Equivalências em modelos MOLP-DEA que fornecem bechmarks para unidades ineficientes o modelo MORO-D-R

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1 INGEPRO Iovação, Getão e Podução Maço de, vol., o. 3 ISSN Equvalêca em modelo MOLP-DEA que foecem bechmak paa udade efcete o modelo MORO-D-R Slvo Fgueedo Gome Júo (UFF) João Calo Coea Baptta Soae de Mello (UFF) Lda Agulo Slvo Fgueedo Gome Júo (UFF) Maa Cecíla de Cavalho Chave (UFF) Elae Rbeo Peea (UFF) Reumo: Ete atgo tem como obetvo apeeta um ovo modelo DEA-Multobetvo, o MORO-D-R. Ete modelo é devado do modelo MORO-D pela elaação da etçõe degualdade. Ambo o modelo foecem alvo e bechmak alteatvo ao foecdo pelo modelo DEA cláco. É demotado qual a codção paa o do modelo foeceem oluçõe dêtca e motam-e qua a vatage do uo do modelo MORO-D- M o luga do MORO-D. Palava-chave: Pogamação Lea Multobetvo; Aále Evoltóa de Dado; Alvo, Bechmak.. Itodução A pogamação lea deto do coteto da Pequa Opeacoal tem do amplamete dvulgada e aplcada a ma dvea áea. No etato, etem cao em que ma de um obetvo, muta veze cofltate, podem ocoe quado tetamo ecota a melho olução poível a um poblema de otmzação. Nete cao a Pogamação Lea Multobetvo (PLMO) e apeeta como uma foma de ecota uma olução, que ete cao, dado que etem múltplo obetvo, eá um couto de oluçõe efcete, chamada de ão domada, paa o poblema (ANGULO-MEZA et al., 6) A utlzação de poblema multobetvo pode epeeta uma gade vatagem com elação à pogamação lea moo obetvo, po codea váo apecto de um poblema (CLÍMACO et al., 3). Além do, equato que ao otmza um poblema de pogamação lea moo obetvo (ou otmzação ecala) é obtda uma olução ou um couto de oluçõe ótma, com um memo valo a fução obetvo. Já, a otmzação de poblema lea multobetvo (ou a otmzação vetoal) obtém-e um couto de oluçõe efcete, também chamada de ão domada, ão compaáve ete em temo do valoe da fuçõe obetvo., Dete ea o deco podeá ecolhe levado em codeação apecto opeacoa e geeca. Em outo coteto, a Aále Evoltóa de Dado (CHARNES et al., 978), ma cohecdo po DEA, po eu ome em glê Data Evelopmet Aal, é uma abodagem ão paamétca paa avalação de efcêca de um couto de udade podutva, chamada de DMU, que utlzam o memo ecuo (put) paa poduz o memo poduto (output). Em DEA é calculado um ídce de efcêca paa cada uma da DMU, podedo clafcá-la em efcete (efcêca %) ou efcete (efcêca meo que %). Paa a DMU efcete ão calculado alvo, íve do put e output que devem e atgdo paa ele e toaem efcete, am como um couto de efeêca, que ão DMU efcete, bechmak, que evem de eemplo de boa pátca geeca. 4

