Capítulo 3 Cinemática e Dinâmica do ponto material. Corpo Rígido.

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1 Capíulo 3 Cinemáica e Dinâmica do pono maeial. Copo Rígido. 3. Movimeno Relaivo Um pono (um objeco) eibe um movimeno em elação a ouo, quando a sua posição espacial medida elaivamene a esse segundo copo - vaia com o empo. Quando iso não aconece, diz-se que o pono esá em - epouso elaivo a esse objeco. Repouso e movimeno como conceios elaivos - dependem da escolha do efeencial, não são conceios absoluos. Quando esudamos os poblemas do movimeno, emos sempe que defini um sisema de efeência ou efeencial, paa que não enhamos dúvidas sobe a sua ajecóia (medida nesse efeencial.). Figua 3. Dois obsevadoes (dois efeenciais disinos) esudam o movimeno de P no espaço. Figua 3. Repesenação da obia da Lua elaivamene à Tea e ao Sol. As disâncias e a ajecóia da Lua não esão à escala. (a disância Tea-Sol é ceca de 4 vezes supeio à disância Tea-Lua). Física Eng. Elecoécnica e de Compuadoes - - 5

2 3. Movimeno Recilíneo 3.. Velocidade O movimeno de um pono maeial é ecilíneo quando a sua ajecóia é uma eca. Consideando o movimeno a uma dimensão (ao longo do eio do XX), a posição de um pono é definida pelo seu deslocameno medido a pai de um pono abiáio O, a oigem. Podemos elaciona a posição com o empo e assim obe uma elação funcional : = f() Figua 3.3 Duas sucessivas posições de um pono, no empo e no espaço. Ocupando o copo disinas posições (obviamene em disinos empos), podemos defini a velocidade média ene esses dois ponos (e insanes) como, v med ' = ' = (3.) Velocidade média - duane um deeminado inevalo de empo é igual ao deslocameno médio po unidade de empo, duane o inevalo de empo Velocidade Insanânea (num pono) - oma-se o inevalo de empo ão pequeno quano possível, ou seja, oma-se o valo limie quando ende paa zeo (). v = lim v med = lim (3.) Iso não é mais do que oma a deivada de em elação ao empo ; vindo, d v = (3.3) d A Velocidade Insanânea é obida pelo cálculo da deivada do deslocameno, em elação ao empo. (Na páica, nos nossos insumenos é sempe num pequeno inevalo de empo, e poano, não uma medição insanânea). Sabendo v = f() - a posição pode se obida po inegação, pois d = v d d = vd = o e = o + vd (3.4) vd - que em a gandeza de um compimeno é o deslocameno do copo duane o pequeno inevalo de empo d. Física Eng. Elecoécnica e de Compuadoes - - 6

3 Eemplo de aplicação - Velocidade média vesus Velocidade insanânea Uma paícula move-se ao longo do eio XX de al modo que a sua posição em qualque insane é dada pela função () = 5 + (com dado em meo e em segundo - S.I.). Calcula a velocidade média nos seguines inevalos de empo: [, 3] s [,,] s [,,] s [,,] s Calcula agoa a velocidade insanânea no insane = s. Compaa os esulados e veifica a elação ene as duas velocidades. 3.. Aceleação Rega geal a velocidade de um copo é função do empo. Quando não, e a velocidade é consane (invaiável no empo) - o movimeno é dio unifome. Se as velocidade foam disinas ( v em e v' em ' - na figua 3.3) podemos enão defini a aceleação média (ene os ponos A e B), como: a med v' v = ' = v (3.5) com v a vaiação de velocidade (v'-v) e o empo decoido ('-). Aceleação média - duane um deeminado inevalo de empo é a vaiação da velocidade v po unidade de empo, duane o inevalo de empo Aceleação Insanânea - é o valo limie da aceleação média, quano o inevalo de empo ende paa zeo (). v a = lim amed = lim (3.6) é a deivada de v em elação ao empo ; iso é; dv a = (3.7) d Mas em geal, a aceleação vaia duane o movimeno. Um movimeno ecilíneo com aceleação (angencial) consane é dio unifomemene aceleado. se a velocidade aumena (em módulo) emos um movimeno aceleado, se a velocidade diminui (em módulo) emos um movimeno eadado. A pai da aceleação podemos calcula a velocidade po inegação (dv = a d), v v dv = ad = v v o + v = v o ad (3.8) ou seja, de dv = a d, vem que v dv = a d, vindo, dv d d d a = = a = (3.9) d d d d Física Eng. Elecoécnica e de Compuadoes - - 7

4 v vdv = v ad v v = ad (3.) [aplicação dos conhecimenos de deivadas e pimiivas de funções polinomiais] 3.A Movimeno Recilíneo Unifome Como v é consane, a = ms -, e = o + vd = o + v d = o + v( ) (3.) = v( ) o + (3.) epessão do movimeno ecilíneo unifome, a uma dimensão Figua 3.4 Gáficos com as epesenações da função velocidade e deslocameno, no movimeno unifome. 3.B Movimeno Recilíneo Unifomemene Aceleado Nese caso a aceleação a é consane. ) = v( ) = vo + ad = vo + a d = vo + a( ) (3.3) ( o + [ v + a( )] d = + v d + a ( ) d (3.4) ( ) = o + v ( ) + a( ) (3.5) epessão do movimeno ecilíneo unifomemene aceleado, a uma dimensão v v = a d = a( - ) o que dá: v = v ( - ) + a (3.6) Física Eng. Elecoécnica e de Compuadoes - - 8

5 (consideando = s) Figua 3.5 Gáficos com as epesenações da função velocidade e deslocameno, no movimeno unifomemene aceleado. A queda de qualque copo na poimidade da supefície da Tea é (em pimeia análise) um eemplo ípico de um movimeno ecilíneo unifomemene aceleado. A aceleação da gavidade peo da supefície da Teese é, em pimeia apoimação, consane em inensidade e define o nosso senido de veical. 3.3 Movimeno Cuvilíneo 3.3. Velocidade Figua 3.6 Queda de gaves. Consideemos uma paícula a desceve uma ajecóia cuvilínea C, como ilusado na figua 3.7. Figua 3.7 Repesenação de uma ajecóia cuvilínea C. Sucessivas posições e velocidades médias. No insane, a paícula ocupa o pono A, epesso pelo veco posição = OA = u + u + z u. z Num insane poseio ', a paícula ocupa o pono B, com ' = OB = ' u + ' u + z' u. z Física Eng. Elecoécnica e de Compuadoes - - 9

