k = omoetes as foças e omío efas a fm e se obte a solção fametal e se elaoam om as foças f e últmas se stbem ao logo a esessa omo mostao a seg: f seo qe estas f h F (.) f F h h.. Deção as eqações tegas a at o Métoo os Resíos Poeaos Utlzao as eqações e eqlíbo (.6) e as oções e otoo (.) oe-se etão stb o eo a foma segte aa ma solção aomaa omosta e e : M Q Q q (.) Itegao a mea aela o meo membo e (.) o ates e oseao as eessões (.) obtém-se: M Q M Q (.) Itegao a sega aela o meo membo e (.) o ates e oseao as eessões (.) tem-se: Q q Q q (.4)

38 Desta foma o lao esqeo a eqação (.) oseao as eessões (.) (.) (.) e (.4) oe se esto a foma segte: M Q q Q (.5) o aa: q M Q (.6) seo: Coseao a eessão (.) a eqação (.) toa-se: M Q q (.7) Coseao qe: M M (.8) essaltao qe sto ão sgfa qe e sao a eoae e Bett: M M (.9) etão:

39 4 M M M (.0) Desta foma tlzao (.5) e (.9) obtém-se: q M M (.) Coseao aa as eessões (.4) (.5) (.8) e (.9) em (.7) tem-se: q Q q M (.) o aa: q Q M q (.) Itegao ovamete o ates a mea aela o meo membo e (.) e tlzao (.) fa: M M (.4) Itegao o ates a sega aela o meo membo e (.) e oseao (.7) obtém-se: Q Q (.5)

40 5 Sabe-se qe: aa aa 0 (.6) Etão tem-se aa. Logo oseao (.4) (.5) (.6) em (.) fa: Q Q M q q (.7) o aa tlzao (.0) obtém-se : F Q F Q q q (.8) Coseao tem-se: q F q (.9)

41 6 o aa: q q F (.0) A eessão (.) foee: (.) Etão: (.) Logo a eqação (.0) oe se esta omo: q F (.) As foças e omío F são foças geealzaas oetaas táas alaas em aa ma as tês eções geealzaas e m oto eteete à egão o qal seá hamao e oto aga o oto fote e eesetao o. Essas foças oem se eesetaas o: P F (.4) oe:

42 7 P (.5) = fção geealzaa elta e Da om sglaae em. A fção elta e Da tem a segte oeae: g( ) se g ( ) (.6) 0 se Seo agoa eteete à egão e oseao (.4) a mea tegal e (.) fa: F P (.7) o aa oseao (.6): P F (.8) E oseao (.5): F (.9) Sea agoa aa aga oetaa geealzaa táa atao eeetemete. Etão oe-se eseve: P P (.40)

43 8 oe: = ote fote o sea oto oe são alaas as agas oetaas geealzaas táas = oto amo o sea oto oe são obsevaos os efetos as agas oetaas geealzaas táas alaas = esloameto geealzao a eção o oto amo oesoete a ma foça táa alaa a eção o oto fote = foça e sefíe geealzaa a eção o oto amo oesoete a ma foça táa alaa a eção o oto fote Coseao as agas táas atao em aa ma as tês eções geealzaas oe-se etão eseve tês eqações a foma segte seo válas aa m oto qalqe stao o teo a egão : q (.4) oe: q = aegameto tasvesal alao à laa = eação o solo. Eqação Itegal aa m Poto o Cotoo Paa esolve o oblema o otoo toa-se eessáo eseve a eqação (.4) aa m oto stao o otoo a laa os a eqação (.4) foee os esloametos em qalqe oto oto o teo a laa ese qe os valoes as foças e sefíe e esloametos e toos os otos

44 9 o otoo seam oheos. Etão osea-se a laa eesetaa a Fga. om o oto stao o otoo e evolvo o m semílo e ao e etao o oto. Fga. Plaa om oto o otoo Neste aso a eqação tegal (.4) aa os esloametos o oto fa: q (.4) Poe-se esta seaaamete o lmte e aa tegal e (.4) qao 0. A sega tegal em (.4) oe se esta omo:

45 0 lm lm 0 0 lm 0 (.4) oe a mea tegal à eta oe se eesetaa o: lm lm 0 0 lm 0 (.44) A mea tegal à eta a eqação (.44) se ala evo à otae e e a sega tegal à eta tamete om o lao esqeo a eqação (.4) foee: lm lm 0 0 (.45) os: lm lm 0 0 (.46) Etão: lm 0 (.47) A sega tegal à eta em (.4) eve se teetaa o seto e valo al e Cahy a estêa oe se emostaa se satsfaz a oção e Höle: B (.48) oe B e são ostates ostvas.

