DINÂMICA DOS SISTEMAS DE PARTÍCULAS E DOS CORPOS RÍGIDOS

Transcrição

1 DNÂCA DS SSTEAS DE ARTÍCUAS E DS CRS RÍDS. Cabta Neves Setembo de 005

2 Ídce ometo lea de um sstema de atículas... 3 Teoema do movmeto do ceto de massa cío da Cosevação do ometo ea cío do Tabalho-Eega ou Teoema das Foças Vvas cío da cosevação da eega cío do mulso e Quatdade de ovmeto ou Teoema da mulsão Teoema do mometo agula de um sstema de atículas em elação a um oto fo Teoema do mometo agula de um sstema de atículas em elação ao seu ceto de massa... 9 ometo agula de um sstema de atículas em elação ao seu ceto de massa, eesso em temos das velocdades elatvas de cada atícula em elação ao ceto de massa... 0 cío da cosevação do mometo agula... 3 cío do mulso agula e mometo agula ou teoema da mulsão aa mometos agulaes... 3 ometo agula de um coo ígdo em elação a um oto fo ometo agula de um coo ígdo em elação ao seu ceto de massa Eega cétca de um coo ígdo amado de movmeto de otação em too de um oto fo Eessão geal da eega cétca de um coo ígdo Equações do movmeto de um coo ígdo em too de um oto fo. Equações de Eule ovmeto de um coo ígdo em too de um eo fo... 8 ovmeto lao de um coo ígdo... 9 Equações geas do movmeto de um sstema de atículas e de um coo ígdo. 3 ANEX... 4 Devada em odem ao temo de um vecto escto um efeecal amado de movmeto de otação... 4 ANEX... 6 CNEÁTCA D CR RÍD ovmetos statâeos de um coo ígdo Fómula de oagação de velocdades dos otos de um coo ígdo Fómula de oagação de aceleações dos otos de um coo ígdo... 7

3 ometo lea de um sstema de atículas Cosdee-se uma atícula de massa m amada de uma velocdade v. Desga-se o mometo lea ou quatdade de movmeto da atícula o vecto dado o m v () mometo lea de um sstema de atículas seá a soma dos mometos leaes de cada uma delas m v () sedo m a massa da atícula e v a esectva velocdade. Da defção de vecto de osção do ceto de massa de um sstema de atículas, sabe-se que m A (3) sedo A o vecto de osção da atícula elatvamete a um efeecal de ogem um oto e a massa total do sstema. Devado ambos os membos desta equação em odem ao temo, vem d m d A (4) v m v (5) elo que o mometo lea de um sstema de atículas se ode esceve m v v (6) Teoema do movmeto do ceto de massa A ª e de Newto, alcada ao movmeto de uma atícula de massa m sueta à acção de um couto de foças de esultate R, é uma elação vectoal que estabelece o aalelsmo ete esta esultate R e a aceleação a que a atícula adque. 3

4 R m a (7) A aceleação a tem a mesma decção e o mesmo setdo que a esultate R, e a sua tesdade é oocoal à tesdade de R, sedo a massa m a costate de oocoaldade. De duas atículas com massas dsttas suetas ao mesmo couto de foças adquá mao aceleação a que tve meo massa, e vesamete. A que tve mao massa ofeeceá mao esstêca a modfca o estado de eouso ou de movmeto em que se ecote. De um sstema costtuído o atículas tomemos a atícula geéca, de massa m, localzada o oto A. Esta atícula estaá sueta a um couto de foças cua esultate desgaemos o F (Fg. ). F F F A m F m Fg. A alcação da ª le de Newto a esta atícula do sstema esulta em F m a (8) eesetado o a a sua aceleação. As foças que actuam a atícula ou são eecdas o outas atículas do sstema, e chamam-se foças teoes, ou são eecdas o atículas eoes ao sstema, e t desgam-se o foças eoes. Desgado o F a esultate das foças teoes que actuam a atícula e o F a esultate das foças eoes, temos F F t + F m a (9) odemos esceve uma equação deste to o cada uma das atículas que costtuem o sstema, e se as somamos todas membo a membo vá t F + F m a (0) as, elo cío da acção e eacção, as foças de te-acção ete quasque duas atículas são guas e oostas, elo que 4

