CONSIDERAÇÕES SOBRE A OBTENÇÃO DE VETORES DE PRIORIDADES NO AHP

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1 CONSIDERAÇÕES SOBRE A OBTENÇÃO DE VETORES DE PRIORIDADES NO AHP CLEBER ALMEIDA DE OLIVEIRA Isttuto Tecológco de Aeroáutc ITA, Prç Mrechl Edurdo Gomes, 50 - Vl ds Acács - São José dos Cmpos - SP cleber@t.br MISCHEL CARMEN N. BELDERRAIN Isttuto Tecológco de Aeroáutc ITA, Prç Mrechl Edurdo Gomes, 50 - Vl ds Acács - São José dos Cmpos - SP crme@t.br RESUMO Há lgus trblhos ltertur em AHP que clculm o vetor de prorddes dos elemetos utlzdo-se d méd dos vlores ormlzdos ou d méd geométrc d mtrz de decsão o vés d bordgem do utovetor dreto recomeddo por Thoms Sty. Este rtgo tem como objetvo presetr flt de embsmeto lgébrco e os erros gerdos o utlzr o método d méd dos vlores ormlzdos ou o método d méd geométrc pr o cálculo do vetor de prorddes de um mtrz cosstete. Como objetvo secudáro, revsr os fudmetos lgébrcos evolvdos o método AHP. PALAVRAS CHAVE. Algebr, Autovetor, AHP, Apoo Multcrtéro à Decsão. ABSTRACT I the lterture, there re rtcles AHP tht use the me of ormlzed vlues or the geometrc me sted of the rght egevector method to derve the prortes vector of the elemets decso mtrx. Ths pper m to preset the lc of lgebrc bsemet d the errors obted by the use of the me of ormlzed vlues method or the geometrc me method to clculte the prortes vector of cosstet mtrx. Secodly revse the lgebrc fudmets volved the AHP. KEYWORDS. Algebr, Egevector, AHP. MCDA

2 . INTRODUÇÃO O método de Aálse Herárquc, ms cohecdo como método AHP (Alytc Herrchy Process), é um dos métodos ms utlzdos pr o poo multcrtéro à decsão, cujos prcps spectos são: ) vs oretr o processo tutvo (bsedo o cohecmeto e experêc) de tomd de decsão; b) depede dos julgmetos de especlsts ou dos decsores qudo ão há formções qutttvs sobre o desempeho de um vrável em fução de determdo crtéro; e c) result um medd globl pr cd um ds ções potecs ou ltertvs, prorzdo-s ou clssfcdo-s. No método AHP, crdo por Thoms Sty (980), o vetor de prorddes gerdo pel comprção pr pr dos elemetos é obtdo pelo cálculo do utovetor dreto ssocdo o utovlor máxmo d mtrz de decsão. Etretto, observ-se que há lgus trblhos ltertur que clculm o vetor de prorddes dos elemetos o AHP com metodolog dferete d bordgem do utovetor dreto e utlzm o resultdo obtdo como bse pr o cálculo do utovlor fm de verfcr cosstêc d mtrz de decsão. Goly et l. (99) dvdrm s metodologs pr o cálculo do vetor de prorddes em dos grupos: ) bordgem do utovlor; e b) métodos de mmzção de dstâc etre mtrz de decsão e mtrz cosstete ms próxm. O método d méd dos vlores ormlzdos e o método d méd geométrc estão serdos o segudo grupo. Brzl J. (997) e Ishz A. (006) observrm que quto mor for cosstêc d mtrz de decsão, mores serão s dfereçs etre os resultdos obtdos pelo cálculo do vetor de prorddes utlzdo-se s bordges cm mecods. Este rtgo tem como objetvo presetr flt de embsmeto lgébrco e os erros gerdos o utlzr o método d méd dos vlores ormlzdos ou o método d méd geométrc pr o cálculo do vetor de prorddes de um mtrz cosstete. Como objetvo secudáro, revsr os fudmetos lgébrcos evolvdos o método AHP. Este rtgo está orgzdo d segute form: seção serão presetdos os cocetos lgébrcos báscos pr compreesão do AHP; seção serão bordds s etps d metodolog AHP e os fudmetos lgébrcos evolvdos; seção 4 será presetdo um estudo de cso comprtvo; e flmete, lgus spectos coclusvos do trblho.. CONCEITOS ALGÉBRICOS BÁSICOS Um mtrz dz-se qudrd qudo o úmero de lhs é gul o úmero de colus, possudo segute form: A Os elemetos,,,..., formm dgol, tmbém chmd de dgol prcpl.