6 O movimeno ocoe ao longo do aco AB = s, sendo o deslocameno o veco ( ' = + ), AB = vindo; AB = u + u + z u ( = ', = ' e z = z' z ) z logo, v med = e v med z = u + u + u z (3.7) a velocidade média é epesenada po um veco paalelo ao deslocameno AB =. Paa o cálculo da velocidade insanânea, omamos ão pequeno quano possível, ou seja omase (como já vimos) o valo limie quando ende paa zeo; v = lim v med = lim (3.8) Quando o pono B ende paa o pono A, o veco AT (veso u T ). AB = coincide com a diecção angencial No movimeno cuvilíneo a velocidade insanânea é um veco angene à ajecóia, dado po: d v d d dz = v = u + u + u (3.9) d d d d z d d v =, v = e vz = d d dz d, v = v + v + v z (3.) Podemos obe o mesmo esulado, usando um pono abiáio sobe a ajecóia (O ), assim s = O A dá-nos a posição da paícula medida pelo deslocameno ao longo da cuva (ajecóia). lim s s s s v = lim = lim lim s s s é um veco uniáio com diecção angencial à ajecóia (no pono A), d = lim = ut ds s s ou seja, podemos eesceve a velocidade insanânea como: e s lim = ds d (3.) (3.) ds v = ut = v u T (3.3) d Física Eng. Elecoécnica e de Compuadoes - - 3

7 3.3. Aceleação Nese ipo de movimeno (cuvilíneo), a velocidade, vaia ano em módulo como em diecção. vaiação de módulo: aumeno ou diminuição da velocidade vaiação de diecção: poque a velocidade é angene à cuva (ajecóia) Figua 3.8 Repesenação de uma ajecóia cuvilínea e vaiação da velocidade insanânea. No insane, a paícula ocupa o pono A, e no insane poseio ', a paícula ocupa o pono B, sendo a vaiação de velocidade ene esses insanes epessa (no iângulo) po v, v ' = v + v e v = v ' v, logo a aceleação média em é o veco: a med = v = v' v (3.4) que é paalelo ao veco v Da mesma foma que paa a velocidade, emos as elações semelhanes: v ) (3.5) = v u + v u + vz u z ( v = v u + v u + vz u z a med v v v z = u + u + u z (3.6) Aceleação insanânea a = lim a med v = lim (3.7) dv a = (3.8) d A aceleação é um veco que em a diecção da vaiação insanânea da velocidade, e como esa vaia na diecção da cuvaua da ajecóia, a aceleação é sempe diigida paa a concavidade da cuva. Podemos enão defini a aceleação como: Física Eng. Elecoécnica e de Compuadoes - - 3

8 d a = (3.9) d d d z com componenes: a =, a e a = z = (3.3) d d d d e módulo a = a + a + a z Movimeno cuvilíneo com aceleação consane De especial impoância é o caso de emos a aceleação consane em módulo e diecção. Se a = consane, (de dv = ad ) emos; e como, vem que, mas sabendo que e como v dv = ad = a d = a( ) v v = v d = vd, logo chegamos a: d = (3.3) v dv = v v (3.3) v + a( ) ( v + a( )) d = v d + a ( ) d (3.33) (3.34) d = (3.35) vem enão: = + v ( ) + a( ) epessão vecoial do movimeno cuvilíneo com aceleação consane (3.36) a velocidade v e a aceleação a podem e diecções difeenes, mas, a velocidade v e a aceleação a esão sempe conidas no mesmo plano, o veco esá sempe conido nesse plano, Concluímos que um movimeno com aceleação consane é sempe plano e que a sua ajecóia é uma paábola (um aco de paábola) A aplicação mais imediaa dese esulado ocoe no esudo do movimeno de copos peo da supefície eese, onde podemos considea a aceleação (na diecção veical) consane e igual a g = 9,8 ms -. Física Eng. Elecoécnica e de Compuadoes - - 3

9 Definindo o plano XY, onde eisem a v e a = g ( g = g u ) Podemos esceve Figua 3.9 Repesenação de uma ajecóia cuvilínea a duas dimensões. v = v o u + v Com as componenes iniciais da velocidade: o u v o = v o cos α e vo = vosenα Tomando = s, vem: v = v u + ( v g) u (3.37) o epessão vecoial da velocidade o - a componene da velocidade segundo a diecção XX pemanece consane (pois a não eise aceleação segundo essa componene) Consideando que o copo se encona na oigem do efeencial em = s ( = ), podemos ambém esceve; ou, analisando as componenes; = v u + ( v g ) u (3.38) o epessão vecoial da posição = v e o o v o g coodenadas do copo ao longo do empo (em função do empo). =, que epesenam as Tempo necessáio paa o copo aingi o pono mais alo da ajecóia Condição paa aingi o pono mais alo da ajecóia: v = ms - Vem enão como solução: s vsenα = s (3.39) g A coespondene aliude máima acima do pono de lançameno, seá: h ma v sen α = m (3.4) g Física Eng. Elecoécnica e de Compuadoes

10 Tempo necessáio paa o copo vola ao nível do lançameno Tempo de voo voo é igual ao dobo do s e o coespondene alcance máimo é: vsenα v senα Dma = vo = m (3.4) g g O valo que majoa o alcance máimo ocoe paa um ângulo de lançameno α = 45 A equação da ajecóia do copo é obida eliminando o empo na equação (3.38), o que dá: g = + gα v cos α (3.4) Equação que epesena a ajecóia - uma paábola (com concavidade volada paa baio) Eses esulados só são válidos como uma apoimação, quando:. o alcance máimo é suficienemene pequeno paa que possamos despeza a cuvaua do nosso planea Tea,. a aliude é suficienemene pequena paa que a vaiação da gavidade com a alua possa se despezada (vaiação em módulo e diecção), 3. a velocidade inicial é suficienemene pequena paa que se possa despeza a esisência (aio) do a. Eemplo: É dispaado um pojécil com velocidade inicial v = ms -, fazendo um ângulo de lançameno de 4 com a hoizonal. Acha a velocidade e a posição do pojécil aos s. Acha ambém o alcance máimo e o empo necessáio paa o pojécil aingi o solo. Figua 3. Lançameno de um pojécil. Solução: v( ) = 53, u 67,4 u ms - ( ) = 364 u 6 u m alua máima = 843,7 m, alcance máimo = 4 m, no insane = 6,4 s Física Eng. Elecoécnica e de Compuadoes

