Integração de Monte Carlo

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Jonathan Benevides Tomé
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1 Integação e Monte Calo Ilumnação e FotoRealsmo uís Paulo Peoto os Santos htt://

2 Cometêncas GERAIS : Relacona os váos métoos e lumnação global com o moelo geal sustentao ela equação e eneng neno quas os enómenos e lumnação moelaos; Pojecta mlementa e avala soluções aa novos oblemas e lumnação o ecombnação e soluções conhecas; Reconhece as lmtações unconas e/ou e esemenho assocaas a caa algotmo e lumnação global; ESPECÍFICAS : Ilumnação e Fotoealsmo

aa novos oblemas e lumnação o ecombnação e soluções conhecas; Reconhece as lmtações unconas

3 Motvação A equação e eneng não tem solução analítca Os algotmos e eneng calculam soluções numécas aomaas O omíno e ntegação semesea é scetzao e são selecconaas amostas este omíno sceto A contbução e caa amosta é aconaa ao esultao nal com um etemnao eso w : o ntegal tansoma-se numa soma A selecção e quas e quantas as ecções a amosta e qual o eso w e caa amosta etemnam a qualae e esemenho os algotmos e lumnação global Ilumnação e Fotoealsmo 3 s e cos e w cos

nal com um etemnao eso w : o ntegal tansoma-se numa soma A selecção e quas e quantas as ecções a amosta e qual o

4 Ray Tacng Clássco O ay tacng clássco seleccona etemnstcamente quas as ecções a amosta com w =: IUMIAÇÃO DIRECTA: Amostagem as ontes e luz os estas ovavelmente coesonem a mámos a aânca ncente REFEXÃO ESPECUAR: Amostagem a ecção e eleão esecula eal os esta coesone a um mámo a BRDF TRASMISSÃO ESPECUAR : Amostagem a ecção e tansmssão esecula eal os esta coesone a um mámo a BRDF Ilumnação e Fotoealsmo 4

REFEXÃO ESPECUAR: Amostagem a ecção e eleão esecula eal os esta coesone a um mámo a BRDF TRASMISSÃO

5 Ray Tacng Clássco A selecção etemnístca e um númeo lmtao e ecções e amostagem esulta em: Descontnuaes abutas ncalmente as esultantes e eetos e lumnação alasng Smulação e um númeo lmtao e eetos e lumnação Ilumnação e Fotoealsmo 5

ncalmente as esultantes e eetos e lumnação alasng

6 Integação e Monte Calo: Fomulação Objectvo: calcula o ntegal e no omíno D: I D O valo eseao e uma unção aleatóa é o valo méo a unção calculao sobe um conjunto e valoes etencentes ao omíno a unção e stbuíos com obablae : E D O valo eseao e uma unção é aomao ela méa e um númeo e amostas aleatóas - convege aa o valo coecto quano o númeo e amostas se aoma e nnto e os Ganes úmeos: E Ilumnação e Fotoealsmo 6

stbuíos com obablae : E D O valo eseao e uma unção é aomao ela méa e um númeo e amostas aleatóas -

7 Integação e Monte Calo: Fomulação Ilumnação e Fotoealsmo 7 Combnano estes os esultaos oemos constu um ntegao numéco <I> aa estma o valo o ntegal: O ntegao é com D D D E I I I I lm O ntegal oe se estmao elo somatóo esao e amostas e geaas aleatoamente

aa estma o valo o ntegal: O ntegao é com D D D E I I I I lm O

8 Integação e Monte Calo: Dstbução Unome Ilumnação e Fotoealsmo 8 D Este ntegao numéco emte aoma o valo o ntegal selecconano estocastcamente ontos amostas no omíno a unção! Se a stbução e obablae usaa aa seleccona os ontos e amostagem é unome então toos os ontos têm a mesma obablae O ntegao assa a se: D D *

9 Integação e Monte Calo: Cálculo e Dstbução unome Dstbução baseaa numa unção s Ilumnação e Fotoealsmo 9 a b a b c a b c c c c b a b a b a ; ; ; ; ; b a b a b a b a b a s s s c s c cs cs ; ; ; ;

