APLICAÇÃO DA TÉCNICA DE CONDENSAÇÃO AO ALGORITMO DE OTIMIZAÇÃO GLOBAL

Transcrição

1 XIX Smpóso Brslero de Pesqus Opercol Blumeu-SC, 27 3 de Agosto de 217. APICAÇÃO DA TÉCNICA DE CONDENSAÇÃO AO AORITMO DE OTIMIZAÇÃO OBA Rúb Mr de Olver Stos versdde Federl de Mto rosso do Sul Isttuto de Mtemátc - INMA rub.olver@ufms.br Shh Tg Ju versdde Federl de Mto rosso do Sul Fculdde de Computção - FACOM shh.mrg@gml.com Wellgto de Olver dos Stos versdde Federl de Mto rosso do Sul Fculdde de Computção - FACOM wellgto.olver@det.com.br RESMO A escolh dos potos cs é um crtéro mportte pr eecução de lgortmos de otmzção globl. Este rtgo tem por obetvo corporr o lgortmo Brch-d-Boud com busc locl v técc d Codesção um método pr ecotrr potos cs com vsts à obteção de soluções ótms globs pr os problems geométrcos sgoms. O desempeho computcol do lgortmo proposto fo vldo por meo de problems clásscos e s soluções ótms obtds form comprds com s soluções estetes ltertur. PAAVRAS CHAVE. Progrmção eométr Otmzção lobl, Progrmção Mtemátc. ABSTRACT The choce of strtg pots s mportt crtero for the eecuto of globl optmzto lgorthms. The purpose of ths pper s to corporte method to fd tl pots to obt globl optml solutos for sgoml geometrc problems to the Brch-d-Boud lgorthm wth locl serch v Codesto techque. The computtol performce of the lgorthm ws evluted usg clsscl problems d the optml solutos were compred to estg solutos foud the lterture. KEYWORDS. eometrc Progrmmg, lobl Optmzto, Mthemtcl Progrmmg.

2 XIX Smpóso Brslero de Pesqus Opercol Blumeu-SC, 27 3 de Agosto de 217. Itrodução Otmzção lobl é um especlzção detro d áre de otmzção dedcd à crcterzção e à obteção de mímos (ou mámos globs de problems ão-leres. Soluções bseds em otmzção globl são ecotrds em dversos e mporttes problems prátcos como: problems de ecoom de escl, problems de locção e de loclzção, problems de trsporte e em dversos problems de proeto presetes em Egehr. Do poto de vst computcol, problems de otmzção globl pertecem à clsse dos problems NP-Completos [Vvss 1995], que são problems em que o tempo computcol cresce epoeclmete com o tmho d etrd de ddos pr todo método cohecdo. Em [Mrs e Flouds 1997], os utores propõem um lgortmo que utlz técc Brch-d-Boud pr otmzção globl de problems de otmzção ão-ler. m specto mportte este trblho é defção de um ecelete lmtte feror pr solução globl do problem. No trblho de [Olver e Ferrer 25] fo corpordo o lgortmo clássco proposto em [Mrs e Flouds 1997] um lmtte superor obtdo por meo d técc de Codesção. A Codesção é usd como estrtég de busc locl o lgortmo Brch-d-Boud, vsdo refr o lmtte superor, celerdo dest form covergêc do lgortmo. m propost futur presetd por [Olver e Ferrer 26] pr o melhor desempeho do método proposto dz respeto à qutdde de potos fctíves ecotrdos durte eecução do lgortmo. Este rtgo tem por obetvo corporr o lgortmo o método proposto por [Rucert e Mrtes 1978] pr ecotrr potos cs. A escolh dos potos cs é um crtéro mportte pr eecução do lgortmo de otmzção globl. O poto de prtd fluec dvsão dos lmttes e pode lterr o resultdo completmete. O lgortmo Brch-d-Boud com codesção fo plcdo os problems clásscos d ltertur, cosderdos problems dfíces de resolver, proposto por [Dembo 1976] e [Rucert e Mrtes 1978] e ecotrou solução ótm pr todos os problems. O rtgo está orgzdo d segute mer: o problem de Progrmção eométrc Posoml e lgus cocetos báscos são descrtos Seção 1. N Seção 2, os cocetos sobre Progrmção eométrc Sgoml são presetdos detlhdmete. O lgortmo Brch- d- Boud ecotrse Seção 3. A técc d Codesção é presetd Seção 4. m breve descrção do método pr ecotrr potos cs ecotr-se Seção 5. Os resultdos umércos do lgortmo Brchd-Boud com busc locl v codesção plcdo os problems clásscos d ltertur ecotrm-se Seção 6. Por fm, coclusões e cosderções fs são presetds Seção Progrmção eométrc Posoml Progrmção eométrc é um técc desevolvd pr resolver problems lgébrcos de progrmção ão-ler. Os lgortmos de progrmção geométrc têm sdo costtemete melhordos e tulmete são ferrmets podeross pr resolver problems mporttes em Egehr. A Progrmção eométrc surgu em O mtemátco Rchrd Duff, comprometdo com o desevolvmeto d teor de duldde, soldfcou propost de [Zeer 1961] plcdo- em sus teors. Ve [Beghtler e Phllps 1976]. O desevolvmeto mtemátco d Progrmção eométrc está bsedo relção de desguldde etre somtóros e produtóros de úmeros postvos. Este desevolvmeto teórco chmdo Progrmção eométrc é tmbém cohecdo como Progrmção Posoml. m problem de Progrmção eométrc (P preset segute form gerl: (P Mmzr s. f ( g ( 1, 1,2,..., m., 1,2,...,.