11 3.3.5 Componenes Tangencial e Nomal da Aceleação Vamos considea que no insane, a paícula se encona no pono A, com velocidade v e aceleação a. Como sabemos que a aceleação esá sempe diigida paa a concavidade da ajecóia, a sua decomposição segundo uma componene angencial a T - paalela à angene AT - é denominada aceleação angencial. A componene nomal a N - paalela à nomal AN (pependicula a AT) - é denominada aceleação nomal. Figua 3. Componenes da aceleação no movimeno cuvilíneo. Cada uma desas componenes em um significado físico bem definido: Vaiação no módulo da velocidade : aceleação angencial Vaiação na diecção da velocidade : aceleação nomal Consideemos a figua aneio. A velocidade é v = v u a sua aceleação seá: T dv d dv dut a = = ( v ut ) = ut + v (3.43) d d d d (se a ajecóia fosse uma linha eca, o veco u T seia consane na diecção, logo invaiável no empo, vindo a sua deivada nula) Mas sendo a ajecóia uma cuva, o veco u T vaia ao longo desa. Vamos veifica qual a sua vaiação. Paa isso inoduzimos o veco uniáio u N, nomal à cuva e no senido da sua concavidade. Tomemos ambém o ângulo φ que a angene à cuva no pono A faz com o eio dos XX. Temos enão: e enão: u T u N = cos φ u + senφ u (3.43) π π = cos( φ + ) u + sen( φ + ) u = senφ u + cos φ u (3.45) du d T dφ dφ dφ = senφ u + cos φ u = u N (3.46) d d d o que nos indica que a vaiação do veso angencial é nomal à cuva. Física Eng. Elecoécnica e de Compuadoes

12 dφ = d dφ ds ds d dφ = v ds (3.47) sendo ds = AA' o pequeno aco de ajecóia pecoido pela paícula no inevalo de empo d. As nomais à cuva em A e A' inecepam-se no pono C - ceno de cuvaua. Definimos o Raio dφ dφ v de Cuvaua como ρ = CA, ds seá enão ds = ρ dφ ou seja =, vindo = ds ρ d ρ e dut v = u N (3.48) d ρ emos po conseguine, que; a = dv u d v + ρ T u N (3.49) O pimeio emo é um veco angene à cuva e é popocional à vaiação no empo do módulo da velocidade - é a aceleação angencial. O segundo emo é um veco nomal à cuva e coesponde - à aceleação nomal. O módulo da aceleação seá enão dão po: a = a T + a N (3.5) Figua 3. Tajecóia paabólica de um pojécil, peo da supefície da Tea. Efeio da diecção da aceleação da gavidade e efeio da amosfea (aio do a) Movimeno Cicula: Velocidade Angula Consideemos agoa o caso paicula em que a ajecóia é uma cicunfeência, ou seja vamos aa do movimeno cicula. O veco velocidade, sendo angene à cicunfeência, é sempe pependicula ao aio R = CA. Medindo disâncias ao longo da cicunfeência a pai do pono O, emos que s = Rθ. Como o aio R pemanece consane, obemos; ds dθ v = = R A gandeza d d dθ ω = (3.5) d Física Eng. Elecoécnica e de Compuadoes

13 ω em o nome de velocidade angula. É a aa de vaiação angula po unidade de empo. É epessa em adianos po segundo (ad s - ), ou simplesmene s -. Figua 3.3 Tajecóia cicula, velocidades angencial e angula. Assim: v = ωr (3.5) A velocidade angula ambém pode se epessa como uma gandeza vecoial, de diecção pependicula ao plano do movimeno e de senido dado pela "ega do saca-olhas" (ega da mão dieia). dθ Na figua 3.3 vemos que R = senγ e que ω = uz, logo podemos esceve que; d v = ω sen γ ou seja, que: v = ω (3.53) (somene válida paa movimenos com e γ consanes) Movimeno Cicula Unifome ω é consane, o que implica que o movimeno é peiódico e consane, ou seja a paícula passa pelo mesmo pono da cicunfeência a inevalos egulaes de empo. O peíodo P é o empo necessáio paa a paícula complea uma evolução (unidade s). A fequência f é o númeo de evoluções na unidade de empo (unidade s - ou Hz). f = (3.54) P Eses conceios de Peíodo e Fequência são aplicados a odos os pocessos peiódicos que ocoem de uma foma cíclica, pocessos que se epeem após cada ciclo compleo. Po eemplo, o movimeno da Tea em edo do Sol, não sendo um movimeno cicula nem unifome, é no enano peiódico. Mas se ω é consane, enão: o que implica; θ θ d θ = ωd = ω d (3.55) θ = θ + ω ( - ) (3.56) Física Eng. Elecoécnica e de Compuadoes

14 omando θ = e = s, emos: θ = ω ou ω = θ / Numa evolução complea, obemos; = P e θ = π, logo, ω = π / P = π f (3.57) Eemplo: Calcule a velocidade angula da Tea em ono do seu eio. O peíodo de oação da Tea é de 3h 56min 4,9 s (P = 8664,9 s). Calcule a velocidade linea à laiude de Toma (39,5ºN). Raio Teese 635 km. Solução: ω = 7,9-5 ad s - e v = 357 ms Movimeno Cicula: Aceleação Angula Quando a velocidade angula de uma paícula vaia no empo, podemos defini a aceleação angula, como; dω α = (3.58) d Uma vez que o movimeno cicula é plano (ocoe sempe no mesmo plano), a diecção de ω maném-se inaleada no espaço, logo podemos oma os módulos das gandezas, iso é; dω d θ α = = (3.59) d d No caso paicula da aceleação angula α se consane (movimeno cicula unifomemene aceleado), emos: Vindo, ω ω d ω = αd = α d (3.6) (sendo ω a velocidade angula no insane ) como dθ/d = ω + α ( - ), inegando vem: ω = ω + α ( - ) (3.6) de modo que, e as, θ θ d θ = ωd + α ( ) d (3.6) θ = θ (3.63) + ω ( ) + α( ) Aceleação Tangencial: dv dω d θ = = R = R = Rα d d d a T (3.64) Aceleação Nomal: v = = ω R (3.65) R a N Física Eng. Elecoécnica e de Compuadoes

15 3.4 Dinâmica Na Cinemáica descevemos maemaicamene os movimenos das paículas (copos maeiais omados como ponos maeiais). Na Dinâmica vamos esuda as azões pelas quais as paículas se movem segundo as ajecóias descias na cinemáica. Veificamos que; os copos póimos da Tea caem paa esa com aceleação consane. Poquê? a Tea move-se em ono do Sol, descevendo uma óbia elípica. Poquê? que uma mola oscila quando esicada ou compimida. Poquê? os áomos ligam-se paa foma moléculas. Poquê? Aavés da obsevação e do enendimeno dos fenómenos, podemos descobi o compoameno básico da naueza e assim usá-lo em nosso poveio, po eemplo na engenhaia, no pojeco de máquinas que se movam do modo como desejamos. O esudo da elação ene o movimeno de um copo e as causas desse movimeno é chamado de Dinâmica. A nossa epeiência diáia diz-nos que o movimeno de um copo é o esulado dieco da sua ineacção com os ouos copos que o odeiam. Quando um jogado lança uma bola, ele ineagiu com a bola modificando o seu movimeno, esse movimeno é ambém aleado pela ineacção que a bola em com a Tea. Todas esas ineacções são convenienemene descias po um conceio maemáico chamado de foça. O esudo da Dinâmica é basicamene a análise da elação ene a foça e as vaiações do movimeno de um copo. Todas as leis do movimeno que apesenamos a segui são genealizações que decoem da análise cuidada dos movimenos obsevados po nós e da eapolação que fazemos dessas obsevações, ideais ou simplificadas Lei da Inécia Uma paícula que não eseja sujeia à ineacção é dia uma paícula live. É uma siuação ideal, que não eise no Univeso, pois odas as paículas ineagem com odas as esanes paículas. Po consequência uma paícula live deveia esa compleamene isolada ou se a única paícula do Univeso. Tal caso não eise, pois o simples faco de obseva pessupõe uma ineacção ene o obsevado e o objeco em esudo. Física Eng. Elecoécnica e de Compuadoes