5 t F 0 () e a Eq. 0 tasfoma-se em F m a () o outo lado, devado ambos os membos da Eq. 5 em odem ao temo, vem d v d v m (3) a m a em que a eeseta a aceleação absoluta do ceto de massa do sstema de atículas e a a aceleação absoluta da atícula, se fo um oto fo. Substtudo a Eq. 4 a Eq., fca (4) F a (5) Esta equação taduz a eessão vectoal do chamado Teoema do ovmeto do Ceto de assa, o qual se ode euca da segute foma: ceto de massa de um sstema de atículas move-se como se movea uma atícula ode se cocetasse a massa total do sstema e que estvesse actuada o uma foça gual à soma de todas foças eoes que actuam o sstema de atículas. É evdete que, ão tedo sdo o ada quato ao úmeo de atículas que costtuem o sstema, a Eq. 5 alca-se-á também aos sstemas em que a massa se dstbu de foma cotíua um detemado domío, e em atcula a um coo ígdo ou a um couto de coos ígdos. Teoema do ovmeto do Ceto de assa mosta-os que, alteações as foças teoes ao sstema ão têm qualque fluêca o movmeto do seu ceto de massa. eemlo clássco é o da gaada cuo ceto de massa se desloca aós a elosão segudo eactamete a mesma taectóa que segua se a gaada ão elodsse. 5

6 3 cío da Cosevação do ometo ea Devado a Eq. 6 em odem ao temo obtém-se d d v a (6) E cougado com a Eq. (5), vem v F d (7) as v F 0 cost (8) o que sgfca que (9) ( v ) ( v ) ou m v m v (0) As Eqs. 9 e 0 taduzem o cío da Cosevação do ometo ea: Seme que sea ula a soma das foças eoes actuates um sstema mateal haveá cosevação da quatdade de movmeto total. Reae-se que, sedo a Eq. 5 uma elação vectoal, ela é suscetível de se decomosta em comoetes, o que sgfca que odeá have cosevação do mometo lea uma decção e ão outa. È o caso de um coo que é laçado com velocdade cal com comoete hozotal dfeete de zeo. Desezado a esstêca do a, ão há foças hozotas actuado o coo e a comoete hozotal do mometo lea coseva-se-á, o que sgfca que o coo á mate a sua comoete hozotal de velocdade ao logo do ecuso, equato que a vetcal, estado emaetemete sueto à acção costate do seu eso, á deslocase com aceleação costate, a aceleação da gavdade. 6

7 4 cío do Tabalho-Eega ou Teoema das Foças Vvas Cosdee-se a taectóa da atícula geéca de um sstema de atículas (Fg. ), e sea F a esultate das foças que sobe ela actuam. A F d + d z y Fg. tabalho ealzado o o F o deslocameto elemeta d da atícula seá dado d τ F d () Atededo à ª le de Newto, esta equação ode esceve-se d v d τ ( m a ) d m d () as d d v (3) elo que d τ m ( d v v ) m d ( v v ) d m v (4) u sea em T eeseta a eega cétca da atícula. tegado a Eq. 5 ete as osções e, temos d τ d T (5) 7

8 d τ d T (6) T T ou sea, τ T T (7) A Eq. 7 taduz o cío do Tabalho-Eega ou Teoema das Foças Vvas aa uma atícula, o qual ode se eucado da segute foma: tabalho ealzado ela esultate das foças que actuam uma atícula quado esta se desloca de uma osção aa uma osção é gual à vaação da eega cétca da atícula ete esses dos states. A Eq. 7 alca-se a qualque atícula de um sstema. Se as somamos todas, fcaá ou sea, τ T T (8) τ (9) T T A Eq. 9 taduz o cío do Tabalho-Eega ou Teoema das Foças Vvas aa um sstema de atículas, o qual ode se eucado da segute foma: tabalho ealzado o todas as foças que actuam em todas as atículas de um sstema quado estas se deslocam de uma osção aa uma osção é gual à vaação da eega cétca do sstema ete esses dos states. Como se sabe do cío dos Tabalhos Vtuas, um coo ígdo é ulo o tabalho ealzado elas foças teoes. Assm sedo, aa um coo ígdo, o cío do Tabalho-Eega assume a foma τ (30) T T 5 cío da cosevação da eega Como se sabe do cío dos Tabalhos Vtuas, quado as foças que actuam um sstema são todas cosevatvas, o tabalho que estas ealzam é gual a meos a vaação da eega otecal que lhes está assocada. Assm sedo, quado as foças que actuam um sstema são todas cosevatvas, o cío do Tabalho-Eega assume a foma 8