46 As tegas estates em (.4) ão aesetam oblemas os ossem sglaaes mas faas. Assm oe-se eseve aa m oto o otoo: q (.49) oe a sega tegal à eta eve se teetaa o seto e valo al e Cahy e o oefete otoo o oto. efo em (.47) eee a geometa o Assm oe-se osea a eqação (.49) esta aa m oto qalqe oe: qao é oto o teo qao é oto e otoo save (.50).4 Solção Fametal Na aálse e oblemas elo Métoo os Elemetos e Cotoo são tlzaas eqações tegas evolveo solções fametas seo estas etemaas e foma atla e aoo om o to e oblema a se aalsao. Desta foma aa esevolve ma fomlação qe emta alação o Métoo os Elemetos e Cotoo é eessáa ma solção fametal. Esta solção eeseta a solção as eqações feeas o oblema as eções geealzaas oseaas aa m oto amo evo a foças oetaas geealzaas táas alaas em m oto.

47 .4. Desloametos geealzaos Seam as eqações (.0) aa agas oetaas táas a eção k o oto alaas seaaamete. Neste aso as eqações (.0) oem se eesetaas omo: b 0 (.5) k k seo: b k k (.5) oe é efa o tem... O amo e esloametos hamaa e solção fametal. k eeseta a solção a eqação (.5) e é Sego Va e Weeë (98b) ma solção qe satsfaz as eqações (.5) fo obta elo métoo e Hömae aa elas eessões: 8D 8B z l z 8 Az 8D l z z l z 8D 8l z (.5) oe: = stâa ete o oto fote e o oto amo (.54)

48 (.55) seo: (.56) z (.57) z z A ( z) K0 z K z (.58) z z B ( z) K0 z K z (.59) seo K 0 e K fções e Bessel mofaas. Neste tabalho as fções e Bessel foam allaas atavés e easões olomas (Abamowtz e Steg 965)..4. Foças e sefíe geealzaas Sbstto as evaas e (.5) em (.5) e em sega sbstto as eessões esltates em (.) esltam as eessões segtes qe eesetam as foças e sefíe efeetes à solção fametal: 4 4 A zk 8 A zk 4A B A 8 l z

49 4 (.60) oe é a evaa e em elação à omal o oto seo eessa o: (.6) Vale essalta qe as evaas e são em elação às ooeaas o oto (oto amo) e oseo-se qe: z A z K A B z K A (.6) e Cotoo.5 Tasfomação as Itegas e Foças e Domío em Itegas A mea tegal e omío à eta qe aaee em (.49) eeseta a otbção a aga tasvesal eeseta a eação o solo. q e a sega tegal e omío à eta

50 5 A mea tegal e omío à eta oe se tasfomaa em tegal e otoo aa váos tos e aegameto. Neste tabalho seá oseao qe a aga fomemete stbío. Tem-se: q é m aegameto I q (.6) solção: Coseao a eqação e Posso segte aa a qal v é ma v (.64) e alao o teoema a vegêa em (.6) tem-se seo q = q = te: I (.65) q v seo e aoo om Va e Weeë (98a) e Kaam (986): v 8 D 4l z 5 4l z v 8 D l z z 4l z 5 (.66) Sea o omío a laa vo em éllas e seam também: = otoo a élla = omío a élla N = úmeo total e éllas a laa

51 6 A sega tegal e omío à eta em (.49) oe se esta omo ma soma e tegas sobe o omío e aa élla e estas tegas oem se tasfomaas em tegas sobe o otoo e aa élla. Tem-se: II (.67) Coseao a eqação e Posso (.64) oe-se eseve: II (.68) Amto-se a vsão o omío em éllas tem-se: N II (.69) Alao o teoema a vegêa em (.69) tem-se seo em aa élla = = ostate: N v II (.70) Assm oseao as eqações (.65) e (.70) em (.49) as eqações (.49) oem se estas omo mostaas a seg oteo aeas tegas e otoo: v q N v (.7)

