GEOMETRIA PLANA 1 - INTRODUÇÃO 2 - NOÇÕES PRIMITIVAS 3 - NOTAÇÕES 4 - ÂNGULO

Transcrição

1 GEOETRI L 1 - ITROUÇÃO Geomeia é uma palava de oigem gega e que ignifica medida de ea. Geomeia, como um do amo da aemáica, euda a figua geoméica e ua popiedade. O conceio peviamene eaelecido, em Geomeia, ão conceio não-definido, ão a noçõe pimiiva. - OÇÕES RIITIVS noçõe pimiiva eaelecem a opiedade Geoméica, que ão claificada em: I) ioma - popiedade aceia em demonação. II) Teoema - popiedade que ão demonada (deduzida) - OTÇÕES ono Rea lano Ene pimiivo Relaçõe pimiiva () ono Rea lano einência Incluão laificando o egmeno de ea, em-e egmeno de ea que ão: a) onecuivo: em uma eemidade comum. São conecuivo o egmeno de ea e ) olineae: eão conido numa mema ea. c) djacene: ão colineae, ão conecuivo e pouem apena um pono comum. Segmeno de Rea onguene:, lêe é conguene a e a medida de e ão iguai. ono médio de um egmeno de ea e Sendo e, o pono é o pono médio de. e e Semi-ea : de oigem : de oigem Segmeno de ea 4 - ÂGULO q onceio: Ângulo é a egião plana fomada po dua emiea de mema oigem. Ângulo ˆ : Véice Lado ou

2 q laificação a) onecuivo: oi ângulo ão conecuivo e êm um lado comum. ˆ e ˆ ão conecuivo, lado é comum. ) djacene: oi ângulo conecuivo ão adjacene e não pouem pono ineno comun. ˆ e ˆ c) Ângulo opoo pelo véice (o. p. v.): oi ângulo ão opoo pelo véice quando o lado de um dele ão emi-ea opoa ao lado do ouo. O ângulo o. p. v. ão conguene, io é, ão ângulo que êm medida iguai. Uma da medida de ângulo é o gau. 1º = 6 e 1 = 6 E.: edida do ângulo adjacene ˆ e ˆ ˆ é º. ão ângulo ão ângulo opoo pelo véice. d) Ângulo complemenae: oi ângulo ão complemenae e a oma de ua medida é 9º. ão com- + = 9º enão o ângulo plemenae. ˆ e ˆ ( ˆ ) m ( ˆ ) = m ( ˆ ) = 9º ˆ m + é denominado ângulo eo. e) Ângulo uplemenae: oi ângulo ão uplemenae e a oma de ua medida é 18º. º + º = 18º enão o ângulo ˆ e ˆ ão uplemenae. ˆ e ˆ ão adjacene uplemenae. O lado não-comun ão emi-ea opoa. ( e ) ( ˆ ) m ( ˆ ) = m ( ˆ ) = 18º ˆ m + é denominado ângulo ao ou ângulo de meia vola. f) Ângulo agudo: é odo ângulo meno que um ângulo eo. Se é agudo, m ( ˆ ) < 9º ˆ edida do m ( ˆ ) = º m ( ˆ ) = º ˆ é º ˆ é º º ( ˆ ) º g) Ângulo ouo: é odo ângulo maio que um ângulo eo e meno que um ângulo ao. Se é ouo, 9 º m ( ˆ ) < 18 º ˆ < :

3 q ieiz ieiz de um ângulo é a emi-ea com oigem no véice do ângulo, inena ao ângulo, e que o divide em doi ângulo adjacene conguene. q opiedade da ieiz de um ngulo Todo pono da ieiz de um ângulo é eqüidiane do lado do memo q Rea oncoene pouem apena um pono comum é ieiz de ˆ ( ˆ ) m ( ˆ ) = {} ependiculae inecepam-e egundo ângulo eo EXERÍIOS RESOLVIOS 1) ado = 4cm e = cm, deemine a medida de em função de. = 4cm e = cm : 4 = 8 ou eja m() = 8. m() ) ado, e colineae, com ene e, ai que eja o íplo de, calcule a medida de e de, aendo que mede cm. Se = = omo = + + = = 8cm Logo, = 8cm e = 4cm ) ado,, e colineae, com ene e e endo e o pono médio de e, epecivamene, deemine em função de e. q ediaiz ediaiz de um egmeno de ea é a ea pependicula ao egmeno paando pelo pono médio do memo., é a ea mediaiz de. Qualque pono da ea mediaiz de é eqüidiane do eemo de. = Logo, =, = e = ou = 4) O ângulo fomado pela ieiz de doi ângulo adjacene mede 9º. Se um do ângulo mede, 4º, deemine a medida do ouo. ( ˆ ) = + 1º + = 9º 18º Logo, m ( ˆ ) = 18º = 6º Rep.) 6º ˆ e ˆ adjacene ieiz ˆ ieiz ˆ ( ˆ ) 9 º Se m ( ˆ ) = 4º = 1º m ( ˆ ) =?

4 5) eemine a medida do ângulo que é o doo do eu uplemeno. Ângulo de medida medida do eu uplemeno (18º - ) = (18º - ) = 6º = 1º Rep.) 1º 6) alcule a medida de um ângulo que é igual a / de eu complemeno. 4) Oeve a figua. 4 Rep.) 1º TESTES ( ˆ ) 9º eemine o valo de. = ( 9º ) 5= 18º = 6º Rep.) 6º 7) oi ângulo ão adjacene e medem 4º 17 e 8º 5. eemine a medida do ângulo fomado po ua ieize. 4º º 5 71º 58 4 Rep.) Ângulo fomado pela ieize mede 5º 59 EXERÍIOS ROOSTOS 71º º = º 59 1) Efeue: a) 18º º 47 5 Rep.) 51º ) 87º º 47 8 Rep.) 6º 5 49 c) 1º Rep.) 68º d) 7º 5 47 : Rep.) 6º 4 5,5 ) eemine a medida de um ângulo e a quina pae do eu uplemeno vale 4º. Rep.) 6º ) alcule a medida do ângulo que ecede eu complemeno em 4º. Rep.) 66º 1) O complemeno de 1º 7 4 mede: a) 78º 18 ) 77º 18 c) 78º 18 d) 78º 17 ) O ângulo que mede a meade de eu complemeno é o ângulo de: a) 6º ) 5º c) 4º d) º ) medida do ângulo igual ao iplo de eu complemeno é igual a: a) 6º ) 66º c) 67º d) 69º 4) medida do uplemeno do ângulo de 9º 15 é: a) 86º 45 ) 87º 15 c) 86º 15 d) 87º 45 5) laificando vedadeia com V e falo com F a afimaçõe: I) oi ângulo conecuivo ão adjacene. II) oi ângulo adjacene ão conecuivo. III) oi ângulo O.. V. ão adjacene. Oém-e a equência. a) VFF ) FVF c) VVF d) FFV 6) O ângulo fomado pela ieize de doi ângulo adjacene mede 4º. Sendo um dele igual a ê quino do ouo, a medida do maio dee ângulo é: a) 15º ) 5º c) º d) 5º

5 7) 8) 1) medida de doi ângulo opoo pelo véice ão epea, em gau, po ( + 4º) e (6-1º). medida é igual a: a) º 1 ) 1º c) º d) 1º 1 14) Oeve a figua, onde E é ieiz de ˆ. 9) O pono, e ão colineae com ene e. Se o pono e ão pono médio de e, enão é igual a: a) ) c) d) + + 1) São dado o egmeno,, EFe GH, popocionai nea odem. Se = ( + 1)cm, = ( + 8)cm, EF = ( + 1)cm e GH = ( + )cm, podemo afima que a oma da medida + + EF + GH vale, em cm a) 98 ) 19 c) 119 d) 19 11) Seja o egmeno e Q al que Q 5 =. Q 9 Se o pono Q eá iuado a 15cm da eemidade do egmeno, a medida de, em cm, é: a) 48 ) 4 c) 6 d) 7 1) oi egmeno ão ai que um dele mede m e o ouo mede 8cm. azão ene o maio e o meno dee egmeno é: a) 5/ ) 5/4 c) 4 d) 4 medida de a) º ) 5º c) 7º d) 14º ˆ, é º 15) ua ea concoene fomam ene i um ângulo de 11º. medida do ouo ângulo agudo que ea ea fomam ene i, mede a) 58º ) 68º c) 78º d) 11º 16) oi ângulo adjacene complemenae êm medida epea po e + 4º. medida dee ângulo, ão a) º e 58º ) 4º e 48º c) 44º e 46º d) 5º e 8º 17) media de doi ângulo conguene ão epea po ( + º) e (5-4º). medida dee ângulo, é: a) 7º ) 91º c) 11º d) 11º GRITO 1) ) ) 4) 5) 6) 7) E 8) E 9) 1) 11) 1) 1) 14) 15) 16) 17) E

