Onde sentar no cinema?

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1 Onde ena no cinema? Felipe Vieia 1 felipemae@gmail.com im como muia áea da maemáica, poblema de exemo maximização ou minimização de uma cea vaiável) ão eudado á muio empo. Ee poblema, que êm deafiado maemáico como Euclide ± 300 a..), que em eu livo Elemeno popuna aca o maio poduo poível ene doi númeo cuja oma ea dada, ambém iniga engeneio, na buca po maeiai de máxima eiência e meno cuo, e clao, o não maemáico, implemene pela diveão. lém de Euclide, muio maemáico popueam/eolveam poblema de exemo: Zenodoiu ± 200 a..), Heon de lexandia ± 50 a..), Piee de Fema ), Jacob Seine ), Guilio alo Fagnano dei Toci ) e Joann Mülle ), além de ouo. Mülle naceu na lemana, em Köningbeg in ayen, cidade cujo nome em laim é Regiomonanu, e que foi o nome como Mülle ficou conecido não confunda ea Köningbeg com aquela da Pone de Köningbeg). Em 1471, Regiomonanu popô a iian Rode o eguine: a que diância um omem deve e poiciona de um pedeal de uma eáua, odo o ê de alua conecida, de modo a enxegála po um ângulo de vião máximo? Ee poblema ficou conecido como Poblema de Regiomonanu. Nee aigo, dicuiemo uma vaiação do poblema de Regiomonanu, que camaemo Poblema do inema : dada uma ala de cinema, com o cão inclinado, em que fileia devemo ena de maneia que noo ângulo de vião com a ela eja máximo? Reolveemo ee poblema uilizando geomeia e igonomeia eudada no enino báico, e ambém um pouco de álculo, eudado na Univeidade. onidee, enão, uma ala de cinema, epeenada na Figua 1. ela,, eá a uma diância do cão; a pimeia fileia de polona eá poicionada no pono D, cuja diância D à paede da ela é conecida; a demai fileia eão 1 Meando em Maemáica e ompuação ienífica da UFS. 1

2 obe, com inclinação θ em elação à oizonal ; e E eia a poição de eu olo, a uma diância do pé da polona. E D Figua 1: Sala de cinema. Pimeiamene, adicionemo a ea à Figua 1, colocando-a paalela à ea, paando pelo pono E Figua 2). Io poque emo que conidea a diância do noo olo ao pé da polona. E D H D Figua 2: Repoicionando a ea. Eendamo a ea e de maneia que ela e enconem no pono F Figua 3),obeve que io é poível poi a ea não ão paalela. O pono P que pocuamo eá o pono obe a ea al que F P = F ).F ). 2

3 fimação: P é o pono obe al que o ângulo ÂP é máximo. De fao, conua a cicunfeência, que camaemo S V, paando po e, e angenciando a ea em P pove que ela exie). Noe que F é um pono foa da cicunfeência S V, e F P é angene à ea 2, enão F ).F ) = F P ) 2, que é a moivação paa aca o pono P. Você pode veifica ea popiedade em [2], p S v V F P Figua 3: O pono P e a cicunfeência S V. Seja P P um pono obe. Ee pono eá foa da cicunfeência S V. Enão P inecepa S V em e em mai um pono, que camaemo M. Daí, uando um eulado obe ângulo incio em uma cicunfeência de fao, o aco ÂP é camado aco capaz do ângulo ÂP em elação a ), e a popiedade de oma de ângulo no iângulo MP ve Figua 4), emo: ÂP = ÂM = 180 ÂMP = ÂP M + P M > ÂP M = ÂP Logo P é o pono que pocuamo. Vamo, enão, calcula em qual fileia do cinema devemo ena paa que noo olo eejam nee pono P, ou eja, do modo que o ângulo ÂP Figua 4) que noo olo fazem com a ela eja máximo. 2 O poduo F ).F ) é camado poência do pono F em elação à cicunfeência. Obeve que exie uma egunda cicunfeência paando po e e angenciando, ma o pono de angência eaá aá da ela. 3

4 Sv F V P M P Figua 4: Tiângulo MP. Sabemo que F P ) 2 = F.F. naliando a Figua 5 emo F = + F = + ).D = + ). D ) e F = + F. D F H D P Q Figua 5: Sala de cinema. Enão, F P = [ + + ). D )] [ + ). D )]. 4

5 Defina Q o pono obe, que epeene a fileia de polona que no popocione o maio ângulo de vião. Logo: D Q = F P F H = F P F D DH = F P F D ou eja: [ D Q = + + ). D ) co θ D in θ, in θ = F P D co θ in θ, )] [ + ). D )] que é a diância ene a pimeia fileia de polona, aé a fileia que queíamo. Se x é a diância ene a fileia do cinema, devemo ena na fileia D Q x + 1, poi a pimeia fileia de polona eá exaamene obe D. Nomalmene, não é um númeo ineio, enão conideaemo uma apoximação. D Q x Temo aim uma olução lieal, que depende da medida do cinema. omo exemplo, ome um cinema com a eguine medida: Tamano da ela = 8 meo =. lua da ela = 3,5 meo =. Diância do pé da ela aé a pimeia fileia = 3,5 meo = D. Inclinação da do cão da cadeia = 20 = θ. lua do olo ao cão = 1 meo =. Diância ene a fileia do cinema = 0,8 meo = x. 5

6 Logo, [ D Q = 8 + 3, 5 + an 20). 3, 5 1 3, 5 1 ) an 20 co 20 an 20 1 in 20 = 6, 66 0, 8 2, 9 = 2, 96. )] [ 3, 5 + an 20). 3, 5 1 )] an 20 Daí, D Q x = 2, 96 0, = 5. Logo, nee exemplo, eemo o maio ângulo de vião na 5 fileia. Exiem muia maneia de eolve poblema de exemo como o Poblema do inema, aqui apeenado. Po exemplo, baa deemina a função que defina o ângulo ÂP, na medida em que o pono P vaia obe. Daí, eaia deena o gáfico dea função e eima onde ela ainge eu máximo. Uando o álculo, deixo a cago do leio faze ea eolução dica: ue lei do coeno), e compaa com o eulado aqui obido. Paa uma oua eolução uilizando álculo, indicamo [3], p. 71. Goaia de eala que ena no pono onde o ângulo de vião eja máximo ignifica obe a maio imagem em noa eina, ou eja, a melo vião. No enano, cada peoa em um goo difeene, alguma goam de fica colada na ela, oua no fundão... onando-e uma queão oalmene peoal. Também ao pezado leioe, peço que enviem eu comenáio, ugeõe, elogio, cíica, dúvida, coeçõe..., paa que poamo engandece ee aigo. Paa finaliza, agadeço a opounidade que me foi dada em pode conibui paa ea publicação, ao oodenado da Olimpíada Regional de Maemáica de Sana aaina, Joé Luiz Roa Pino, a odo meu amigo, em paicula ao Leonado, e a mina namoada Louie, pelo apoio e pela coeçõe da pé-publicação. 6

7 Refeência [1] OYER, al. - Hióia da Maemáica. Edioa Edgad lüce LTD., São Paulo, [2] DOLE, Ovaldo; POMPEO, Joé Nicolau - Fundameno de Maemáica Elemena 9. ual Edioa LTD., São Paulo, [3] NHIN, Paul J. - Wen lea i be. Pinceon Univeiy Pe, New Jeey, [4] PSQULI, Kely iina. - Máximo e Mínimo em Geomeia Euclidiana Plana. Tabalo de oncluão de uo) uo de Licenciaua em Maemáica, Depaameno de Maemáica, Univeidade Fedeal de Sana aaina - UFS,