52 7.6 Eessões aa Desloametos e Esfoços os Potos Iteos Os esloametos e esfoços os otos teos também oem se allaos o meo e eqações tegas omo seá mostao a seg..6. Desloametos Os esloametos os otos teos são obtos sao a eessão (.7) om. Logo aa m oto teo qalqe tem-se: v q N v (.7).6. Mometos e esfoços otates O állo os mometos e esfoços otates os otos teos é ealzao atavés as eessões (.5) oe os esloametos e as evaas e esloametos qe elas aaeem são sbsttíos elas eessões (.7) e sas esetvas evaas em elação às ooeaas o oto. Neste aso oseao (.55) e (.56) tem-se: (.7) Coseqetemete e (.6) (.6) e (.7) vem: z

53 8 A K z A A K z B 0 K z K K (.74) Resltam etão eessões om as segtes fomas aa mometos e esfoços otates: a) Mometos: M k k k k q w w q N (.75) b) Esfoços otates: Q k k k k N w w q (.76)

54 9 Os tesoes k e k w foam obtos oseao-se qe são os temos qe mltlam esetvamete as foças e sefíe esloametos k os k e a aga stbía q o a eação o solo qao a sbsttção as eessões os esloametos os otos teos e sas evaas as eessões os esfoços. a) Paa k tem-se: Na eessão os mometos: D D (.77a) Na eessão os otates: D D (.77b) Devao as eessões (.5) em elação às ooeaas o oto obtém-se aós eaga os temos: (4A 4zK ) 8 A zk 4D A ( ) 4

55 40 8D (l z ) ( ) z (l z ) 8 8D ( ) (.78) temos: A sbsttção e (.5) e (.78) em (.77) foee aós eagaem-se os (4A zk )( 4 4A ) 8A zk ( ) ( ) l z 8 ( ) B A (.79) b) Paa k tem-se: Na eessão os mometos: D( D( ( ) ) ) ( ) (.80a)

56 4 Na eessão os otates: D (.80b) D Coseao as eessões (.60) e evao em elação às ooeaas o oto obtém-se aós eaga os temos: A zk A zk A K z zk A 8 zk A K z zk A A zk A A A zk 4 4 (.8) Sbstto (.60) e (.8) em (.80) são obtas aós eaga os temos:

57 4 A zk A D K z zk A zk A K z zk A A zk A zk A D 4 4 zk A A zk A D 4 4 A z B z D 4 (.8) ) Paa w tem-se: Na eessão os mometos: ) ( ) ( v v v v D w ) ( ) ( (.8a) Na eessão os otates: v v D w ) ( (.8b)

58 4 Coseao as eessões (.77) oem-se eseve as eessões (.8) omo: v v v v D w ) ( ) ( v v D w ) ( (.84) Devao-se as eessões (.66) em elação às ooeaas o oto obtém-se aós eaga os temos: 4l 4 4l 64 z z D v (.85) 5) )(4l ( 6 ) (4l ) ( 8 z z z D v ) )(4l ( 8 4 z z A sbsttção e (.66) e (.85) em (.84) foee aós eaga os temos: z w ) ( ) )( ( ) (4l 64 ) ( ) ( 4 (.86) z w ) ( ) (l 8

