A dinâmica pode ser interpretada através de dois tipos de problemas:

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1 Capíulo 1 CINEMÁTICA DA PARTÍCULA 1.1 CONSIDERAÇÕES GERAIS O objecio pincipal da disciplina de Mecânica II é insui e desenole nos alunos a capacidade paa esole poblemas de dinâmica dos sisemas de paículas ou sisemas de ponos maeiais e dos copos ígidos. A dinâmica pode se inepeada aaés de dois ipos de poblemas: Cinemáica: Cinéica: é uma descição maemáica do moimeno dos copos independenemene das causas que o oiginam e da inécia que em. esuda as leis do moimeno de copos quando submeidos à acção de foças. Po moimeno enende-se o deslocameno de um copo no espaço e no empo. Esse moimeno é cinemaicamene conhecido quando em qualque insane fo possíel caaceiza: a posição; a elocidade; e, a aceleação. em odos os seus ponos ou paes consiuines. Esando a noção de moimeno associada à noção das aiações das posições dos copos de insane paa insane elaiamene a ponos consideados fixo, o 1

2 Cinemáica da paícula conceio de moimeno é essencialmene elaio, pois depende do efeencial consideado. Exemplo: O conduo de um auomóel em moimeno pemanece sempe na mesma posição se o efeencial consideado fo o asseno, mas muda de posição de insane paa insane se o efeencial fo a Tea. Em Mecânica uiliza-se essencialmene o espaço euclidiano idimensional, podendo, no enano, em alguns casos, ecoe à geomeia não euclidiana, como é o caso das coodenadas cilíndicas e esféicas não caesianas. Na Mecânica II consideam-se álidas as hipóeses fundamenais da mecânica acional de Newon: o espaço em ês dimensões e é absoluo e imuáel; o empo ambém é absoluo e imuáel. Esa hipóese é álida paa os poblemas de Engenhaia Ciil, mas não see paa a Engenhaia Aeoespacial Inegalácica, onde seá necessáio uiliza os conceios da Mecânica Einseineana elaiisa. Poano, nos poblemas que ião se abodados, o empo é a aiáel independene, sendo odas as ouas aiáeis e caaceísicas expessas à cusa dele. Nos poblemas que seão esudados, exisiá sempe uma oigem espacial euclidiana e uma oigem empoal conológica. Numa pimeia pae iá se abodada a cinemáica da paícula ou do pono maeial. O emo paícula não significa que o esudo esá limiado a copúsculos; indica sim, que, os copos em moimeno que podem se ão gandes como auomóeis, foguees, aiões ou planeas são consideados sem olha à sua dimensão. Iso é, a sua dimensão é despezáel em compaação com a ampliude do seu moimeno. Nese caso, o copo é enendido como um odo, não se consideando qualque oação em ono do seu ceno de massa. Nos casos em que não se pode alhea dessa oação, os copos não podem se consideados como paículas e eão de se consideados como copos ígidos.

3 Capíulo 1 Exemplo: Os planeas do sisema sola podem se consideados como paículas quando se esuda o seu moimeno em ono do Sol, mas não podem se assim consideados quando se esuda o seu moimeno em ono do seu eixo de oação. 1. DESCRIÇÃO DO MOVIMENTO O moimeno da paícula pode se descio de duas maneias emboa equialenes: aaés do eco posição, ; aaés das equações caesianas obidas da ajecóia da lei hoáia do moimeno sobe a ajecóia, s s. f1 x,y,z f x,y,z e 1..1 Descição do moimeno aaés do eco posição, Veco posição, : É o eco que une o pono O consideado fixo com o pono P no insane. Tajecóia: i, j, k esoes ecoes uniáios do efeencial caesiano Oxyz. É o luga geoméico das sucessias posições do pono P ao descee o seu moimeno. Figua Definição de eco posição,. O eco posição,, é escio em função das ês diecções coodenada, especiamene, Ox, Oy e Oz: P O OP x i + y j + z k 1.1 3

