Programação Quadrática Aplicada à Teoria Moderna de Finanças

Transcrição

1 Pogamação Quadátca Alcada à Teoa Modea de Faça Fabo Slva Da Oetado: Eeto Julá Goldbeg Bg Reumo Dede meado de 95, etudoo de faça e de otmzação têm dedcado ua equa a um amo muto teeate da ecooma, cohecdo como Teoa Modea de Faça. O obetvo dete tabalho é detalha a ca cocluõe obevada elo etudoo deta teoa, ma ecamete com eeto à Teoa de Catea, cuo cal obetvo e delmta otfolo efcete com elação a co e etoo. Icamo o tabalho elcado coceto báco e a fote elação que há ete o etudo de otmzação, calmete Pogamação Não-Lea, e o etudo da Teoa de Catea. Aó to, uma foma de eolve efcetemete o oblema de faça é detalhada, a at do etudo de Makowtz (método da Lha Cítca), que foam aefeçoado e culmaam o método de Wolfe aa Pogamação Quadátca. Aeetamo também um etudo de cao, ode geamo otfolo efcete duate 4 mee, dvddo em mee ode o mecado fo de alta e mee ode o mecado fo de baa. Comaamo a efomace obtda atcado a getão atva oota ete tabalho com o eultado que ea obtdo o meo de uma getão ava da catea de açõe. Temamo o tabalho com uma aeetação da lmtaçõe dete modelo quadátco, aeetado etudo ecete aa o oblema do otfolo efcete e um oível modelo, também de Pogamação Não-Lea, que oa e utlzado aa obte uma vão teóca ma ealta do oblema do otfolo efcete.

2 Sumáo Defçõe Báca.. O Poblema Cláco de Faça.. Etededo o Poblema Método aa Reolve o Poblema Quadátco.. Fomulação de um Modelo Quadátco.. O Método de Wolfe.3. A Veão Paamétca.4. Alcaçõe do Modelo Quadátco.5. Um Etudo de Cao: Potfolo Efcete ão Realmete Efcete?.6. Lmtaçõe do Modelo Quadátco 3 Ameta de Potfolo 3.. Fomulação do Modelo 3.. Poíve Tema aa Pequa Futua Refeêca Bblogáfca

3 Caítulo Defçõe Báca.. O Poblema Cláco de Faça Um vetdo em atvo com co que detema qual é a combação do eu vetmeto (que doavate eá chamada de otfolo ou catea) que mamza a elação ete etoo e co do memo, obtedo uma combação que oua mao etoo oível o udade de co. No oo modelo, temo como dado do oblema um veto de etoo, ode cada comoete dete veto é o etoo eeado aa o atvo o hozote codeado: Além do, temo uma matz de covaâca como a decta a egu: Eta matz tem a oedade de e otva defda. O etoo eeado aa um otfolo comoto o título é, ode cada comoete do veto = (,,..., ) é o ecetual do ecuo que um vetdo ou alocado em cada atvo e o co dete memo otfolo é Cov. Po hótee, o vetdo á aloca todo o eu ecuo doíve o otfolo ecolhdo. Deta foma, como é eceáo acha uma elação ótma ete etoo e co, bata eolve o egute oblema de Pogamação ão Lea:.. ( ) =,..., Ode R f é o etoo de um atvo em co. Etem váo método de Pogamação ão Lea que odem e utlzado aa eolve ete oblema. Um dele ode e eumdo da egute foma. Vamo ubttu a etção a fução obetvo. Cume obeva que a ubttução que emo faze a egu ão fucoa aa qualque oblema de mamzação. Podeemo utlza aqu oque o tema de equaçõe dfeeca do oblema cotém equaçõe homogêea de gau zeo. Sea R = R. O oblema a eolve ode e ecto como a egu: f, Cov = f ma. a. ' R ' Cov. = f = = VARIANCIA( ) = COVARIANCIA(, )

4 ma θ = = ( R = = = f ) Paa eolvê-lo, bata acha o gadete da fução obetvo. No oto ode ete veto fo gual a zeo, teemo um oto de mámo, o o ovo oblema é etto e a eguda devada da fução obetvo é eme egatva. Ete fato é gaatdo ela etutua do oblema, cofome ovado em []. Ito é equvalete a eolve o egute tema de equaçõe leae: Ma é ovado em [] que, aa cada, a equação acma é equvalete a: ( w w w... w w ) R Com w... f = ( R ) f = = = = = dθ d =, Potato, eolve o tema de equaçõe dfeeca ooto ode e eduzdo a eolve um tema Cov. Z = R ode Z é um veto cua comoete Z k = wk e R é um veto cua comoete Rk = k R f. O últmo ao é eolve o tema achado Z e deo omalzado a olução ecotada (aa que a oma da comoete de ea gual a ), o Z é oocoal a... Etededo o Poblema O oblema ooto ode e eteddo aa e toa ma eal. Há váa eteõe oíve: Retção de caa: l u Icluão de dvea etçõe leae como: cocetação de atmôo, beta da catea, lqudez da açõe etecete à catea, dvded yeld, etc. Paametza a aveão ao co do vetdo. Deta foma o oo algotmo ão ó achaa a catea com o mao etoo oível o udade de co, ma também achaa, dado um ceto etoo, a catea que coegue tal etoo com o meo co oível. Ito também emta o deeho da Fotea Efcete de Makowtz, ou ea, o luga geométco da catea de mímo co.