2 Etetato, cada modelo DEA calcula um e omete um alvo paa cada DMU efcete, e que etá baeado a poeção detemada pelo modelo DEA padão. No etato, etem alteatva paa ecolhe ee alvo, o últmo ao têm ugdo modelo paa detema alvo alteatvo que eam pefeíve paa o decoe. Ete tabalho apeeta uma modfcação ao modelo Pogamação Lea Multobetvo (PLMO) que detema ão omete um, ma um couto de alvo paa a DMU efcete, deomado MORO-D (SOARES DE MELLO et al., 3; LINS et al., 4; QUARIGUASI FROTA NETO e ANGULO-MEZA, 7). A modfcação apeetada ete tabalho faz uma elaação da etçõe de gualdade e eá deomada modelo MORO-D-R. Ambo o modelo apeetam paa o deco a vatagem de pode ecolhe o alvo da ua pefeêca ou que etea deto da pobldade opeacoa de cada DMU. A vatage do modelo MORO-D-R também eão apeetada, uto com o potecal paa futuo deevolvmeto.. Utlzação de PLMO o coteto DEA A PLMO e DEA têm váo poto em comum tal como é claamete apeetado o tabalho de Joo et al (998), Clímaco et al (8) e á tha do uado, em gade codeaçõe teóca po Gola (988). Muto pequadoe têm apovetado ee poto em comum paa obte vatage de um ou outo efoque (HALME et al., 999; KORHONEN et al., 3; SILVEIRA et al., 8; LOZANO e VILLA, 9; SOARES DE MELLO et al., 9), além do á ateomete ctado. Po outo lado, o modelo DEA cláco o alvo paa a DMU efcete ão obtdo atavé de uma poeção baeada a edução equpopocoal do put ou o aumeto equpopocoal do output. Paa cada oetação ee alvo é úco. Etetato, eta poeção ão copoa ehum coceto que mote e pefeível a qualque outa a fotea, e tampouco leva em cota pefeêca do deco a buca de um alvo efcete. OU ea o alvo é efcete, ma ão é eceaamete efcaz (GOLANY, 988). No tabalho de Gola (988) é apeetado um algotmo paa ecota alvo que eam multaeamete efcete e efcaze, egudo a opão do deco. Ete algotmo coepode a um modelo multobetvo ão fomalzado pelo auto (CLÍMACO et al., 8). O modelo MORO-D apeetado em Soae de Mello et al (3) L et al (4), Quagua-Fota Neto e Agulo-Meza (7), fomalza o poblema multobetvo mplícto o algotmo de Gola (988). Eta fomalzação eá apeetada a egu. 3. Modelo multobetvo paa detemação de alvo alteatvo: MORO-D O modelo MORO-D apeetado em Soae de Mello et al (3), L et al (4), Quagua-Fota Neto e Agulo-Meza (7) é um modelo multobetvo paa detemação de um couto de alvo paa uma DMU efcete. Nete modelo, a déa pcpal é que o cemeto o output e a eduçõe o put ão ealzada de foma depedete. Em () é apeetado o modelo multobetvo MORO-D veão CRS. ma ma m ( ) INGEPRO Iovação, Getão e Podução Maço de, vol., o. 3 ISSN

3 INGEPRO Iovação, Getão e Podução Maço de, vol., o. 3 ISSN m m Sueto a:, =,...,, =,..., m, =,...,, =,..., m O modelo em () pou uma fução obetvo paa a poeção de cada vaável. Am, epeeta o cemeto paa cada output, e, epeeta a edução paa cada put. A dua pmea etçõe do modelo gaatem que o alvo ecotado etea a fotea efcete. A dua últma etçõe gaatem que a DMU ea domada pelo alvo o etdo de Paeto, to é, o alvo ão pode te ehum put mao em ehum output meo do que a DMU. Ete modelo é a veão CRS, po codea popocoaldade ete put e output. Já a veão VRS devea e cluída a etção de covedade, to é,. Pode-e obeva que o modelo () pou + m fuçõe obetvo, to é, a quatdade total de fuçõe obetvo é gual à quatdade total de vaáve (put + output) do modelo DEA. Tem-e vaáve, m vaáve e vaáve, um total de + m + vaáve de decão do modelo multobetvo. Com elação à etçõe, paa a veão CRS temo + m etçõe de gualdade. A vaáve de decão do modelo multobetvo ão,, m. A etçõe do modelo () ão emelhate à do modelo do evelope tadcoal. A dfeeça é que o modelo MORO-D a etçõe de degualdade, ão ubttuída po etçõe de gualdade. Eta ubttução gaate que o alvo eam poto fotemete efcete, ma apeeta coveete de odem computacoal. Se a DMU fo efcete, logo etaá a fotea ecotado-e a fotea Paeto efcete ou fotemete efcete e am,,. Cao cotáo, o alvo paa o output ão dado po () e o alvo paa o put ão dado po (3)., (), (3) O valo fal e depede do valoe que o deco ecolheu paa dete a oluçõe ão domada do modelo poblema (). Deta foma, é poível obte alvo alteatvo baeado a pefeêca do deco. Além da dfculdade computacoa, a etçõe de gualdade toam tval e em teee ceta aále como o etudo do poto Nad (METEV e GUEORGUIEVA, ). 4. Modelo multobetvo com elaação da gualdade MORO-D-R Na eção ateo, o modelo MORO-D fo apeetado e ceta lmtaçõe foam detacada. Com o obetvo de obepua ea lmtaçõe apeeta-e em (4) o modelo MORO-D-R, com uma elaação da gualdade do modelo MORO-D. e 6