3 Um mtrz A é postv se todos os seus elemetos forem res e postvos. Um vetor colu ão ulo W de um mtrz qudrd A é um vetor própro à dret (utovetor à dret) se exstr um esclr λ tl que: AW λ W [] Um vetor lh ão ulo X de um mtrz qudrd A é um vetor própro à esquerd (utovetor à esquerd) se exstr um esclr λ tl que: XA λx Portto, λ é um vlor própro (utovlor) de A. Os vlores própros podem ser ulos. Os vetores própros ão podem ser ulos. D expressão [], pode-se obter equção crcterístc d mtrz: AW λ W AW- λ W 0 Det (A- λ I)W0. Geerlzdo o cálculo do determte, obtém-se o segute polômo crcterístco, ode é o úmero de ordem d mtrz: Det λ λ λ λ 0 Det (A- λ I)b λ + b - λ b λ + b λ + b 0 I 0 Coforme o teorem de Cyley-Hmlto (Broso R.,989), tod mtrz qudrd stsfz su própr equção crcterístc, sto é: Det (A- λ I)b λ + b - λ b λ + b λ + b 0 I 0, etão b A + b - A b A + b A + b 0 I 0. Geerlzdo equção crcterístc de um mtrz A (x) recíproc e cosstete: Det(A- λi)(-) λ +(-) - (trçoa)λ b λ + b λ + b 0 I (-) λ +(-) - (trçoa)λ - λ -(trçoa)λ - λ - (λ-(trçoa)) 0. Portto, λ é gul zero com multplcdde - e λmx é gul o trço d mtrz A com multplcdde. As prcps propreddes dos vlores e vetores própros são: ) som dos vlores própros de um mtrz é gul o seu trço, que é gul à som dos elemetos d su dgol prcpl; b) o produto dos vlores própros de um mtrz, cosderdo su multplcdde, é gul o determte dess mtrz; e c) os vetores própros correspodetes dferetes vlores própros são lermete depedetes. Os vetores e vlores própros poderão ser obtdos por cálculos lgébrcos e por métodos umércos. A etp 5 d metodolog AHP, explcd seção deste rtgo, é dedcd pr presetção dos referdos métodos.

4 A mtrz qudrd dz-se recíproc e postv qudo j / j, pr todo j > 0. Sej um mtrz B recíproc e postv ode /, /, / e. B / / / A mtrz B será cosstete qudo j * j. Neste cso * /. B / / Observ-se que qudo B for cosstete os vetores lh d mtrz B (B, B e B ) pssm ser lermete depedetes, ou sej, B α. B α. B, ode α e α vlem e, respectvmete. Not-se que, se mtrz B for esclod teremos pes prmer lh d mtrz ão-ul. Pode-se dzer que mtrz possu posto, ou sej, só exste um utovlor dferete de zero que stsfz equção crcterístc. Tmbém, pode-se frmr que o determte d mtrz B é ulo, coforme será demostrdo: Det(B)+ * / */ +/ * / * -( */ + */ + / * / ) -0. A equção crcterístc de B: λ Det ( B λi) / λ / 0 / / λ Det (B-λI)[(-λ) ++]-[(-λ) +(-λ) +(-λ)] [-λ+λ -λ +]-[-λ] [λ -λ ]0. Pr um mtrz recíproc e cosstete o utovetor w pode ser obtdo d segute form: ) Normlzção dos elemetos d colu: quocete etre o elemeto ser ormlzdo e som dos elemetos de cd colu. Observ-se, este cso que os elemetos de cd lh serão gus. / / B m j j j,..., B

5 b) Somtóro dos elemetos de cd lh ormlzd dvddo pel ordem d mtrz B (). m w( B ) w ( B j ) /,..., j w( B) c) O utovlor é obtdo por meo d equção [] obtedo-se o mesmo vlor de ordem () ou o trço d mtrz (λ): B * w( B) λ * w( B) > * * Posterormete, será possível observr que este processo é utlzdo o método d méd dos vlores ormlzdos pr o cálculo do vetor de prordde.. METODOLOGIA AHP FUNDAMENTOS ALGÉBRICOS A metodolog AHP proposto por Thoms Sty pode ser explcd pel segute seqüêc de etps:. - Etp : Defção do Problem de Decsão O problem de decsão é estuddo em detlhes com o foco de detfcr o objetvo, os crtéros/sub-crtéros bsedos os vlores, creçs e covcções do decsor, e s ltertvs pr solução do problem.. - Etp : Herrquzção do Problem de Decsão O problem de decsão é dvddo em íves herárqucos com fldde de fcltr compreesão e vlção. A fgur lustr estruturção herárquc do problem: Objetvo Prcpl Crtéro Crtéro Sub-crtéro. Sub-crtéro. Sub-crtéro. Sub-crtéro. Sub-crtéro. Altertv Altertv Altertv Fgur Estrutur Herárquc do AHP 5

6 . - Etp : Colet dos julgmetos pr pr dos especlsts Um vez defd estrutur herárquc há ecessdde d colet de ddos referete os julgmetos dos especlsts ou decsores comprção pr pr, tto ds ltertvs sob o efoque de cd sub-crtéro, quto dos sub-crtéros e crtéros em relção o ível medtmete superor. Gerlmete, s opções qulttvs dos especlsts, em relção um determdo crtéro, são coletds por meo de questoáros, coforme exemplo presetdo Tbel. Neste exemplo, o especlst compr três elemetos A, B e C. N prmer comprção cosderou que A possu um mportâc peque em relção B, segud comprção cosderou que A possu um mportâc etre muto grde e grde em relção C e tercer comprção cosderou que B possu um mportâc etre gul e peque em relção C. Tbel - Questoáro pr Comprção pr pr de elemetos Muto Muto Absolut Grde Peque Igul Peque Grde Absolut grde grde A X B A X X C B X X C M A B C A 6 B C 6 Estes julgmetos, posterormete, são covertdos em ídces qutttvos utlzdo um escl própr que vr de 9, deomd Escl Fudmetl, propost por Sty em 980. A tbel lustr escl fudmetl: Tbel - Escl Fudmetl Itesdde Defção Explcção Igul mportâc. As dus tvddes cotrbuem gulmete pr o objetvo. Importâc peque de um sobre outr. A experêc e o juízo fvorecem um tvdde em relção à outr. 5 Importâc grde ou essecl. A experêc ou juízo fvorece fortemete um tvdde em relção à outr. 7 Importâc muto grde ou demostrd. Um tvdde é muto fortemete fvorecd em relção à outr. Pode ser demostrd prátc. 9 Importâc bsolut. A evdêc fvorece um tvdde em relção à outr, com o ms lto gru de segurç.,4,6,8 Vlores Itermedáros. Qudo se procur um codção de compromsso etre dus defções. No exemplo presetdo Tbel, observ-se os ídces, 6, e covertdos pel escl fudmetl s comprções pr pr. 6

7 .4 - Etp 4: Costrução ds mtrzes de decsão Cd questoáro elbordo etp teror deve ser orgzdo em um mtrz qudrd, deomd mtrz de decsão, de ordem gul o úmero de elemetos comprdos. A serção dos elemetos dest mtrz segue s segutes regrs, Sty (980): Regr : j / j. Idc que se comprção de A em relção A j for obtdo o ídce 7, etr-se mtrz o vlor de 7. Cosequetemete, comprção de A j em relção A, etr-se mtrz o vlor de /7. Logo, se j, etão j / pr todo >0; e Regr : pr todo. Portto, dc que qulquer crtéro comprdo ele própro possu gul mportâc escl fudmetl. Ests regrs crcterzm que mtrz de decsão é sempre um mtrz qudrd, recíproc e postv. Deve possur segute form: / / / / / / A mtrz postv goz de lgums propreddes, sedo que prcpl pr o AHP é defd pelo Teorem de Perro: Um mtrz qudrd postv tem um vlor própro (utovlor) de multplcdde gul o seu ro espectrl, ão hvedo ehum vlor própro tão grde em vlor bsoluto. Exste, lém dsso, um vetor própro (utovetor) à dret e um vetor própro à esquerd correspodetes o vlor espectrl somete com compoetes postvs. Est últm frse do teorem de Perro grte que o utovetor, ssocdo o utovlor de mor vlor bsoluto, possu somete compoetes postvos. Sty [980] demostrou que o melhor processo pr obter o vetor de prorddes dos elemetos d mtrz de decsão é o método do utovetor à dret. Sedo ssm, qudo ão especfcdo, expressão utovetor o AHP estrá sempre ssocd o utovetor à dret. Referete o questoáro presetdo Tbel e utlzdo s regrs presetds, obtém-se segute mtrz de decsão M: A B C A 6 [] M B C 6 Observ-se que est mtrz de decsão de ordem é recíproc, postv, e cosstete, pos o elemeto * /*6. As mtrzes de decsão de ordem e serão sempre cosstetes. O ro espectrl de um mtrz qudrd é o mor vlor própro em vlor bsoluto. 7

8 N etp 6 dest seção será presetd metodolog pr verfcr rzão de cosstêc de um mtrz de decsão. Pr tto é ecessáro obter o utovlor máxmo d mtrz de decsão e seu utovetor ssocdo..5 - Etp 5: Obteção dos utovlores e utovetores ds mtrzes de decsão..5. Método Autovetor Dreto: Pode-se clculr o utovlor e utovetor de qulquer mtrz por dos métodos: lgébrco e umérco. O cálculo lgébrco é efetudo prtr d equção crcterístc d mtrz. A equção crcterístc d mtrz de decsão M é segute: λ 6 Det( M λi) λ 0 λ 6 Det (M - λi) [(- λ) + + ] -[(- λ) + (- λ) + (- λ)] [- λ + λ - λ + ] -[ - λ] [λ - λ ] 0. A equção crcterístc dest mtrz tem como solução o vlor própro λ de multplcdde, λ 0 de multplcdde. Observ-se que som dos utovlores clculdos é gul o trço d mtrz orgl M (trço). Coforme o teorem de Perro eucdo terormete, é ecessáro obter o mor utovlor (λmx) que estrá ssocdo o utovetor prcpl d referd mtrz postv. Portto, o λmx será. Um vez obtdo o λmx é ecessáro clculr o utovetor à dret ssocdo de modo que AWλW. Dest form, deve-se costrur s segutes equções: 6 w / * w * w w 6 w w + w + 6w w / w / 6w + w + / w w + w w + w w Autovetor W w w w w / w w w / 0, 0,667 Como se pode observr o processo lgébrco pr determção de vlores e vetores própros é mprtcável pr mor ds mtrzes de grde 8

9 dmesão. Em su substtução form desevolvdos métodos umércos. Cd método clu crtéros de prd, gerlmete um teste pr se determr qudo se tge determdo gru de precsão (se os resultdos forem covergetes) e um lmte pr o úmero de terções serem relzds (o cso de ão hver covergêc). O método umérco ms smples pr se obter o máxmo utovlor e seu utovetor ssocdo é o método d potêc (terção de vetores). A dé prcpl é obter terções de modo que X + cax, ode é o úmero de terções e c é um costte de ormlzção que preve X + de ser muto grde. Após várs terções ( ), X + covergrá pr o utovetor prcpl W de A, correspodete o utovlor λmxλ. Assume-se que exst um utovlor domte λ, de tl form que, λ > λ > λ...>λ. Iclz-se terção costrudo-se um vetor cl X 0. Pr observr porque este processo coverge decompõe-se o vetor X 0 o espço em fução dos utovetores ssocdos os λ, λ, λ...,λ, obtedo-se: X 0 c W + c W +...+c W.. Sbe-se que pr qulquer utovlor obtdo vle expressão: AW λ W A W A (AW)Aλ W λaw λ W A W A (AW) A λ W λ A W λ W A W A - (AW) A - λ W λ A - W λ W Portto: X AX -...A X 0 c λ W +c λ W +...+c λ W. Dvddo-se tudo c λ, obteremos: X c λ X c λ A X c λ 0 A X c λ 0 c λ W W + c W + c cλ λ W λ c λ W cλ c c λ W λ λ Todos os termos, são meores que e tedem zero. λ Portto, expressão tede covergr pr o utovetor prcpl W, pós várs terções ( ). A rzão de covergêc é determd pel relção do segudo mor utovlor pelo mor utovlor. Quto meor est rzão, ms rápd será covergêc: λ λ O lgortmo usul pr utlzção deste método é o segute: ) defe-se precsão desejd do utovlor (P) e o úmero máxmo de terções; b) clz-se X 0, costrudo-se um vetor colu ão ulo e um cotdor de terções. Sugere-se cr com um vetor colu utáro; c) clculse o vetor Y A*X - ; d) determ-se o mor vlor de Y que será represetdo por λ mx(y ); e) fz-se X (/λ )*Y ; f) se λ - λ - < P, pr-se. O utovlor e utovetor ssocdo são λ e X. Cso cotráro, cotu-se; e g) dco-se

10 . Se for mor que o úmero máxmo de terções serem efetuds, prse. Cso cotráro, retor-se pr o psso c. Exemplfcdo o método, utlzdo-se mtrz de decsão M, escolhese X 0 [ ] T, obtedo-se s segutes terções: ª Iterção: 6 0 Y MX 0 / *, / 6 /,6667 λ 0 X * Y 0, 0,667 λ ª Iterção : Y MX / / 6 / 6 * 0, 0,667 T λ X * Y 0, 0,667 λ Cotu-se s terções, gerdo-se tbel, ode todos os vlores são rredoddos qutro css decms. Coforme se pode observr o método d potêc coverge pr o utovlor ssocdo o utovetor [ 0, 0,667] T. Tbel - Iterção de vetores Iterção Autovetor Autovlor 0 0, 0, 0, 0,667 0,667 0, Outr mer de se utlzr o método d potêc é elevdo-se mtrz de decsão um potêc elevd e multplcá-l por um vetor colu utáro. Em segud deve-se ormlzr o vetor resultte pel orm d som. Etretto, est metodolog coverge pes pr o utovetor. Devedo-se obter o utovlor prtr do utovetor covertdo por meo d equção MWλ W. M M² / / ,5 / 0,5 T 0,5,5 M 4 M ,87 0,656 7, * 0,079 0, ,87 0,094, 0,474 0,87 0

11 Multplc-se mtrz M 8 por um vetor utáro de mesm ordem e ormlz-se pelo máxmo vlor obtedo-se o vetor prordde: 0,87 0,656, 870 M 8 * 0 4 * 0,079 0,065 0,87 0,094 0,474 * 0, , 0, Algortmos Aproxmdos pr o Cálculo de Autovetor de Mtrzes Cosstetes Abordremos dos lgortmos de obteção do vetor de prorddes descrtos ltertur pr mtrzes recíprocs e cosstetes: método d méd dos vlores ormlzdos e o método d méd geométrc. Estes métodos serão exemplfcdos utlzdo mtrz M []: Método d Méd dos Vlores Normlzdos: A méd dos vlores ormlzdos cosste dos segutes pssos: ) Normlzção pel som dos elemetos de cd colu. j W ( M j ) j,..., m j [] W ( M j ) b) Somtóro dos elemetos de cd lh ormlzd dvddo pel ordem d mtrz. 6 / 9 m W ( M ) W ( M j ) /,..., [4] W ( M ) / 9 0, j / 9 0,667 6 / 9 / 9 / 9 c) Cálculo do utovlor ssocdo o vetor clculdo o tem teror. M * W λ * W [ MW ] mx λmx w 6 M * W λ mx * W > / * 0, / 6 / 0,667 0,5 [ MW ] 0,5 λmx * + + w 0, 0, Método d Méd Geométrc: A méd geométrc cosste dos segutes pssos, exemplfcd pel mtrz de decsão M: ) Produto dos elemetos de cd lh elevdo o verso d ordem d mtrz. / (* * 6),607 / W ( M ) j,..., [5] W ( M ) (/ ** ) 0,876 j / (/ 6 */ *) 0,468 b) Normlzção do vetor de prorddes obtdo. 6 / 9 / 9 / 9 6 / 9 / 9 / 9

12 ,607 W ( M ) 0,876 0, [6] 0,468 0,667 c) Cálculo do utovlor ssocdo o vetor clculdo redudrá em resultdo dêtco o subtem teror. [ Mw] Mw λ mx * w λmx w λ mx.6 - Etp 6: Rzão de Cosstêc d mtrz de decsão. Coforme vsto seção deste rtgo, um mtrz recíproc, postv e cosstete possu pes um utovlor dferete de zero e gul o úmero de ordem d mtrz. Sty (99) demostrou que um mtrz A recíproc e postv possu seu utovlor máxmo λmx. A guldde somete é possível qudo mtrz A for cosstete. O Ídce de Cosstêc (IC) fo defdo como: IC(λmx-)/(-), ode λmx é o máxmo utovlor d mtrz de decsão ssocdo o utovetor drero e é ordem d mtrz. Sty (994) propôs tbel 4 com os Ídces Aletóros, do glês Rdom Idex (RI) pr mtrzes de ordem 0. Tbel 4 - Ídce Aletóro RI O ídce de cosstêc (IC) clculdo pr mtrz de decsão é comprdo com o vlor de RI pr forecer Rzão de Cosstêc (RC), de form que RCIC/RI. Se RC for meor que 0,, etão os julgmetos d mtrz de decsão são cosderdos cosstetes, cso cotráro, exste lgum cosstêc os julgmetos e o especlst pode ser solctdo pr rever su opão. Utlzdo-se os resultdos obtdos etp teror referete à mtrz de decsão de ª ordem represettv dos julgmetos descrtos mtrz de decsão M [], verfc-se su rzão de cosstêc. Neste cso teremos, λmx que proporcom os segutes cálculos: IC (λmx-)/(-) (-)/ 0 RCIC/RI0/0,50. A mtrz M fo costruíd recíproc e cosstete, logo o RC é gul zero. Como RC<0,, ão será ecessáro solctr que o especlst revse seus julgmetos..7 - Etp 7: Processo de Agregção dos Vetores de Prordde. Após obter os vetores de prorddes ds mtrzes de decsão referete às ltertvs sob cd subcrtéro, dos subcrtéros em relção os seus crtéros superores e dos crtéros em relção o objetvo prcpl, devem ser

13 gerdos os vlores fs ds ltertvs. 4. ESTUDO DE CASO COMPARATIVO Este estudo comprtvo cosste em evdecr os erros embutdos o se cosderr o vetor de prorddes obtdo com os lgortmos proxmdos presetdos seção o vés de utlzr bordgem do utovetor dreto como bse pr o cálculo do utovlor de um mtrz de decsão cosstete. A tbel 5 lustr um mtrz de decsão propostdmete cosstete costruíd d comprção pr pr de cco ltertvs segudo um determdo crtéro. Tbel 5 - Comprção ds Altertvs Segudo um Crtéro Comprção ds Altertvs segudo um Crtéro A A A A4 A5 A 5 9 A / 4 9 A / / 8 A4 /5 /4 / 7 A5 /9 /9 /8 /7 Pr efeto de cálculo dos lgortmos proxmdos e do utovetor dreto fo desevolvdo um progrm pltform MATLAB. A referêc ser cosderd pr observção do erro será o resultdo do vlor do utovetor dreto ssocdo o utovlor máxmo. Cbe ressltr que fo utlzdo o método umérco d potêc (terção de vlores) pr obteção do utovetor dreto. Empregdo-se os pssos prevstos pelos lgortmos proxmdos presetdos seção, form obtdos os resultdos presetdos tbel 6. O Vetor N e o Vetor G form clculdos utlzdo s equções [] [4] e [5] [6], respectvmete. Tbel 6 - Resultdos dos Vetores de Prordde Méd dos Vlores Normlzdos Méd Geométrc Autovetor Cálculo Vetor N Cálculo Vetor G dreto A ( 7/5+9/56+4/5+7/7+9/4)/5 0,47 (***5*9) /5 0,444 0,46 A ( 7/0+7/7+6/5+8/85+9/4)/5 0,776 (/***4*9) /5 0,86 0,809 A (7/45+/85+8/5+4/85+4/7)/5 0,67 (/*/***8) /5 0,685 0,65 A4 (7/75+/+4/5+7/85+7/4)/5 0,04 (/5*/4*/**7) /5 0,0977 0,007 A5 (/58+/5+/5+/85+/4)/5 0,08 (/9*/9*/8*/7*) /5 0,057 0,069 Os resultdos obtdos com os Algortmos Aproxmdos somete serão gus o resultdo do método do utovetor dreto se mtrz de decsão for cosstete. As dfereçs dos vlores evdecdos Tbel 6 fcm d ms crítcos qudo clculmos prordde globl dos elemetos. Nest stução, o somtóro dests dfereçs ssocdos à utlzção de Algortmos Aproxmdos pode crretr lterção do rg fl ds ltertvs, prcplmete qudo mor ds mtrzes possuírem úmero de ordem gul ou superor. Resslt-se que o vetor resultte pelo emprego de Algortmos Aproxmdos ão possuem ehum relção com o utovetor d mtrz de decsão cosstete. Nest stução, o utovlor obtdo com bse o resultdo do Algortmo tmbém ão possu ehum relção com o utovlor rel.