3 XIX Smpóso Brslero de Pesqus Opercol Blumeu-SC, 27 3 de Agosto de 217. m posômo g ( é um fução compost por moômos T do segute tpo: T 1 o qul e, 1,2,, são úmeros res. Como, obtém-se T. Assm, fução obetvo e s restrções podem ser escrts como: f ( :, J T T g ( :, 1,2,, m, J J J1 J m {1,2,, M}. O couto J descreve os termos (moômos d fução obetvo e os coutos J, com represetdo um restrção do problem, descrevem os termos de cd restrção. Esses coutos são mutulmete dsutos; M represet o úmero totl de termos, m o úmero totl de restrções e o úmero totl de vráves do problem. Os resultdos, desevolvmeto teórco e coclusões sobre Progrmção eométrc podem ser vsto em detlhe em [Olver 25]. 2. Progrmção eométrc Sgoml m problem de Progrmção eométrc Sgoml (PS é crcterzdo por um fução obetvo e/ou restrções que são dfereç de dos posômos, ou se, o problem geométrco sgoml cotém um ou ms termos com coefcetes egtvos. Cd moômo do problem é um produto de vráves postvs, sedo que cd um dels pode estr elevd um potêc rel, multplcdo por um costte rel: T 1 Assm, um posômo g ( é um somtóro de moômos T (. Agrupdo-se os moômos de mesmo sl, o problem (PS pode ser formuldo como o segute problem de otmzção oler:. sedo mmzr g ( g ( g ( (PS s. g ( g ( g (, g g ( ( K K 1 1,, 1,..., m. 1,..., m. (2 Em (2,,..., é o vetor vrável de vráves postvs; ( 1 são fuções posoms em g e, pr 1,..., m g ; são costtes res rbtrárs e são coefcetes postvos. Os coutos e dcm que moômos postvos e egtvos formm os posômos respectvmete. Ve [Mrs e Flouds 1997]. g g e,

4 XIX Smpóso Brslero de Pesqus Opercol Blumeu-SC, 27 3 de Agosto de Trsformção em dfereç de dus fuções coves A fução obetvo e s restrções d formulção orgl (PS são gerlmete fuções ão-coves. Aplcdo-se em (2 trsformção ep(, pr 1,...,, obtém-se o segute problem deotdo por (DC, cu fução obetvo e restrções são dfereç de dus fuções coves. (DC s. sedo mmzr K K ep ep 1 1,, 1,..., m 1,...,., Ddo que l(, é ecessáro que, pr 1,...,., 1,..., m. 2.2 mtte Iferor m lmtte feror pr o problem (DC pode ser obtdo trvés d mmzção de um relção cove. Tl relção cove é cosegud subestmdo cd fução côcv, por um fução ler, pr todo 1,..., m. Assm, obtém-se um problem Reldo Coveo, deotdo por (RC, que proporco um lmtte feror pr o problem (DC. mmzr (RC s. Cov Cov, 1,...,., 1,..., m. sedo A B Y Y Y ep( Y ep( Y Y 1 1 K K ep A m( m( Y ep( Y Y Y Y,, 1 B ep( Y ; ; 1 ; N. ; ; 1,..., M ;

