Ângulo é a figura formada pela união dos pontos de duas semirretas com origem no mesmo ponto.

Transcrição

1 uo de linguagem maemáica Pofeo Renao Tião Ângulo Ângulo é a figua fomada pela união do pono de dua emiea com oigem no memo pono. = ou implemene. Q P é o véice, e ão o lado e é a medida do ângulo. P peence à egião angula convea. Q peence à egião angula côncava. Ângulo ao é o nome dado ao ângulo fomado po dua emi-ea colineae e opoa. 180º = med () = 180º ou π ad O ângulo ao divide o plano em dua egiõe convea. Ângulo geoméico é aquele que em uma media ene 0º e 180º. ( 0º< < 180º ) O conceio de ângulo geoméico é muio impoane paa evia confuõe em elação ao númeo de ângulo apeenado po uma mema figua. Numa conagem de ângulo, ó devem e conideado aquele que ão geoméico, ou eja, não e deve cona ângulo ao nem ângulo cuja medida eja maio do que 180º. O ângulo ao não é geoméico e, po io, não deve e conado paa nomea o polígono que o poui. O iângulo, po eemplo, é um polígono que poui uma infinidade de ângulo ao ma apena ê ângulo geoméico. Ângulo agudo é aquele que em uma medida ene 0º e 90º. ( 0º < < 90º ) Ângulo eo é aquele que mede 90º. ( = 90º ) Ângulo obuo é aquele que em uma medida ene 90º e 180º. ( 90º < < 180º ) agudo obuo eo eo Pae de ângulo Ângulo adjacene ão aquele que êm uma emiea comum. med ( ) = med ( ) = med ( ) = + Ângulo complemenae ão aquele cuja medida omam um ângulo eo. ( + = 90º ) Ângulo uplemenae ão aquele cuja medida omam um ângulo ao. ( + = 180º ) 1

2 uo de linguagem maemáica Pofeo Renao Tião ieiz de um ângulo É a emi-ea que em oigem no véice de um ângulo e que o divide em doi ângulo adjacene de mema medida. / S é a bieiz do ângulo. med ( ) = / S med ( S ) = med ( S ) = Um cuzameno ua ea concoene deeminam quao ângulo geoméico que podem e odo eo, quando a ea ão pependiculae ou podem e doi agudo e doi obuo, quando a ea ão oblíqua. 4 ângulo eo 4 ângulo Quao ângulo, ma apena dua medida uplemenae: + = 180º agudo opoo pelo véice de medida e obuo ambém o.p.v. ma de medida oi cuzameno ua ea paalela e uma anveal deeminam oio ângulo geoméico que podem e odo eo, quando a anveal fo pependicula à paalela, ou podem e quao agudo e quao obuo, quando a anveal fo oblíqua à paalela. // 8 ângulo eo 8 ângulo: // 4 agudo de medida e 4 obuo de medida Oio ângulo, ma apena dua medida uplemenae: + = 180º Na figua ao lado, o pae de ângulo coepondene ão: e a y e b z e c w e d y z w São aleno ineno: São aleno eeno: a e z b e w c e d e y São colaeai ineno: São colaeai eeno: a e w b e z c e y d e b c a d //

3 uo de linguagem maemáica Pofeo Renao Tião Tê cuzameno Tê ea concoene em ê pono diino deeminam doze ângulo geoméico e um iângulo O eoema angula de Tale diz que: a oma da medida do ângulo ineno de um iângulo qualque é 180º. o eoema do ângulo eeno diz que: polongando-e um do lado de um iângulo, obém-e um ângulo eeno cuja medida é igual à oma da medida do ângulo ineno não adjacene a ele, ou eja, igual à oma da medida do ângulo ineno do ouo véice do iângulo. Ângulo de um iângulo O eoema angula de Tale no gaane que a oma da medida do ê ângulo ineno de um iângulo é igual à medida de um ângulo ao: 180º ou π adiano. Ma, além dio, devemo abe que em odo iângulo, o maio lado eá opoo ao maio ângulo e o meno lado eá opoo ao meno ângulo. Se não houve maio ângulo, enão não haveá maio lado e e não houve meno ângulo enão não haveá meno lado. O iângulo ão claificado de dua maneia diina: ++ = 180º UTÂNGULO quando odo o eu ângulo foem agudo. Quano à medida do ângulo: RTÂNGULO quando um de eu ângulo fo eo. OTUSÂNGULO quando um de eu ângulo fo obuo. SLNO quando a ê medida ão difeene. Quano à medida do lado: ISÓSLS quando pelo meno dua da medida coincidem. QUILÁTRO quando odo o lado êm a mema medida. e acodo com ea claificaçõe, não é poível que um iângulo eja imulaneamene acuângulo e eângulo, po eemplo, ma um iângulo equiláeo é ambém um iângulo iócele. cuângulo < 90º < 90º < 90º é eo + = 90º e ão o caeo e é a hipoenua Noe que a ê alua do iângulo acuângulo ão inena e enconam-e num memo pono chamado ooceno do iângulo. No cao do iângulo eângulo, a alua elaiva à hipoenua é a única viível, poi a oua dua coincidem com o pópio caeo enão o ooceno do iângulo eângulo é o véice do eu ângulo eo. Se um do caeo fo conideado como bae enão o ouo caeo eá a alua. im a áea do iângulo eângulo pode e obida ano da meade do poduo do caeo quano da meade do poduo ena a hipoenua e a alua elaiva. O iângulo mai peigoo de e eudado é o iângulo obuângulo, poi apena uma de ua alua é inena, a oua dua ficam do lado de foa do iângulo e ão epeenada pelo egmeno que indicam a diância ene o véice de um de eu ângulo agudo aé a ea upoe do lado opoo. Temo o hábio de indica a medida do lado de um iângulo pela mema lea que deignam eu o véice opoo ó que minúcula, aim: = a, = b e = c. Ângulo eeno do u // Na figua acima, o ângulo indicado com medida ão coepondene e o indicado com medida ão aleno ineno. Reângulo Obuângulo + < 90º > 90º 3

