IND Gerência Financeira

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1 6 IND Geêca Facea apítulo - Valo Pesete e o usto de Opotudade do aptal Neste capítulo estaemos teessados em calcula valoes pesetes (e futuos) e vamos apede como ada paa fete e paa tás com o dheo. Paa quem (como eu!) vveu um país em que a flação mesal chegou a mas de 80%, a déa de que o dheo tem um valo dfeete depededo de qual state de tempo está sedo cosdeado é de uma obvedade absoluta! Nesta stuação, o dheo guadado embaxo do colchão temaa o mês valedo apeas 0% de seu valo cal! Etetato, em países de flação baxa, a oção do dheo que pede valo ao logo do tempo ão é tão damatcamete eal. Valo Pesete Itodução A déa básca é: um eal hoje vale mas que um eal amahã, pos: o dheo de hoje pode se medatamete vestdo e passa a começa a ecebe juos. as pessoas pefeem o cosumo o pesete ao cosumo o futuo, e potato paa covecê-las a desst do cosumo o pesete você pecsa ofeece mas a elas o futuo. Se exste flação, o valo da moeda decesce o tempo, e quato mao a flação, meo o valo de R$ o futuo. Se exste ceteza quato ao ecebmeto de um valo o futuo, meo o valo deste dheo hoje. Um dóla ceto vale meos que um dóla a se ecebdo com ceteza o futuo. Paa smplfca, estaemos supodo calmete que o dheo seá ecebdo (ou pago) um úco peíodo futuo (po exemplo, daqu a um ao). Supoha que 0 é uma quatdade de dheo hoje. Quato vale esta mesma quata daqu a um ao, se a taxa de juos vgete é? A esposta é o valo futuo (ou valo composto) de 0, dado po: ( ) FV. 0 Supoha que é uma quata a se ecebda um state futuo (po exemplo, daqu a um ao). Etão, o valo pesete de é: IND 603 Pofa. Môca Baos

2 7 é chamado de Fato de Descoto, e dca uma taxa de etoo (o pêmo que um vestdo aceta ecebe po aceta a postegação de um pagameto). Esta taxa de atualzação é detemada a pat das etabldades vgetes a ecooma. Se o fluxo futuo fo totalmete ceto, a taxa de atualzação seá a taxa de juos lve de sco (po exemplo, a taxa paga po um título do goveo dos EUA). Se os fluxos futuos foem cetos, o fluxo de caxa futuo espeado deve se atualzado pela taxa paga po títulos com sco e etoo equvaletes. Na vedade, date de uma ceteza com elação a um fluxo futuo, o vestdo podeá equee uma taxa mao que a taxa de juos lve de sco (pos afal, exste sco o pojeto, que deveá se emueado de alguma maea...). Paa calcula o Valo Pesete, ós descotamos pagametos (ou ecebmetos) futuos usado uma taxa de etoo que é ofeecda po vestmetos compaáves. Esta taxa exgda pelo vestdo é feqüetemete cohecda como: taxa de descoto, taxa míma de etabldade, custo de opotudade do captal ou hudle ate. A taxa de descoto é a taxa a qual fluxos de caxa futuos e atuas são tocados (sto é, são dfeetes paa o vestdo). Ela deve copoa: A pefeêca pelo cosumo o pesete (ao vés do cosumo o futuo) A flação espeada A ceteza com elação aos ecebmetos futuos. Po que o ome custo de opotudade do captal? Poque é o etoo que o vestdo dexa de ecebe po vest um pojeto (ao vés de aplca o dheo medatamete um atvo faceo). Po que descota um fluxo de caxa (ou tazê-lo a valo pesete)? Fluxos de caxa em dfeetes states ão podem se detamete compaados, todos os fluxos devem se colocados o mesmo state de tempo, paa podemos compaá-los e adcoá-los. Valo Pesete Líqudo (N et peset value) É a soma dos fluxos de caxa de um pojeto, todos eles tazdos a valo pesete. Em outas palavas, é a dfeeça ete o valo descotado dos fluxos de caxa futuos e o motate de vestmeto cal. Po exemplo, se um vestmeto evolve apeas dos fluxos, 0 e, elatvos aos states 0 (agoa) e (daqu a um ao), o N deste pojeto é: IND 603 Pofa. Môca Baos

3 8 N 0 (.) Gealmete 0 é um úmeo egatvo, dcado um desembolso de dheo agoa. Uma possível ega de decsão é: aceta um pojeto se N > 0. Exemplo.. Você tabalha como aalsta faceo de uma empesa e está avalado o segute pojeto: compa um móvel po R$ sabedo (com ceteza absoluta) que ele valeá R$ 9000 daqu a um ao. Você deve ou ão ecomeda a compa do móvel? A esposta é: depede! Da maea como a peguta fo fomulada, falta uma fomação essecal paa você esolve o poblema, a sabe: qual é a taxa de descoto apopada? Supoha que, se você pode aplca o dheo o baco a uma taxa de 0% auas. A compa do teeo é ada um bom egóco? Vamos olha paa as segutes opções: a) Você aplca os R$ o baco. O fluxo de caxa coespodete é: Daqu a um ao, você va ecebe 85000*(0%) 85000(.) R$ b) Você ecomeda a compa do móvel. O fluxo de caxa coespodete é: IND 603 Pofa. Môca Baos