4 Cinemáica da paícula Poano, as componenes caesianas do eco posição ou seja, as equações paaméicas da ajecóia são: x x y y z z Descição do moimeno aaés da ajecóia e da lei hoáia Paa se caaceiza compleamene o moimeno de uma paícula é necessáio conhece não só a sua ajecóia, mas ambém o modo como essa paícula se desloca ao longo da ajecóia, iso é, a lei hoáia do moimeno. Sendo s a abcissa cuilínea medida sobe a ajecóia a posição do pono P, no insane, seá dada pela: Equação caesiana da ajecóia f1 x,y,z f x,y,z 1.3 e pela; Lei hoáia do moimeno Figua 1. - Lei hoáia do moimeno, s. s s Equialência ou dualidade das duas descições de moimeno Dado o eco posição,, deemina a ajecóia e a lei hoáia Dado o eco posição x i + y j + z k, obém-se as equações paaméicas da ajecóia: 4 x x y y z z

5 Capíulo 1 Po eliminação do paâmeo nesas equações, obém-se a equação caesiana da ajecóia: f1 x,y,z f x,y,z Paa obe a lei hoáia considee-se dois insanes sucessios sepaados po um inealo de empo. Seja s o aco eneano pecoido e a coda coespondene. Enão: xy + z 1.5a e xy x + y 1.5b Figua Equialência ene as duas descições. ou seja, x + y + z 1.5c Quando o inealo de empo infiniesimal,, ende paa zeo a coda ende paa o aco, iso é: s ds lim 1 d 1.6 Donde, no limie: ds d dx + dy + dz ds dx + dy + dz 1.7 Como, 5

6 Cinemáica da paícula dx x dy y dz z dx x dy y dz z 1.8 Enão, ds [ x ] + [ y ] [ z ] 1.9 Inegando, obém-se a lei hoáia: [ x ] + [ y ] [ z ] s s 1.1 Onde, como se iá e, a expessão: [ x ] + [ y ] [ z ] 1.11 é a elocidade escala insanânea, e x, y, z, são as componenes do eco elocidade Dada a ajecóia e a lei hoáia, deemina o eco posição Viu-se que ds + d dx + dy dz, po ouo lado, [ s ] dx + dy ds s + dz 1.1 ou seja, dx dy dz s + dx dy dz s Como já se iu, a elocidade escala insanânea é: s ds. Enão o poblema consise em esole o seguine sisema de ês equações: 6

7 Capíulo 1 s f1 x,y,z f x,y,z dx + dy dz DEFINIÇÃO DE VELOCIDADE Expessão ecoial da elocidade Considee-se o moimeno de uma paícula definido pelo eco de posição. Supondo que no insane a paícula esá em P e, no insane + esá em Q. O eco posição em Q é +. Figua Definição de elocidade ecoial. Designa-se elocidade ecoial média no inealo de empo ao eco definido pela seguine expessão: Q P + m [,+ ] Designa-se po elocidade ecoial insanânea ou eco elocidade insanânea no insane ou no pono P ao eco definido pela seguine expessão: d P lim

8 Cinemáica da paícula Como no limie o aco se confunde com a coda e com a angene, a diecção do eco elocidade insanânea é a da angene à ajecóia no pono consideado; o senido dese eco é o do moimeno. As componenes caesianas do eco elocidade insanânea são as seguines: d dx dy dz x i + y j + z k i + j + k 1.17a ou, esceendo de oua foma, dx x x x& dy y y y& dz z z z 1.17b A gandeza do eco elocidade é: [ x ] + [ y ] [ z ] x + y + z Expessão escala da elocidade Considee-se o moimeno de uma paícula definido pela sua ajecóia e pela sua equação hoáia. Supondo que no insane a paícula esá em P, endo pecoido, desde o início da conagem do empo, o aco s. No insane + a paícula encona-se em Q sendo s+ s o aco pecoido. Figua Velocidade escala. 8

9 Capíulo 1 Define-se elocidade escala média no inealo de empo o seguine quociene: e po elocidade escala insanânea: s 1.19 ds 1. NOTA: Conhecida a elocidade escala insanânea, podeá obe-se a lei hoáia pelo seguine inegal: s s Relação ene as duas expessões i Se ds e s [ x ] + [ y ] + [ z ] enão: ds 1.1 [ x ] + [ y ] + [ z ] ou seja, a elocidade escala é a gandeza do eco elocidade insanânea. ii O eco posição,, pode se escio em função da abcissa cuilínea s compimeno de aco e esa, po sua ez, é função do paâmeo. Enão: s s s 1. Como po definição d, enão: d ds d 1.3 ds ds 9

10 Cinemáica da paícula d Analisando : Figua 1.6 ds No limie, quando ende paa zeo, a coda ende paa o aco, donde a gandeza de d é igual a ds, iso é: lim s d 1 ds d ds 1.4 Enão, d d u 1.5 ds d Sendo u d d o eco uniáio com a diecção do eco elocidade insanânea. 1.4 ACELERAÇÃO Definição de aceleação Considee-se o moimeno de uma paícula, que no insane se encona em P, com uma elocidade e que no insane + esá em Q com elocidade +. Figua Definição de aceleação. Define-se aceleação ecoial média ou eco aceleação média no inealo [, + ] ao seguine quociene: 1

11 Capíulo 1 11 [ ] - a, m Designa-se aceleação ecoial insanânea ou eco aceleação insanânea no insane ou no pono P ao seguine eco: lim d d a 1.7 Enão, a aceleação ecoial insanânea é a pimeia deiada empoal da elocidade ecoial insanânea e, consequenemene, a segunda deiada empoal do eco posição. O senido do eco aceleação insanânea é sempe paa o ineio de uma ajecóia cuilínea. As componenes caesianas do eco aceleação insanânea são as seguines: k z d j y d i x d k d j d i d k a j a i a d d a z y x z y x a ou, z z z d d a y y y d d a x x x d d a z z y y x x && && && 1.8b A aceleação escala insanânea ou seja, a gandeza do eco aceleação insanânea é: [ ] [ ] [ ] z y x a a a a a z y x

12 Cinemáica da paícula 1.4. Componenes nomal e angencial da aceleação: componenes inínsecas a a + an a a + a an A aceleação ecoial insanânea, diigida paa o ineio da ajecóia, pode se decomposa nas duas diecções piilegiadas, especiamene, na diecção angencial e na diecção nomal à ajecóia no pono consideado. Figua Componenes nomal e angencial da aceleação. A deeminação analíica das componenes nomal e angencial da aceleação pode se efecuada consideando que os ecoes elocidade insanânea e aceleação insanânea podem se escios, especiamene, da seguine foma: u 1.3 d a 1.31 sendo u o eso da diecção angene à ajecóia, enão, d u d du a u onde a pimeia pacela em a diecção do eso u, ou seja, angene à ajecóia, e a segunda pacela em a diecção do eco du, ou seja, pependicula ao eso u e, consequenemene, nomal à ajecóia. Poano, a componene angencial da aceleação é definida po: a d d s u u

13 Capíulo 1 e a componene nomal da aceleação é definida po: du du ds du a n ds ds 1.34 Po definição, o aio de cuaua é o ineso da gandeza do eco du ds, iso é, 1 du 1.35 R ds poano, a n R n 1.36 Figua Raio de cuaua. Resumindo, a aceleação ecoial insanânea pode se definida aaés das suas componenes inínsecas, angencial e nomal, da seguine foma: a a + a n, com d d s a u u du an n n R DIMENSÕES E UNIDADES As dimensões e as unidades mais uilizadas são: [s] L [] L T -1 [a] L T - S.I. m C.G.S. cm S.I. m/s C.G.S. cm/s S.I. m/s C.G.S. cm/s 13

14 Cinemáica da paícula 1.6 HODÓGRAFO DAS VELOCIDADES Considee-se o moimeno de uma paícula elaiamene a um sisema se eixos Oxyz. Nos difeenes ponos da ajecóia, a paícula em elocidades deeminadas,,,..., 1 n. Se ia, po um pono M, ecoes equipolenes ao ecoes elocidade, 1,,...,n, pode-se defini uma cua que passe pelas exemidades desses ecoes. A essa cua dá-se o nome de hodógafo das elocidades. Figua Hodógafo das elocidades. Definição de hodógafo das elocidades: É o luga geoméico das exemidades dos sucessios ecoes elocidade de uma ajecóia, iados po um pono comum, M, do espaço. A cua hodógafo esá paa as elocidades assim como a ajecóia esá paa os ecoes posição. Calculando as elocidades dos ponos da cua hodógafo: h lim h lim d a 1.38 ou seja, as elocidades dos ponos na cua hodógafo coespondem à aceleação da paícula na ajecóia. Poano, o hodógafo das elocidades pemie conhece a diecção da aceleação. 14

15 Capíulo PLANO OSCULADOR Figua Plano osculado. Supondo que uma paícula, que descee um moimeno, se encona em P no insane, sendo u o eso da elocidade no insane ; e em Q no insane +, sendo u + o eso da elocidade nesse insane. Sendo u + u + u e endo em cona que ano u e u + são esoes iso é, ecoes de noma uniáia, enão: u u + u Poano, a difeença ene u e u + esá na diecção. Po definição de deiada ecoial em-se, quando Q ende paa P Q P: u du lim 1.4 como u é um eco de gandeza consane igual à unidade enão pependicula a u, como se demonsa a segui: u 1 u u u 1 deiando em: d u u du du u + u Uma ez que os ecoes u e iso é, os ecoes u e du du u du u du du são não nulos u du enão: du são pependiculaes. é 1.41a 1.41b u 1.41c 15

16 Cinemáica da paícula O plano osculado no pono P é o plano definido pelos ecoes u e du, sendo a sua equação ecoial definida pela seguine expessão: du π + Au + B 1.4 Po eliminação dos paâmeos A e B obém-se a equação caesiana do plano osculado em cada insane: Fx,y,z, 1.43 O plano osculado é o plano que melho se ajusa à cua ajecóia em cada um dos seus ponos. Nele esão conidos os ecoes elocidade e aceleação em cada insane. Se a ajecóia é plana, o plano osculado coincide com o plano que coném a ajecóia. No enano, em geal, o plano osculado aia com o empo. Execícios de aplicação 16

17 Capíulo 1 17

18 Cinemáica da paícula 18

19 Capíulo 1 19

20 Cinemáica da paícula 1.8 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE GRANDEZAS CINEMÁTICAS Viu-se aé aqui como defini algebicamene a cinemáica da paícula, aaés da sua posição, elocidade e aceleação em qualque insane. As epesenações gáficas dessas gandezas cinemáicas pemiem obe de foma páica infomações quaniaias. Nos ponos seguines ião se efeidas algumas das epesenações gáficas mais coenemene uilizadas, nomeadamene: o diagama espaço - empo; o diagama elocidade - empo; o diagama aceleação angencial - empo; e, o diagama elocidade - deslocameno.

21 Capíulo Diagama espaço-empo A epesenação gáfica da lei hoáia no sisema de eixos Os pemie deemina a elocidade em qualque insane. Como ds, enão a elocidade seá igual à inclinação da angene à cua epesenaia da função s s no pono consideado. Ou seja: Figua Diagama espaço-empo. g θ Diagama elocidade-empo A epesenação gáfica da função no sisema de eixos O pemie obe duas gandezas: a aceleação angencial; e, o aco, s -s 1, pecoido pela paícula ene dois insanes 1 e Figua Diagama elocidade-empo. Como a d, enão a é igual à angene à cua, no pono consideado. Po sua ez, s ds ds s s s1 iso é, o aco pecoido pela paícula ene dois insanes quaisque, 1 e, é igual à áea do diagama elocidade-empo limiada po aqueles dois insanes. 1 1

22 Cinemáica da paícula Diagama aceleação angencial-empo Ese diagama pemie obe a aiação de elocidade ene dois insanes de empo quaisque. a d a d a 1.46 Figua Diagama aceleação angencial-empo Diagama elocidade-deslocameno A aceleação angencial de uma paícula no insane pono P no diagama elocidade-deslocameno é dada pelo módulo do segmeno AB. a d d ds d 1.47 ds ds Figua Diagama elocidade-deslocameno. como nese gáfico, enão: d gθ 1.48 ds a gθ AB 1.49

23 Capíulo CLASSIFICAÇÃO DO MOVIMENTO DA PARTÍCULA Iá se feio de seguida a aplicação dos conceios abodados aneiomene; posição, elocidade e aceleação, em qualque insane; ao esudo de ipos de moimenos que uma paícula pode efecua. Seão inoduzidos ainda, dado o seu gande ineesse paa o esudo do moimeno cicula, os conceios de elocidade e aceleação angulaes. A classificação do moimeno da paícula pode se feia quano à ajecóia e quano à aceleação. Quado 1.1 Classificação dos ipos de moimeno da paícula. Tipo de moimeno Tajecóia moimeno ecilíneo eca Aendendo à ajecóia moimeno cicula - cicunfeência moimeno paabólico paábola moimeno helicoidal hélice moimeno ecilíneo e unifome a Aendendo à aceleação moimeno unifomemene aiado a consane moimeno unifomemene aceleado a > moimeno unifomemene eadado a < moimeno não unifomemene aiado a consane, ou seja a a 3

24 Cinemáica da paícula 1.1 MOVIMENTO RECTILÍNEO E UNIFORME a Considee-se o moimeno de uma paícula que, no insane inicial, possui um eco posição e uma elocidade e, no insane genéico, um eco posição e uma elocidade. Se a aceleação é nula a o moimeno é ecilíneo e unifome, como se demonsa a segui: 1º O moimeno é unifome: d a a d + º O moimeno é ecilíneo a ajecóia é uma eca d d Esa é a equação ecoial de uma eca cujo pono genéico Q é efeenciado pelo eco posição insanâneo. A diecção desa eca é a diecção do eco o qual é insananeamene escalado muliplicado pelo insane consideado. Figua 1.16 Moimeno ecilíneo. 4

25 Capíulo MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO a consane Considee-se o moimeno de uma paícula possuindo, no insane, um eco posição e uma elocidade e, no insane genéico, um eco posição e uma elocidade. Se ese moimeno é ealizado com uma aceleação ecoial insanânea consane não nula, as caaceísicas dese moimeno são: a ajecóia é plana; o moimeno é paabólico a ajecóia é uma paábola Lei das elocidades e das posições insanâneas i + a 1.5 ii a 1.53 Demonsação: d i a d a d a - a - + a ii d como d + a d + a a a 5

26 Cinemáica da paícula Poano, a equação ecoial das posições insanâneas epesena uma equação ecoial do segundo gau em odem a, cujas equações caesianas e as equações paaméicas seão deeminadas de seguida A ajecóia é plana Recoendo ao conceio de plano osculado e à sua equação ecoial insanânea; + A + B a 1.54 π Consideando as equações, 1.5 e 1.53, do moimeno em quesão, em: π a + A a π + a + B 1 + A + + B + A + a k 1 K π + k + k a onde k 1 e k são muliplicadoes e, e a são ecoes consanes no empo. Logo, o plano osculado seá sempe o mesmo em qualque insane, sendo definido, no pono caaceizado po, a pai dos dois ecoes consanes e a. Logo, como o plano é consane no empo, a ajecóia é plana, e o plano do moimeno coincide com o plano osculado A ajecóia plana é paabólica Como a ajecóia é plana, paa facilidade de dedução considea-se que o sisema de eixos de efeência é escolhido de foma que o plano osculado ou o plano da ajecóia coincide com o plano Oxy. Dese modo, as componenes segundo o eixo Ox são nulas. Considea-se ainda que o eixo Oy é paalelo ao eco a. 6

27 Capíulo 1 Na figua ao lado, O"x"y"z" é o efeencial global, O'x'y'z' é um efeencial paalelo ao geal e cuja oigem coincide com o pono epesenaio da posição inicial. O efeencial Oxyz é o efeencial efeido no paágafo aneio, onde o plano Oxy coincide com o plano da ajecóia e o eixo Oy é paalelo ao eco aceleação a fica: Figua 1.17 Moimeno unifomemene aiado. Esceendo os ecoes consanes, e a, em elação ao efeencial Oxyz, ou seja, como + a,, cosα, senα,, a, + 1 a enão: x, y, z + cosα, senα, +, a, 1.57 As equações paaméicas da ajecóia são enão: x y z cosα senα 1 a 1.58 As equações caesianas obêm-se eliminando o paâmeo, indo: x cosα y senα x cosα 1 a x cosα 1.59a 7

28 Cinemáica da paícula A equação caesiana, no plano Oxy, é: yx 1 a x gα x A x + B x 1.59b o cos α A B Ou seja, a equação caesiana da ajecóia é um polinómio de segundo gau, iso é, uma paábola. Logo, a ajecóia de um moimeno unifomemene aiado de aceleação consane não nula é paabólica. Ese é o ipo de moimeno de qualque pojécil lançado no espaço num campo gaíico em que se despeza qualque ipo de esisência aeodinâmica e aio. Execícios de aplicação 8

29 Capíulo 1 9

30 Cinemáica da paícula 1.1 VELOCIDADE E ACELERAÇÃO ANGULARES Definições No inealo de empo [, + ] há uma aiação angula espacial θ ene os ecoes posição efeidos aos limies dos inealos. Designa-se elocidade angula média no inealo de empo [, + ] ao escala: Figua 1.18 Vaiação angula do moimeno. ω m θ [, ] Designa-se elocidade angula insanânea no insane, ao limie da elocidade angula média quando ende paa zeo, iso é: θ ω lim dθ θ θ& 1.61 De foma idênica se define aceleação angula média como sendo o escala, no inealo de empo [, + ], dado po: α m ω [, ] e, aceleação angula insanânea no insane como sendo o escala dado po: ω α lim dω ω ω& 1.63 Consideando ainda a expessão 1.61, de definição de elocidade angula insanânea, a aceleação angula insanânea pode ambém se expessa po: dω d dθ d θ α θ θ&

31 Capíulo Dimensões e unidades são: As dimensões e as unidades mais usuais desas duas gandezas cinemáicas [ω]t -1 [α]t - S.I. e C.G.S. ad/s ouos nº eoluções/s - nº eoluções/min.p.m. S.I. e C.G.S.- ad/s ouos - nº eoluções/s Componene adial e ansesal da elocidade: componenes inínsecas ou polaes Figua 1.19 Componene adial e ansesal da elocidade. Enão, A elocidade e a aceleação angulaes são conceios basane úeis paa defini moimenos geais cuilíneos, aaés de coodenadas não necessaiamene caesianas. Consideando a figua 1.19, epesenando uma paícula a descee um moimeno qualque, o eco elocidade insanânea,, pode se decomposo em duas componenes: elocidade adial,, na diecção do eco posição ; elocidade ansesal, θ, na diecção nomal ao eco posição e peencene ao plano definido pelos ecoes posição,, e elocidade,. 31

32 Cinemáica da paícula + e θ θ como d e e 1.65 sendo e o eso da diecção do eco posição, logo: d d d de e e Oa, d e em a diecção do eco posição poque e é o eso dessa diecção; e, de em a diecção nomal poque o eco de é pependicula ao eso e de faco, se e é eso enão: d d e e a aplicando a popiedade da deiada do poduo de duas aiáeis, em: d de 1.67b e e e endo em cona a equação 1.67a, a deiada dese poduo é igual a zeo, enão, de de e e 1.67c como se peendia mosa. de Calcule-se : Figua 1. Vesoes em difeenes insanes. Os esoes dos sucessios ecoes posição em difeenes insanes são uniáios, po isso, a linha que une os exemos desses ecoes é uma cicunfeência de aio uniáio. De acodo com a figua 1., s' e θ 1 θ θ

33 Capíulo 1 Quando : ds' lim e θ lim θ dθ de 1.69 ou seja, quando a coda ende paa o aco, donde: de de dθ ω 1.7 como de de n e 1.71 enão: e ainda como, de ω 1.7 n e + θ d de e e de e ω ne enão, as componenes adial e ansesal podem se obidas po: θ d e ω n e 1.74 De igual foma, pode-se obe as componenes inínsecas da aceleação iso é, a aceleação adial e a aceleação ansesal: em que, a a + a n

34 Cinemáica da paícula d a u an n R 1.76 Sendo, d a 1.77 e d de e + d e + ω n e 1.78 Figua 1.1 Componenes inínsecas da aceleação. Enão, a d d e + ω n 1.79a e d d de d dω dn a e + + ω ne + ne + ω e 1.79b como, de ω 1.8 n e e como, dne dθ de e e dθ ω a em senido conáio a dn e ω e

35 Capíulo 1 enão, a d d dω ω e + ω + n e 1.8 como dω α 1.83 e a a a θ enão as componenes de aceleação adial, a, e ansesal, a θ, definem-se como: a a d ω e d ω + θ dω n e 1.85 Noe-se que: 1 No caso do moimeno ecilíneo, se fo consideado o ceno do efeencial sobe o eixo do moimeno, não haeá aiação angula ω e, enão: 1.86 ou seja, a elocidade em a diecção do eixo do moimeno e, d ds 1.87 No caso do moimeno cicula, se fo consideado o ceno do efeencial no ceno do cículo, a gandeza de é consane e d e, enão, 1.88 θ 35

36 Cinemáica da paícula ou seja, a elocidade é sempe pependicula ao aio definido pelo eco posição e em a gandeza ω MOVIMENTO CIRCULAR Viu-se aneiomene que o moimeno de uma paícula pode se descio a pai da lei hoáia e da equação caesiana da ajecóia ou a pai do eco posição da paícula em qualque insane. Paindo das duas abodagens aneioes, iá se definida uma eceia foma de defini cinemaicamene o moimeno cicula de uma paícula em qualque insane aaés do conceio de eco elocidade angula Descição aaés da ajecóia e da lei hoáia Posição: Uma ez que o moimeno é cicula, esá implício o conhecimeno da ajecóia. A posição em qualque insane é conhecida poque ambém é conhecida a lei hoáia, s s. Veco elocidade: - senido: é o da pogessão do moimeno associado à eolução cescene dos acos; - diecção: angene à ajecóia poano, à cicunfeência no pono consideado; - gandeza: o alo da elocidade escala insanânea é: ds d [ R θ ] dθ R R ω 1.89 sendo R o aio da ajecóia que, nese caso, é consane dado que o moimeno é cicula. 36

37 Capíulo 1 Veco aceleação: Na definição do eco aceleação, há dois casos a considea: 1º O moimeno é cicula unifome: ω consane dw d dω a R an R ω R 1.9 ou seja, a aceleação é puamene adial ou nomal com: - senido: paa o ineio da ajecóia; - diecção: do eco posição que é o aio do cículo fomado pela ajecóia, iso é, pependicula ao eco elocidade; - gandeza: a an ω R. º O moimeno é cicula aiado: ω consane d d a an R ω R a R α u an R ω n [ R ω ] dω R R α senido: paa o ineio da ajecóia; - diecção: é a que esula da soma dos ecoes a com diecção do eco posição e a n com diecção ansesal ou nomal à aneio; - gandeza: a a + a R 4 n α + ω. 37

38 Cinemáica da paícula Descição aaés do eco posição Consideando uma paícula que descee um moimeno cicula no plano Oxy e supondo que essa paícula inicia o moimeno no pono R,, o que não consiui peda de genealidade uma ez que o sisema de eixos pode se escolhido de foma a que isso aconeça. Figua 1. Moimeno cicula de uma paícula. Nesas condições, o eco posição pode se definido po: Nesas condições, o eco posição pode se definido po: x i + y j ; com x R cosθ y R senθ 1.9 poano, R cosθ i + R senθ j 1.93 com R aio da cicunfeência. Considee-se agoa os dois casos já efeidos aneiomene, confome a elocidade angula é consane ou aiada: 1º O moimeno é cicula unifome: ω consane Dado que: dθ ω dθ ω θ o dθ ω θ ω θ ω 1.94 posição: a posição da paícula fica definida em cada insane po: 38

39 Capíulo 1 R cos ω i + R sen ω j 1.95 eco elocidade: d R ω sen ω i + R ω cos ω j 1.96 a gandeza do eco elocidade é: [ sen ω + cos ω ] ω R ω R 1.97 como já se inha consaado; e, [ R ω sen ω, R ω cos ω ] [ R cos ω, R sen ω ] R ω sen ω cos ω + R ω sen ω cos ω 1.98 eco aceleação: d d a [ R ω sen ω i + R ω cos ω j] R ω cos ω i R ω sen ω j ω [ R cos ω i + R sen ω j] ω 1.99 donde se conclui que o eco aceleação em a diecção do eco posição e senido conáio desse eco, iso é, a aceleação coincide com a aceleação nomal: a, com gandeza a a a R n ω a n 1.1 Conclusão: Quando o moimeno é cicula e unifome, a aceleação oal coincide com a aceleação nomal, que ambém se chama aceleação cenípea. 39

40 Cinemáica da paícula Noe-se que a designação moimeno cicula unifome é impópia já que exise aceleação. A designação efee-se ao faco da gandeza da elocidade se consane, ω R consane, donde esula que a paícula pecoe espaços iguais em empos iguais. º O moimeno é cicula aiado: ω consane Como ω não é consane, não é possíel explicia θ como função de sem conhece a função ω ω. Assim: posição: R cosθ i + R senθ j 1.11 eco elocidade: d dθ dθ R senθ i + R cosθ j 1.1a como ω dθ, enão: R ω senθ i + R ω cosθ j 1.1b A gandeza dese eco é: [ sen θ + cos θ ] ω R ω R 1.13 como já se inha iso aneiomene. Ese eco em a diecção pependicula ao eco posição como ambém já se iu: [ R ω senθ, R ω cosθ ] [ R cosθ, R senθ ] R ω senθ cosθ + R ω senθ cosθ 1.14 eco aceleação: d d a [ R ω senθ i + R ω cosθ j] 4

41 Capíulo j d R R i d R R cos sen sen cos θ ω θ ω θ ω θ ω [ ] [ ] j R i R d j R i R cos sen sen cos θ θ ω θ θ ω 1.15 como: j R i R + sen cos θ θ 1.16a j R i R + cos sen θ θ ω 1.16b dω α 1.16c enão, a + ω α ω VECTOR ROTAÇÃO OU VECTOR VELOCIDADE ANGULAR, ω Definição O eco oação, ou eco elocidade angula ω, é um eco sem exisência físico-maemáica, sendo um opeado maemáico que foi definido com o objecio de pemii uma descição geal, e simulaneamene páica, dos moimenos ciculaes. O eco oação é definido po: diecção: nomal ao plano da ajecóia; Figua 1.3 Senido do eco oação

42 Cinemáica da paícula senido: o da pogessão de um saca-olhas que gie no senido do moimeno; gandeza: igual à elocidade angula, ω. De igual modo, podeá se definido o eco ficício de aceleação angula como sendo: dω d dω α [ ω k ] k α k Descição do moimeno cicula aaés do eco oação Figua 1.4 Veco oação, ω. Considee-se uma paícula em moimeno cicula, sendo P o pono em que a paícula se encona no insane e o eco posição em elação a um efeencial com oigem no ceno da cicunfeência. posição: uma ez que é conhecida a ajecóia cicula e a elocidade angula, ω, a posição pode se definida obendo pimeio o ângulo de oação θ: dθ ω θ ω dθ θ ω uma ez conhecido o ângulo de oação, é possíel defini a lei hoáia: s s R θ 1.1 eco elocidade: o eco elocidade é dado po: ω 1.11 Veja-se que assim é: 4

43 Capíulo 1 eco aceleação: a diecção do eco ω é pependicula ao plano definido pelos ecoes ω e e, poano, com diecção pependicula à ajecóia. o senido é dado pela pogessão de um saca-olhas quando ele oda de acodo com a definição de poduo ecoial do pimeio eco, ω, paa o segundo eco,. a gandeza do eco ω é: ω ω senβ 1.1 o como ω β 9 senβ 1, poano: ω ω ω 1.13 ou seja, em a mesma gandeza que a da elocidade escala insanânea de uma paícula em moimeno cicula. d a Oa, como d dω d ω + ω dω ω + ω + α 1.14 a a n + a, enão fica poado que: an ω a α 1.15 Vai-se e agoa como se pode edefini a componene nomal, a n, e a componene ansesal, a, da aceleação: a n ω ω ω ω ω ω ω ω ω 1.16 Já aás se inha iso que a ω. 43

44 Cinemáica da paícula d a ω dω d dω dk ω k k + ω como d k, em: d ω d ω k 1.17a 1.17b ou seja, os ecoes dω e ω são paalelos. Viu-se ainda que ω ω, donde: 1 ω ω 1.18 enão: dω dω 1 ω ω 1 dω ω ω 1 dω dω ω ω ω 1 ω dω α ω ω 1.19 al como se inha iso aneiomene, a componene angencial da aceleação é dada po: a α ω

45 Capíulo 1 Execícios de aplicação 45

46 Cinemáica da paícula 46

47 Capíulo 1 47