9 ( V V ) T τ (3) T ou sea T + + (3) V T V que costtu o cío da Cosevação da Eega: Um sstema actuado o foças cosevatvas evolu de tal foma que a soma da eega cétca com a eega otecal se matém costate. 6 cío do mulso e Quatdade de ovmeto ou Teoema da mulsão Defe-se mulso de uma foça F um tevalo de temo ao oduto F. mulso da esultate das foças que actuam a atícula geéca de um sstema, o tevalo de temo seá, ecoedo à ª le de Newto F d v ( m v ) m a m m d v d (33) tegado ambos os membos ete dos states t e t fca t v F d( m v ) ( m v ) ( m v ) t (34) v A Eq. 34 taduz o cío do mulso e Quatdade de ovmeto ou Teoema da mulsão aa uma atícula: mulso das foças que actuam uma atícula um ceto tevalo de temo é gual à vaação da quatdade de movmeto da atícula esse tevalo de temo. A Eq. 33 alca-se a qualque atícula de um sstema. Se as somamos todas, fcaá. F d( m v ) d m v d ( v ) (35) somatóo de todas as foças que actuam em todas as atículas do sstema clu as foças teoes e as foças eoes. Sedo ulo, como sabemos, o somatóo das foças teoes, temos F d ( v ) (36) 9

10 E uma vez mas, se tegamos ambos os membos da Eq. 36 ete dos states t e t obtemos t t F ( v ) ( v ) (37) Esta equação taduz o cío do mulso e Quatdade de ovmeto ou Teoema da mulsão aa um sstema de atículas: mulso das foças eoes a um sstema de atículas um ceto tevalo de temo é gual à vaação da quatdade de movmeto do sstema esse mesmo tevalo de temo. Se o somatóo das foças eoes ao sstema fo ulo, eecotamos aqu o cío da Cosevação da Quatdade de ovmeto. 7 Teoema do mometo agula de um sstema de atículas em elação a um oto fo Defe-se mometo agula de uma atícula geéca de um sstema em elação a um oto fo como o mometo em elação a esse oto do vecto mometo lea da atícula. A m v (38) m v Fg. 3 A mometo agula do sstema de atículas em elação ao oto seá a soma dos mometos agulaes de cada uma das atículas que o costtuem. A m v (39) Devemos ambos os membos desta equação em odem ao temo. d d A m v d A m v + A m d v (40) que é equvalete a d v m v + A m a A F (4) 0

11 as, tedo em ateção a Eq. 9, fca d t A F + A F t + sedo o mometo em elação ao oto das foças eoes ao sstema de t atículas e o mometo em elação a das foças teoes, o qual é ulo, o as foças teoes seem guas e oostas duas a duas. Fcaá falmete d (4) (43) eessão que eeseta o Teoema do ometo Agula de um sstema de atículas em elação a um oto fo : A devada em odem ao temo do mometo agula de um sstema de atículas em elação a um oto fo é gual ao mometo esultate em elação a do sstema de foças eoes ao sstema de atículas. 8 Teoema do mometo agula de um sstema de atículas em elação ao seu ceto de massa mometo agula de uma atícula geéca de um sstema em elação ao ceto de massa desse sstema seá dado o A m v (44) E o mometo agula do sstema de atículas em elação a seá a soma dos mometos agulaes de cada uma das atículas que o costtuem. A m v (45) Devado ambos os membos em odem ao temo, fca d d A m v + A m d v (46) vecto A ode decomo-se em (Fg. 4) A A A (47) sedo um oto fo. Fg. 4