4 9 Agoa a decsão é óbva: aplque o dheo o baco, pos daqu a um ao você teá OM ERTEZA R$ 500 a mas do que se tvesse vestdo o móvel. Se você tvesse pesado em temos dos valoes o state atual, a decsão sea a mesma, pos o VP de R$ (em t ) é R$ 8500) hoje, equato o VP de R$9000 (daqu a um ao) é R$ 9000/(.) R$ 877 (goado os cetavos). O N (valo pesete líqudo) do pojeto compa do móvel é (goado os cetavos): N (.) Ou seja, o N do pojeto compa de móvel é egatvo. De acodo com a ega de decsão já aucada, o pojeto só seá aceto se o N fo postvo, e assm o pojeto compa de móvel deveá se descatado, pos ão satsfaz esta ega básca. E se a taxa de juos fosse 5%, você ada tomaa a mesma decsão? Taxas de Retoo e Valoes Pesetes O etoo de um vestmeto é: Retoo luco vestmeto Po exemplo, se hoje um vestmeto vale R$ 350 ml e daqu a um ao valeá R$ 400 ml, o etoo é ( )/350 4%. O custo do captal vestdo é o etoo que dexamos de ecebe po ão aplca o dheo um atvo faceo. usto de Opotudade do aptal Exstem duas egas de decsão equvaletes paa sabemos se devemos eta ou ão um vestmeto (ou pojeto): Rega do N: aceta vestmetos com N > 0. Rega da taxa de etoo: aceta vestmetos que ofeeçam taxas de etoos supeoes ao custo de opotudade. IND 603 Pofa. Môca Baos

5 0 Tpos de Fluxos de axa A segu emos apeseta cco tpos de fluxos de caxa. A combação destes tpos os pemtá modela poblemas complexos, e estes tpos báscos seão os tjolos com os quas emos costu ossos modelos faceos. Os tpos báscos de fluxos de caxa são: Fluxos de caxa smples Audades Audades escetes Pepetudades Pepetudades escetes Fluxo de axa Smples É um úco fluxo a se ecebdo uma data futua especfcada. A otação usada os dagamas que epesetam fluxos de caxa é sempe: seta paa cma dcado dheo ecebdo, e seta paa baxo dcado dheo gasto ou vestdo. F t O valo pesete deste fluxo é apeas: Ft ( ) t (.) Supoha agoa que temos um fluxo de caxa F 0. No state t, o valo futuo deste fluxo seá: t ( FV F0 ) (.3) O pocesso de dexa o dheo o mecado e empestá-lo po mas um ao é chamado de composção. Quado cosdeamos juos compostos, a cada peíodo os juos são evestdos, o que leva à expessão (.3), e podemos cosdea que o dheo geado pelos juos a cada peíodo gea mas dheo. Quado falamos de juos smples, os juos ão são evestdos. A dfeeça, os dos casos, pode se damátca, especalmete quado estamos tatado de mutos peíodos de vestmeto. Bascamete, em temos IND 603 Pofa. Môca Baos

6 matemátcos, quado falamos de juos smples estamos os efedo a uma PA (pogessão atmétca), equato os juos compostos epesetam uma PG (pogessão geométca). Exemplo.. Você tem R$ 0000 hoje e aplca a uma taxa de 0% ao ao. Quado você deveá ecebe daqu a 5 aos se: a) Os juos são smples b) Os juos são compostos No pmeo caso você ecebe 0% de R$ 0000 R$ 000 a cada ao, e este valo ão muda. Potato, ao fal de 5 aos você ecebeá: 000(5)0000(5(0.)).5(0000) R$ Se agoa os juos são compostos, você ecebeá ao fal de 5 aos: ( 0.) 0000(.605) R$ Ou seja, uma dfeeça de (0.05) eas paa cada R$ vestdo. Image se você tvesse aplcado R$ 0 mlhões ao vés de R$ 0 ml a dfeeça ão sea ada despezível, ão é mesmo? álculo do Valo Pesete de uma seqüêca de fluxos de caxa smples Supoha que desejamos calcula o de um fluxo que foece R$ após o pmeo ao e R$ ao fal do segudo ao. O deste fluxo é: ode e são duas taxas de juos, a pcípo dfeetes. ( ) ( ) Esta expessão pode se faclmete estedda paa o caso de fluxos de caxa os peíodos,,..., o que leva a: ( ) (.4) Na expessão (.4) estamos supodo que as taxas de juos são dfeetes. No caso de uma mesma taxa válda paa todos os peíodos, a expessão é smplfcada e toa-se: IND 603 Pofa. Môca Baos