14 Pr o cálculo d rzão de cosstêc d mtrz de decsão, há ecessdde d obteção do Ídce de Cosstêc (IC). O procedmeto pr o cálculo de um esclr ssocdo o vetor obtdo de um mtrz cosstete com os lgortmos proxmdos demostrdos ão possu ehum fudmeto lgébrco com o utovlor rel dquel mtrz. Portto, ger-se ms um fote de erro o processo coforme pode ser observdo tbel 7. No cso do método d méd dos vlores ormlzdos obteremos: 5 9 0,47,544 λ λ / 0,776 A * VetorN / / 8 * 0,67 / 5 / 9 [ A* VetorN] VetorN / 4 / 9 / / 8 4 / ,04 0,08,499 0,8806 0,588 0,47,544,499 0,8806 0,588 0,47 * ,47 0,776 0,67 0,04 0,08 N mx No cso do método d méd geométrc obteremos: 5 9 0,444,69 / 4 9 0,86,4549 A * VetorG / / 8 * 0,685 0,858 / 5 / 4 / 7 0,0977 0,576 / 9 / 9 / 8 / 7 0,057 0,94 [ A* VetorG] VetorG,69,4549 0,858 0,576 0,94 * ,444 0,86 0,685 0,0977 0,057 G mx 5,69 5,74 Tbel 7 - Resultdo Cosolddo Autovlor Rel Vlor Assocdo o Vetor Normlzdo Vlor Assocdo o Vetor Geométrco 5,97 5,69 5,74 5. CONCLUSÃO Verfcou-se que revsão lgébrc fclt compreesão dos fudmetos do método AHP. Observou-se que o método umérco (método ds potêcs Iterção de vlores) é o ms mgável, pos coverge pr determção do utovlor máxmo ssocdo o utovetor d mtrz de decsão. Resslt-se que o vetor resultte obtdo pelo emprego de Algortmos Aproxmdos ão possuem relção lgébrc com o utovetor d mtrz de decsão cosstete. O utovlor proxmdo obtdo com bse o vetor resultte do Algortmo, tmbém, ão possu relção lgébrc com o utovlor rel. Os resultdos obtdos com os Algortmos Aproxmdos somete serão gus o utovetor ssocdo o utovlor máxmo, se mtrz de decsão for cosstete. Além dsso, o somtóro dos erros ssocdos utlzção de Algortmos Aproxmdos pode crretr lterção do rg fl ds ltertvs. 4

15 REFERÊNCIAS Broso, R.(989). Mtrzes, McGrw-Hll, New Yor. Fguer, J. et l.(005). Multple Crter Decso Alyss, Sprger Scece. Goly B.,Kress M. (99): A Multcrter Evluto of the Methods for obtg Weghts from Rto-Scle Mtrces. Europe Jourl Operto Reserch 69:0-0. Gomes, L. F. A. M., Ary, M. C. G. d Crgo, C.(004). Tomd de Decsões em Ceáros Complexos, Poer Thompso Lerg, São Pulo. Ishz A.,Lust M.(006). How to derve prortes AHP: comprtve study. CEJOR 4: Jswl, N. K.(997). Mltry Opertos Reserch, Kluwer Acdemc Publshers, Msschussets. Sty, T. L.(005). Theory d Applctos of the Alytc Networ Process: Decso Mg wth Beefts, Opportutes, Costs d Rss, RWS Publctos, Pttsburg. 5