16 A páica, no enano, mosa-nos que podemos considea algumas paículas como lives, que poque, esando elas suficienemene afasadas das demais, as suas ineacções são despezíveis, que poque as ineacções múuas são canceladas, esulando uma ineacção nula. Enunciado da Lei da Inécia "uma paícula live move-se sempe com velocidade consane, iso é, sem aceleação" Da análise do enunciado, vemos que uma paícula live ou se move em linha eca com velocidade consane (m..u.) ou esá em epouso (velocidade nula). Esa afimação é ambém conhecida como a pimeia Lei de Newon, uma vez que foi Si Isaac Newon, o pimeio a enuncia-la desa foma. É a pimeia de ês leis enunciadas po Newon, no século XVII. Lembemos que o movimeno é um conceio elaivo, e assim sendo devemos sempe indica a que sisema de efeência nos esamos a epoa. Admiimos que o movimeno de uma paícula live é elaivo a um obsevado que seja ele pópio consideado uma paícula (ou sisema) live, iso é, ele ambém não esá sujeio a ineacção com o eso do Univeso. Tal obsevado é chamado um obsevado inecial, sendo o seu sisema de efeência dio efeencial inecial. Como al um efeencial dese ipo não pode e movimeno de oação. (poquê?). De acodo com a lei da inécia, podemos e váios obsevadoes ineciais, odos com velocidades consanes. Suas descições de obsevações esão elacionadas pela ansfomação de Galileu (mecânica clássica) ou pela ansfomação de Loenz (mecânica elaivisa), dependendo da gandeza das suas velocidades elaivas. A Tea não é um efeencial inecial, que devido à sua oação diáia, que devido à ineacção com o Sol e os ouos Planeas. No enano, em muios casos, podemos considea essas ineacções e oação despezíveis, consideando os nossos obsevaóios eeses como ineciais, sem gande eo. O Sol ambém não pode se consideado um efeencial inécial. Devido à sua ineacção com os esanes copos celeses da nossa Galáia, ele desceve uma óbia cuva em ono do ceno desa, (figua 3.). Figua 3.4 Repesenação do movimeno da Tea em ono do Sol, e dese em ono do ceno da Galáia. (Isaac Newon, 64-77), físico e maemáico inglês. Fomulou as leis fundamenais da mecânica e da gaviação univesal, al como o cálculo difeencial e inegal. Física Eng. Elecoécnica e de Compuadoes - - 4

17 Eemplo: Uma bola esféica colocada sobe uma supefície hoizonal e lisa pemaneceá em epouso a menos que acuemos sobe ela. Ou seja, a sua velocidade pemanece consane, com valo igual a zeo. Admiimos que a supefície sobe a qual a bola epousa equiliba a ineacção ene a bola e a Tea, e poano a bola esá essencialmene live de ineacções. Quando acuamos na bola, po eemplo numa mesa de bilha, ela sofe momenaneamene uma ineacção e adquie velocidade. Mas após essa acção, a bola pode se consideada como live, movendo-se em linha eca com a velocidade adquiida quando foi aingida. Se a bola é pefeiamene esféica e ígida, e a supefície pefeiamene lisa, podemos admii que a bola coninuaá a move-se indefinidamene em linha eca com velocidade consane. Na páica, al não aconece, pois a bola pede velocidade e acaba po paa. Dizemos que ocoeu uma ineacção adicional ene a bola e a supefície ineacção essa que conhecemos como aio Quanidade de Movimeno Podemos inoduzi o conceio opeacional de massa como sendo um valo numéico que aibuímos a cada copo ou paícula, númeo esse aibuído po compaação com um copopadão (massa padão de kg, capíulo, página 3). A massa passa a se um paâmeo que disingue uma paícula de oua. A nossa definição de massa é paa o copo suposo em epouso, ou seja, massa em epouso. Po esa definição não sabemos qual o compoameno da massa (seá que se maném consane?) com o movimeno da paícula. Mas admiamos que a massa é independene do esado do movimeno paa começa, é uma boa apoimação (desde que a velocidade seja, quando compaada com a velocidade da luz c, muio infeio a esa). A quanidade de movimeno (ambém chamada de momeno cinéico, simplesmene momeno, ou momenum - do laim), de uma paícula é definido como o poduo da sua massa pela sua velocidade. p = m v (3.66) é uma quanidade vecoial e em a mesma diecção e senido da velocidade. É um conceio muio impoane em Física, pois combina os dois elemenos que caaceizam o esado dinâmico de uma paícula (copo); a sua massa e a sua velocidade. No Sisema Inenacional (S.I.) a quanidade de movimeno é epessa em m.kg.s -. Váias epeiências mosam que ese conceio de quanidade de movimeno é uma gandeza dinâmica mais infomaiva (abangene) do que a velocidade po si só. Po eemplo, um camião caegado, em movimeno, é mais difícil de consegui paa (ou de se aceleado) do que um camião vazio, mesmo que ambos enham a mesma velocidade, pois as suas quanidades de movimeno são disinas (é maio no camião caegado). Podemos agoa enuncia a lei de inécia de oua foma; uma paícula live move-se sempe com quanidade de movimeno consane Física Eng. Elecoécnica e de Compuadoes - - 4