12 Devado em odem ao temo, fca d A d A d (48) ou sea d A v v (49) E toduzdo a Eq. 46 d v m v v m v + A m a (50) Esta equação ode se smlfcada d v m v + A F v v + A F t + A F (5) ou ada, falmete d (5) eessão que eeseta o Teoema do ometo Agula de um sstema de atículas em elação ao seu ceto de massa, que como se vê, assume a mesma foma que em elação a um oto fo : A devada em odem ao temo do mometo agula de um sstema de atículas em elação ao seu ceto de massa é gual ao mometo esultate em elação a do sstema de foças eoes ao sstema de atículas. 9 ometo agula de um sstema de atículas em elação ao seu ceto de massa, eesso em temos das velocdades elatvas de cada atícula em elação ao ceto de massa A Eq. 45, que taduz o mometo agula de um sstema de atículas em elação ao seu ceto de massa, faz tev a velocdade absoluta v de cada atícula em elação a um oto fo. Tomemos esta eessão, substtudo esta velocdade absoluta ela velocdade elatva v da atícula em elação ao ceto de massa. A m v (53)

13 A velocdade elatva v da atícula em elação ao ceto de massa é dada o v d A (54) e atededo à Eq. 49, fca A m v A m v A m v (55) as, atededo a que A m v m A v v 0 (56) Fca (57) sto sgfca que o mometo agula de um sstema de atículas em elação ao seu ceto de massa tato ode se calculado utlzado as velocades absolutas das atículas como as suas velocdades elatvas em elação ao ceto de massa. 0 cío da cosevação do mometo agula Seme que sea ulo o mometo das foças eoes em elação a um oto fo ou em elação ao ceto de massa do sstema, as Eqs. 43 e 5 foecem (58) (59) sto taduz o cío da Cosevação do ometo Agula: Seme que sea ulo o mometo das foças eoes em elação a um oto fo ou em elação ao ceto de massa do sstema haveá cosevação do mometo agula do sstema em elação a ou a, esectvamete. cío do mulso agula e mometo agula ou teoema da mulsão aa mometos agulaes A Eq. 43 ode se escta a foma 3

14 d (60) tegado ambos os membos ete os states t e t, temos ou sea d t t (6) t t (6) tegal do segudo membo eeseta o mulso agula das foças eoes ao sstema o tevalo de temo t t t em elação ao oto fo, e a Eq. 6 taduz o cío do mulso Agula e ometo Agula ou Teoema da mulsão aa ometos Agulaes: mulso agula em elação a um oto fo das foças eoes a um sstema mateal um tevalo de temo t t t é gual à vaação do mometo agula do sstema em elação a esse mesmo tevalo de temo. Quado o mometo esultate das foças eoes ao sstema em elação a é ulo, eecotamos aqu o cío da Cosevação do ometo Agula. Teoema da mulsão aa ometos Agulaes é gualmete váldo quado se toma o ceto de massa do sstema em vez de um oto fo. t t (63) ometo agula de um coo ígdo em elação a um oto fo Cosdee-se um oto geéco de um coo ígdo amado de movmeto de otação em too de um oto fo (Fg. 5), ao qual se assoca o elemeto de massa dm. 3 v dm Fg. 5 4

15 Este oto, que está amado de uma velocdade v, ossu um mometo lea dado o v dm e um mometo agula em elação a dado o v dm. mometo agula do coo ígdo em elação a obte-se-á a at de v oagado velocdades de aa, tem-se dm (64) v v + (65) toduzdo a Eq. 64, fca ( ) dm (66) No caítulo Tesoes Catesaos ovou-se que ( B C) ( A C) B ( A B)C A (67) elo que ( ) dm [( ) ( ) ] dm (68) Esta eessão ode se escta usado lguagem dcal. [ k k ] dm [ k k δ ] dm (69) Uma vez que as comoetes da velocdade agula fucoam como costates a tegação em causa, vem [ k k δ ] dm ( k k δ ) [ dm] (70).Falmete, ecodado a defção de teso de éca, fca (7) ou, utlzado otação matcal { } [ ]{ } (7) em que e [ ] se efeem a comoetes do teso de éca do coo elatvamete a um efeecal com ogem em. 5