4 INGEPRO Iovação, Getão e Podução Maço de, vol., o. 3 ISSN ma ma m m m ( 4 ) Sueto a:, =,...,, =,..., m, =,...,, =,..., m No modelo (4), tal como o modelo (), tem-e + m fuçõe obetvo, to é, quatdade total de fuçõe obetvo gual à quatdade total de vaáve (put + output) do modelo DEA. Tem-e vaáve, m vaáve e vaáve, um total de + m + vaáve de decão do modelo multobetvo. Com elação à etçõe, paa a veão CRS temo + m etçõe de gualdade. A vaáve de decão do modelo multobetvo cotuam edo,, m. Nete modelo (4) obeva-e que o do pmeo couto de etçõe ão gua ao do modelo do evelope, o etdo de ua degualdade. 5. Valdação do uo do modelo MORO-D-R Paa que e poa ua o modelo MORO-D-R o luga do modelo MORO-D é eceáo vefca qual a elação etete ete o couto de oluçõe do do modelo. Paa embaa a demotaçõe eceáa eão, em eguda, evto algu coceto: 5.. Fotea de Podução Segudo L e Agulo-Meza () um couto de pobldade de podução T (egão vável) pou a egute popedade: ª popedade: Covedade: Se (, ) T, =,..., e, =,..., ão ecalae ão egatvo ta que etão: (.,. ª popedade: Iefcêca ) T (5) Se (, ) T e, T (6) Se (, ) T e, T (7) 3ª popedade: Rao lmtado (o cao de fotea CRS) 7

5 INGEPRO Iovação, Getão e Podução Maço de, vol., o. 3 ISSN Se (, ) T k, k T, k > (8) 5.. Fotea Paeto efcete (fomulação ão aqumedaa) Sea L() um couto de put e h (, ) m h/ h L( ), h ode h é o meo valo, empe meo que, tal que, multplcado pelo veto de umo da DMU, eulta em uma edução equpopocoal dete umo. Sea L / h(, ) a fotea de podução paa um dado couto de output. Eta fotea pode cote dua DMU com o memo valo de poduto e do vetoe de umo da foma:,...,,..., m L (9),..., d,..., m L () Com d >, é, potato, Paeto efcete. Am L () defe a fotea facamete efcete. Sea agoa L E / h(, ) tal que L( ) o couto é Paeto efcete. A DMU efcete ecotada pelo modelo DEA defem o vétce da fotea lea po pate L (), que ão coepode à fotea L E (). Ete modelo ão pomove o mámo delocameto de uma DMU efcete a deção adal, equato petece ao couto de pobldade de podução, T. Am, a folga dada po ( h.. ) ão dz e eta poeção etá a fotea L () ou L E (). Paa e dtgu em qual egão da fotea de efcêca ecota-e a poeção da DMU, utlza-e o modelo ão aqumedao, decto em ( ) Modelo do evelope CRS ão aqumedao com oetação a put O modelo ão aqumedao CRS que mamza a oma da folga depo de poeta a DMU a fotea faz a dtção ete a fotea L () e L E (). Ea dtção é feta da egute foma: e uma DMU tem h gual a o modelo CCR cláco e o modelo () ela petece a L E (). Se o modelo CCR tem h gual a e o modelo () tem h meo que, etão a DMU petece a L S (). Mmza h ueto a: h ( ),, 8