59 44 CAPÍTULO 4 IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA DAS EQUAÇÕES DA PLACA 4. Itoção Neste aítlo são aesetaos os oemetos tlzaos a mlemetação méa as eqações tegas o aítlo ateo. Paa sto as eqações tegas são estas em foma setzaa seo o otoo a laa setzao em elemetos e otoo qaátos teo geometa lea e o omío em éllas taglaes o qalateas ostates. Ialmete mota-se m sstema e eqações omosto e tês eqações tegas e esloametos aa aa oto oal o otoo seo ma eqação aa aa ma as tês eções geealzaas. Etão o úmeo e eqações o sstema é gal a tês vezes o úmeo e ós. As ógtas o oblema são este aso os esloametos o as foças e sefíe em aa oto oal a laa e as foças e eação o solo. Logo o úmeo e eqações é meo qe o úmeo e ógtas seo etão oseaas eqações aoas a este sstema osttías elas eqações os esloametos tasvesas os otos staos o eto geométo e aa élla. Aa são mostaas este aítlo as eqações setzaas aa o állo os esloametos e esfoços os otos teos. 4. Dsetzação as Eqações Itegas Paa a esolção méa as eqações tegas aesetaas o aítlo ateo o otoo a laa é vo em elemetos aa m teo m otoo. Além sso o otoo e aa élla é vo em elemetos e otoo os qas e são allaos o teolação os valoes oas. Paa aa oto oal têm-se tês omoetes e esloameto e tês e foças e sefíe seo ma aa aa eção geealzaa.

60 45 Neste tabalho são tlzaos elemetos e otoo teo geometa lea e oeo se otíos o esotíos e éllas teas taglaes ostates omo mostao a Fga 4. o também qalateas. Nos atos a laa oem se oseaos ós los. Fga 4. Plaa va em elemetos e otoo e éllas teas 4.. Sstema e eqações A eqação (.7) é esta em foma setzaa aa aa oto oal e sbstto-se as tegas em o somatóos e tegas em seo o omío e tegação o elemeto. Além sso as tegas estas aa o otoo e aa élla são sbsttías o somatóos e tegas em. Paa m oto qalqe o elemeto seão oseaas as eessões segtes aa teola os esloametos e foças e sefíe em fção os valoes oas:

61 46 N (4.) N seo: N = matz qe otém as fções e teolação e = vetoes qe otêm as omoetes os esloametos e foças e sefíe esetvamete elatvos aos otos oas o elemeto oseao. Coseao o otoo setzao em elemetos e otoo e oseao as eqações (4.) a eqação (.7) oe se esta a segte foma setzaa: C e e e U N P N q s Γ Γ Γ Ne s (4.) Γ N oe: C = matz os elemetos são os qe aaeem a eqação (.50) = veto esloameto o oto fote e = úmeo e elemetos o otoo U e P = matzes qe otêm as omoetes os tesoes a solção fametal elatvos aos esloametos e foças e sefíe esetvamete s = veto as omoetes são eessas o: s k vk k (4.)

62 47 N e = úmeo e elemetos o otoo e aa élla tea N = úmeo total e éllas a laa Toa-se eessáo eseve a feeal e otoo em fção e ma ooeaa tísea amesoal (ve tem 4.) á qe as fções e teolação são estas esse sstema. Assm seo J o aobao a tasfomação é saa a eessão: J (4.4) Chamao: G U N (4.5) Γ ^ H P N (4.6) b q (4.7) s m (4.8) s a eqação (4.) oe se esta omo: e e ^ C G H b m (4.9) e N Ne o aa: e e H G b m (4.0) e N Ne

63 48 oe: ^ H H aa (4.) H ^ H C aa No aso e tegas eglaes (qao o oto ão eteete a ) as tegações méas as eessões (4.5) (4.6) (4.7) e (4.8) são esolvas atavés a qaata e Gass. Deste moo tlza-se a eessão (4.4) aa sbstt a feeal o otoo e as tegas assm obtas são etão sbsttías o somatóos aos as segtes eessões: Γ K U N U N U N J J k (4.) k k Γ K P N P N P N J J k (4.) k k Γ K s s s J J k (4.4) k k Γ K s s s J J k (4.5) k k oe: K = úmeo total e otos e tegação k = fato e eso assoao a aa oto e tegação k

