1- Resolução de Sistemas Lineares.

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1 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS - Reolução de Stem Lere..- Mtrze e Vetore..- Reolução de Stem Lere de Equçõe Algébrc por Método Eto (Dreto)..3- Reolução de Stem Lere de Equçõe Algébrc por Método Itertvo..4- Covergêc do Método Itertvo.

2 .3- Stem Lere de Equçõe Algébrc Solução de um tem ler de m equçõe lgébrc com cógt v método tertvo. + + b + + b + + b m m m m b b b m m m ou A b

3 .3.- Qudo ete olução? No tópco teror. fo vto o egute teorem. Teorem: O tem ler A b tem um úc olução (e etr) e e omete e o correpodete tem homogêeo A tem omete olução. Pode er motrdo que A tem omete olução e det A Qudo ordem d mtrz é muto grde, devdo Artmétc com Precão Ft do computdor, olução do método dreto preet um erro que pode er muto grde poto de perder utldde prátc. Nete co é coveete o uo do método tertvo.

4 .3.- Método tertvo pr reolver Método Itertvo: Produzem olução et do tem pó um úmero fto de operçõe rtmétc (lgortmo fto). Como to é mpoível de er feto o lgortmo fto é trformdo em fto e coeqüetemete olução é empre promd. Algu método: Método d Iterção, Método de Sedel, Método do Relmeto. Etmo teredo em tem repreetdo por um mtrz ão gulr: A b b b b b b A det A

5 .3.- Método d Iterção (Apromçõe Sucev) Codere o tem com mtrz ão gulr: (,, ) b b b b Se podemo reolver prmer equção pr, egud pr e m ucevmete té. A b ( ) b β β + + α + + α β α j αj e β + + α + + α j e j j

6 .3.- Método d Iterção (Apromçõe Sucev) Ou em form mtrcl: α α α α β β+ α ( ) α α α α β α e α α α α β α α α α β Podemo reolver o tem v método d promçõe ucev como egur. N promção zero ecolhemo β e ubttuímo o membro dreto de (), obtedo β+ α. N promção ubttuímo o membro dreto de (), obtedo β+ α. E m ucevmete + té chegr promção + β+ α. Det form obtemo um eqüêc de promçõe que e coverge pr um lmte ( ), etão ete lmte é olução de () e tmbém de (). β + α j j,,

7 .3.- Método d Iterção (Apromçõe Sucev) lm Ou ej, e udo () e propredde do lmte egue que: + lm lm( β+ α ) β+ α lm β+ α Reumdo formul do Método d Iterção ão: β Mut veze o reduzr () pr + () é coveete que α β + αjj,,,,. Ito pode er feto d egute α, (,, ) form α α + α. Logo formul do método erão: b j β, αj ( 3) β + β + αjj,,,, ( 3 ) Método d Iterção b j β, α, αj (,, )

8 .3.- Método d Iterção (Apromçõe Sucev) Ete proceo tertvo coverge rpdmete (pouc terçõe) e o elemeto d mtrz α ão pequeo em vlor boluto. Ou ej, e > j, j,,. O vlor de ão fluec covergêc do método. b Como covergêc do método depede ucmete d propredde d mtrz α ecolh do vetor pode er fet de form rbtrár. Ito é, ecolh de β ão fluec covergêc do método. A covergêc do proceo tertvo é uto-corretor. Ou ej, erro devdo Artmétc com Precão Ft do computdor ão fetrão o reultdo fl, já que ete erro podem er coderdo como um ovo vetor em cd po de promção.

9 .3.- Método d Iterção (Apromçõe Sucev) Crtéro de prd do proceo tertvo: codere dfereç + + d olução etre du terçõe ucev Δ + + e ecolh precão deejd como ε >. Δ Um poível crtéro de prd pode er Codção ufcete pr covergêc do proceo tertvo. Teorem: Se pr o tem () e verfc pelo meo um d egute codçõe: A β b ( ) ) αj < (,, ) + β+ α ( ) β + αjj j ) α < (j,, ) j β + Δ ε + + etão o proceo tertvo (3) coverge pr úc olução de () depedetemete d ecolh d promção cl. α j j,,,,,, α, (,, ) b j β, αj ( 3)