7 ( ) (.5) Se todos os fluxos futuos são guas e a taxa de juos é a mesma paa todos os peíodos, (.5) pode se escto como uma pogessão geométca, a sabe: ode ( ) ( x x... x ) x ( x ) x. x x Este tpo de fluxo é chamado de audade. É fácl pova que (.6) pode se eescto como: (.6) (.7) O N (valo pesete líqudo) do fluxo de caxa (.4) quado há um fluxo o state atual (state 0) é: N 0 ( ) (.8) Audade É um fluxo de caxa costate que ocoe em tevalos egulaes de tempo duate um peíodo fxo (e FINITO) de tempo.... Istate de Tempo 0 Po exemplo, supoha que o valo de R$ é pago os states,, 3,...,. Etão, o valo pesete deste fluxo é dado pela equação (.6). Po (.6) e (.7) sabemos que o de uma audade é: IND 603 Pofa. Môca Baos

8 3. ( ) ( ) ( ) (.9) Exemplo.3. O valo pesete de uma audade que paga R$ 000 pelos póxmos 5 aos, a uma taxa de descoto de 0% a.a. é: { 0.609} 379 Exemplo.4. Você que te o equvalete hoje a R$,000,000 daqu a 5 aos. Supoha que a taxa de juos é 0% a.a. Supoha que você decde poupa a mesma quata todos os aos. Quato dheo você deve poupa po ao paa alcaça o seu objetvo? Bascamete, você está tatado de uma audade com valo pesete de R$ mlhão e tem que poupa uma quata R$ (a detema) à taxa de juos de 0% ao ao. O fluxo de caxa desta audade é (ote que a pmea cotbução é feta o ao t, e ão agoa (ao zeo): R$0, { } Ou seja, é uma quata substacal a se poupada po ao, paa gaat que daqu a 5 aos você seja tão mloáo quato alguém que tem HOJE R$ mlhão! Mas, ote que a quata é fxa, etão o valo da sua cotbução daqu a 5 aos seá (em temos eas), substacalmete mas baxo do que é hoje. Exemplo.5. Quato você tem que poupa po ao paa te R$,000,000 daqu a 5 aos sabedo que a taxa de juos é 0% ao ao? Note que o poblema paece o mesmo que o ateo, mas há uma dfeeça fudametal: o mlhão de eas é uma quata a se ecebda daqu a 5 aos (e que atualmete ão sgfca a mesma cosa que um mlhão hoje!). A cota, este caso, é bem mas smples. Image que você comece a poupa o ao (e ão agoa, o ao 0). O fluxo de caxa é: R$ aplcados em t e acumulados po 4 aos IND 603 Pofa. Môca Baos

9 4 R$ aplcados em t e acumulados po 3 aos R$ aplcados em t 3 e acumulados po aos... R$ aplcados em t 4 e acumulados po ao R$ aplcados em t 5 (sem acumulação),000, (.) (.) (.) 4 { (.) (.)... (.) },000, R$0,68... (.) (.) apoxmadamete Ou seja, se você aplca ceca de R$ 0 ml po ao, teá R$ mlhão daqu a 5 aos, mas tem que se lemba que o R$ mlhão seá o valo daqu a 5 aos, que vale meos que o R$ mlhão de hoje. Em tempo: cosdeado a mesma taxa de 0% ao ao, quato vale hoje o mlhão que você va ecebe daqu a 5 aos? A esposta é smples:,000,000 VP (.) 5 R $996 apoxmadamete Ou seja, paa cosegu o mesmo mlhão daqu a 5 aos, você podea alteatvamete aplca R$ 9,96 hoje a 0% ao ao, e esquece da vda, sem faze qualque cotbução adcoal. Podemos esceve a expessão (.9) como:. A O fato A é chamado de fato de audade, e feqüetemete está tabelado, pos é uma cosa meo chata de calcula (em tão chata assm em tempos de computadoes faclmete dspoíves...). O fato de audade epeseta o valo pesete de R$ po ao duate aos à taxa de juos % a.a. Exemplo.6. João da Slva acaba de gaha a lotea, e o pêmo é R$ 50,000 po ao duate vte aos. O pmeo pagameto seá ecebdo daqu a um ao. Esta lotea se chama lotea do mlhão, pos João á ecebe 0*(50,000). Supoha que a taxa de juos é 8% a.a.. Qual o valo pesete do dheo que João va ecebe? IND 603 Pofa. Môca Baos

10 5 Pela equação (.9.) { } R$490, 907 O que João da Slva faz? Abe um pocesso cota o estado po popagada egaosa, já que a lotea é do mlhão, e ão de R$ 490,907! Exemplo.7. Você compa um cao atavés de um facameto. O peço total do cao é R$ 30,000 e você dá uma etada de R$ 4,000 e paga o estate em pacelas mesas de R$650. a) Qual a taxa de juos do facameto? b) Qual devea se a pestação se a taxa de juos fosse de 0.49% a.m.? Se a taxa de juos fosse 0.49% ao mês, a pestação sea: 6000 R$ ( ) % a. m. Audade escete Mutas vezes os fluxos de caxa pagos ou ecebdos tedem a cesce ao logo do tempo, po causa de cescmeto em temos eas ou pela flação. Uma audade cescete é uma seqüêca fta de fluxos de caxa cescetes, que cescem da segute maea: state (g) (g)^ (g)^3... (g)^(-) Qual o valo pesete desta audade cescete? g V P (.0) g é a pestação do pmeo peíodo, é a taxa de juos, g é a taxa de cescmeto pecetual e é o úmeo de peíodos da audade. IND 603 Pofa. Môca Baos