64 49 Paa o aso e tegas sglaes qe ooem qao o oto etee a estas tegas também são allaas meamete oém tlzam-se oemetos eseas. Eseveo a eqação (4.0) aa toos os otos oas o otoo obtém-se m sstema e eqações o qal o úmeo total e eqações é gal a tês vezes o úmeo e ós a segte foma: H G b m (4.6) oe: e = vetoes qe otêm os valoes oas os esloametos e foças e sefíe esetvamete b = veto qe otém a aela a aga stbía m = veto qe otém a aela a eação o solo H e G = matzes qe otêm as tegas sobe os elemetos e otoo Vale essalta qe os vetoes e eve-se te aa aa eção oal m os os valoes omo ógta e o oto esto. Cabe obseva aa qe a matz H está lía a aela qe otém o temo. O sstema eesetao ela eqação (4.6) oea se esolvo se as ógtas fossem aeas esloametos e foças e sefíe o otoo. Como as foças e eação o solo também são ógtas eqações aoas a este sstema são eessáas. São etão oseaas as eqações os esloametos tasvesas os otos staos os etos geométos as éllas. Estas eqações são smlaes às estas aa os ós o otoo (.7) aeas se feeao elo oefete qe agoa vale. Desta foma alao a teea as eqações (.7) a toos os otos oseaos as éllas em qe este o otato om o solo tem-se aós a setzação: I ^ H G b m (4.7)

65 50 oe o íe a qe os vetoes e matzes oesoetes efeem-se aos otos teos. Agao as eqações (4.6) e (4.7) tem-se m úo sstema a segte foma: ^ s s b b G G I H 0 H (4.8) oe: = veto fomao elos esloametos oas o otoo = veto fomao elos esloametos tasvesas e toos os ós as éllas b = veto fomao elo aegameto tasvesal à laa = veto fomao ela otbção a eação o solo 4.. Cállo os esloametos os otos teos Aós a esolção o oblema o otoo oem se allaos os esloametos e esfoços os otos teos. A fm e se alla os esloametos os otos teos a eqação (.7) é setzaa ao logo o otoo a laa e as éllas aálogo ao qe fo feto a eqação (.7). Etão aa aa oto o teo a egão tem-se: e k Γ e k Γ e k k k k q Γ s N P N U N Ne k Γ k s (4.9)

66 5 4.. Mometos e esfoços otates os otos teos Coseao as eqações (.75) e (.76) setzaas ao logo o otoo a laa e as éllas obtêm-se as eessões os mometos e os esfoços otates os otos teos. Assm aa aa oto teo tem-se: a) Mometos: M e e e U ' N P ' N q W k k k k k k q ' Ne W ' (4.0) k k N b) Esfoços otates: Q e e e ' ' U ' N P ' N q W k k k k k k '' Ne W '' (4.) k k N oe U ' U " P ' P " aesetaos ateomete. W ' e W " são matzes qe otêm os tesoes 4. Elemetos e Cotoo O to e elemeto e otoo tlzao este tabalho é o elemeto qaáto otío o esotío. Desta foma os esloametos e os esfoços ao logo e aa elemeto são aomaos o fções olomas qaátas toao-se eessáos tês otos oas em aa elemeto.

67 5 4.. Elemeto qaáto otío Um elemeto é otío qao oss otos oas as etemaes seo estes otos oms ete elemetos aaetes haveo este aso otae as fções evolvas esses otos ofome a a Fga 4.. Fga 4. Elemetos e otoo qaátos otíos são: As fções e teolação aas em fção a ooeaa amesoal N N N (4.) e ossem valo táo o oto oal oseao e zeo os otos os.

68 5 4.. Elemeto qaáto esotío No elemeto esotío estem otos oas afastaos as etemaes o elemeto e otato ão há otae as fções evolvas ete elemetos aaetes (Fga 4.). Este elemeto emte a moelagem e otoo oe estem esotaes e foças e sefíe o e geometa o sea qao há esotae a omal e as foças e sefíe ão são oheas em ehm os os elemetos aaetes. Fga 4. Elemetos e otoo qaátos esotíos Sas fções e teolação são: a l b a l b l l l N b l a l l b a l N b l b a l a l l l N (4.)

69 54 oe: l = ommeto total o elemeto a = afastameto o meo ó o elemeto em elação à etemae b = afastameto o últmo ó o elemeto em elação à etemae 4.4 Nó Dlo O ó lo é tlzao qao em ma etemaa eção oal geealzaa o oto e teseção e os elemetos oe esta esotae a omal o a oção e otoo as foças e sefíe são oheas os os elemetos aaetes o o esloameto é oheo m elemeto e a foça e sefíe é ohea o oto. Cosea-se omo se hovesse os otos oas o mesmo oto geométo aa m eteeo a m elemeto feete.