5 O oblema eteddo odea e fomulado da egute maea: m Cov A = b.a. C d l u ' R Podeíamo ecota toda a oluçõe oíve dete oblema, aa todo o valoe de. Ito ea eolve um oblema quadátco aamétco, cuo algotmo fo calmete ooto o Hay Makowtz em 956 e fomalzado o Wolfe em 959. O algotmo utlzado ecebeu o ome de método de Wolfe. Seu etudo e mlemetação eão tema do ómo caítulo.

6 Caítulo Método aa Reolve o Poblema Quadátco.. Fomulação de um Modelo Quadátco O oblema modelado em.3. ode e eduzdo ao egute oblema de ogamação quadátca (QP):.. m. a. ' C ' I, I = { A b, } ode C é uma matz o e ou a egute oedade: ƒc é otva defda ƒete algum q R tal que = Cq. Além do, é um veto ode cada comoete ea o etoo do atvo meo o etoo de um atvo em co. A etçõe de gualdade oota em.3. odem e tocada o dua de degualdade equato que a etçõe de.3. que acetem um valo egatvo aa alguma comoete de odem e eduzda ao (QP) o meo de todução de vaáve atfca. Uma vez que a fução obetvo é quadátca e covea, aa eolve o (QP), eá eceáo acha uma olução que atfaça a codçõe de Kuh-Tucke aa o oblema. Eta codçõe ão eceáa e ufcete aa a otmaldade da olução ecotada. É oível mlemeta método baeado o Smle que eolvam ete oblema. Um dele fo ooto o Wolfe em [], com dua vaaçõe. Uma dela eolve o oblema aa um valo fo de (chamada de hot fom o atgo ogal) e a outa eolve o oblema de foma aamétca em (chamada de log fom o atgo ogal). Ete método eolvem o oblema (QP) em um úmeo fto de ao. Makowtz hava ooto um método de otmzação de uma fução quadátca com etçõe leae 3 ao ate de Wolfe, ete método é dfeete do ooto o Wolfe, ma ova-e que ambo geam a mema olução... O Método de Wolfe O método decto abao eolve o oblema aa qualque valo fo do aâmeto. O meo ao é toduz vetoe de folga ão egatvo R m, v defdo o: y = b A, v = C A' u, y R m ode u R é o veto de multlcadoe de Lagage. Um a de vaáve, v eá chamado de a comlemeta e o outo a de vaáve y, u eá chamado de a de vaáve comlemetae deta eteça.

7 Com eta otação a codçõe de Kuh-Tucke etecete ao modelo obecto ão da egute foma:.. (a), y, v, u (b) A y = b (c) C v A' u = (d) ' v y' u = Em [3] etá demotado o egute teoema: A ate, y de qualque olução aa a codçõe de Kuh-Tucke ão um vétce do egute oledo: Μ = {[ ', u' ] t.q. A b, C A' u,, u } Deta foma o oblema de ecota a olução de.. fca eduzdo ao oblema de ecota uma bae admível B da matz: A E D = C E A' b A bae é admível o fato de que B. A Neta matz D a colua -éma de (a vaável ) e a colua -éma de C (a E E vaável v ) ão devem e báca ao memo temo, e o memo e alca a e A' coeodete à vaáve y e u. Paa ete oóto ó toduzmo vaáve atfca em.. (c) de modo que uma bae cal atfcal odea e fomada em a colua e E, to é, em qualque A ' comoete de v ou y a bae. Etão.. (d) é gaatda o íco com v =, u =. A oedade de comlemetadade ' v y' u = eá eevada equato elma-e a vaáve atfca da bae, de modo que ó uca emtmo o a vaável comlemeta, v ou y, u aa toa-e báca. Deta maea a olução aa.. eá obtda quado a ate eolve... Aó a beve decção dada acma, odemo fomula um algotmo de Pogamação Quadátca como o decto a egu:

8 Fae. Reolva o egute oblema de ogamação lea:.. ma e' z.a. * * * D = b * * * com D [ A E E ], * * * y, A, E e b obtdo da egute foma: z * A, * e b Paa cada lha da matz A, A = ; A, e b < E, * * e b aa cada lha da matz E, E = ; E, e b < * e aa cada, b = b, edo que E é a matz detdade. tedo como olução factível cal * e bae cal D [ E ]. * b Cao. Sea o, y e z o vetoe ecotado a olução fal. Se e ' z etão ae o oblema é vável. Cao cotáo, vá aa a fae. Fae. Reolva o egute oblema de ogamação lea:..3 ma e' z.a. f f f D = b f * * f A E y * b com D f, f = v, b f = e também C E A' E u z f E, e ( C ) f E =, aa cada lha da matz E. E, e ( C ) < Sea D fm a bae fal da fae e C fm uma matz fomada ela colua de [ C ] * * coeodete à colua de [ A E E ] elecoada o D fm. Paa eolve o oblema da fae, tome como bae cal a matz:

9 B D C fm = f fm E cua olução factível cal coeodete eá:..4 z y v u = E f = = y = = ( C ) Reolva o oblema..3 elo método Smle, tedo como bae cal olução báca..4 alcado a egute etção aa etada a bae: B e ua eectva..5 Se v y u é báca etão v u y ão deve eta a bae. (Obeve que a olução..4 atfaz a codção..5.) Sem a etção de etada a bae, odemo te ceteza que quado o algotmo acma decto aa e z = (o o oblema..3 eceaamete tem olução ótma). Wolfe ovou em [] que memo com eta etção, ao fal do algotmo o valo ótmo de..3 eá e também ovou o egute teoema: O oblema.. ou olução ótma e I ão é vazo e a ate coeodete a da olução ótma de..3 ob a etção..5 é tal olução. Deta foma, elaboamo um modelo ma oftcado aa o oblema ooto o caítulo e aeetamo um método baeado o Smle aa olucoa-lo. O método aeetado eolve em um úmeo fto de ao o oblema.. aa um valo fo do aâmeto. Ito gfca que, dado um ceto ível de aveão ao co do vetdo ( é veamete oocoal à aveão ao co), dada a matz de covaâca e o veto de etoo aa cada atvo do mecado e dada a etçõe leae, odemo calcula qual a catea que ou melho elação ete etoo e co, cohecda a lteatua como otfolo efcete. Cotudo e o oo obetvo é obte todo o otfolo efcete, ou ea, obte toda a catea de mímo co ou mámo etoo, eá eceáo vaa o aâmeto de a. Ito ão aece e azoável, o além de e vável comutacoalmete (uma vez que o algotmo é baeado o Smle que tem o cao eoecal), e tetamo mlemete ecolhe oto abtaamete o tevalo que va de a etaemo coedo o co de

10 ão ecolhe o oto coeto, to é, ão ecolhe oto que aem uma fomação gfcatva. Paa eolve ete oblema, Wolfe oô o memo atgo uma vaação do algotmo de ogamação quadátca, chamado de log fom, que ecota de foma ma efcete uma olução aa qualque valo do aâmeto. A at de agoa, vamo etuda eta vaação..3. A Veão Paamétca Cofome obevado ateomete, a olução ecotada elo algotmo de otmzação de otfolo deeado deve: Te etoo mámo ( ) aa o eu ível de co e; Te co mímo ( Cov ) aa o eu ível de etoo. Além do, ea deal que o algotmo ecotae todo o otfolo de co mímo, o que ode e obtdo aametzado a aveão ao co do vetdo ( ). Já vmo que ão é efcete chama o algotmo váa veze aa cada valo do aâmeto. Deta foma, o algotmo aamétco deveá chama ua ota cal aea uma vez e deo acha qualque olução com aea ma um ao. Wolfe oô em ua log fom um algotmo baeado a aále de ebldade do Smle ode ele efomula o Poblema Quadátco Paamétco, tafomado-o em um oblema de Pogamação Lea e achado valoe cítco aa. Como é um oblema de Pogamação Lea, cada valo cítco de coeode a uma olução (chamada o Makowtz de catea de cato ) e aa qualque valo de ete do valoe cítco a olução coeodete a ete valo é uma combação covea da dua oluçõe cítca. Deta foma, o tabalho e eume em acha todo o valoe cítco de. Tedo uma vez ete valoe, acha qualque olução oível, ou ea, deeha toda a Fotea Efcete, toa-e tval. O algotmo ooto eolve um oblema quadátco aamétco da egute foma: m ' C '.3.. a. I, I = { A b, } E o algotmo ó acha valoe de. Não eá eceáa ehuma adatação o oblema ogal o ele e dêtco ao ooto o Wolfe. O algotmo de Pogamação Quadátca Paamétca, que também odemo chama de Fae do Método de Wolfe é o egute: Pao. Reolva o oblema.3. com =. Sea B a bae fal e, y, v, u, z a olução fal. Cao alguma colua coeodete a alguma comoete de z etea em B - ou ea, o vétce é degeeado e eta comoete vale cotue o algotmo até que ão haa ehuma comoete de z a bae. Pao. Fome o egute oblema de Pogamação Lea:.3. ma. a. M = b