18 3.4.3 Pincípio da Consevação da Quanidade de Movimeno A consequência imediaa dese úlimo enunciado, diz-nos que um obsevado inecial econhece que uma paícula não é live, quando ele obseva que esa não pemanece com velocidade ou quanidade de movimeno consanes, po ouas palavas; a paícula sofe uma aceleação. Consideando agoa uma siuação ideal, de apenas duas paículas sozinhas no Univeso, ineagindo ene si. Como esulado dessa ineacção as suas velocidades individuais vaiam com o empo e as suas ajecóias são em geal cuvas. Num deeminado insane, a paícula esá em A, com velocidade v (e massa m ), a paícula esá em B, com velocidade v (e massa m ). Num insane poseio, as paículas esaão em ' A e B, com velocidades especivamene v ' e v. A quanidade de movimeno oal do sisema, no insane, é: P = p (3.67) + p = m v + m v Figua 3.5 Ineacção ene duas paículas. No insane, a quanidade de movimeno oal do sisema, seá: P' = p ' + p ' = m v + m O impoane, é que a obsevação nos insanes e, quaisque que eles sejam, mosa-nos sempe que: P = P' a quanidade de movimeno oal de um sisema composo po duas paículas sujeias somene às suas ineacções múuas pemanece consane Po eemplo se consideássemos somene a Tea e a Lua (despezando os efeios do Sol e esanes planeas), a soma das suas quanidades de movimeno, elaivas a um efeencial inecial seia consane. Ese Pincípio de Consevação de Quanidade de Movimeno, enunciado paa duas paículas, pode se genealizado paa um qualque númeo de paículas consiuído num sisema isolado, iso é um sisema de paículas só com ineacções múuas. ' Poano, numa ega geal emos o seguine enunciado: a quanidade de movimeno oal de um sisema isolado de paículas é consane v ' Física Eng. Elecoécnica e de Compuadoes - - 4

19 que pode se epessa da seguine foma; P n = i= p i = p + p p n = consane (3.68) Tal é o que se veifica nas epeiências. Muias paículas aómicas e sub-aómicas foam descobeas, poque "não se veificava" a consevação da quanidade de movimeno. A "não consevação" esulava da ineacção não espeada (e desconhecida) de uma nova paícula. Volando ao caso paicula de um sisema consiuído po apenas duas paículas; p + p = consane (3.69) p + em dois insanes e ' especivamene, o que implica que; ' ' p = p + p p ' = ( p ) ' ' p = p p p se escevemos as vaiações como: p = p ' p (3.7) eemos; p = p (3.7) Figua 3.6 Toca de quanidade de movimeno como esulado da ineacção ene duas paículas. A conclusão iada desa epessão - é imediaa - num sisema isolado de duas paículas em ineacção, a vaiação da quanidade de movimeno de uma delas, duane um ceo inevalo de empo, é igual em módulo, e de sinal conáio, à vaiação da quanidade de movimeno da oua paícula duane o mesmo inevalo de empo. Podemos sineiza ese conhecimeno da seguine maneia: "uma ineacção oigina sempe uma oca de quanidade de movimeno" de modo que a quanidade de movimeno "pedida" po uma das paículas em ineacção seja igual à quanidade de movimeno "ganha" pela oua paícula. Nesa pespeciva, a Lei da Inécia, é um caso muio paicula do pincípio da consevação da quanidade de movimeno. Com uma só paícula, p consane e p, ou equivalene, v = consane. Po eemplo no dispao de um dado anquilizane, a ama dispaada ecua paa compensa a quanidade de movimeno adquiida pelo pojécil no seu movimeno paa a fene. Inicialmene o sisema ama mais o dado esá em epouso (elaivamene ao agene), ou seja a quanidade de movimeno oal é zeo. O mesmo aconece quando da eplosão de uma pojécil. A quanidade de movimeno anes da eplosão é igual a soma das quanidades de movimeno da oalidade dos fagmenos após a eplosão. = = Física Eng. Elecoécnica e de Compuadoes

20 Figua 3.7 Consevação da quanidade de movimeno numa eplosão. Figua 3.8 Consevação da quanidade de movimeno numa colisão ene uma paícula α e um poão. a) foogafia do fenómeno, b) esquema da ineacção Redefinição de Massa Podemos epimi a vaiação da quanidade de movimeno de uma paícula, como: p = (mv) = m v (3.7) num sisema de duas paículas, m v = m v (3.73) consideando somene os módulos, m m v = (3.74) v a azão das massas é invesamene popocional ao módulo das vaiações das velocidades. Podemos assim obe uma definição dinâmica de massa. Se omamos a massa m como a nossa "massa padão" (uniáia), paa a oua paícula em ineacção, podemos obe a sua massa m, (omando a hipóese da consância da massa) A Segunda e Teceia Lei de Newon. Conceio de Foça Que po dificuldade, que poposiadamene, é quase sempe impossível de deemina as ineacções oais ene odas as paículas de um sisema muio numeoso, ou seja, conhece as quanidades de movimeno da cada paícula. Física Eng. Elecoécnica e de Compuadoes

21 Se inoduzimos o conceio de Foça, podemos esolve ese "poblema". Vamos elaciona as vaiações das quanidades de movimeno, num inevalo de empo, = ' p p = (3.75) quando, emos, d p d p = (3.76) d d Daemos à vaiação empoal da quanidades de movimeno de uma paícula o nome de "foça". A foça acuando numa paícula, seá: d p F = (3.77) d Maemaicamene é a definição acima epliciada. Fisicamene é a epessão da ineacção ene a paícula e o esane sisema. A epessão efeida é a Segunda Lei de Newon paa o movimeno, (é mais uma definição do que uma lei, e é consequência dieca do pincípio de consevação da quanidade de movimeno). Agoa podemos esceve, da epessão (3.76); ou seja, F = F (3.78) "quando duas paículas ineagem, a foça sobe uma paícula é igual em módulo, e de senido conáio, à foça sobe a oua paícula" O que coesponde ao enunciado da Teceia Lei de Newon paa o movimeno, ambém conhecida como a Lei de Acção-Reacção (figua 3.9 a). Podemos agoa eesceve a segunda lei, como, d p d ( m v) d v F = = = m = m a (3.79) d d d F = ma (3.8) Se a massa fo consane, a foça é igual ao poduo da massa pela aceleação a foça e a aceleação êm a mesma diecção e senido, F se a foça fo consane, a aceleação, a = é ambém consane o movimeno é m unifomemene aceleado. Física Eng. Elecoécnica e de Compuadoes

22 É o que ocoe peo da supefície da Tea. Po eemplo, os copos em queda live eibem um movimeno com aceleação consane ( g ). A foça de aacção gaviacional da Tea sobe os copos é chamada de Peso, e é : P = mg (3.8) Consideemos uma paícula (m) a ineagi com um númeo n de paículas, (m, m, m 3,...). Devido a essa ineacção, cada uma das paículas poduziá uma vaiação na quanidade de movimeno da paícula (m), que se caaceiza pelas especivas foças ( F, F, F3...). A vaiação oal da quanidade de movimeno da paícula seá: d p = F + F + F = F es (3.8) d A foça F é chamada foça esulane que acua na paícula m. a) b) Figua 3.9 a) Pa acção-eacção. b) Foça esulane sobe uma paícula. Não esamos a ena em cona com as ineacções múuas ene odas as paículas, mas somene a ineacção sobe a paícula m, de modo a simplifica a sua descição. Dese modo podemos discui o movimeno da paícula m, admiindo que a foça F é somene função das coodenadas da paícula, ignoando os movimenos das esanes paículas com as quais ineage. Esa apoimação é chamada Dinâmica de uma Paícula. No dia a dia senimos o conceio de foça, como uma ineacção po conaco, po eemplo a maela um pego. Mas essa ineacção é eacamene igual à ineacção que eise ene a Tea e o Sol, poquano as disâncias envolvidas sejam muio difeenes. Na ealidade os copos ou paículas são sempe manidos a disâncias ene eles de acodo com as suas massas e esuuas. Se a ineacção ocoe à disância, enão eemos de pensa num mecanismo de ansmissão dessa mesma ineacção, e como as ineacções se popagam com velocidade finia (possivelmene à velocidade máima a da luz), eemos de epensa o conceio de foça e o seu papel. Na páica, e paa baias velocidades e pequenas disâncias, a nossa apoimação coninua a se ecelene e suficiene paa a descição das ineacções obsevadas. Física Eng. Elecoécnica e de Compuadoes