70 55 CAPÍTULO 5 EQUAÇÕES INTEGRAIS DO SOLO 5. Itoção Ialmete este aítlo são obtas as eqações tegas aa m sólo tmesoal fto baseaa a teoa a elastae tmesoal aa sólos homogêeos. Posteomete são aesetaas as eqações tegas aa sólos sem-ftos. Paa alação o Métoo os Elemetos e Cotoo a solção fametal tlzaa aa o solo este tabalho é a solção e Bossesq-Cet á qe esta é vála aa omíos sem-ftos e se oto e alação a aga táa é m oto qalqe a sefíe. Da mesma foma omo fo feta aa a laa a sefíe o solo é setzaa em elemetos e sefíe taglaes o qalateas ostates. E o fm aeseta-se a eqação tegal aa o esloameto vetal e m oto qalqe o meo otío em fção os valoes oas e toos os elemetos e otoo. 5. Eqação Itegal aa m Sólo Tmesoal Sea m oo e foma abtáa elmtao o ma sefíe ofome mostao a Fga 5.. A egão teo o sólo é aa o. Cosee-se aa qe o sólo estea em estao e eqlíbo e qe oss omotameto elásto lea. As tesões atates em m elemeto ftesmal e m sólo tmesoal são mostaas a Fga 5.. Fazeo-se o eqlíbo o elemeto obtêm-se as segtes eqações e eqlíbo: b 0 (5.)

71 56 oe b são as omoetes e foças e volme as eções e. Fga 5. Sólo tmesoal Fga 5. Tesões atates em m elemeto ftesmal o sólo

72 57 As oções e otoo oseaas aa as tês eções o sólo são: em em (5.) seo: = esloametos = foças e sefíe = otoo (sefíe) total o sólo seo estas = ate o otoo (sefíe) oe os esloametos são estos = ate o otoo (sefíe) oe as foças e sefíe são Vale essalta qe o taço ama os símbolos a qe os valoes oesoetes são estos. As foças e sefíe são eessas o: (5.) oe: = o-seos etoes a omal eteo ao otoo A eção as eqações tegas é obta este tabalho elo Métoo os Resíos Poeaos. Assm tlzao as eqações e eqlíbo (5.) e as oções e otoo (5.) oe-se stb o eo a foma segte aa ma solção aomaa omosta e fção oeaoa: e tlzao a solção fametal omo

73 58 b (5.4) Itegao a mea aela o meo membo e (5.4) o ates e oseao as eessões (5.) obtém-se: b b (5.5) Sbstto (5.5) em (5.4) e amto qe a eqação (5.5) toa-se: b (5.6) Utlzao a eoae e Bett tegao a sega aela o meo membo e (5.6) o ates e oseao a eessão (5.) tem-se: (5.7) Sbstto (5.7) em (5.6) tem-se: b (5.8) Etão a eqação (5.4) toa-se: b (5.9)

74 59 A eessão (5.) foee: (5.0) Etão: (5.) Logo a eqação (5.9) oe se esta omo: b (5.) Coseao a solção fametal elatva a ma foça oetaa táa e eção alaa a eção o omío a eqação e eqlíbo (5.) oe se esta omo: 0 P (5.) o aa: P (5.4) oe é a fção elta e Da aa em (.5).

75 60 Sabeo-se qe a tegação a fção e Da ao logo o omío foee m valo táo (.9) oe-se eseve: P P (5.5) Coseao (5.5) em (5.) e amto qe as agas táas atem em aa ma as tês eções geealzaas oe-se etão eseve a eqação tegal aa m sólo tmesoal vála aa m oto qalqe stao o teo a egão : b (5.6) 5. Eqação Itegal aa m Poto o Cotoo e m Sólo Tmesoal A Eq. (5.6) foee os esloametos em qalqe oto o teo o sólo tmesoal ese qe os valoes as foças e sefíe e os esloametos e toos os otos o otoo seam oheos. Paa esolve o oblema o otoo toa-se eessáo eseve a eqação (5.6) aa m oto stao o otoo a egão a se aalsaa. Etão tlzao-se o mesmo oemeto a seção. osea-se o oto stao o otoo e evolvo o m hemsféo e ao e etao o oto. Assm a eqação tegal (5.6) aa os esloametos o oto fa: b (5.7) 0. Poe-se esta seaaamete o lmte e aa tegal e (5.7) qao