11 6 A expessão (.0) pode se povada a pat da dfeeça ete duas pepetudades cescetes, como mostaemos posteomete. Exemplo.8. Você acaba de se foma a faculdade, e seu pmeo saláo é de R$ 30,000 po ao. Você espea que o seu saláo cesça a uma taxa de 3% ao ao (uma estmatva bastate azoável em temos de Basl) até a sua aposetadoa, daqu a 35 aos. Usado uma taxa de juos de 0% a.a., qual o VP de todos os saláos ecebdos ao logo da sua caea? Paa smplfca a aálse, supoha que o saláo é ecebdo aualmete e o pmeo saláo é ecebdo em t (daqu a um ao). Pela expessão (.0): VP g g ,69.9 Pepetudade É um fluxo de caxa costate, que ocoe em tevalos egulaes, e que se estede ftamete. Seja o valo do fluxo, etão o valo pesete de uma pepetudade é: ( x x...) x x ( ). x (.) O valo pesete da pepetudade é, pela expessão ateo, vesamete popocoal à taxa de juos. A etabldade de uma pepetudade é, pela expessão ateo: (.) Quem emte títulos com este fluxo de pagametos? O goveo btâco, po exemplo. Exste um título chamado cosol que é uma pepetudade. Exemplo.9. Você compa um seguo paa a sua esposa que pomete paga R$,000 po ao a ela equato ela vve. Quato você deve paga po este seguo se: a) A taxa de juos aual é 0% b) A taxa de juos aual é 0% c) Se você pagou R$ 95,000 po este poduto, qual a taxa de juos? Neste caso R$,000. IND 603 Pofa. Môca Baos

12 7 a),000/0. R$ 60,000 b),000/0. R$ 0,000 c) R 000/ % Em tempo, se você tvesse compado uma audade paa a sua esposa po 35 aos tea pago lgeamete mas baato, mas a tea dexado despotegda caso ela vvesse mas do que 35 aos (faça as cotas é uma audade com 35 peíodos!). Exemplo.0. Um mloáo que faze uma doação paa uma uvesdade. A taxa de juos é 5% ao ao, e ele que cotbu com R$ 500,000 po ao. Quato ele deve eseva paa este popósto? Aqu 500,000 e 0.5. Logo, /0.5 R$ 3,333,333 é o valo que ele tem que eseva paa a doação à uvesdade. Relação ete o de uma Audade e uma Pepetudade Exste um agumeto faceo paa demosta a expessão (.9). O que é uma audade que paga R$ os states,, 3,...? Ela pode se pesada como a dfeeça ete uma pepetudade que paga R$ a pat do state cal e uma outa pepetudade que paga a mesma quata a pat do state. O da audade seá etão a dfeeça ete os s das duas pepetudades. E qual o valo atual da pepetudade que se ca o state? Lá o state, ela teá valo pesete /. Logo, é uma questão de taze paa hoje este valo pesete, e assm o valo pesete da pepetudade que começa o state é: ( / ) ( ) ( ) Logo, o da audade é: ( ) ( ), que é exatamete a expessão (.9). Pepetudade escete osdee uma pepetudade, mas mage que o fluxo de pagametos cesce a uma taxa g po ao. Ou seja, state (g) (g)^ (g)^3... (g)^(-)... IND 603 Pofa. Môca Baos

13 8 Note que ão há um pagameto fal (pos estamos tatado de uma pepetudade)! Qual o deste fluxo? ( g) ( g) ( g)... 3 ( ) ( ) ( ) ( )... ( g) ( ) ( ) Esta sée covege desde que (g)/() <, ou seja, desde que g <. ( g)... ( ) ( ) g ( ) g g Exemplo.. Uma empesa está pestes a paga agoa dvdedos de R$5.00 po ação. Os vestdoes espeam que os dvdedos cesçam a uma taxa de 5% ao ao paa sempe. A taxa de juos é 0% ao ao. Qual o peço da ação agoa? Devemos esceve o fluxo de caxa e calcula o seu paa chega ao peço justo da ação. Note que o peço da ação NÃO É apeas o da pepetudade cescete. Po que? Neste caso exste um pagameto sedo ecebdo AGORA (state zeo) equato a fómula da pepetudade o pmeo pagameto é ecebdo o state. Logo, o valo de ão é R$ 5 (valo de agoa) e sm R$ 5 de hoje acescdos de 5%: 5(5%) 5(.005)5.5 Ou seja, este caso o fluxo de pagametos é: Istate 0 (hoje) R$ 5.00 Istate : 5(5%)/(0%) Istate : 5(5%) /(0%)... A pepetudade cescete só começa, a vedade, o state. O deste fluxo (ou seja, o valo justo da ação) é: R$ IND 603 Pofa. Môca Baos