11 .3.3 ode = = = b b u v y A E C E A M cua olução factível cal ea =,,,, u v y e ua bae B. Vá aa a fae do Smle com a etção..5. Pao 3. Se com a etção..5 ão há como dmu -, ou ea a olução ótma é a olução factível cal, etão ae! Não há olução aa.3. com. Pao 4. Se - ode e dmuído etão.3. é lmtado (ovado o Wolfe em []). Deta foma, a cada teação da teaçõe do Smle com a etção..5 obteemo uma olução,, ode..., edo que cada é o valo da fução obetvo a teação e é uma olução ótma do oblema.3. aa =. Além do, como.3. é lmtado, ao fal da teaçõe também teemo uma deção de cecmeto,,, u v y tal que ) ( u v y u v y é olução ótma aa. Am ( ) = com com ) ( é olução ótma de.3. aa qualque valo de..4. Alcaçõe do Modelo Quadátco Até agoa fo motada uma abodagem quadátca aa o oblema de otmzação de otfolo e uto com ela um método que eolvee o oblema quadátco e obtvee um otfolo de mímo co aa qualque ível de etoo oível de e atgdo, aametzado elo ecala. Eta fo uma da ca alcaçõe do modelo de ogamação quadátca. Além do, o couto de otfolo obtdo o meo do algotmo de Pogamação Quadátca Paamétca, é de motâca fudametal aa o amo de otmzação facea. A Fotea Efcete ocuada o Caítulo coeode ao luga geométco de todo o otfolo oíve de eem obtdo elo algotmo decto em.3.

12 Tedo a Fotea Efcete em mão, odemo etma qual é o otfolo ugedo aa qualque vetdo e tvemo em mão também uma outa fução, baeada em caacteítca ma tíeca do óo vetdo, que o quatfca o ível de atfação que ele tem ao faze um vetmeto dete a ootudade oíve. Eta fução tem o ome de fução de utldade do vetdo e eu aâmeto odem e um valo de etoo eeado, um valo de co ou até memo ambo. A eeão aa a fução utldade também ode vaa de acodo com o modelo eecfcado. Detalhe ma técco deta fução fogem do ecoo dete tabalho e odem e vto em [], [4] e [5]. Foam ooto dveo modelo aa otmzação da fução utldade. Um do modelo é uma alcação do ctéo quadátco etudado até agoa. l Sea U() a eeão da utldade em fução do etoo, o meo valo de etoo da u fotea obtda (ou ea, o valo de aa a olução de.3. com = ) e o mao etoo da fotea (ou ea, o valo de aa a olução de.3. com ). Se cohecemo U() aa um detemado vetdo, odeemo fomula o egute oblema:.4. ma U() l.a. u Em atcula, e U() fo uma fução quadátca (e ealmete é quado etudamo vetdoe com aveão cecete ao co), odemo eolve.4. elo Método de Wolfe. Uma outa aomação aa a fução utldade fo oota o Makowtz em [6]. Makowtz uou uma aomação quadátca da fução utldade aa gea um couto de otfolo ótmo o eaço etoo eeado co. A aomação é baeada a eaão em ée de Taylo de U em too do etoo eeado do otfolo. Am, aa um vetdo aveo ao co U ( R ) U ( ) U '( )( R ) U ''( )( R ) ode é o etoo eeado aa o otfolo (E( R )) e R é o etoo efetvamete obevado o eíodo. Se alcamo o oeado eeaça a equação acma, emo obte a egute gualdade: E[ U( R )] U ( ' ) U ''( ' ) A gualdade obtda e aemelha muto à fução oota ateomete. Na vedade é a mema. A utldade eeada do otfolo fo aomada o uma fução que ó deede do etoo eeado e da vaâca do otfolo. Am, um otfolo obtdo ela mamzação de uma fução ' o foece uma boa aomação aa a máma utldade eeada, aa todo o valoe de. Podemo cta como ma uma boa alcação do modelo de ogamação quadátca um oblema muto utlzado também a áea facea, ó que ma elacoado a fudo de vetmeto, bem detalhado em [9]. O oblema é muto aecdo com o ateo. Cohecdo como Aále de Etlo, tata-e de ecota uma combação de vetmeto em dfeete clae de atvo (o etlo de vetmeto), que coeoda a qual fo o etlo ealmete egudo elo admtado do fudo. Toa-e clao que eta clae devem e mutuamete ecluva (ou etaem bem óma dto) e devem eeeta todo o etlo oíve de eem egudo elo mecado. O obetvo da Aále de Etlo é obte coefcete emelhate ao de uma egeão ete o etoo do fudo e da clae, ode cada coefcete é o ecetual do total de vetmeto do fudo alocado em atvo da clae coeodete.

13 A dfeeça ete a Aále de Etlo e uma egeão comum edem em do fato. O meo é que temo etçõe. Uma etção lea, que é faze com que a oma do coefcete ea gual a, o am como o modelo de otmzação de otfolo, o hótee o vetdo aloca todo o eu ecuo doíve o otfolo e outa etção de otvdade, o é atcamete moível oea em oção vedda aa todo o atvo de uma detemada clae de vetmeto. O egudo fato é que ão deeamo mmza a oma do eo elevado ao quadado, ma m a vaâca do eo, o o obetvo deta aále é fe o mámo obe a eoção do fudo a vaaçõe o etoo da clae de atvo duate o eíodo etudado. Fca clao que, ete oto, um algotmo de ogamação quadátca é eceáo, uma vez que deeamo mmza uma fução quadátca e covea (a vaâca de uma oma) com etçõe leae. Temo am, ma uma alcação do método de Wolfe..5. Um Etudo de Cao: Potfolo Efcete ão Realmete Efcete? Vamo agoa alca toda a teoa aeetada a dado ea do mecado de cata baleo. Imlemetamo o algotmo em Vual Bac 5. (uma veão ddátca etá doível em htt:// e utlzamo a bae de dado do oftwae HSS Stock Maket - veão.3. A ée de eço do atvo etavam lve de dvdedo. O dado de etada aa o algotmo foam etmado como a egu. Paa obte eultado cotete, eolvemo faze 4 mulaçõe. Emegou-e como aâmeto báco a catea de mecado eeada aa um mê. A catea de mecado é o otfolo da fotea efcete que tem o mao valo aa o quocete defdo em.., e ode e obtdo achado o oto de tagêca ete o gáfco da fotea efcete e uma eta que aa elo oto coeodete ao atvo lve de co. A mulaçõe foam dvdda em do guo de mee, ode o meo guo coeodeu ao eíodo de Julho de 999 a Juho de, o qual a bola balea eteve em alta, e o egudo guo coeodeu ao eíodo de Outubo de a Setembo de, o qual a bola eteve em baa evdete. Paa gea o otfolo ugedo aa vetmeto em um detemado mê, foam utlzado dado mea aado em um hozote de doze mee e ão foam codeado quaque cuto de taação e/ou tbuto, além de e admt váldo coma açõe em qualque quatdade, cluve façõe. Paa cada etmatva, elecoava-e a 7 açõe que ouíem mao volume médo dáo de egóco e que tveem do egocada em elo meo da o hozote codeado. Paa etma o etoo eeado de cada atvo, meamete calculamo a como a méda geométca da taa mle de etoo do memo, defda como o quocete ete o eço da ação o tate t e o eu eço o tate t. Eta taa méda fo comota com uma taa equvalete ao gaho meal com dvdedo duate o doze mee utlzado. O valo obtdo meo um é o etoo eeado. Paa etma a matz de covaâca, foam utlzado como amota o êmo médo obe o atvo lve de co. O atvo lve de co fo o CDI-Ove dvulgado ela CETIP. O comotameto de cada otfolo obtdo fo comaado com o deemeho do ídce de mecado, codeado aa ete etudo como o IBOVESPA. Foam utlzado e ctéo de comaação ete o otfolo e o mecado. O meo foam o etoo e o co, defdo como o devo adão do etoo ecevo. Paa emo ma cteoo a avalação, toduzmo quato outo ctéo de comaação, edo um dele o beta do otfolo, ou ea, quato e eea que ocle o otfolo aa cada oclação utáa do etoo do mecado. É tval que o beta do IBOVESPA deveá e eme gual a. O beta ode e utlzado como

14 uma medda de eoção do otfolo a movmeto do mecado. A etatéga de getão atva deal deveá etão obte otfolo de beta bao duate o eíodo em que bola etve em baa e de beta alto aa o eíodo em que a bola etve em alta. Outo ctéo de comaação utlzado fo o Ídce de Shae. Ete ídce coeode ao quocete ete etoo ecevo e co, como defdo em... Pode e teeate clafca do otfolo o meo dete ídce, de foma que quato ma alto ea o eu valo melho é o otfolo, cotudo ete ídce ó e alca a otfolo com etoo ecevo mao do que zeo, do cotáo o cálculo ode gea cotêca. Ma um ctéo de comaação utlzado fo o Ídce de Teyo. Ete ídce coeode ao quocete ete etoo ecevo e beta. Am como o Ídce de Shae, ode e teeate clafca do otfolo o meo dete ídce, de foma que quato ma alto ea o eu valo melho é o otfolo, cotudo ete ídce ó e alca a otfolo com beta mao do que zeo, do cotáo ete cálculo também ode gea cotêca. Am, o últmo ctéo de comaação ete otfolo fo o RAP (Rk Aduted Pefomace) de Modgla, que coeode a quato ea o etoo de um otfolo e eu co foe autado ao co do ídce de mecado. É tval que o RAP do ídce de mecado é eu óo etoo. A Tabela e motam qual fo a comoção do otfolo ugedo elo método aa cada um do doze mee de alta e aa cada um do doze mee de baa. Cada colua coeode ao otfolo ecolhdo aa eu eectvo mê. Na tabela 3 e 4 etão detalhada a mea doze lha o etoo mea de cada oção de vetmeto e a lha abao o dcadoe de deemeho do memo, edo cada colua coeodete a uma oção de vetmeto. Na fgua e temo um gáfco comaatvo de etoo ete a oçõe de vetmeto doíve, coeodete a quato tea vaado um eal alcado em cada uma da oçõe. Podemo ve com claeza que uma etatéga de getão baeada o ctéo de Makowtz, otmzada elo Método de Wolfe, teve uma efomace muto ueo à do mecado, tato o eíodo de alta como o eíodo de baa. Em ambo o eíodo odemo ota que o otfolo geado elo algotmo tveam etoo médo, ídce de Shae e ídce de Teyo cotetemete ueoe ao do mecado. Além do, emboa em ambo o eíodo o co do otfolo geado elo algotmo foe levemete mao (a at da 3.ª caa decmal), a efomace autada ao co fo bem ueo à do mecado.