5 XIX Smpóso Brslero de Pesqus Opercol Blumeu-SC, 27 3 de Agosto de 217. Em [Olver 25] ecotrm-se os detlhes sobre obteção ds fuções leres (. Observe que o lmtte feror de,, é composto d som de fuções leres. Clrmete, quto meor dfereç etre fução orgl ( e lerzção ( ms próm à solução do problem (RC estrá d solução do problem (DC. A quldde desses lmttes ferores está relcod à form com que termos do tpo ep( são promds por Y fuções leres detro do mesmo tervlo [ Y, ]. 3. Algortmo Brch-d-Boud (BB O lgortmo Brch-d-Boud é um técc de otmzção globl que pode ser plcd em problems de compledde NP-Completo, ecotrdo o mímo globl de um fução ão-cove f sobre um hper-retâgulo Q R. O hper-retâgulo é tertvmete dvddo té que o ótmo globl se obtdo com um dd precsão Apesr de lgums vezes demdr um elevdo esforço computcol, o lgortmo ecotr solução ótm globl em tempo fto. O método Brch-d-Boud pode ser terpretdo como um mer coveete de gerr subdvsões o espço de bus utlzdo lmtes superores e ferores pr refr progressvmete s áres de teresse, evtdo que todo o espço de busc se vestgdo. Este procedmeto term qudo dfereç etre o lmte superor e o feror é meor que tolerâc. No lgortmo BB plc-se um heurístc pr o prtcometo do retâgulo Q que cotrbu pr redução do úmero de buscs ecessárs pr ecotrr solução do problem. Pr um retâgulo Q Q, defe-se ( Q m f (. O lgortmo ecotr ( Q com precsão m Q, usdo dus fuções ( Q e ( Q e defds em Q : Q Q }, ts que lb ub m { lb ( Q m ( Q ub( Q. No processo de rmfcção (prtcpção de retâgulos, o úmero de retâgulos é gul o úmero de terções. Retâgulos podem ser elmdos cso o poto de mímo ão pertece o retâgulo cosderdo. O lgortmo proposto este trblho segue os pssos do lgortmo descrto em [Mrs e Flouds 1997]. 4. Busc ocl V Codesção m tpo prtculr de trsformção bsedo desguldde geométrc-rtmétc é chmd de Codesção. Est técc fo propost clmete por [Duff et l. 1967]. O prcípo básco d codesção é promr um fução posoml mult-termos por um fução de um úco termo, sto é, por um fução mooml. Defe-se o problem geométrco codesdo como um problem geométrco qul tods s fuções posoms tehm sdo reduzds fuções de um úco termo. Ve [Beghtler e Phllps 1976] pr mores detlhes. Tomdo-se um desguldde geérc form ( (, desguldde pode ser ( reescrt como 1, ( qul ( e ( posômo ( um moômo (, o poto geométrc-rtmétc: se, 1,...,, etão w 1 1 w são posômos. O psso segute é codesr o, prtr d desguldde d méd, com w W. Observe que dvsão de ( por (, lev um posômo. Ve [Olver 25] pr mores detlhes. m procedmeto sub-ótmo pr resolução de problems sgoms v codesção é resumdo segur.

6 XIX Smpóso Brslero de Pesqus Opercol Blumeu-SC, 27 3 de Agosto de 217. Algortmo de Codesção Psso 1. Reescrever o problem de progrmção geométrc sgoml form de fução obetvo ler, form de um vrável dcol, e restrções ão-leres como rzões de fuções ( posoms: 1, 1,2,... m; ( Psso 2. Codesr cd fução posoml codesd, um ddo poto fctível ; (, 1,2,..., m um moômo (, (fução Psso 3. Resolver o problem posoml resultte trvés d técc dequd [Olver 25]; Psso 4. O lgortmo term qudo solução correte for gul o poto de codesção. Não hvedo covergê retor-se o Psso 2, com solução tul como o ovo poto d codesção. A técc d codesção fo usd como técc de busc locl o lgortmo BB com fldde de refr o lmtte superor. O Psso 2 do lgortmo BB fo dptdo pr eplorr est técc. A de fudmetl cosste em crr um restrção cove do problem orgl sempre que o poto correte for fctível. Com sso, resolvedo-se o problem coveo mplcdo, melhor do lmtte superor ser celerd. Os detlhes evolvdos dptção d técc de codesção o Psso 2 do lgortmo BB são presetdos em [Olver 25]. Assm, por smplcdde, presetse pes o resultdo fl do Psso 2 segur. Psso 2: Se m ( pr 1,2,..., m etão, o couto de restrções é f -fctível em Resolve-se etão, o Problem Codesdo Coveo. f c,. com Mmzr s. 1 (, 1, 2,...,m (, K d ep 1 1 ep 1 1 e K 1 1 ( ( e d K 1 1 ( * Com solução, 1,2,...,, tulz-se o lmtte superor: * BD BD m (, (.

7 XIX Smpóso Brslero de Pesqus Opercol Blumeu-SC, 27 3 de Agosto de Desevolvmeto do método m propost futur presetd por [Olver e Ferrer 26] pr o melhor desempeho do método proposto dz respeto à qutdde de potos fctíves ecotrdos durte eecução do lgortmo. Neste trblho fo mplemetdo, lgugem C, um método pr ecotrr solução cl. A escolh dos potos cs é um crtéro mportte pr eecução do lgortmo de otmzção globl BB. O poto de prtd fluec dvsão dos lmttes e pode lterr o resultdo completmete. Pr ecotrr potos cs, fo corpordo o lgortmo o método proposto por [Rucert e Mrtes 1978]. Fo utlzdo o método de gerção de potos bsedo solução ótm e os lmttes superores e ferores de cd problem. Cr-se um esfer com cetro solução ótm, brgedo 9% do espço de busc; este espço tero à esfer é utlzdo pr escolh do poto cl de cordo com um etrd letór em um mtrz pré-defd. Cálculo de Potos Ics =.1 vlor ótmo d vrável, b = 1.9 vlor ótmo d vrável, l.b = lmtte feror d vrável, u.b = lmtte superor d vrável, = úmero d vrável, = Mtrz [ % 7 ] [ % 1], u = + ( b, Cálculo do poto cl: Se u < l.b., etão vlor cl d vrável = l.b., Se l.b. u u.b. etão vlor cl of vrável = u, Se u.b. < u etão vlor cl of vrável = u.b. Os úmeros letóros são gerdos com bse Tbel 1, presetd em [Rucert e Mrtes 1978]. O úmero letóro é gerdo pel posção d mtrz [ % 7 ] [ % 1], em que % é o operdor de resto d dvsão; e é o úmero d vrável. Esses úmeros são usdos pr gerr dferetes potos cs. Tbel 1: Tbel de úmeros letóros

8 XIX Smpóso Brslero de Pesqus Opercol Blumeu-SC, 27 3 de Agosto de Epermetos e Resultdos Form testdos todos os problems clásscos propostos em [Dembo 1976] e [Rucert e Mrtes 1978]. Mostrdo-se efcete em 95% dos problems testdos. Ns Tbels 2 e 3 ecotrmse os resultdos pós eecução do progrm, comprdo solução obtd pelo lgortmo de otmzção globl BB com busc locl utlzdo Técc d Codesção, com solução ótm ecotrd respectvmete pelos utores. O lgortmo fo eecutdo em um computdor com segute cofgurção: Itel Core HZ, 4 cores, 8 threds, 8B de memór RAM. A prmer colu refere-se o úmero do problem, segud s soluções ótms ecotrds ds vráves do rtgo, tercer represetdo o úmero de terções ecessárs, qurt represetm s soluções ecotrds pelo lgortmo de otmzção globl BB com busc locl v Técc Codesção e qut o tempo de eecução em segudos. Tbel 2. Comprção com os problems clásscos propostos em [Dembo 1976]. E Solução Dembo (1978 It. Solução BB com Codesção Tempo (s 1 t1= e-6 t2= e-5 4 t1=.19 t2= t3= e-6 t4= e-9 t3=.54 t4=. t5= e-9 t6= e-3 t5=. t6= t7= e-3 t8= e-3 t7= t8= t9= e-5 t1= e-4 t9=.266 t1=.2436 t11= e-4 t12= e-1 g= e+9 t11=.4352 t12= g= e+9 2 t1=78. t2=33. 2 t1=78.5 t2= t3= t4=45. t5= g= t3= t4= t5= g= t1= t2= t3= t4= t1= t2= t3= t4= t5=95. t6= t5=95. t6= t7= g= ª t1= t2= t3= t4= t5= t6= t7= t8= g= b t1= t2= t3= t4= t5= t6= t7= t8=.4715 g= t1= t2= t3= t4= t5= t6= t7= t8= g= t1= t2=.9 t3=.9 t4=.1 t5= t6=.9 t7= t8= t9=5. t1=.1 t11= t12= t13= g= t1 = t2= t3=.9 t4=.9 t5=.9 t6= t7= t8= t9= t1= t11= t12= t13= t14=5. t15=5. t16=.1 g= t1= t2= t3= t4= t5=1.248 t6= t7= g= b t1= t2= t3= t4= t5= t6= t7= g= t7= g= t1= t2= t3= t4= t5= t6= t7= t8= g= t1= t2= t3= t4= t5= t6= t7= t8= g= t1= t2= t3= t4= t5= t6= t7= t8= g= t1= t2= t3= t4=.1 t5= t6= t7= t8= t9= t1=.1 t11= t12= t13= g= t1= t2= t3= t4=.9 t5= t6= t7= t8=.1914 t9=.1912 t1= t11= t12= t13= t14= t15= t16= g= t1= t2= t3= t4= t5= t6= t7=.3379 g= t1= t2= t3= t4= t5=.8265 t6=1. t7= g=

9 XIX Smpóso Brslero de Pesqus Opercol Blumeu-SC, 27 3 de Agosto de 217. Tbel 3. Comprção com os problems clásscos propostos em [Rucert e Mrtes 1978] E Solução Rcert e Mrtes 1978 It. Solução BB com Codesção Tempo (s 1 t1= t2= t3=8.293 t4=1.364 g= t1=17.4 t2=84.9 t3=24.5 g=63 3 t1= t2= t3= t4= g= t1= t2= t3= t4= t5= t6= t7= t8= t9= t1= t11= g= t1=43.2 t2=44.85 t3=66.39 t4=1.11 g= t1=.971 t2=.1985 t3= t4=.7841 t5=1.4 t6=.6948 t7= t8=.9993 g= t1= t2= t3= t4= t5=1.1 t6= t7= t8= g= t1= t2= t3=.875 t4= t5= t6=.448 t7= g= t1=.819 t2=446 g= t1=88.31 t2=7.454 t3=1.311 g= t1=8.131 t2=.6154 t3=.564 t4= g= t1=6.465 t2=.6674 t3=1.13 t4= t5= t6=.5958 t7=.46 t8= g= t1= t2= t3= t4= t5= t6= t7= t8= g= t1=2.953 t2= t3=7.947 t4=.4594 t5=.3579 t6=.4548 t7= t8=1.645 t9= t1=.1 g= t1=83. t2=89. t3=9. t4= g= t1= t2= t3= g= t1= t2= t3= t4= g= t1= t2= t3= t4= t5= t6= t7= t8= t9=1. t1= t11= g= t1= t2= t3= t4= g= t1= t2= t3= t4= t5= t6=.7973 t7= t8= g= t1= t2= t3= t4= t5= t6= t7= t8= g= t1= t2= t3= t4= t5= t6= t7= g= t1= t2= g= t1= t2= t3= g= t1= t2= t3= t4= g= t1= t2= t3= t4= t5= t6= t7=.4156 t8= g= t1= t2= t3= t4= t5= t6= t7= t8= g= t1= t2= t3= t4= t5= t6= t7= t8= t9= t1=.1 g=

10 XIX Smpóso Brslero de Pesqus Opercol Blumeu-SC, 27 3 de Agosto de t1=.724 t2=.724 t3=.724 t4=.2576 t5=.1771 t6=.1218 t7=.253 t8=.1411 t9=.97 t1=.2985 g= t1=.7295 t2=.7133 t3=.73 t4=.2653 t5=.1821 t6=.1241 t7=.1979 t8=.1329 t9=.893 t1=.2947 g= t1=7.4 t2=7.646 t3=7.112 t4=.125 t5=.812 t6=.9558 t7=.382 t8=.358 t9=.353 t1=2.77 t11=.453 g= t1=.3917 t2=.937 t3=.7435e-5 t4=.489 t5=.6431 t6=.251 t7=.66 t8=.22 t9=.55 t1= t11=23831 t12=.1234 t13=.3348 g= t1= t2= t3= t4= t5= t6= t7= t8= g= t1=1355 t2=36312 t3=3212 t4=11.78 t5=37411 t6=3.75 t7=1.12e-8 t8=47399 t9=14739 t1=7793 t 11 =19322 t 12 = t13=14559 g= t1=1766 t2=18664 t3=95.12 t4=387 t5=2 t6=91.5 t7=94.83 t8=11.7 t9=2.19 t1= g= t1= t2= t3=.3474 t4= t5= t6=.4 t7= t8= t9= g= t1=78 t2=33 t3= t4=45 t5= g= t1=.837 t2=.9 t3=.9 t4=.1 t5=.198 t6=.198 t7= t8=74.99 t9=5 t1=.1 g= t1= t2= t3= t4= t5= t6= t7= t8= t9= t1= g= t1= t2= t3= t4= t5= t6= t7= t8= t9= t1= g= t1= t2= t3= t4= t5= t6= t7= t8= t9= t1= t11= g= t1= t2= t3=.59 t4= t5= t6= t7= t8= t9= t1=5. t11= t12= t13= g= t1= t2= t3= t4= t5= t6= t7= t8= g= t1= t2= t3= t4= t5= t6= t7=. t8= t9= t1= t11= t12= t13= g= t1= t2= t3= t4= t5=2. t6= t7= t8= t9= t1= g= t1= t2= t3=.1 t4= t5= t6=.4 t7= t8= t9= g= t1=78. t2= t3= t4=45. t5= g= t1= t2= t3= t4= t5= t6= t7= t8= t9= t1= g=

11 XIX Smpóso Brslero de Pesqus Opercol Blumeu-SC, 27 3 de Agosto de Coclusão Neste rtgo dscutu-se possbldde de melhor de um lgortmo do tpo Brch-d- Boud voltdo pr problems geométrcos sgoms. A tettv de melhor cosstu em corporr, o lgortmo BB, um procedmeto de busc locl bsedo o coceto de Codesção. O lgortmo fo mplemetdo gugem C, plcdo os problems clásscos d ltertur [Dembo 1976] e [Rucert e Mrtes 1978] e presetou ecelete desempeho os problems testdos. Trblhos futuros pretede-se substtur bblotec de otmzção NOP, utlzd este rtgo, por um bblotec ms efcete como MINOS 5.5, um pcote especlzdo pr progrmção ão ler, efcete, porém ão é grtut. Agrdecmetos Os utores grdecem FNDECT Fudção de Apoo o Desevolvmeto do Eso, Cêc e Tecolog do Estdo de Mto rosso do Sul e o CNPq Coselho Ncol de Desevolvmeto Cetífco e Tecológco pelo poo fcero. REFERÊNCIAS BIBIORÁFICAS Beghtler, C. e Phllps, D. T. (1976. Appled eometrc Progrmmg. Joh Wle & Sos. Duff, R. J., Peterso, E.. e Zeer, C. (1967. eometrc Progrmmg. Wle, New Yor. Dembo, R. S. A. (1976. A set of eometrc Progrmmg Test Problems d Ther Solutos. verst of Wterloo, Wterloo. Cdá. Flouds, C. A., e Vsweswr, V. (1993. Prml Reled Dul lobl Optmzto Approch. Jourl of Optmzto Theor d Applctos, 78: Kch,.. (1979. A Poloml Algorthm er Progrmmg. Sovet Mthemtc Dold., 2: Mrs, C.D. e Flouds, C.A. (1997. lobl Optmzto eerlzed eometrc Progrmmg. Computers e Chemcl. 21: Olver, R. M. (25 Algortmos de Busc lobl pr Problems eométrcos e Multplctvos. Tese de Doutordo d FEEC- NICAMP. Olver, R. M. e Ferrer, P. A. V. (26. m Algortmo Brch d Boud com Buscl ocl pr Progrmção eométrc Sgoml. I As do XXXVIII Smpóso Brslero de Pesqus Opercol, oâ-brsl. Prdlos, P. M., e Tho, N. V. (1995. Itroducto to lobl Optmzto. Kluwer Publshers. Rucert. M. J. e Mrtes, X. M. (1978. Comprso of eerlzed Progrmmg Algorthms. Jourl of Optmzto Theor d Applctos, 26 (2, Vvss, S. A. (1995. Complet Issues lobl Optmzto: A Surve, Hdboo of lobl Optmzto Problems, Kluwer Acdemc Publshers, Netherlds. Zeer, C. (1961. A Mthemtcl d Optmzg Egeerg Desg. Proc. Ntl. Acd. Sc., 47 (4,