10 Integação e Monte Calo: Dstbução Unome I c c c c 3 3 Valoes aa =5 ξ I 3 P I Ilumnação e Fotoealsmo

76 476 9 06 8 48 8 009 6 36 05 45 345 7 6 5 4 3

11 Integação e Monte Calo: Sem-Esea Unome Ilumnação e Fotoealsmo AMOSTRAGEM UIFORME DA SEMI-ESFERA s cos cos O ângulo sólo a sem-esea é π logo ω=/ π Seleccona as ecções aleatoamente e segu o ao com ecção cos φ θ Ψ

12 Monte Calo ay tacng Ilumnação e Fotoealsmo e cos Raânca electa o na ecção ω e Raânca auto-emta o na ecção ω Raânca electa o na ecção ω eva a lumnação ecta cos Raânca electa o na ecção ω eva a lumnação necta

13 Monte Calo ay tacng Ilumnação e Fotoealsmo 3

14 Monte Calo ath tacng Paa caa el gea aos máos cujas ecções são selecconaas estocastcamente sobe a áea o el As contbuções estes aos são ntegaas usano o ntegao e Monte Calo aa calcula o valo aquele el Quano um ao ntesecta um objecto: Calcula lumnação ecta saano shaow ays Seleccona estocastcamente uma únca ecção e amostagem na sem-esea Ilumnação e Fotoealsmo 4

calcula o valo aquele el Quano um ao ntesecta um objecto: Calcula lumnação ecta saano

15 Monte Calo ath tacng Ilumnação e Fotoealsmo 5

16 Monte Calo ath tacng o each el on the mage lane { =0 o =0 ; < ; ++ ay = select stochastcally &ob a[] += ath_tace ay 0 / ob a[] /= ; } ath_tace ay eth { ont = ntesect ay scene a = ect_lghtng ont // tace shaow ays eth < MAX_DEPTH sec_ay = select stochastcally &ob a += BRDF * ath_tace sec_ay eth++ * cosθ / ob etun a } Ilumnação e Fotoealsmo 6

ntesect ay scene a = ect_lghtng ont // tace shaow ays eth < MAX_DEPTH sec_ay = select

17 Integação e Monte Calo : Vaânca O ocesso estocástco ntouz vaânca ececonaa como uío Conell bo Path Tacng s; 4.3 seg A vaânca vaa com / o esvo aão com / Paa euz o uío a metae ecsamos e 4 vezes mas amostas *4 Ilumnação e Fotoealsmo 7

3 seg A vaânca vaa com / o esvo aão com / Paa euz o uío a

18 Integação e Monte Calo : Vaânca Conell bo Path Tacng s; 4.3 seg Conell bo Path Tacng 4s; 75 seg Ilumnação e Fotoealsmo Conell bo Path Tacng 6s; 7.7 seg Conell bo Path Tacng 5s; 94.4 seg 8

19 Integação e Monte Calo Reução a vaânca Aumento o númeo e amostas Amostagem Estatcaa Amostagem o Imotânca Ilumnação e Fotoealsmo 9

20 Integação e Monte Calo: estatcação As amostas oem se melho stbuías no omíno se este o subvo em subomínos sjuntos stata e o ntegal calculao seaaamente em caa estato m=0 m= m= 4 mm m0 m 4 m nm m m0 nm m Ilumnação e Fotoealsmo 0

e o ntegal calculao seaaamente em caa estato 6 5 4 3 m=0 m=

21 Integação e Monte Calo: estatcação I c c c c 3 3 Valoes aa m==5 samle e statum ξ αj I m ota: I=35 e <I>=. com unome Ilumnação e Fotoealsmo

22 Integação e Monte Calo: estatcação Ilumnação e Fotoealsmo AMOSTRAGEM ESTRATIFICADA DA SEMIESFERA s cos O ângulo sólo a semesea é π logo ω=/ π Seleccona as ecções com M stata em θ e stata em ψ: O ntegao é: 0 0 cos * M j M M j cos

23 Integação e Monte Calo: motânca Dstbução e obablae unome : aa seleccona as amostas não é usaa nomação aceca o ntegano ; Algumas ates e contbuem mas aa o valo o ntegal: aquelas one o valo e é mao; Se tem uma oma smla a então as amosta caão localzaas com mao obablae nas ates mas motantes o omíno =/5 =/ Amostagem Unome Ilumnação e Fotoealsmo Amostagem o Imotânca 3