16 3 ometo agula de um coo ígdo em elação ao seu ceto de massa o aaloga com a Eq. 64, o mometo agula de um coo ígdo em elação ao seu ceto de massa ode calcula-se a at de as v dm (73) v v + (74) Substtudo atás, fca as ( ) v dm + dm (75) v dm ( dm ) v v 0 (76) elo que ( ) dm (77) Recoedo de ovo à Eq. 67 te-se-á ( ) dm [( ) ( ) ] dm (78) Reesetado o as coodeadas do oto um efeecal com ogem em, a Eq. 78 ode esceve-se, em otação dcal Falmete ( dm) ( k k ) dm ( k k δ ) (79) (80) ou sea, em lguagem matcal { } [ ]{ } (8) 6

17 eessões em tudo aálogas às Eqs. 7 e 7, com a dfeeça de que e [ ] se efeem a comoetes do teso de éca do coo elatvamete a um efeecal com ogem em. A Eq. 8 escta o efeecal das decções cas de éca em esulta atculamete smles. { } (8) 4 Eega cétca de um coo ígdo amado de movmeto de otação em too de um oto fo Cosdee-se ovamete um coo ígdo amado de movmeto de otação em too de um oto fo (Fg. 5). A eega cétca deste coo seá dada o v dm T (83) as v v v (84) e, atededo à Eq. 65, fca ( ) ( ) v (85) que se ode esceve em lguagem dcal v e k e qk q (86) Recoedo à detdade de emutação v ( δ δ q δq δ ) q δ δ q q δq δ q (87) Smlfcado, temos v δ (88) toduzdo a Eq. 83, fcaá 7

18 T ( δ )dm (89) E uma vez que as comoetes da velocdade agula do coo fucoam como costates elatvamete à tegação em causa, odem se ostas aa foa do tegal, fcado T [ ( δ ) dm] (90) A eessão da eega cétca de um coo ígdo amado de movmeto de otação em too de um oto fo ode assm se eessa em otação dcal ou matcal atavés de T (9) T { } T [ ]{ } (9) em que e [ ] se efeem a comoetes do teso de éca do coo elatvamete a um efeecal com ogem em. 5 Eessão geal da eega cétca de um coo ígdo Cosdee-se um coo ígdo amado de um movmeto geéco (Fg. 6). A eega cétca deste coo cotua a ode se obtda atavés da Eq v dm 3 Fg. 6 as 8

19 v v + (93) e ( ) + ( ) ( ) v v v v + v (94) toduzdo a Eq. 83, fcamos com 3 tegas T ( ) dm + ( ) ( ) v dm + v dm (95) º destes tegas é ulo, vsto que ( ) dm v [ dm] v 0 v (96) 3º tegal ode se tabalhado, utlzado otação dcal e eesetado o a coodeada geéca do oto um efeecal com ogem em ( ) ( ) dm ( e k eqk q ) dm (97) E ecoedo à detdade de emutação teemos, aós smlfcação [ dm] ( ) ( ) dm ( δ ) (98) Esta acela coesode à eega cétca de otação do coo em too do seu ceto de massa e ode se escta em otação matcal como º tegal da Eq. 95 tasfoma-se em T T ot { } [ ]{ } (99) v dm v dm v (00) Esta acela coesode à eega cétca de taslação do coo. A eessão geal da eega cétca de um coo ígdo amado de um movmeto geéco seá etão T T Ttasl T + ot v + v + { } [ ]{ } (0) 9