23 3.4.6 Unidade de Foça. Definição É epessa em unidades de massa e de aceleação. Unidade da foça é o newon, epesenada po N (kg m s - ). Define-se o newon como a foça que, aplicada a um copo de massa kg, poduz nese uma aceleação de m s -. Oua unidade fequenemene usada em engenhaia é o quilogama-foça (kgf ), definida como a foça igual ao peso de uma massa de kg. Assim, como o valo da aceleação da gavidade é g = 9,8 m s - (valo médio ao nível do ma), emos que o valo de kgf = 9,8 N. Eemplos: Um auomóvel de massa kg sobe uma ua inclinada de α = º com a hoizonal. Deemina a foça que o moo deve eece paa que o auomóvel se mova: a) com movimeno unifome, b) com aceleação de, m s -. Deemina ambém em cada caso, a foça que o solo eece no auomóvel. Solução: a) F = 335 N, b) F = 355 N Figua 3. Foças aplicadas no cao. Um copo de massa kg esá sujeio a uma foça F = ( + 4) N, movendo-se em linha eca. No insane = s o copo esá em = 5 m, com velocidade v = 6 m s -. Deemine a velocidade e posição do copo em qualque insane poseio. Solução: v() = m s -, () = m Foças de Aio Sempe que quaisque dois copos esão em conaco, po eemplo um livo em epouso sobe uma mesa, eise uma esisência ao movimeno elaivo ene os dois copos. Se empua-mos o livo ao longo da supefície da mesa, obsevamos que ele diminui pogessivamene de velocidade aé paa. A peda obsevada de velocidade (de quanidade de momeno) - indica que uma foça se opõe ao movimeno - foça essa chamada de aio de escoegameno. Ela é devida à ineacção das moléculas supeficiais dos dois copos em conaco (denominada de coesão ou adesão, dependendo dos copos seem consiuídos ou não pelo mesmo maeial). O aio é um fenómeno basane compleo e depende de muios facoes, ais como; a condição e naueza das supefícies, a velocidade elaiva, ec. Física Eng. Elecoécnica e de Compuadoes

24 Veifica-se epeimenalmene que o módulo da foça de aio F a é, paa a maioia dos casos, popocional à foça nomal (N) de conaco ene os copos (figua 3.). A consane de popocionalidade é o chamado coeficiene de aio (µ), um númeo adimensional, (que se pode epimi ambém em pecenagem). F a = µn (3.83) A foça de aio de deslizameno opõe-se sempe ao movimeno do copo, endo assim uma diecção igual mas senido oposo à velocidade do copo. Figua 3. Foça de aio na base de conaco ene um bloco e uma supefície. Veificamos ainda epeimenalmene a eisência de dois ipos difeenes de coeficienes de aio; esáico ( µ e ), quando muliplicado pela foça nomal, dá a foça mínima necessáia paa inicia o movimeno elaivo ene os dois copos, inicialmene em conaco e em epouso elaivo. cinéico ( µ c ), quando muliplicado pela foça nomal, dá a foça necessáia paa mane os dois copos em movimeno elaivo unifome. Deeminações epeimenais mosam que os valoes de µ e são sempe supeioes aos valoes de µ c, (ve abela 3.). Tabela 3. - Valoes médios de coeficienes de aio paa divesos maeiais. Maeiais µ e µ c Aço duo / Aço duo,78,4 Aço doce / Aço doce,74,57 Chumbo / Aço doce,95,95 Cobe / Aço doce,53,36 Níquel / Níquel,,53 Teflon / Teflon,4,4 Teflon / Aço,4,4 Boacha / Beão molhado,3,5 Boacha / Beão seco,,8 Madeia / Madeia,5,4 Gelo / Gelo,,3 Pancha de ski / Neve molhada,4, Junas humanas,,3 Física Eng. Elecoécnica e de Compuadoes

25 Eemplo: Um copo de massa igual a,8 kg é colocado sobe um plano inclinado de α = 3º com a hoizonal. Que foças devem se aplicadas no copo paa que ele se movimene, a) paa cima, b) paa baio. Suponhamos em ambos os casos o copo a move-se unifomemene e com aceleação de, m s -. O coeficiene de aio cinéico é de,3. a) b) Figua 3. Bloco de massa m. a) Foças aplicadas na subida do bloco. b) Foças aplicadas na descida do bloco. Solução: a) F = 5,95 N (m..u.) e F = 6,3 N, b) F =,88 N (m..u.) e F =,8 N Movimeno Cuvilíneo Já sabemos que quando a foça em a diecção da velocidade, o movimeno é ecilíneo. Paa se e um movimeno cuvilíneo, a foça esulane deve foma um ângulo (difeene de ou 8 ) com a velocidade, paa que a aceleação enha uma componene pependicula à velocidade, necessáia paa a vaiação de diecção do movimeno da paícula. Po ouo lado sabemos que a foça é paalela à aceleação, como podemos ve na figua 3.3. a) b) Figua 3.3 Foças num movimeno cuvilíneo. a) Componenes angencial e nomal. b) Decomposição da foça nomal no sisema de eios. Da ª lei de Newon, F = ma (epessão 3.79 e 3.8), concluímos (como já vimos) que, a componene angencial - foça angencial, é: F T dv = mat = m ut (3.84) d Física Eng. Elecoécnica e de Compuadoes