10 .3.- Método d Iterção (Apromçõe Sucev) Como coeqüêc do teorem teror egue. Coroláro: Pr o tem o método d terção coverge e for verfcd deguldde > (,, ) j j j b (,, ) j j ) α < (,, ) ) α < (j,, ) α j j j j j, α α + α + + α + + α < α + + < < > j j

11 .3.3- Método de Sedel O Método de Sedel pode er eteddo como um modfcção do Método d Iterção. A dé prcpl é que o clculr o po de promção (+) ejm coderd,,, clculd ete po e ão do po teror como é feto o Método d Iterção. Ito é, ej o tem () β+ α (,, ) ou β+αjj Ecolh rbtrrmete promção cl (po ) pr obter egute promção (po ) e m té promção (,,, ) (,,, ) (,,, ). Sedel propõe cotrur promção (+) como egue:

12 .3.3- Método de Sedel Sedel propõe cotrur promção (+) como egue: + β + α j O teorem que grte j covergêc do método d terção tmbém é vldo pr o + + β+ α + αj j Método de Sedel. Em gerl, o Método de Sedel coverge melhor que o Método + + β + αjj + αjj d Iterção. Icluve etem co em que o Método d Iterção dverge e o Método de + + β + αjj + α Sedel coverge. M o cotráro tmbém cotece. Covergêc m let do Método de Sedel e dvergêc qudo comprdo com o Método d Iterção.

13 .3.4- Método do Relmeto Sej o tem ler de equçõe: b b b b que dvddo cd equção pelo repectvo (elemeto d dgol) pode er trformdo em c c c d j c c c d cj ( j) + com b c d c c d c c c d

14 .3.4- Método do Relmeto Ecolh rbtrrmete promção cl (,,, ) e ubttu ete tem: c c c d c c c d j cj ( j) + com c c c d b d c c c d Dferete de zero ( Reí duo). Igul zero pe com olução et. R c c c d R c c c d + R c c c d R c c c d

15 .3.4- Método do Relmeto Ou ej, depo d prmer promção obtemo o reíduo: R d c R d c R d + cjj j R d c + j j + j j j + j j Se cremetmo em cógt o correpodete reíduo R erá dmuído pel qutdde Δ equto que todo o outro R ( ) reíduo erão cremetdo pel qutdde cδ. Am, pr zerr o reíduo R próm promção bt cremetr em Δ R. Det form obtermo: Δ j j j R d ( + Δ ) + c R Δ R d + c ( + Δ δ ) R + c Δ j j j j j

16 .3.4- Método do Relmeto R d + cj +Δ j j e Δ R egue R R R d + c + c j j j Δ R j, j R + c Δ O Método do Relmeto cote em reduzr zero em cd po o mor reíduo, modfcdo o vlor de u compoete d cógt. O proceo é cocluído qudo todo o reíduo d promção ão gu zero detro d precão egd ε. A cógt ão obtd omdo todo o cremeto: l l l, m + Δ Δ l { } R R R Δ, R R + c Δ com l tl que todo R < ε l l l l l l l

17 .3.4- Método do Relmeto Eemplo (Demdovch, pg 35) Reolv pelo método do relmeto. + + l l, m{ l } + Δ Δ Precão ε. l l l l l l l l, + com l tl que todo R Solução Et Stem Reduzdo *(- ) R R Δ R R c Δ R < ε Reolvdo o Ecel 3 3

18 Fre do D Eu quer certez d mem mer que peo querem fé relgo. Eu pev que certez é m provável de er ecotrd mtemátc do que em qulquer outr co. M decobr que mut demotrçõe mtemátc, que meu profeore epervm que eu cete, etvm che de flác, e que, e certez pudee relmete er decobert mtemátc, er em um ovo cmpo d mtemátc, com fudmeto m óldo do que o que thm té etão do coderdo eguro. M equto o trblho proegu, eu me lembrv cottemete d fábul obre o elefte e trtrug. Tedo cotruído um elefte obre o qul poder repour o mudo mtemátco, v que o elefte cmblev, e pe cotrur um trtrug, pr evtr que ele cíe. M trtrug ão etv m egur que o elefte, e pó u vte o de trblho muto árduo, chegue à cocluão de que ão hv m d que eu pudee fzer fm de torr o cohecmeto mtemátco dubtável. Bertrd Ruell, Portrt from Memory