20 6 Equações do movmeto de um coo ígdo em too de um oto fo. Equações de Eule As equações do movmeto de um coo ígdo em too de um oto fo odem obte-se ecoedo ao teoema do mometo agula (Eq. 43) d (43) Ates de mas é ecessáo calcula o mometo agula do coo ígdo em elação ao oto (Eq. 7) { } [ ]{ } (7) efeecal aa a escta desta equação deve te ogem o oto. De esto, ode se qualque efeecal. Temos fudametalmete duas alteatvas. u escolhemos um efeecal fo, que emaeça móvel equato o coo oda em too de, ou usamos um efeecal que se mova soldaamete com o coo ígdo. Atededo a que va se ecessáo deva o mometo agula em odem ao temo, a seguda alteatva é efeível, vsto que etão todas as comoetes da matz de éca seão costates ao logo do temo. No etato, seá ecessáo te em cota que o mometo agula estaá escto um efeecal amado de movmeto de otação, alcado-se-lhe etão as coesodetes egas esecífcas de devação em odem ao temo (ve aeo ). Teemos etão d δ δ t sedo Ω a velocdade agula do efeecal. + Ω (0) Se além dsso escolhemos o efeecal cocdete com as decções cas de éca do coo o oto, a escta da Eq. 7 smlfca-se { } [ ]{ } (03) e a ª acela da Eq. 0 fca δ δ t { } & & & α α α (04) sedo α, α, α as comoetes da aceleação agula do coo ígdo o efeecal das decções cas de éca em. 0

21 as se o efeecal se move soldaamete com o coo a sua velocdade agula Ω cocde com a velocdade agula do coo, e a ª acela da Eq. 0 fca e e e Ω (05) ou sea (06) ( ) e + ( ) e + + ( ) e Falmete, toduzdo a Eq. 43 obtém-se y z α α α ( ) ( ) ( ) (07) Estas são as equações que egem o movmeto de um coo ígdo em too de um oto fo, cohecdas como Equações de Eule. 7 ovmeto de um coo ígdo em too de um eo fo No caso em que o movmeto do coo coesode a uma otação em too de um eo fo (Fg. 7), em vez de um, temos uma fdade de otos fos, os quas odem se escolhdos aa alca o teoema do mometo agula. Neste caso é útl escolhe o óo eo de otação como um dos eos do efeecal, movedo-se os estates soldaamete com o coo ígdo. Se escolhemos o eo de otação aa eo 3, teemos 3 Fg. 7 y z 0 y y yz 0 z yz z { } [ ]{ } z yz z (08)

22 e δ δ t { } z α yz α α z (09) sedo α a aceleação agula do coo ígdo. Seá ada e falmete e e e Ω (0) yz e z e z yz z y z z yz α + α z α yz z () 8 ovmeto lao de um coo ígdo Como se sabe, o movmeto lao de um coo ígdo é aquele em que as taectóas de todos os seus otos estem em laos aalelos a um lao, o lao do movmeto. movmeto cotíuo coesode a uma sucessão de movmetos statâeos de otação em too de eos que são seme eedculaes ao lao do movmeto. Neste caso, aa estuda o movmeto escolhe-se um efeecal soldáo com o coo, com ogem o seu ceto de massa, em que um dos eos é eedcula ao lao do movmeto. A velocdade agula do coo e a sua aceleação agula teão seme a decção deste eo. Chamemos-lhe 3 (Fg. 8). ( 3 ) Fg. 8 Neste caso teemos equações dêtcas às Eqs. 08 a, mas esctas um efeecal com ogem o ceto de massa, e as equações do movmeto seão

23 y z z yz α + α z α yz z () em couto com as equações do movmeto do ceto de massa F F F y z a a a y z (3) 9 Equações geas do movmeto de um sstema de atículas e de um coo ígdo movmeto geal de um coo ígdo é egdo elo Teoema do ovmeto do Ceto de assa em couto com o Teoema do ometo Agula alcado ao ceto de massa. Em cada state, a osção do coo fcaá cohecda se se cohece a osção do seu ceto de massa e a osção que o coo ocua elatvamete ao ceto de massa. Na Estátca, o sstema de foças eoes a um coo ígdo costtuía um sstema equvalete a zeo F 0 (4) 0 (5) Na Dâmca, as equações que egem o movmeto de um sstema de atículas, e em atcula de um coo ígdo são F a (6) d (7) Desde que seam cohecdas as codções cas do movmeto, estas equações emtão cohece a osção do coo ígdo em cada state, foecedo a osção do ceto de massa e a osção do coo em elação ao ceto de massa. 3