26 e a componene pependicula - foça nomal, é: (ρ é o aio de cuvaua da ajecóia) F N mv = man = u N (3.85) ρ A foça nomal apona sempe paa o ceno de cuvaua da ajecóia. A foça angencial é esponsável pela vaiação do módulo da velocidade, e a foça nomal é esponsável pela vaiação da diecção da velocidade. Se a foça angencial fo zeo, não haveá aceleação angencial e o movimeno seá unifome (m.c.u.). Se a foça nomal fo zeo, não haveá aceleação nomal e o movimeno seá ecilíneo (m..u.). No caso paicula do movimeno cicula, ρ é o aio R da cicunfeência e v = ω R, de modo que a foça nomal é denominada cenípea, F N = mω R (3.86) No movimeno cicula unifome só eise a aceleação nomal, que podemos esceve na foma vecoial como: (deivada empoal da epessão 3.53). v a = ω v (3.87) assim, ou seja, v v F = ma = mω v = ω ( mv) (3.88) v F = ω p (3.89) uma elação maemáica muio úil ene a foça, a velocidade angula e a quanidade de movimeno de uma paícula com movimeno cicula unifome. Algumas vezes, ona-se conveniene o uso das componenes ecangulaes da Foça. No caso do movimeno no plano, po eemplo, a equação vecoial F = ma pode se decomposa nas duas seguines equações: F = m e FY = may X a X Po inegação desas duas equações obemos a velocidade e a posição da paícula em qualque insane. No caso geal, em que a massa do copo é vaiável, emos de usa paalelo ao veco velocidade é angene à ajecóia. dp F =. Mas sendo p d dp dp vp F = = ut + u N (3.9) d d ρ Física Eng. Elecoécnica e de Compuadoes - - 5

27 Eemplos: Inclinação das cuvas As vias-féeas e as esadas são inclinadas nas cuvas de modo a poduzi a foça cenípea soliciada pelos veículos em movimeno nas cuvas. O ângulo de inclinação em função da velocidade do veículo na cuva, do aio de cuvaua desa e da gavidade é dado po: v g α = ρg (3.9) O esulado é independene da massa do copo. Figua 3.4 Ângulo de inclinação de uma cuva. Foças aplicadas. a) Visa em coe. b) Visa em plana Pêndulo cónico Um fio de compimeno L, ligado a um pono fio, em numa eemidade uma massa m que gia em ono da veical com velocidade angula ω (consane). Ese disposiivo é um pêndulo cónico. Acha o ângulo que a coda faz com a veical, na siuação de equilíbio. F N = mω R = mω L sen α (3.9) g α = FN P ω L sen α = g (3.93) Figua 3.5 Foças aplicadas num pêndulo cónico. g cos α = (3.94) ω L Quano maio a velocidade angula ω maio seá o ângulo α, como nos mosa a epeiência. Po essa azão, há muio empo que o pêndulo cónico é usado como egulado de velocidade; po eemplo, paa fecha a válvula de enada de vapo quando a velocidade ulapassa um ceo limie pé fiado, e paa a abi-la quando a velocidade diminui Momeno Angula. Pincípio de Consevação do Momeno Figua 3.6 Momeno angula de uma paícula, em elação a O. O momeno angula (ambém denominado momeno obial, ou momeno da quanidade de movimeno), em elação ao pono O, de uma paícula de massa m movendo-se com velocidade v (e poano com quanidade de movimeno p = mv ) é definido pelo poduo vecoial, L = p (3.95) Física Eng. Elecoécnica e de Compuadoes - - 5

28 ou L = m v (3.96) O momeno angula é poano, um veco pependicula ao plano deeminado po e v. De um modo geal, o momeno angula de uma paícula vaia em módulo e diecção duane o movimeno da paícula. Eneano, se o movimeno da paícula ocoe num plano, e se o pono O peence ao plano, a diecção do momeno angula pemanece consane e pependicula ao plano (figua 3.4), viso que e v esão conidos no plano (e definem o plano do movimeno). a) b) Figua 3.7 Momeno angula numa ajecóia plana. Componenes da velocidade. No caso do movimeno cicula, quando O é o ceno da cicunfeência, os vecoes pependiculaes, e v = ω, de modo que L = m v = m ω O senido de L coincide com o senido de ω (são vecoes paalelos), de modo que emos: e v são L = m ω (3.97) Se o movimeno cuvilíneo é plano mas não cicula, podemos decompo a velocidade em componenes adial e ansvesal (figua 3.7 b) e podemos eesceve o momeno angula como: v = v + v θ θ v θ (3.98) L = m ( v + v ) = m (3.99) como, dθ vθ = emos que: d L = m dθ d (3.) (os vecoes e v são paalelos, logo v = ) Podemos esceve o momeno angula como: z L = p = px py pz (3.) u u u X Y Z Física Eng. Elecoécnica e de Compuadoes - - 5

29 Tomemos agoa a deivada em elação ao empo, iso é, como d p = v mv =, emos enão que; d dl d dp = p + (3.) d d d dl = F = τ d "a vaiação empoal do momeno angula de uma paícula é igual ao momeno da foça aplicada na paícula" (3.3) O membo dieio da epessão (3.3) é o momeno da foça τ (em elação a um mesmo pono). O que significa que a vaiação empoal do momeno angula esula da eisência de um momeno de uma foça aplicada. Se o momeno das foças aplicadas fo nulo veificamos que o Momeno Angula pemanece consane ao longo do empo O Pincípio de Consevação do Momeno Angula. 3.5 Copo Rígido 3.5. Noção de Copo Rígido Esudamos já os movimenos de copos cujas dimensões eam despezáveis face às medidas das suas ajecóias ou po conveniência e simplificação, omados como ponos de massa m. A ais copos aibuímos a designação de paículas maeiais. Esudaemos de seguida o movimeno de copos cujas dimensões já não são despezáveis. Admiiemos no enano e ainda a simplificação de esses copos seem ígidos, indefomáveis, iso é, ais que a disância ene dois quaisque dos seus ponos não vaia no decuso do empo. Taa-se, em igo, de copos ideias, aos quais, poém, muios copos auênicos se assemelham no seu compoameno: são aqueles cuja igidez é suficienemene gande paa seem despezáveis os movimenos elaivos das suas paículas consiuines, ais como, po eemplo, moléculas poliaómicas, baas de aço, planeas, ec... Os movimenos dos copos ígidos podem se simples (anslação pua e oação pua) ou composos (anslação e oação simulâneas). O movimeno mais simples de um copo ígido é o movimeno de anslação ou anslação pua, que em a seguine caaceísica: duane o movimeno, qualque segmeno, AB, BC ou ouo, definido po dois ponos do copo, não muda de diecção, (figua 3.8). Física Eng. Elecoécnica e de Compuadoes