15 Além do, fo otado que o beta da etatéga geada fo mao o eíodo de alta, tedo caído codeavelmete o eíodo de baa, o que cofma o ateomete falado obe uma eoção ótma a co de mecado. Podemo ota que memo duate o eíodo de baa etudado, equato a bola acumulava eda de 9,39% o meo mee, a getão atva baeada o algotmo acumulava gaho de 8,%. Ete gaho ó foam dado o mê de etembo de, que fo catatófco aa o mecado de eda vaável devdo ao ataque teota ao Etado Udo, ma ada am a etatéga oota veceu o mecado em 8,84% em um ao. Duate o eíodo de alta a etatéga oota veceu o mecado em 4,9% em um ao. Sem ehuma omba de dúvda, ete eultado ão ão deezíve. ul/99 ago/99 et/99 out/99 ov/99 dez/99 a/ fev/ ma/ ab/ ma/ u/ BBAS4,344,8738 BOBR4,575,5 BRHA4,96,368,397 CBEE3,947 CEEB3,5598,7757 COGU4,8 CPSL3,783 CRUZ3,76,34866,388,4774,3473 CSNA3,95,93,,5,687 ELAT3,984 ELET3,35,785 EMBR3,79 EMBR4,4468,94,883,95,945,794 GETI4,66 ICPI4,34 ITAU4,438,8987 KLAB4,774,354,486 LAME4,87 LIGH3,75,5 OSAO4,744 PCAR4,396,8,9,85 PRGA4,749,8394,83,37,4796,985,3756 PTIP4,764,34,75,765 SOES4,,466,3448,447,8734 TCOC3,368,349 TCSP3,39,64,368,8,78,588 TEPR4,999,984,5655,746 TLPP3,44 TMCP4,5365,955,35,795,6,6 TNLP3,373 TSEP3,739 USIM5,6,3,3688,37 VALE3,867,73,5 VALE5,638,36,353 Tabela Comoção do otfolo efcete aa o eíodo de ul/999 a u/. Eaço em baco deotam vetmeto ulo.

16 out/ ov/ dez/ a/ fev/ ma/ ab/ ma/ u/ ul/ ago/ et/ AMBV3,685,8,8488 AMBV4,8,6977 BBDC3,7347,467 BRDT4,34,737,4747 CBEE3,567 CESP4,9,536,55,434,73,94 CGAS4,3965 CNFB4,3736 CPNE5,577 CPSL3,67,773,653,44 CRUZ3,65 CSNA3,734 CSTB4,859 EMBR4,767,448,78,9399,8,33,4,447,55,47 GETI4,6,974,436,3375,35496,953,668,577,933 GRSU3,3673,63,3835,3994,46 ITAU3,4973,9895,6664,439,645,559,33,78 KLAB4,674,4659,939 LIGHT3,447 PCAR4,6465 PRGA4,899 PTIP4,457 TCOC3,366,945,35836,554,664,585,74 TERJ4,8 TMGR6,853,89,3775,583 TSPP3,37 USIM5,55,888 VALE3,4 Tabela Comoção do otfolo efcete aa o eíodo de out/ a et/. Eaço em baco deotam vetmeto ulo. IBVSP CARTEIRA CDI IBVSP CARTEIRA CDI ul/99 -,93% -8,988%,66% out/ -6,66% -6,39%,8% ago/99,78% 9,95%,64% ov/ -,68% -3,66%,6% et/99 5,3% 8,49%,399% dez/ 4,84% 8,67%,35% out/99 5,348%,839%,73% a/ 5,84% 5,57%,3% ov/99 7,76% 8,8%,34% fev/ -,78% -3,47%,9% dez/99 4,46% 5,773%,58% ma/ -9,44%,79%,48% a/ -4,3% -,396%,37% ab/ 3,38% -,97%,79% fev/ 7,76% -,465%,44% ma/ -,797% -3,83%,7% ma/,96% 3,84%,44% u/ -,64%,386%,69% ab/ -,8% -,57%,93% ul/ -5,59% -,843%,43% ma/ -3,739% -3,773%,486% ago/ -6,645% -6,9%,6% u/,84% 4,6%,387% et/ -7,73% -,739%,33% ACUM. 43,876% 58,777% 8,573% ACUM. -33,3% -4,393% 6,6% RET. MEDIO 3,593% 4,465%,43% RET. MEDIO -,858% -,87%,64% PR. MEDIO,63% 3,35%,% PR. MEDIO -4,% -,7%,% RISCO,397%,68%,% RISCO 9,68% 9,856%,% BETA,, BETA,,594 SHARPE,844,84785 SHARPE -,4898 -, TREYNOR,63% 3,38% TREYNOR -4,% -3,495% RAP 3,593% 4,59% RAP -,858% -,4% Tabela 3 Comaação do etoo ete ul/99 e u/ Tabela 4 Comaação do etoo ete out/ e et/

17 .6. Lmtaçõe do Modelo Quadátco A aomação quadátca da eaão da fução utldade em ée de otêca toa o modelo ma fácl de e alcado, cotudo é ma lmtada, o ão etá codeado mometo etatítco de odem ma alta, como a ameta e a cutoe. Ito ode e uotado ela hótee de que o etoo do mecado eam..d., o que o coeqüêca do teoema do lmte cetal, geaa uma dtbução omal aa o etoo de um atvo com co. Uma vez que o etoo de atvo com co ouem dtbução omal, ua ameta é ula e eu eceo de cutoe também, o que toa útl o etudo de mometo etatítco de odem ma alta. Cotudo é um fato bem cohecdo que a dtbução do etoo de um atvo com co ão egue de fato uma dtbução omal, de foma que aa algu cao deeza ete mometo de odem ueo ão dá uma boa aomação aa a utldade. Um eemlo ode e fomulado da egute maea: Aó etudo de mecado, coclu-e que o etoo eeado de um atvo é de % e o eu co é de 3,5%. Ito gfcaa dze que, aumdo omaldade o etoo, em aomadamete 67% do cao o etoo dete atvo etaa ete 6,5% e 3,5%. Todava e eta dtbução ão fo omal, oudo um detemado gau de ameta, a vedade o tevalo de cofaça utlzado a feêca ateo ão gfcaa ma 67% do cao. Em atcula, e a ameta fo otva, um tevalo de cofaça que comece a at do oto 6,5% e clua o memo 67% do cao coteá valoe maoe que 3,5% edo, o eemlo, o tevalo ete 6,5% e 4,5% como lutado a Fgua 4. Ma catatófco eá cao a ameta ão ea levada em cota ma ela eta e ea egatva. Neta tuação, o hotétco tevalo de 67% do cao a at de 6,5% odea eta ete 6,5% e %, como a fgua 5, o que faz a oa evõe que aecam e lógca a vedade eem otmta dema. Quato mao fo, em módulo o valo do coefcete de ameta da dtbução de etoo, ma faco eá o coceto de vaâca e covaâca como medda de co de um vetmeto. Itutvamete, cocluímo que uma boa aomação da fução utldade deve leva em cota a ameta e teta mamza-la. Além do, há etudo que afmam que memo o atvo ouam dtbução omal, etatéga dâmca de coma e veda odem gea dtbuçõe gfcatvamete amétca. Nete tabalho aea falamo de atvo fudameta, ma ode-e deea clu devatvo o meo do atvo com co com o qua deeamo tabalha. Nete oto, é bem cohecdo que devatvo eguem uma dtbução de etoo altamete amétca, uma vez que o eço de um devatvo o da do vecmeto é elcado ela combação ete uma fução cotate gual a zeo aa valoe abao de um oto e lea a at do valoe acma dete oto. Am, o modelo quadátco toa-e vável aa a cluão de devatvo o modelo de otmzação de otfolo. Além do, o modelo de otmzação ooto acma foece uma olução aa omete um eíodo, em leva em codeação utldade eeada aa eíodo oteoe. Atualmete também ão tema de outa equa algotmo de ogamação etocátca que codeem a fução obetvo do oblema a e eolvdo ão ma como uma fução de um ó eíodo, ma m uma fução cua vaáve ão detemada o oceo etocátco e deea e mamza a utldade aa o eíodo egute omada com a utldade eeada aa o dveo outo eíodo. Eta utldade eeada odea e etmada o meo de uma ávoe que deceva o ceáo oíve de ocoeem oteomete, cotedo também a obabldade deta ocoêca. Etudo ma avaçado em ogamação etocátca fogem do ecoo dete tabalho.

18 Fg. 3 Dtbução omal com méda e devo adão 3,5. Fg. 4 Dtbução com ameta otva, méda e devo adão 3,5. Em lha otlhada uma dtbução omal de mema méda e devo adão. Fg. 5 Dtbução com ameta egatva, méda e devo adão 3,5. Em lha otlhada uma dtbução omal de mema méda e devo adão. Uma outa lmtação do modelo etudado até agoa é que etçõe leae têm meo ode do que etçõe ão leae. Modelo ão leae ão ma gea e emt etçõe obe fatoe ão leae odea equece ada ma o modelo e dea-lo ma ómo da ealdade. Po fm, há etudo que egam o comleto a hótee de que o mecado é omal ou memo ómo do e atem aa etudo de modelo dâmco ão leae com memóa loga e valoe etemo. Madelbot oô em [] uma foma de aala a ée de etoo como uma dtbução factal, de modo que a vão de co o meo de uma matz de covaâca é totalmete cotaada. To Vaga oô em [] a Hótee do Mecado Coeete, ode a dtbução obablítca do etoo muda damcamete com o temo baeada em uma fução que também fo utlzada o Ig aa modela o feomagetmo. Eta ão võe do mecado totalmete dfeete da uua, ma ão meo omoa.