24 ANEX Devada em odem ao temo de um vecto escto um efeecal amado de movmeto de otação Como se sabe, as comoetes de um dado vecto V deedem do efeecal que se escolhe aa o eeseta. Uma vez que as comoetes de um vecto se obtêm o oecção do vecto sobe os eos do efeecal, em efeecas de eos aalelos as comoetes de um dado vecto são as mesmas. sto sgfca que se escolhemos um efeecal amado de movmeto de taslação aa eeseta um vecto de tesdade costate as suas comoetes emaeceão alteadas ao logo do temo. mesmo ão sucede se escolhemos um efeecal amado de movmeto de otação. Um vecto é costate quado ão vaam ao logo do temo, em a sua tesdade, em a sua decção ou setdo. A vaação de qualque um destes aâmetos faz com que o vecto teha devada ão ula em odem ao temo. Cosdee-se etão um vecto vaável o temo V V ( t) escto um efeecal amado de movmeto de otação com velocdade agula Ω (Fg. -) 3 Ω V e e 3 e Fg. - Teemos, utlzado otação dcal V V e (-) e a devada em odem ao temo vá d V V& e + V e & (-) As devadas em odem ao temo dos vectoes de base do efeecal ustfcam-se oque a sua decção vaa ao logo do temo, emboa a sua tesdade emaeça costate. Calculemos a devada em odem ao temo do veso e. aa tato, cosdeemos um coo ígdo movedo-se soldaamete com o efeecal e 4

25 desgemos a emdade do vecto e o (Fg. -). Deste modo, a devada de e em odem ao temo cocde com a velocdade do oto, ou sea 3 Ω e e 3 e Fg. - d e & v v + Ω Ω e (-3) eecamete, teemos e & Ω e (-4) e assm d V V& e + V Ω e V& e + Ω V e V& e + Ω V (-5) Reesetado smbolcamete V & o e δ V teemos o fm δ t d V δ V + Ω V δ t (-6) δ V em que eeseta a vaação do vecto o udade de temo suodo que o δ t efeecal ão oda (vaação das suas comoetes) e Ω V eeseta a cotbução da otação do efeecal aa a vaação do vecto. 5

26 ANEX CNEÁTCA D CR RÍD. ovmetos statâeos de um coo ígdo São quato os movmetos statâeos ossíves aa um coo ígdo: ) Reouso statâeo 0 velocdade agula ula v 0 aa todos os otos do coo ) Taslação statâea 0 velocdade agula ula v 0 velocdade gual aa todos os otos do coo 3) Rotação statâea 0 velocdade agula dfeete de zeo v 0 velocdade ula (os otos do eo statâeo de otação) ou eedcula a (os otos foa do eo statâeo de otação) 4) Rotação + taslação statâeas ou movmeto helcodal statâeo 0 velocdade agula dfeete de zeo v 0 velocdade seme dfeete de zeo e uca eedcula a (os otos do eo helcodal statâeo é aalela a este). Fómula de oagação de velocdades dos otos de um coo ígdo No caso geal, caso 4, o movmeto de um coo ígdo ode cosdea-se esultate de dos outos, taslação a decção do eo helcodal statâeo mas otação em too deste (Fg. -), e otato v A v Q + QA (-) 6

27 e otato ou sea v B v B v Q + QB v + QB QA v + A A v B v A + AB ( QB QA) (-) (-3) (-4) Eo helcodal statâeo v B v Q Q v Q B v Q A v A QA Fg. -.3 Fómula de oagação de aceleações dos otos de um coo ígdo Devado a Eq. -4 em odem ao temo, esulta ab aa + α AB + d AB (-5) sedo α a aceleação agula do coo. Sedo fo um oto fo AB B A (-6) e 7

28 d AB Substtudo a Eq. -5, fca d B d A v B v A AB ( AB) ab aa + α AB + (-7) (-8) Esta é a fómula de oagação de aceleações dos otos de um coo ígdo, que ode ada se escta a foma a B a A + α AB + ( AB) AB (-9) No caso do movmeto lao é AB, elo que a equação se smlfca a B a A + α AB AB (-0) 8