14 9 Peíodos de omposção Até agoa supusemos que os fluxos de caxa ecebdos ou pagos ocoem uma vez ao ao apeas. Na Faça e a Alemaha, a maoa das empesas paga aualmete os juos das suas obgações, equato os EUA e Gã-Betaha os pagametos são semestas. Vamos começa a exama os efetos do aumeto do peíodo de composção. Um exemplo típco é a cadeeta de poupaça, que paga juos de 6% a.a. compostos mesalmete. Seá que sso equvale exatamete a 6% ao ao? Qual o efeto da composção mesal sobe o valo ecebdo? Vamos começa com um exemplo mas smples. Um baco emuea um depósto à taxa de 0% a.a. composta semestalmete. O que sso sgfca? Se aplcamos R$ 000 o baco, ao fal dos pmeos ses meses emos ecebe R$ 050 e, o fal de um ao, ecebeemos R$ 050*(0.05) R$ Logo, a ossa queza ao fal de um ao é mao do que os R$ 00 que ecebeíamos se os 0% de juos fossem compostos aualmete. Neste caso, os 0% compostos semestalmete equvalem a 0.5% compostos aualmete. E se os 0% fossem compostos tmestalmete? Se a aplcação cal fosse de R$ 000, ao fal do o. tmeste ecebeíamos: Ao fal do o. tmeste, o valo acumulado sea: Ao fal do 3 o. tmeste: E, ao fal do o 0.0. ao teíamos: Logo, a taxa de 0% a.a. composta tmestalmete equvale a 0.38% composta aualmete. De uma foma geal, a composção de um vestmeto de R$ m vezes ao ao à taxa gea, ao fal de um ao: m m (.3) IND 603 Pofa. Môca Baos

15 30 ode é o vestmeto cal, é a taxa cotada aual de juos ou taxa pecetual aual (sto é, a taxa que ão leva em cota a feqüêca de composção). A taxa aual efetva ou edmeto aual efetvo (ou taxa de juos composta aual equvalete) é a taxa de etoo do vestmeto, po exemplo, 0.38% o exemplo ateo, o qual a taxa cotada de juos é 0% e a composção é tmestal. A taxa aual efetva é dada po: m m (.4) Po causa do pocesso de composção, a taxa aual efetva é mao que a taxa cotada aual. Em temos mas pecsos, abaxo estão as defções de taxa efetva e taxa omal (ou taxa cotada) de acodo com o lvo Matemátca Facea, de Abelado de Lma Pucc: Taxa efetva É aquela em que a udade de efeêca de seu tempo cocde com a udade de tempo dos peíodos de captalzação. Assm, são taxas efetvas: 3% ao mês, c aptalzados mesalmete; 4% ao mês, captalzados mesalmete, e assm po date. Taxa omal É aquela em que a udade de efeêca de seu tempo ão cocde com a udade de tempo dos peíodos de captalzação. A taxa omal é quase sempe foecda em temos auas e os peíodos de captalzação podem se semestas tmestas ou mesas. Exemplos de taxas omas: % ao ao, captalzados mesalmete; 4% ao ao, captalzados mesalmete. Os esultados ateoes pode se esteddo paa váos aos. Supoha que temos um vestmeto po aos a uma taxa de juos composta m vezes ao ao. Quato dheo vamos ecebe se aplcamos R$ po todo o peíodo e evestmos cada pacela ecebda? A esposta é: m. (.5) m Exemplo.. Qual a taxa aual efetva da cadeeta de poupaça, que paga 6% a.a. compostos mesalmete. A taxa é apeas: IND 603 Pofa. Môca Baos

16 3 m m % aptalzação otíua O que acotece quado o úmeo de peíodos de composção aumeta defdamete? Em temos matemátcos, qual é o lmte: m lm m quado m tede a fto? Do cálculo, pode-se pova que este lmte é exp(). Logo, po (.5), após aos emos ecebe R$.exp(.). Logo, O valo futuo (após um ao) de R$ aplcados hoje à taxa composta cotuamete é: FV. e O valo futuo após aos, com taxa e captalzação cotíua é: FV. e. (.6) Podemos descota (.6) e ecota o valo pesete de um fluxo FV ecebdo em aos com taxa e captalzação cotíua: FV FV e e.. Paa que usa sso? Smplfca mutíssmo as cotas em modelos sofstcados e é uma boa apoxmação quado o dheo é evestdo daamete. Estas duas expessões usado captalzação cotíua apaecem úmeas vezes as fómulas de pecfcação de opções, e a aálse de Black e Scholes supõe-se juos cotuamete compostos. Também, é mutas vezes azoável supo que um fluxo de caxa se dstbu ufomemete ao logo do tempo, e este caso o uso da captalzação cotíua é bastate atual e tutvo. Na vedade, quado olhamos pela pmea vez paa modelos evolvedo peços de atvos faceos, em que as taxas exp(.) e exp(-.) apaecem, tudo é muto estaho. Qual a déa po tás dsso? É apeas um caso lmte de juos compostos que, po sua vez, são apeas uma pogessão geométca. IND 603 Pofa. Môca Baos