24 Integação e Monte Calo: motânca I 4 Valoes aa =5 c ξ c c c I ota: I=35 e <I>=. com unome Ilumnação e Fotoealsmo

25 Integação e Monte Calo: motânca Ilumnação e Fotoealsmo 5 s cos Integano é um outo: seleccona um os actoes. COSIE WEIGTHED IMPORTACE SAMPIG: cos sn cos cos

26 Monte Calo: bas Quano aa a emssão e aos secunáos ath length? Usa uma ounae máma a Quano a contbução eseaa e um ao é neo a um ao lmte Estes são métoos etemnístcos que aectam o valo o ntegal bas! not base base lm I I lm I I Ilumnação e Fotoealsmo 6

27 Monte Calo: oleta ussa Den a obablae α e temna a tavessa não saa um ao secunáo Antes e saa um ao gea um númeo aleatóo ξ unomemente stbuío em [0 [ Se ξ <= α então não saa o ao Se ξ > α então saa o ao Uma vez que há uma obablae α e não saa um ao a contbução os aos saaos eve se multlcaa o /- α aa comensa aqueles que não são saaos? 0: Ilumnação e Fotoealsmo 7

28 Monte Calo: oleta ussa o each el on the mage lane { =0 o =0 ; < ; ++ ay = select stochastcally &ob a[] += ath_tace ay / ob a[] /= ; } ath_tace ay { ont = ntesect ay scene a = ect_lghtng ont // tace shaow ays ξ > α sec_ay = select stochastcally &ob a_ncent = ath_tace sec_ay / ob * α a += BRDF * a_ncent * cosθ etun a } Ilumnação e Fotoealsmo 8

29 Integação e Monte Calo e n e Raânca electa o na ecção ω Raânca auto-emta o na ecção ω Raânca electa o na ecção ω eva a lumnação ecta n Raânca electa o na ecção ω eva a lumnação necta Ilumnação e Fotoealsmo 9

30 Integação e Monte Calo: lumnação ecta ota: aenas são conseaas contbuções que tenham ogem ectamente nas ontes e luz Aboagem Itea sobe toas as ontes e luz e ta amostas e caa: Ilumnação e Fotoealsmo 30 cos lghts l l lghts l l cos cos

31 Integação e Monte Calo: lumnação ecta lghts l l cos A selecção as amostas ω oe se eta usano stbução unome ou estatcaa ou amostagem o motânca sobe o ângulo sólo eno ela onte e luz ω ω Ilumnação e Fotoealsmo 3

32 Integação e Monte Calo: lumnação ecta Aboagem Seleccona com obablae =/ uma onte e luz e amosta aenas essa. A sua contbução é obvamente va ela sua obablae: Ilumnação e Fotoealsmo 3 cos l l cos cos Em vez e seleccona a onte e luz com obablae unome oem-se usa outas stbuções. Eemlo: baseaa na otênca áea e stânca a onte e luz.

33 Integação e Monte Calo: lumnação necta n cos ota: aenas são conseaas contbuções que não tenham ogem ectamente nas ontes e luz. n Ilumnação e Fotoealsmo n cos A selecção e quas as ecções a sem-esea a amosta é vulgamente baseaa em: Amostagem estatcaa Amostagem o motânca baseaa na stbução o cosseno Amostagem o motânca baseaa na oma a BRDF este caso é necessáo eva uma stbução a obablae que tenha uma oma semelhante à a BRDF 33

34 Path Tacng: lmtações Paa algumas conções e lumnação a maoa os tajectos geaos UCA encontam as ontes e luz: a sua contbução seá ZERO Os oucos tajectos que encontam a onte e luz são os úncos que contbuem aa o valo o el esultano em gane vaânca uío Ilumnação e Fotoealsmo 34

35 BDectonal Path Tacng q 3 q3 q. Gea camnho a at o obsevao. Gea camnho a at a onte e luz 3. Un os camnhos 4. e esa a contbução e caa q l aa caa Ilumnação e Fotoealsmo 35

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