6 INGEPRO Iovação, Getão e Podução Maço de, vol., o. 3 ISSN No modelo (), epeeta a folga elatva ao put e epeeta a folga elatva ao put Compaação ete o modelo MORO-D e MORO-D-R Sea o couto olução do modelo MORO-D,,. Ete couto olução gaate que a DMU ea poetada a fotea L E (). De fato, a etçõe de gualdade obgam a que toda a folga e eam ula, o que gaate a equvalêca do modelo CCR cláco e o modelo () que é a codção mpota paa que a fotea ea fotemete efcete. Já paa o modelo MORO-D-R é poível etem folga ettamete potva o couto olução, o que mpede, a po, vefca e o alvo petece a L E (). Am, deve-e utlza o modelo ão aqumedao aocado ao modelo MORO-D-R, apeetado em ( ): ma. ma. m. m Sueto a: m. ( ) m, =,...,, =,..., m, =,...,, =,..., m Sea agoa o couto olução do modelo MORO-D-R,, do modelo ão aqumedao aocado ao modelo MORO-D-R, ou ea, é o couto de oluçõe fotemete efcete do modelo MORO-D-R. O que e que demota é que o couto de oluçõe fotemete efcete foecda pelo do modelo (MORO-D e MORO-D-R) é gual. Paa tal upõe-e o cotáo, ou ea, que ee modelo admtem oluçõe dfeete. Eta upoção equvale a dze que e, po a olução do modelo MORO-D, etá a fotea Paeto efcete L E () e a úca vaaçõe poíve em uma olução quado eta e ecota a fotea facamete efcete L () ão valoe meoe paa output ou valoe maoe paa put. Am, aalado a fuçõe obetvo, pecebe-e que a etêca de folga ettamete potva faz com que o valo da fução obetvo aumete, o cao do output e dmua o cao do put. 9

7 INGEPRO Iovação, Getão e Podução Maço de, vol., o. 3 ISSN Pela etutua do modelo o ó pode ocoe e o valoe MORO-D-R ão aqumedao foem ettamete potvo. e do modelo Etetato, como a poeçõe e dão a fotea L E (), a folga e ão, eceaamete, gua a zeo. Chega-e am a uma cotadção o que valda a hpótee e caacteza a demotação da egação da hpótee pelo método da edução ao abudo. Como a hpótee ea que e, etão a ua egação é que e. Am, o eultado do modelo MORO-D e MORO-D-R ão gua quado e codeam apea poeçõe a egão Paeto efcete da fotea (L E ()). 6. Eemplo uméco Seam o dado apeetado a tabela epeetado um couto com 6 DMU, cada uma com put e output com ua epectva efcêca calculada pelo modelo DEA CRS cláco oetado a put. Tabela Dado do eemplo uméco A DMU C e E defem a fotea de efcêca. Na fgua, o egmeto de eta CE epeeta a fotea Paeto efcete, o egmeto de eta vetcal com íco em C e o egmeto de eta hozotal com íco em E epeetam a fotea facamete efcete, po, memo uma DMU etado ete techo da fotea, é poível aumeta o valo do output e/ou eduz o valo do put e eta DMU ada etaá obe a fotea (e deloca paa bao cao etea o techo vetcal ou paa a equeda e etve o egmeto hozotal). Fgua Fotea de efcêca do eemplo uméco

8 INGEPRO Iovação, Getão e Podução Maço de, vol., o. 3 ISSN Como ea de e epea, a DMU A, B, F e D ecotam-e o teo da egão defda pela fotea de efcêca. Deve-e etão ecota o alvo paa eta DMU de foma a toá-la efcete. Seá utlzado calmete a fomulação do modelo MORO-D e, poteomete, a fomulação do modelo MORO-D-R paa vefca a gualdade da oluçõe, como demotado o tem Fomulaçõe do modelo MORO-D e MORO-D-R paa o eemplo uméco Em ( 3 ) e ( 4 ) etão dcmado o PPL veão CRS do modelo MORO-D e MORO-D-R, pectvamete, paa a DMU B. Eta DMU tem como efeêca a DMU C e E po ão a DMU efcete do couto de dado. O PPL paa a DMU A, D e F ão equvalete, alteado apopadamete o valoe de eu put e output cofome a DMU que etá edo aalada. ma m m Sueto a: 9. ( 3 ) ma m m Sueto a: 9. ( 4 ) Dcuão de Reultado Utlzado o oftwae ADBASE (STEUER, 983), que copoa o mple multobetvo paa eolve poblema de pogamação lea multobetvo. Ete oftwae

9 foece um couto de olução ão domada etema, ecota-e o eultado apeetado a tabela, paa o valoe de,,, e paa a DMU efcete A, B, D e F, am como o alvo, ou ea, o ovo íve do put e output que poetam a epectva DMU a fotea de efcêca. Tabela Reultado do eemplo uméco INGEPRO Iovação, Getão e Podução Maço de, vol., o. 3 ISSN Como vto, o valo de e epeetam a eduçõe que devem ofe o valoe do put e, epectvamete, e epeeta o acécmo que deve ofe o output paa que a DMU etea obe a fotea de efcêca. A vaáve e epeetam o alvo da DMU aalada, ode etá aocado à DMU C e etá aocado à DMU E. A fgua epeeta a poeçõe da DMU A, B, D e F a fotea de efcêca com o valoe ecotado pelo modelo MORO-D. Fgua Poeçõe da DMU efcete a fotea de efcêca