17 3 Exemplo.3. (Efeto do peíodo de composção) A póxma tabela exbe algumas taxas de juos auas e úmeo de peíodos po ao em que os juos são cedtados. TAXAS DE JUROS EQUIVALENTES taxa aual p úmeo de peíodo em que os juos seão computados cotuamete mesal meses 3 meses 6 meses 9 meses aualmete 6.00% 6.8% 6.7% 6.5% 6.4% 6.09% 6.04% 6.00% 0.00% 0.5% 0.47% 0.43% 0.38% 0.5% 0.% 0.00% 5.00% 6.8% 6.08% 5.97% 5.87% 5.56% 5.7% 5.00% 0.00%.4%.94%.74%.55%.00% 0.48% 0.00% 5.00% 8.40% 8.07% 7.75% 7.44% 6.56% 5.75% 5.00% Note que a taxa aual de 6.00% equvale a 6.09 % quad o os juos são computados semestalmete. Esta mesma taxa equvale a 6.7 % auas se os juos são computados mesalmete. omo passa de uma taxa pa a outa? Faça ( /m) m ( ) ode é a taxa cotada aual, m é o úmeo de peíodos em que os juos são computados e é a taxa efetva aual equvalete à. Po exemplo, a taxa tmestal equvalete a 5% ao ao é ecotada atavés de: ( ) ( ) %. 4 O poto fudametal ao tabalha com valoes faceos é: lembe-se que o valo de R$ 0 hoje ão é o mesmo que daqu a ao, e po sso é mpotate coloca todas as quatas que estão sedo cosdeadas a mesma base, ou seja, o mesmo state de tempo. A escolha de qual seá o state de tempo em que emos olha paa o dheo é, até ceto poto, elevate, e gealmete ao compaa dos valoes (ou fluxos de caxa, fluxos de dheo) escolhe-se o state atual, e calcula-se o valo pesete (ou valo atual, ) dos fluxos. Exemplo.4. Uma pessoa plaeja se aposeta daqu a 0 aos e decde coloca uma quata x o baco pelos póxmos 40 meses de tal foma que, após este peíodo, ela podeá eta R$ 000 IND 603 Pofa. Môca Baos

18 33 po mês pelos 360 meses subseqüetes. Supodo uma taxa de juos de 6% ao ao computados mesalmete, qual o valo de x que deveá se poupado a cada mês? A taxa de juos mesal é 6%/ 0.5%. O pmeo passo é calcula o valo pesete da quata a se poupada os póxmos 40 meses, que é: x x x x x x O valo pesete da quata a se esgatada os meses 40, 4,..., 599 é: Obvamete estes dos valoes atuas devem se guas, e assm: x Resolvedo algebcamete com 0.5% leva a x R$ 360,99. xemplo.5. (TIR Taxa Itea de Retoo) que toa o valo atual do uxo de caxa gual ao pagameto cal., ou IRR) é a taxa de juos que faá com E A taxa tea de etoo de um vestmeto é a taxa de juos fl Em outas palavas, a taxa tea de etoo (TIR que o valo pesete dos fluxos de caxa geados pelo vestmeto seja gual ao peço (ou custo) cal do vestmeto. IND 603 Pofa. Môca Baos

19 34 É mas fácl etede sso com um exemplo. Supoha que você compa um título hoje po R$ 00, com a pomessa de ecebe R$ 60 daqu a um ao e R$ 60 daqu a dos aos. Qual a taxa tea de etoo (em glês, teal ate of etu ou yeld ) deste título? Pecsamos acha (a taxa de juos) tal que: ( ) Seja x /( ). A equação acma é, em temos de x: 00 60x 60x 60x 60x 00 0 omo x > 0 segue que: x e etão 3.% (vefque). Se agoa o título paga R$ 60 daqu a ao, aos, 3 aos,..., aos, a taxa tea de etoo é ecotada atavés da equação: x 60x ( ) ( ) x Esta é uma equação de gau que deve se esolvda (em geal umecamete) paa x. Note que o Excel tem uma fução paa a TIR, e você pecsa da uma estmatva cal paa a taxa paa que o algotmo covja e o pogama ecote a solução. A extesão destes agumetos paa um título que paga valoes dfeetes a cada peíodo é tval. Supoha que você paga hoje R$ c po um título, e á ecebe b, b,..., b ao fal dos peíodos,,...,. Etão, o yeld deste título é o valo > - tal que: b b b b j c... c 0 (.7) j j ( ) ( ) ( ) O valo de ecotado é úco se b, b,..., b 0 e c > 0. Mas, se os sas de um ou mas dos b j s foem egatvos, pode ão exst solução úca, o que é poblemátco! Ecota a TIR é um pocedmeto teatvo, ou seja, a equação (.7) tem, a maoa dos casos pátcos, que se esolvda umecamete. O tpo mas smples de título que se pode costu é o zeo-coupo bod, em que exste apeas um pagameto, o fal do peíodo. Paa este título a detemação do yeld é tval, e a vatagem destes zeo-coupo bods é que títulos mas complcados podem se ecaados como somas de zeo-coupos. Num zeo coupo bod veste-se hoje uma quata x espeado ecebe uma quata y daqu a peíodos. A taxa tea de etoo deste título é o valo que satsfaz: y x ( ) IND 603 Pofa. Môca Baos

20 35 Exemplo.6. Qual deve se o peço justo de um título que pagaá R$ 00,000 daqu a 6 meses sabedo que a taxa de juos atual é de 0% ao ao? A taxa de 0% ao ao equvale a 5% em 6 meses. O valo justo do título é x tal que: x ( 0.05) x R$ 95.38, 0.05 Exemplo.7. Um vestmeto tem o segute fluxo de caxa: Istate Valo Qual a TIR deste pojeto? Você tem que esolve paa a segute equa ção: ( ) ( ) ( ) ( ) 4 ( ) 5 ( ) 6 Pelo Excel, usado a fução TIR, a solução é 5.03%. Vamos faze uma bcadea... omo seá que a TIR vaa quado a gete muda estes fluxos? Ou seja, vamos faze uma aálse de sesbldade. Especfcamete, eu queo calcula a TIR agoa mudado os dos últmos pagametos paa 900, 950, 000, 050, 00, ou seja, vou te uma matz 5 po 5 cujas células são as dvesas TIR. Os esultados estão a póxma tabela. IND 603 Pofa. Môca Baos

21 36 state 5 state % 4.35% 4.58% 4.8% 5.03% % 4.57% 4.80% 5.0% 5.5% % 4.79% 5.0% 5.4% 5.46% % 5.00% 5.% 5.44% 5.66% % 5.% 5.43% 5.65% 5.87% Se acedtamos que os states 5 e 6 os fluxos jamas seão feoes a 900, etão a TIR do osso pojeto uca seá meo que 4.%. Você já pesou se fzéssemos uma aálse ada mas sofstcada e colocássemos uma dstbução de pobabldade paa os fluxos em cada state? A gete podea etão te um cojuto de TIRs smuladas! Supoha agoa que a taxa de juos é 5% e você que sabe quato pagaa pelo pojeto que a gea os fluxos de caxa desctos ateomete paa os states a 6. Ou seja, paa detema o peço justo do pojeto você pecsa calcula o dos fluxos dos states a 6 usado a taxa de 5% ( ) (.05) (.05) (.05) (.05) (.05) 500. Ou seja, como a taxa (5%) é lgeamete feo à TIR (5.03%), o valo justo do pojeto é lgeamete supeo ao valo pago po ós (R$ 5000). Paa gahamos sesbldade, exbmos a segu uma pequea tabela com os peços justos deste pojeto em fução da taxa de juos. Note que, quato mao a taxa, meo o, sto é, meo o valo a se pago pelo pojeto. Taxa 3% 5, % 5,8.66 5% 5,00. 6% 4, % 4, % 4, % 4, % 4,7.0 % 4, Nota: o Excel ão podemos usa detamete a fução VP paa calcula o valo pesete deste fluxo, pos esta fução supõe que todos os pagametos são guas, o que ão ocoe este exemplo. IND 603 Pofa. Môca Baos

22 37 Taxas de Juos Reas e Nomas Eu teho R$ 0,000 paa aplca um baco e o geete me ofeece um DB de ao que me paga 0% ao ao. Este é ou ão um bom egóco? A esposta é: depede! Depede do que? Do pode de compa dos meus R$,000 daqu a um ao, ou seja, depede da flação este peíodo. Po exemplo, exstem duas stuações bem dsttas: Se a flação os póxmos meses fo de 0%, etão o meu DB fo um ótmo egóco, pos os meus R$,000 daqu a meses valem mas que os meus R$ 0,000 hoje, ou seja, a taxa de juos eal do meu DB fo postva. Se, ao cotáo, a flação os póxmos meses fo de 50%, eu ete pelo cao, pos em temos eas ped dheo, os meus R$,000 daqu a meses valem meos que os meus R$ 0,000 hoje, ou seja, a taxa de juos eal do meu DB fo egatva. Note que, em ambos os casos, a taxa de juos omal do DB é a mesma, 0% a.a. omo calcula a taxa de juos eal? ( )( ) o m al eal Ode dca a taxa de flação, omal é a taxa de juos omal e eal é a taxa de juos eal. Reaajado os temos esta últma expessão leva a: o o m al m al eal eal Exemplo.8. Se a taxa de flação é 3%, e a taxa de juos omal é 4%, qual a taxa de juos eal? eal 0.97% e ão % como uma cota smplfcada (4% - 3%) podea dca! Obvamete, a taxa de juos eal seá egatva quado a taxa de juos omal fo meo que a flação do peíodo. E sso acotece a pátca? Sm, e às vezes como polítca de goveo. Po exemplo, há algum tempo o goveo japoês vem matedo as taxas de juos eas da ecooma egatvas paa desestmula a poupaça e estmula o cosumo, com o objetvo de da um gás a ecooma. De maea geal, quado é ecessáo estmula a ecooma, os IND 603 Pofa. Môca Baos