4 uo de linguagem maemáica Pofeo Renao Tião Quao cuzameno Quando doi pae de ea paalela deeminam um paalelogamo emo um oal de dezeei ângulo que podem e odo eo cao o paalelogamo eja eângulo ou podem e oio agudo e oio obuo. u // ezeei ângulo, ma apena dua medida uplemenae. + = 180º // O lado opoo de um paalelogamo ão paalelo ene i e êm a mema medida. lém dio, o ângulo ineno do véice opoo de um paalelogamo ambém êm a mema medida. Polígono conveo N e N i N e i e F i F F i n-ágono i + e =180º e i e i e i e n (n 3) e polígono conveo poui: n véice:,,,,, F,..., N n lado:,,,, F,..., N diagonai:,,, F,...,,, F, n ângulo ineno: i, i, i, i, i, i F,..., i N m odo polígono conveo, a oma da medida do ângulo ineno e do eeno de memo véice é 180º. Si + Se S = n 180º Na vedade, o númeo de ângulo eeno de um polígono conveo é n, poi há doi dele em cada véice, ma como o ângulo eeno de um memo véice êm a mema medida (o.p.v), conamo apena um em cada véice paa enuncia a fomula a egui: oma de odo o ângulo ineno de um polígono conveo é: Si = (n ) 180º oma de odo o ângulo eeno de um polígono conveo é conane: Se = 360º 150º 60º Penágono equiláeo 150º 108º 108º 108º 108º O polígono cujo lado êm odo a mema medida é chamado QUILÁTRO. 108º 108º 108º O polígono cujo ângulo ineno Penágono equiângulo êm odo a mema medida é chamado QUIÂNGULO. 108º 108º 108º O polígono que é imulaneamene equiláeo e equiângulo deve e chamado polígono RGULR. Penágono egula 4

5 uo de linguagem maemáica Pofeo Renao Tião O iângulo é o único polígono que e fo equiláeo ambém eá equiângulo, po io podemo chama o iângulo egula de iângulo equiláeo. O quadiláeo equiláeo é o loango. O quadiláeo equiângulo é o eângulo. O quadiláeo egula é o quadado. 60º 60º 60º lgun polígono ão inciívei e ouo ão cicunciíve em cicunfeência. G O F Hepágono incio icunfeência cicuncia O ceno O deeminado pela mediaize do lado é chamado de cicunceno. Penágono cicuncio icunfeência incia O ceno I é deeminado pela bieize do ângulo ineno do polígono. le é chamado de inceno. I Todo iângulo é inciível e cicunciível. Já, o loango ão apena cicunciíve e o eângulo apena inciívei, a não e que eejamo diane de um quadado. I O I O Todo polígono egula é inciível e cicunciível em cicunfeência de memo ceno F I O O aio do cículo cicuncio é ambém o aio do polígono, ao pao que o aio do cículo incio é o apóema do polígono. ada ângulo ineno do polígono egula de n lado mede: (n ) 180º n ada ângulo eeno do polígono de n lado egula mede: 360º n Na figua, epeena a medida do ângulo cenal do polígono egula, que coincide com a medida do ângulo eeno em qualque polígono egula. Nomenclaua do polígono conveo: n = 3 Tiângulo n = 7 Hepágono n = 11 Undecágono n = 15 Penadecágono n = 4 Quadiláeo n = 8 Ocógono n = 1 odecágono n = 5 Penágono n = 9 neágono n = 13 Tidecágono n = 6 Heágono n =10 ecágono n = 14 Teadecágono n = 0 Icoágono 5

6 uo de linguagem maemáica Pofeo Renao Tião Ângulo na cicunfeência Ângulo cenal é aquele que poui como véice o ceno de uma cicunfeência. med( ) = med( ) = O medida do ângulo é igual a medida do aco da cicunfeência deeminado po ee ângulo não impoa qual eja o aio dea cicunfeência dede que eu ceno coincida com o véice do ângulo. Se = 80º, enão ano o ângulo quano o aco da figua Ângulo incio é aquele cujo véice é um pono peencene à cicunfeência. med( ) = 1 med( ) = medida do ângulo incio é igual à meade da medida do aco da cicunfeência deeminado po ele. Não impoa qual eja o poição do eu véice, dede que ele eeja iuado no conono da cicunfeência que conêm o aco. co capaz é o luga geoméico do pono do emiplano que obevam um egmeno ob um memo ângulo. 1 med(1 ) = med( ) = med(3 ) = med(4 ) = 3 4 Se doi pono e deeminam um aco de cicunfeência. Paa odo pono dee aco, a medida do ângulo opoo ao lado no iângulo eá a mema. 5 Oua poiçõe elaiva ene ângulo e aco Sejam,, e pono de uma cicunfeência, odenado no enido hoáio, que deeminam aco e com medida difeene e o pono de ineecção da ea deeminada pela eemidade dee aco. 1º cao: é pono do ineio da cicunfeência. = º cao: é pono do ineio da cicunfeência: = = + med( ) = med( ) = med( ) = = 6