10 6.3. Reultado Modelo MORO-D-R Como ea de e epea, o eultado de toda a vaáve paa toda a DMU o modelo MORO-D-R ão gua ao modelo MORO-D, apeetado etão, como olução, a mema poeçõe motada a fgua. 7. Cocluão INGEPRO Iovação, Getão e Podução Maço de, vol., o. 3 ISSN Ete tabalho popõe a utlzação de modelo de pogamação lea multobetvo, meo ígdo, paa detema alvo alteatvo paa a DMU a Aále Evoltóa de Dado. Ete alvo ão poeçõe ão ada de DMU efcete a fotea Paetoefcete. O efoque multobetvo pemte a obteção de um couto de alvo, em opoção a um úco alvo foecdo pelo modelo DEA cláco (com uma úca fução obetvo). A utlzação do modelo MORO-D-R pemte uma mao mplcdade computacoal po apeeta etçõe de degualdade. Além do o modelo MORO-D-R apeeta egõe de dfeeça ao peo de dmeão completa (macela), o que pemte a utlzação de método baeado a áea dea egõe, como o TRIMAP (CLIMACO e ANTUNES, 989). A etção de degualdade ada epade o epaço de oluçõe váve, o que pemte uma mao queza a aále baeada em poto deal e poto ad (at-deal). Etetato, maoe apofudameto ada e fazem eceáo, po ete tabalho apeeta a gualdade de eultado quado uma DMU efcete é poetada a fotea Paeto efcete. Quado uma DMU efcete e poeta em uma egão facamete efcete da fotea, ão e pode gaat que o modelo MORO-D e MORO-D-R apeetem a mema oluçõe. Eta tuaçõe ecotam-e em aále e ão etão cotemplada ete tabalho. Refeêca ANGULO-MEZA, L., SOARES DE MELLO, J. C. C. B. & CLÍMACO, J. C. N. Etudo Couto de Aále Evoltóa de Dado (DEA) e Pogamação Lea Multobetvo (PLMO): Uma Revão Bblogáfca. Relatóo de Pequa em Egehaa de Podução, Vol. 6, 6. CHARNES, A., COOPER, W. W. & RHODES, E. Meaug the effcec of deco-makg ut. Euopea Joual of Opeatoal Reeach Vol.,. 6, p , 978. CLIMACO, J. C. N. & ANTUNES, C. H. Implemetato of a ue-fedl oftwae package. A guded tou of TRIMAP. Mathematcal ad Compute Modellg Vol.,. -, p , 989. CLÍMACO, J. C. N., ANTUNES, C. H. & ALVES, M. J. G. Pogamação Lea Multobectvo. Comba: Uvedade de Comba, 3 CLÍMACO, J. C. N., SOARES DE MELLO, J. C. C. B. & ANGULO-MEZA, L. Pefomace Meauemet Fom DEA to MOLP. Ed. Ed. Ecclopeda of Deco Makg ad Deco Suppot Techologe. Hehe: Ifomato Scece Refeece, v., 8. Pefomace Meauemet Fom DEA to MOLP, p GOLANY, B. A teactve MOLP pocedue fo the eteo of DEA to Effectvee Aal. Joual of the Opeatoal Reeach Socet Vol. 39,. 8, p , 988. HALME, M., JORO, T., KORHONEN, P., SALO, S. & WALLENIUS, J. A value effcec appoach to copoatg pefeece fomato data evelopmet aal. Maagemet Scece Vol. 45,., p. 3-5, 999. JORO, T., KORHONEN, P. & WALLENIUS, J. Stuctual compao of data evelopmet aal ad multple obectve lea pogammg. Maagemet Scece Vol. 44,. 7, p , 998. KORHONEN, P., STENFORS, S. & SYRJANEN, M. Multple obectve appoach a a alteatve to adal poecto DEA. Joual of Poductvt Aal Vol.,. 3, p. 35-3, 3. 3

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