23 38 goveos tedem a eduz a taxa básca de juos, o que po vezes leva a taxas eas egatvas, como o caso japoês e, mas ecetemete, o caso dos EUA, ode a taxa básca da ecooma se ecota o meo ível em 40 aos. E como gaat que a taxa de juos eal que você va ecebe o DB que compou do baco é postva? Você ão cosegue gaat! Na vedade, guém cosegue, pos guém cosegue peve qual seá a flação ao logo dos póxmos meses (em aqu em em qualque país do mudo!). E o que você faz etão? No fudo está assumdo um sco! Que sco? O sco de esta pé- fxado, sto é, o sco de sabe a po o quato o seu dheo va ede (0%) e ão sabe o quato a flação podeá se, e daqu a um ao o seu dheo te peddo pode de compa. Logo, po mas segua que seja a sua aplcação facea, SEMPRE EXISTE RISO! Voltado ada à questão do que faze com os seus R$0,000 pelos póxmos meses, a déa de esta pé-fxado um DB pode ão se uma má déa. Po que? E se você tve boas azões paa acedta que a flação pode desce ao logo dos póxmos meses? Você podea esta gaatdo hoje uma ótma taxa aual, que você talvez ão cosegusse paa o seu dheo a póxma semaa, quado todo mudo começasse a acedta que a flação podea começa a ecua. E se você acedtasse que esta pé-fxado e peso um DB pelos póxmos meses sea muto sco, o que podea se acetável paa você? ompa um título pós-fxado, que acompahasse a vaação dos juos daamete ou etão a vaação da flação. Desta foma você podea te ceteza que ão devea esta se afastado muto da flação do peíodo (exstem algumas sutlezas o cálculo do peço destes títulos, a chamada macação a mecado, mas sso já é uma estóa mas complcada). Efm, você já deve te otado a esta altua que qualque decsão de vestmeto, seja um ível pessoal ou empesaal, é chea de scos, e estes pecsam se meddos, cotablzados e avalados paa que uma decsão coeta seja tomada. Peste ateção que eu escev decsão coeta ete aspas. Po que? Exstem tatas vaáves a estma, tatas ceteza que, o fudo, ão podemos esta absolutamete cetos de estamos tomado a (úca) decsão coeta, mas apeas a decsão coeta com as fomações de que dspomos. Exemplo.9. (Um zeo-coupom bod à baslea) Uma LTN (Leta do Tesouo Nacoal) é um exemplo clássco de um zeo coupom bos (bôus de coupom zeo). A LTN é um título pé-fxado, emtdo pelo Tesouo Nacoal, cujo valo fal é R$ 000 uma data futua, gealmete daqu a 80 ou 360 das. O peço pelo qual a LTN é compada hoje eflete a taxa de juos o peíodo até o vecmeto. IND 603 Pofa. Môca Baos

24 39 omo exemplo, apesetamos a segu o esultado de algus lelões ealzados o íco de 00 paa LTNs de 6 e meses. As LTNs de 3 e 8 meses ão foam egocadas o peíodo. LTN 6 MESES Volume Ofetado (em ml títulos) Volume Veddo (em ml títulos) Valo Faceo Aecadado (em R$ mlhões) Retabldade Méda (ao ao) Retabldade Máxma (ao ao) Pazo (em das) 08/ja/00,000,000, % 9.% 0 5/ja/00,000,000, % 9.8% 03 /ja/00,000,000, % 9.53% 95 9/ja/00,000,000, % 9.80% 7 05/fev/00 3,000 3,000, % 9.98% 0 4/fev/00,500,500, % 9.43% 0 9/fev/00,000,000, % 9.65% 59 6/fev/00,000,000, % 9.04% 5 05/ma/00,000,000, % 8.70% 45 /ma/00,000,000, % 8.49% 38 9/ma/00,500,500, % 8.30% 3 6/ma/00,500,500, % 8.56% 4 Note (a póxma tabela) que: Nem sempe o Tesuo ofeece os títulos (po exemplo ão ofeeceu LTNs de meses em 4 e 9 de feveeo de 00); Nem sempe exste demada paa todos os títulos ofetados), po exemplo, o pmeo lelão de 00 paa as LTNs de meses). LTN MESES Volume Ofetado (em ml títulos) Volume Veddo (em ml títulos) Valo Faceo Aecadado (em R$ mlhões) Retabldade Méda (ao ao) Retabldade Máxma (ao ao) Pazo (em das) 08/ja/00, % 0.60% 448 5/ja/ %.90% 44 /ja/ % 0.98% 434 9/ja/ %.34% 47 05/fev/ %.05% 40 4/fev/00 9/fev/00 6/fev/ % 9.87% /ma/ % 9.% 39 /ma/ % 8.88% 385 9/ma/00,000, % 8.68% 378 6/ma/ % 8.9% 37 IND 603 Pofa. Môca Baos

25 40 Mateal Adcoal paa Letua Ross, Westefeld e Jaffe (00) Admstação Facea capítulo 3. Fabbozz, F. J. (000) Mecado, aálse e estatéga de bôus: títulos de eda fxa tadução da 3 a. edção amecaa, Qualtymak edtoa. Fotua, E. (00) -Mecado Faceo Podutos e Sevços,Qualtymak edtoa. Algumas Fuções Faceas o Excel Fução VP Valo Pesete VF valo Futuo TIR taxa tea de etoo Agumetos (taxa, úmeo de peíodos, pagameto, valo futuo ou saldo em dheo, tpo (valo lógco)) (taxa, úmeo de peíodos, pagameto, valo pesete, tpo (valo lógco)) (valoes, estmatva valo póxmo do que se maga paa a TIR, seve como chute cal) Sufado a teet Euopea Facal Maagemet Assocato Pága de um cuso de Faças a Uvesdade de Illos: Ste do Pof. Damodaa: IND 603 Pofa. Môca Baos