76 6 Semelhate ao qe fo oseao a seção. a aela qe aeseta sglaae fote é aa ela sega tegal e (5.7) seo esta teetaa o seto e valo al e Cahy. As tegas estates em (5.7) ão aesetam oblemas os têm sglaaes mas faas. Assm oe-se eseve a eqação (5.6) aa m oto stao o otoo omo: b (5.8) oe o oefete é efo omo em (.47) e eee a geometa o otoo o oto. Potato a Eq. (5.8) oe se esta aa m oto stao o omío o o otoo oe: qao etee ao omío o sólo qao etee à sefíe o sólo (5.9) As eessões a solção fametal aa este aso oem se eotaas a efeêa Bebba et al. (984). 5.4 Eqações Itegas aa o Sólo Tmesoal Sem-Ifto Neste tabalho etee-se esta a teação laa-solo oe o solo é sosto m meo otío sem-fto. Assm eqações semelhates às eqações eesetaas em (5.8) oem se obtas e este aso as ostates tato aa o omío omo aa o otoo são aas o.

77 6 Na fomlação oosta aeas os esloametos vetas a tefae laa-solo seão omatblzaos e otato aeas a teea as tês eqações e (5.8) seá oseaa. Além sso a aela oesoete às foças e sefíe fametas a Eq. (5.8) se alam a sefíe lve o solo. Logo a eqação tegal aa o esloameto vetal é aa o: b (5.0) oe: = foça e sefíe a eção vetal b = foça e volme a eção vetal = solção fametal o esloameto a eção vetal o oto amo oesoete a ma foça táa alaa a eção vetal o oto fote. Amto as foças e volme esezaas a Eq. (5.0) toa-se: (5.) 5.4. Solção fametal aa otos o omío o solo A solção fametal tlzaa aa otos o teo o solo oseao omo m meo otío sem-fto é a solção fametal e Ml aa o: 4 4 s 8 s s R 6 Gs s R R R 4 R s 5 R R 4 6 R 4 (5.) seo:

78 6 R (5.) R (5.4) R (5.5) R4 (5.6) e esetvamete = ooeaas o oto fote e o oto amo s = oefete e Posso o solo G s = mólo e elastae tasvesal o solo qe se elaoa om o mólo e elastae logtal E s o solo ela eessão: G E s s s (5.7) 5.4. Solção fametal aa otos a sefíe o solo Como meoao ateomete as solções fametas são etemaas e aoo om o to e oblema a se aalsao. Desta foma qao a eqação (5.) tato o oto omo o oto são amtos a sefíe o solo oe-se aota a solção fametal e Bossesq-Cet qe é m aso atla a solção fametal e Ml qao 0 Assm toa-se:. s (5.8) G s

79 O Métoo os Elemetos e Cotoo alao às Eqações Itegas o Solo A fm e se esolve meamete as eqações tegas elo Métoo os Elemetos e Cotoo as eqações tegas são sbsttías o m oto e eqações setzaas. Paa sto osea-se a egão a sefíe o solo em otato om a laa va em elemetos e otoo aa os qas são efas fções e teolação Elemetos e otoo aa a sefíe lve o solo De m moo geal a fção qe eeseta a vaação a foça e sefíe qe ata em m elemeto o otoo o solo oe se esta a segte foma: (5.9) oe: = matz as fções e teolação = veto qe otém os valoes as foças e sefíe os otos oas o elemeto Neste tabalho são oseaos elemetos taglaes o qalateas ostates aa m teo m úo oto oal stao em se eto geométo e otato a fção e teolação oesoete é táa. Logo a eessão (5.9) toa-se: te (5.0) Amto a setzação a egão a sefíe o solo em otato om a laa em elemetos taglaes o qalateas ostates oe-se osea a Eq. (5.) em foma setzaa sbstto-se a tegal o m somatóo e tegas e aa elemeto. Coseao também a Eq. (5.0) obtém-se: