DINÂMICA Dinâmica Cinemática Dinâmica Movimento rectilíneo Movimento Curvilíneo 11-1

Transcrição

1 DINÂMICA A Dinâmica inclui: - Cinemáica (Kinemaic): eudo da geomeia do moimeno. A Cinemáica é uilizada paa elaciona o delocameno, a elocidade, a aceleação e o empo, em elação com a caua do moimeno. - Dinâmica (Kineic) popiamene dia: euda a elaçõe eiene ene a foça que acuam num copo, a maa do copo e o moimeno dee copo. A Dinâmica é uada paa pee o moimeno cauado po deeminada foça ou paa calcula a foça neceáia paa pooca um deeminado moimeno. Moimeno ecilíneo: poição, elocidade e aceleação da paícula no eu moimeno egundo uma linha eca. Moimeno Cuilíneo: poição, elocidade e aceleação da paícula no eu moimeno egundo uma linha cua em dua ou ê dimenõe. 11-1

2 Moimeno ecilineo: Poição, elocidade e aceleação Paicula em moimeno egundo uma linha eca Coodenada da Poição de uma paicula é definida pela diancia poiia ou negaia da paicula a pai de uma oigem obe a linha. O moimeno de uma paicula é conhecido e a coodenada da poição fo conhecida paa cada alo do empo. O moimeno da paicula pode e epeo ob a foma de uma função, po eemplo: 6 ou ob a foma de um gáfico

3 Moimeno ecilineo: Poição, elocidade e aceleação Conidee-e a paícula que eá na poição P no inane e P em +, Velocidade média Velocidade inananea A elocidade inananea pode e poiia ou negaia. lim A pai da definição de deiada, eemplo: lim 6 d 3 1 d 3 & 11-3

4 Moimeno ecilineo: Poição, elocidade e aceleação Conidee-e a paicula com elocidade no inane e em +, Aceleação inananea a lim A aceleação inananea pode e: - poiia: e uma elocidade poiia aumena ou uma elocidade negaia diminui; - negaia: e uma elocidade poiia diminui ou uma elocidade negaia aumena. Da definição de deiada: a e : lim 1 d 3 d & a d

5 Moimeno ecilineo: Poição, elocidade e aceleação Enão, uma paícula em o eu moimeno decio pela equaçõe: 6 d d d a 1 6,,, a 1 m/, 16 m, ma 1 m/, a 4, ma 3 m,, a -1 m/ 6,, -36 m/, a -4 m/ 11-5

6 Cálculo do moimeno de uma paícula Sendo conhecida a aceleação de uma paícula, em geal epea como uma função do empo, a f(), podemo ecee: d a f ( ) d f ( ) ( ) d f ( ) ( ) f ( ) d ( ) d ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) 11-6

7 Eemplo 1: RESOLUÇÃO: Inega dua eze paa obe () e y(). Calcula paa o qual a elocidade é igual a zeo (inane paa a máima alua) e calcula a alua coepondene. Uma bola é lançada com uma elocidade eical de 1 m/ a pai da janela localizada m acima do olo. Deemina: Velocidade e alua acima do olo no inane, Maio alua alcançada pela bola e o inane 1 coepondene, e Inane paa o qual a bola ainge o olo e a coepondene elocidade. Calcula paa o qual a alua é igual a zeo (inane de impaco no olo) e calcula a elocidade coepondene. 11-7

8 Inega dua eze paa obe () e y(): d ( ) d a 9.81m 9.81 ( ) 9.81 m m ( ) dy y( ) dy y ( ) ( ) y y y m ( ) m m 11-8

9 Calcula paa o qual a elocidade é igual a zeo e calcula a coepondene alua: m m ( ) y ( ) y m + 1 m + 1 m m m 4.95 m ( 1.19) 4.95 ( 1.19) y 5.1m 11-9

10 Calcula o inane paa o qual a aliude é igual a zeo e calcula a coepondene elocidade: y m m ( ) m ( em ignificado) ( ) m 1 m 9.81 m m ( 3.8) ( 3.8) a + b c b ± b 4ac a m. 11-1

11 Moimeno Unifome Recilíneo Paa uma paícula com moimeno unifome ecilíneo, a aceleação é zeo e a elocidade é conane d d + conan 11-11

12 Moimeno Unifomemene Aceleado Recilíneo Paa uma paícula com moimeno ecilíneo unifomemene aceleado, a aceleação é conane d a conan d a + a a d + a d a ( + a) + 1 a d d a conan d a d + a ( ) 1 ( ) a( ) 11-1

13 Moimeno de áia paícula: Moimeno elaio Paa paícula em moimeno ao longo da mema ajecóia, o empo dee medido paa o memo inane inicial e o delocameno medido a pai da mema oigem e na mema diecção A A + A A A A + A A Poição elaia de em elação a A Velociade elaia de em elação a A a A a aa a a + a A A Aceleação elaia de em elação a A 11-13

14 Eemplo : Uma bola é lançada eicalmene de baio paa cima, a pai da alua y 1 m, no ineio de uma caia de eleado com uma elocidade inicial de 18 m/. No memo inane, a plaafoma do eleado paa na poição de 5 m, moendoe paa cima a uma elocidade de m/. Deemina: (a) quando e onde a bola ainge a plaafom do eleado, e (b) elocidade elaia da bola e do eleado no inane do conaco 11-14

15 Subiui o dado conhecido da poição inicial, elocidade inicial e aceleação conane, da bola, na equaçõe geai do moimeno ecilineo unifomemene aceleado: 1 m 4.95 m 18 1m m 9.81 m 18 a y y a Subiui o dado conhecido da poição inicial e elocidade conane, do eleado, na equação do moimeno ecilieno unifome: y y E E E + + m 5m m

16 Ecee a equação paa a poição elaia da bola em elação ao eleado e iguala a zeo, i.e., poição do impaco y ( ) ( 5 + ) E ( ) emignificado Subiui o inane do impaco na equaçõe paa a poição do eleado e da elocidade elaia da bola em elação ao eleado y E 5 + ( 3.65) y E 1.3m E ( ) ( 3.65) E m

17 Eemplo: Doi naio paem de um memo pono O e com o umo indicado. Ambo êm moimeno ecilíneo unifome com elocidade de 1 nó no cao do naio A e de 14 nó no cao do naio. naio O 135º naio A a) Indique, em função do empo, o eco poição de A. b) Indique, em função do empo, o eco poição de. c) Indique, em função do empo, o eco poição de elai. a A. d) Calcule a diância ene o naio ao fim de hoa. e) Admia que uma deeminada apaelhagem de comunicaçõe ene o naio em um alcance máimo de 7 milha. Calcule o peiodo de empo duane o qual é poiel comunica ene o naio

18 Moimeno Cuilíneo: Poição, Velocidade e Aceleação Moimeno cuilíneo: paícula em moimeno ao longo de uma cua. O eco poição da paícula no inane é definido po um eco ene a oigem O de um efeencial fio e a poição ocupada pela paícula nee inane. Conidee-e que a paícula ocupa a poição P definida po no inane e a poição P definida po no inane +, d lim Velocidade inananea (eco) lim d Velocidade (ecala) 11-18

19 Moimeno Cuilíneo: Poição, Velocidade e Aceleação Se fo a elocidade da paícula no inane e a elocidade no inane +, d a lim Aceleação inananea (eco) ajecóia Em geal, o eco aceleação não é angene à ajecóia da paícula

20 Componene ecangulae da elocidade e aceleação Sendo a poição da paícula P é epea pela ua componene ecangulae, i + y j + zk Veco Velocidade, d dy dz i + j + k i + j + k y z i & + y & j + zk & Veco Aceleação, d d y d z a i + j + k a i + a j + a k y z && i + && y j + && zk 11 -

21 Componene ecangulae da elocidade e aceleação Eemplo do moimeno de um pojécil: a && a && y g a & z y z com a condiçõe iniciai: ( ), ( ),( ) y z y z Enão eemo: ( ) ( ) y y g z ( ) ( ) 1 y y g z O moimeno na diecção hoizonal é unifome O moimeno na diecção eical é unifomemene aceleado O moimeno de um pojecil pode e decompoo em doi moimeno ecilíneo independene. y 11-1

22 Eemplo: Um pojécil é dipaado da eemidade de uma faléia com 15 m de alua, com uma elocidade inicial de 18 m/ e com um ângulo de 3º com a hoizonal, como e ilua na figua. Depezando a eiência do a, calcula: a) A diância hoizonal paa a qual o pojécil ainge o olo. b) A maio eleação acima do olo aingida pelo pojécil. 11 -

23 Moimeno eical: Moimeno unifomemene aceleado Moimeno hoizonal: Moimeno unifome 11-3

24 Moimeno elaio a um efeencial em anlação Deignemo um efeencial como efeencial fio de efeencia. Todo o ouo efeenciai não igidamene ligado ao pimeio ão efeenciai móei O ecoe poição da paícula A e em elação ao efeencial fio de efeencia Oyz ão A. e O eco A que une A a define a poição de em elação ao efeencial móel A y z e + A Difeenciando dua eze, + a a A A + a A A A a A A Velocidade de em elação a A. Aceleação de em elação a A. O moimeno aboluo de pode e obido combinando o moimeno de A, com o moimeno elaio de em elação ao efeencial móel ligado a A. 11-4

25 Eemplo: O auomóel A deloca-e paa Ee com uma elocidade conane de 36 km/h. Quando o auomóel A paa no cuzameno, o auomóel inicia o eu moimeno a pai do epouo, 35 m a Noe do cuzameno e deloca-e paa Sul com uma aceleação conane de 1. m/. Deemina a poição, elocidade e aceleação de elaiamene a A, no inane 5 depoi de o auomóel A e paado o cuzameno. 11-5

26 Poblema: O comandane de uma pequena embacação, que é capaz de mane uma elocidade de cuzeio de 6 nó em água calma, peende eabelece um umo que lee a embacação diecamene do pono A paa um pono localizado a uma diância de 1 milha náuica paa Ee. Nea zona a coene em uma elocidade eáel de nó paa NE. Numa análie implificada, al como e epeena na figua, calcula o umo H, medido no enido hoáio a pai do Noe, aedondado ao gau mai póimo. Calcula ambém o empo neceáio paa ealiza a iagem. 11-6

27 Moimeno Cuilíneo: Componene Tangencial e Nomal O eco elocidade de uma paícula é angene à cua da ajecóia da paícula. Io não aconece, em geal, com o eco aceleação. Vamo epimi o eco acelaação em emo da ua componene angencial e nomal. e e e ão o ecoe uniáio angenciai à ajecóia no pono P e P. Quando deenhado a pai da mema oigem, emo e e e e θ é o ângulo ene ele. e in e lim θ de e n dθ ( θ ) lim in θ ( θ ) θ θ e n e n 11-7

28 Componene Tangencial e Nomal da aceleação Epimindo o eco elocidade como a aceleação da paícula eá dada po: d d de d de dθ d a e + e + dθ d endo de d en ; ρdθ d ; dθ Subiuíndo emo: e a d e + ρ e n a d, a n ρ A componene angencial da aceleação eflece a aiação de elocidade e a componene nomal eflece a aiação de diecção. A componene angencial pode e poiia ou negaia. A componene nomal apona empe paa o ceno de cuaua da ajecóia. 11-8

29 Componene Tangencial e Nomal da aceleação A elaçõe paa a aceleação nomal e angencial ambém e aplicam paa uma paícula em moimeno ao longo de uma cua no epaço: a d e + ρ e n, a d, a n ρ A nomal ao plano é obida aaé do poduo eeno: eb e e n en diecção nomal e diecção angencial e diecção binomal b Não eie componene da aceleação egundo a diecção binomal. 11-9

30 Eemplo: 9 Km/h 75 m Um eículo decee uma ajecóia cua, numa auoeada, a uma elocidade de 9 Km/h. O conduo aplica o aõe poocando uma deaceleação conane no eículo. Sabendo que apó 8 a elocidade foi eduzida paa 65 Km/h, deemina a aceleação do eículo imediaamene apó a acuação do aõe. 11-3

31 a.875m/ Calcula a componene nomal e angencial da aceleação: moimeno a n.833m/ a a n ρ ( 18 5) 8 ( 5m ) 75m m/ m.875 m Km/h 5 m/ 65 km/h 18 m/ Deemina a inenidade da aceleação e a epecia diecção em elação à angene à cua: (.875) a a + an a 1. m α an a 1 n 1 a an α

32 Cinemáica de Copo Rígido - Inodução Cinemáica de Copo Rígido: elaçõe ene o empo e a poição, elocidade e aceleação da paícula que fomam o copo ígido. Claificação do moimeno do copo ígido: - Tanlacção: Tanlacção ecilínea - Roação em ono de um eio fio - Moimeno plano geal - ec. Tanlacção cuilínea 3

33 Moimeno da placa: anlacção ou oação? Tanlacção Cuilínea Roação 33

34 Tanlacção Conidee-e um copo ígido em anlacção. Paa quaique dua paícula no copo, + A A Difeenciando em elação ao empo, & & & & A + A A A Toda a paícula êm a mema elocidade Difeenciando de noo em elação ao empo, & A + & A & A a a & A Toda a paícula êm a mema aceleação. 34

35 Roação em ono de um Eio Fio Quando um copo oda em ono de um eio fio, qualque pono P, nee copo, decee uma ajecóia cicula. A poição angula de P é definida pela coodenada angula θ. A aiação da poição angula, dθ, é deignada po delocameno angula, com unidade de adiano ou oaçõe. Veifica-e a elação: 1 oação π adiano Velocidade angula, ω, é obida deiando em odem ao empo o delocameno angula : ω dθ/ (ad/) + Igualmene, a aceleação angula é α d θ/ dω/ ou α ω (dω/dθ) (ad/ ) + 35

36 Roação em ono de um Eio Fio: Velocidade Conidee-e a oação de um copo ígido em ono de um eio fio AA O eco elocidade d da paícula P é angene à ajecóia e em a inenidade d ( P ) θ ( inφφ ) θ d lim θ ( inφ ) & θ inφ O memo eulado pode e obido a pai de d ω ω ωk θ& k elocidade angula 36

37 Roação em ono de um Eio Fio: Aceleação Difeenciando paa obe a aceleação, d d a ( ω ) d ω d + ω d ω + ω dω α aceleação angula αk ω& k && θk Logo, a aceleação de P é a combinação de doi ecoe a α + ω ω α componene angencial da aceleação ω ω componene adial da aceleação 37

38 Roação em ono de um Eio Fio: Análie no plano Analie-e o moimeno numa faia epeenaia do copo ígido em oação, num plano pependicula ao eio de oação. A elocidade de um pono P, qualque, eá: ω ω ω k A aceleação de um pono P, qualque, eá: 38 A aceleação de um pono P, qualque, eá: k a ω α ω ω α + Reolendo em emo da componene angencial e nomal da aceleação: ω ω α α a a a k a n n

39 Equaçõe que definem a Roação de um Copo Rígido em ono de um Eio Fio Reião da equaçõe em função de θ: dθ ω ou dω d θ dω α ω dθ dθ ω Roação Unifome: α, ωconane : θ θ + ω Roação Unifomemene Aceleada, α conane: + ω ω ω θ θ ω α + ω + 1 α ( θ ) + α θ 39

40 Eemplo: O pono C, obe a coeia epeenada na figua, em uma aceleação conane de 9 in/ e uma elocidade inicial de 1 in/, amba diigida paa a dieia. Deemina: (a) O numeo de oaçõe da oldana em, (b) A elocidade e a aiação da poição do peo ao fim de (c) A aceleação do pono D na oldana ineio no inane. 4

41 A elocidade angencial e a aceleação de D ão iguai à elocidade e aceleação de C. 1in. ( D ) ( C ) ( D ) ω ( ) ω D 1 3 4ad ( ad ) ( a ) D α a C α 9in. ( ad ) 9 3ad 3 Aplicando a equaçõe paa a oação unifomemene aceleada, podemo calcula a elocidade e a poição angula da oldana ao fim de. ( 3ad )( ) 1 ad ω ω + α 4 ad + 1 θ ω + α 14 ad 1o N ( 14 ad) π ad y ω θ ( 5 in. )( 1ad ) ( 5 in. )( 14 ad) ( )( ) ( 4 ad ad )( ) nº oaçõe y N.3o 5in. 7 in. 41

42 Cálculo da componene angencial e nomal da aceleação de D no inane ( a D ) a 9in. C ( a D ) ω ( 3 in. )( 4ad ) 48in n D ( a D ) in. ( a ) 48in. 9 D n Inenidade e diecção da aceleação eulane a D ( a ) + ( a ) D D n a D 48.8in. anφ ( ad ) ( a ) 48 9 D n φ

43 Moimeno plano geal Combinação de uma anlação com uma oação 43

44 Moimeno plano geal Tanlação pua, eguida de uma oação em ono de A (paa moe ' 1 paa ' ) Moimeno de em elação a A é uma oação pua, i.e. decee um ciculo cenado em A. Qualque moimeno plano pode e epeenado como a obepoição de uma anlação de um pono abiáio de efeencia A com uma oação em ono de A. 44