6 5 - RLELS TRSVER- SIS E ÂGULOS ORVILE REIRO q opiedade do aalelimo // q Rea oncoene - efinição ua ea ão concoene e, e omene e, ela êm um único pono comum. I = {} q Rea aalela - efinição ua ea ão paalela (Símolo: //) e, e omene e, ão coincidene (iguai) ou ão coplanae e não êm nenhum pono comum. a a = a // (a,, a I = ) a // Sejam a e dua ea paalela ou não e uma ea concoene com a e. 1) é uma anveal de a e. a a Se dua ea e, paalela, ão coada po uma anveal ; 1 - o ângulo coepondene ão conguene. 1ˆ e 5ˆ 1ˆ 5ˆ 4ˆ e 8ˆ 4ˆ 8ˆ Ângulo coepondene ˆ e 6ˆ ˆ 6ˆ ˆ e 7ˆ ˆ 7ˆ - o pae de ângulo aleno ineno ão conguene. ˆ e 5ˆ ˆ 5ˆ ângulo aleno ineno 4ˆ e 6ˆ 4ˆ 6ˆ - o pae de ângulo aleno eeno ão conguene. 1ˆ e 7ˆ 1ˆ 7ˆ ângulo aleno eeno ˆ e 8ˆ ˆ 8ˆ 4 - o pae de ângulo colaeai ineno ão uplemenae. $ $ $ $ o e = 18 ângulo colaeai ineno 4$ e 5$ 4$ 5$ o + = o pae de ângulo colaeai eeno ão uplemenae. $ $ $ $ o 1 e = 18 ângulo colaeai eeno $ e 7$ $ 7$ o + = 18 a

7 TEÁTI EXERÍIOS RESOLVIOS 1) Oeve a figua, onde // ORVILE REIRO 4) Oeve a figua, endo //. 1º 7º z + alcule o valo da medida : eemine: ˆ + ŷ ẑ ˆ = 7º (o. p. v.) ŷ = 7º (aleno ineno) ẑ + 7º = 18º (colaeai ineno) ẑ = 11º ˆ + ŷ ẑ = 7 º + 7 º 11 º ˆ + ŷ ẑ = º ) oe que ângulo de lado paalelo ão conguene ou uplemenae. Solução θ β E Q I) ˆ = ˆ (coepondene) e β ˆ = ˆ (coepondene). Logo, ˆ = β ˆ II) =β ˆ ˆ e β+θ= ˆ ˆ 18º +θ ˆ ˆ = 18º // Q // E + + 1º = 18º 4 = 6º ou = 45º Rep.) 45º 5) oi ângulo aleno ineno fomado po dua ea paalela coada po uma ea anveal, ão epeo po e - º. eemine a medida do ângulo colaeai ineno fomado po ea ea. = - º (aleno ineno) = º cada aleno ineno mede 4º (colaeai ineno ão uplemenae). Um do ângulo ineno mede 4º e o colaeal ineno coepondene 14º. Rep.) 4º e 14º EXERÍIOS ROOSTOS 1) Oeve a figua, endo a // e c um anveal ) oma da medida do quao ângulo agudo fomado po dua ea paalela coada po uma ea anveal é igual a 1º. eemine a medida de cada ângulo ouo fomado po ea ea. 1º : 4 = º 18º - º = 15º Rep.) 15º θ alcule Rep.) 7º 1 c a ado: = 8 + 9º θ = 17-9º

8 ORVILE REIRO ) Oeve a figua, onde // e é uma anveal 7) alcule o valo de, endo //. 4 o - º 11 o + 1º eemine o valo de ( + ) Rep.) 5º ) Oeve a figua onde o ângulo de medida e β êm lado paalelo. Sendo = 8 e β = + º, deemine o uplemeno de β. Rep.) 7º 8) Se //, calcule o 11 o Rep.) 1º β Rep.) 14º 4) alcule o valo de +, endo // e //v. v 6º Rep.) 18º 9) a figua aaio, a ea e ão paalela, calcule. Rep.) 5º 1 o 5) a figua aaio, E é paalela a. Sendo ÂE igual a 8º e ˆ igual a 5º, calcule a medida de Ê. 5º Rep.) 115º 8º E 6) eemina o valo de, endo //. 1) a figua, calcule a medida do ângulo, endo //. 5 o Rep.) 1º ) o ) 8 o ) ) ) 7 o 4 Rep.) 1º

9 TEÁTI ORVILE REIRO TESTES 5) a figua, endo //, o ângulo mede: 1) Oeve a figua, aendo que a ea e ão paalela. 8º O valo de, é: a) 1º c) 1º ) 11º d) 1º ) Oeve a figua, endo // 6º O valo de, é: a) 9º c) 1º ) 1º d) 15º º 7º º a) 14º ) 146º c) 144º d) 148º 6) a figua, é a ieiz do ângulo ˆ, é a ieiz do ângulo ˆ e o é a ieiz do ângulo ˆ. oma ˆ + ˆ é: 1º ) Oeve a figua, endo //. a) 9º ) 6º c) 45º d) º 4º GRITO O valo de, é: a) º c) 5º ) 4º d) 6º 4) Oeve a figua onde //. 1) ) ) 4) 5) 6) 7) 8) OTÇÕES 7º 6º medida do ângulo, é: a) 5º c) 11º ) 7º d) 1º