19 Caítulo 3 Ameta de Potfolo 3.. Fomulação do Modelo Recatulado, um vetdo deea mamza o valo eeado de uma fução utldade U(R), ode R é o etoo eeado do otfolo. O eultado obtdo até agoa ão baeado a eaão da ée de Taylo deta fução até a ua eguda devada, o que gea aa fução obetvo, ao uamo o oeado Eeaça, algo em fução do do meo mometo ceta da vaável aleatóa em quetão, que é o etoo do otfolo. Agoa, vamo etede o eultado obtdo, cludo a fução obetvo o teceo mometo cetal, que é a ameta do etoo do otfolo em elação ao eu meo mometo. Paa um otfolo fomado o atvo com co, o tê meo mometo do etoo do otfolo ( R ) ão dado o: com R m 3 = E[ = E = E R ] = = ( R R ) R [ ] = = = 3 [( R R ) ] = = = k = k m k R = etoo eeado do atvo = covaâca ete o etoo de e (aa = é a vaâca do etoo) m k = co-ameta ete o etoo de, e k, defda como o teceo mometo cetal ão omalzado. Am, aa um vetdo aveo ao co, a utldade eeada de um otfolo eá: U ''( R ) E! U ''( R ) U '''( R ) m U ( R ) 6 [ ( R )] E[ U ( R )] E U 3 [( R R ) ] U '''( R ) E[ ( R R ) ] Deta foma, mamza a utldade eeada aa um vetdo aveo ao co é eolve: 3 3!

20 3.. m. a. ' ' Cov. α = = k = I, I = { A b, l u} k m k ode α é um aâmeto aa o egudo gau de lbedade dete ovo oblema, a efeêca o ameta do vetdo. Obeve que vaado multaeamete o aâmeto e α, emo obte uma uefíce efcete o eaço tdmeoal co etoo ameta. 3.. Cocluõe e Eteõe aa Pequa Futua Vmo o caítulo ateo uma decção do modelo quadátco ooto o Makowtz. Ete modelo aeetou uma boa efomace com elação ao mecado. Todava vmo que uma aomação quadátca ó é boa quado o mecado egue omaldade. Há evdêca de que o mecado egue um movmeto dâmco, edo omal duate algu eíodo e ão o edo em outo. Deta foma, oomo um ovo modelo ode o teceo mometo é toduzdo, e a efeêca do vetdo o ameta é levada em cota. Paa ete ovo modelo ugem ova dúvda: Qual é o método ma efcete aa eolvê-lo? Sea o método do gadete? Metodologa aa obteção da uefíce efcete: é ealmete eceáo eolve aa todo o aâmeto ou é oível modela a codçõe de otmaldade dete oblema aa um ovo oblema lea ou quadátco aamétco, e obte valoe cítco do aâmeto e otato toda a uefíce? Emboa o oblema oua do gau de lbedade, ete alguma elação ete ele? É oível modela o oblema uado um ó aâmeto? Eta e outa dúvda que ovavelmete ugão ão um camo aa equa muto vato e ada ouco eloado. Eclaece-la é uma taefa dfícl, todava, uma vez eecutada, geaá um gade acécmo à teoa atual, calmete o tocate a otfolo efcete cludo oçõe, uma vez que o atual modelo quadátco ão dá uote algum aa ete cao. Além do, um gade camo de equa etá abeto aa alcaçõe de modelo altamete ão leae o mecado faceo, como Facta, Teoa do Cao e Teoa de Valoe Etemo. Muto tabalho ada etá aa e feto.

21 Refeêca Bblogáfca [] E. J. Elto & M. J. Gube. Mode Potfolo Theoy ad Ivetmet Aaly. Joh Wley & So Ic, 99 [] P. Wolfe. The Smle Method fo Quadatc Pogammg. Ecoometca 7 (959), [3] B. Mato. Nolea Pogammg Theoy ad Method. Noth-Hollad Publhg Comay, 975 [4] C. Dude. Potfolo Efcete Icludo Oçõe. Detação de Metado, Ittuto de Matemátca e Etatítca Uvedade de São Paulo, 998 [5] M. Fedma & L. J. Savage. The Utlty Aaly of Choce Ivolvg Rk. Joual of Poltcal Ecoomy (Augut/948), [6] H. Levy & H. M. Makowtz. Aomatg Eected Utlty by a Fucto of Mea ad Vaace. The Ameca Ecoomc Revew 69 (Jue/979) [7] J. M. Ste, C. A. B. Peea, C. O. Rbeo, C. Dude, F. Nakao & M. Lauetto. Otmzação e Poceo Etocátco Alcado à Ecooma e Faça. IME-USP [8] R. Dofma, P. Samuelo & R. Solow. Lea Pogammg & Ecoomc Aaly. McGaw-Hll, 958 [9] W. F. Shae. Aet Allocato: Maagemet Style & Pefomace Meauemet The Joual of Potfolo Maagemet (Wte 99),. 7-9 [] J. Alda. Potfolo Pefomace Evaluato. Detação de Metado, Ittut fü Betebwtchaftlehe - Uvetät We, [] T. Vaga. "The Coheet Maket Hyote", Facal Aalyt Joual, Dec/Ja 99 [] B. B. Madelbot. Factal ad Scalg Face, 997