30 Figua Tanslação de um Copo Rígido; ecilínea e cuvilínea Momeno de uma Foça em elação a um pono Efeio oaivo de uma foça aplicada a um sólido (copo ígido) Consideemos um poneio que pode oda livemene em ono de um pono eemo O, fio. Seja F a foça que acua no poneio e cujas caaceísicas, elaivamene ao poneio, se manêm (inensidade, ângulo com o poneio, pono de aplicação) no empo, (figua 3.8). A epeiência mosa que o efeio oaivo, giaóio ou de oção que a foça F impime no poneio, depende: º - da inensidade F da foça, º - da disância b, do pono O à linha de acção da foça F, chamada baço de alavanca ou apenas baço da foça F, 3º - do ângulo que a foça F faz com o baço de alavanca. Se a disância b fo nula, iso é, se a linha de acção de F passa po O, a foça não poduz qualque efeio oaivo no poneio, somene um efeio de anslação. A análise das popiedades aás descias, leva-nos a inoduzi a seguine gandeza: Momeno da foça F em elação ao pono O M = F (3.4) (a unidade S.I. de momeno de uma foça é o meo newon (m.n)) cujo módulo, mede o efeio oaivo, giaóio ou de oção da foça F, e cuja diecção é a do eio em ono da qual oda o poneio. Física Eng. Elecoécnica e de Compuadoes

31 Caaceísicas: Linha de acção: pependicula ao plano de e F (é o eio imagináio em ono do qual acoe a oação). Senido: obido po qualque das egas do poduo eeno (vecoial), em paicula pela ega do iedo da mão dieia. Módulo: mede o efeio oaivo da foça e é dado po, M =.F.sin α = F.b, ou seja o poduo da medida da foça pelo baço. Figua Momeno da foça F em elação ao pono O, (aplicação da ega da mão dieia) Momeno de um Sisema de Foças em elação a um pono Consideemos um sisema de duas foças, F e F, não coplanaes. Em elação a um pono qualque A (que, no pesene caso, com a foça F, define o plano π), (figua 3.9), o momeno de cada uma das foças é, especivamene, M e M. Chama-se momeno pola esulane, em A, do sisema de foças, ou simplesmene momeno pola do sisema de foças, o veco, aplicado em A, que é igual à soma dos momenos de cada uma das foças em A: M = M + M (3.5) Paa um sisema de n foças, eemos: M = n i= M i (3.6) Figua Momeno pola esulane, em A, dum sisema de duas foças F e F. (paicula aenção paa o faco de o momeno esulane de um sisema de foças se, em geal, difeene do momeno da sua foça esulane) Física Eng. Elecoécnica e de Compuadoes

32 3.5.4 Relação ene os momenos de uma foça em dois ponos difeenes Figua Momeno em dois ponos difeenes. Consideemos uma foça F e os seus momenos em dois ponos difeenes, O e O (figua 3.3). M = F e M ' = ' F A elação ene os dois momenos, advém de emos: ' = O' O + M ' = ' F = ( O' O + ) F e M ' = O' O F + F = M + O' O F (3.7) O momeno de uma foça num pono, O, é a soma do momeno dessa foça em ouo pono, O, com o seu momeno em O quando aplicada em O Momeno de uma Foça em elação a um eio Quando se aplicam numa poa foças cuja linha de acção esá no plano da poa - ais foças não conibuem paa a abi nem paa a fecha, (figua 3.3 a). Diz-se enão que esas foças não êm efeio oaivo, giaóio ou de oção. a) b) Figua Poas móveis (oaivas) em ono de um eio veical ZZ. Física Eng. Elecoécnica e de Compuadoes

33 Paa medi o efeio de oação de uma foça em elação a um eio, uiliza-se o chamado momeno da foça em elação ao eio. Poém, ese momeno, ambém designado momeno aial, não é um veco, mas sim, um escala. Com efeio, define-se: Momeno de uma foça F em elação a um eio (EE ) é a componene escala, segundo o eio, do momeno da foça em elação a um qualque pono O, do eio sendo: M = F pependicula ao plano π (, F ), e u o veso do eio fio (EE ), a componene escala de M nese eio é a pojecção oogonal de M sobe o eio, ou seja, segundo a definição de poduo ineno (escala): M = M u = M u cos = OA (3.8) α Figua Momeno de uma foça em elação a um eio fio EE Momeno de um Bináio Chama-se bináio (pa ou conjugado) de foças a um sisema de duas foças de módulo igual e senidos conáios, F e F, acuando em linhas de acção paalelas. O plano π, definido pelas linhas de acção das foças, denomina-se plano do bináio, e a disância b = AC (na figua 3.33 b) ene esas linhas de acção designa-se po baço do bináio. A soma vecoial ou esulane das duas foças (componenes do bináio) é, obviamene, o veco nulo: F = F + ( F ) = (3.9) O bináio de foças não em esulane. Como al, não poduz efeio de anslação no copo onde esá aplicado. O bináio não pode assim se subsiuído po uma foça única. O momeno do bináio é o momeno esulane do sisema das foças F e F em elação a um pono qualque do espaço. a) b) Figua Momeno de uma bináio de foças. Física Eng. Elecoécnica e de Compuadoes

34 Paa o pono C do plano π, siuado na linha de acção da foça F, emos: seu módulo é: M = + = ( ) + C M C M CA F C (3.) M C ( F ) ( F ) = CA F sin 9º = Paa ouo pono qualque, P po eemplo, emos: b F M = M + PC F = M + PC P C C (3.) o que implica que M = M = F b P C Sineizando, podemos afima: º- O momeno de um bináio de foças é o mesmo paa qualque pono do espaço, e designamo-lo, simplesmene, po M. º- O momeno de um bináio de foças é um veco live, pependicula ao plano do bináio, e de módulo M = F b. 3º- O bináio de foças poduz apenas efeio oaivo ou de oção, poque, sendo, po definição de bináio; F = e b, em esulane nula e momeno não nulo. 4º- O bináio, não podendo se subsiuído po uma foça única, pode, no enano, se subsiuído po ouo bináio - o chamado bináio equivalene Equilíbio de uma paícula. Equilíbio do copo ígido Definição de equilíbio mecânico de um copo ígido Diz-se que um copo ígido esá em equilíbio mecânico, num efeencial inecial, quando as velocidades dos seus ponos consiuines não vaiam em módulo, ou seja quando: v = consane Desa definição deduzem-se, imediaamene, ês esados difeenes de equilíbio paa um copo ígido, a sabe; º - O copo esá em epouso num efeencial inecial escolhido, que dize, a sua velocidade é nula paa qualque pono do copo: v = Taa-se do chamado equilíbio esáico. º - O copo esá em movimeno de anslação ecilíneo unifome, num efeencial inecial que se escolheu. Iso significa que a velocidade de qualque pono do copo é consane e igual paa odos: v = consane É o chamado equilíbio dinâmico de anslação. Física Eng. Elecoécnica e de Compuadoes

35 3º - O copo em movimeno de oação unifome em ono de um eio fio, num efeencial inecial. Nesas condições, odos os ponos do copo êm a mesma velocidade angula, que, po sua vez é consane: v ω = consane Po isso, é ambém consane o módulo da velocidade linea de cada pono, emboa ese módulo difia de pono paa pono. Com efeio, sendo, v i = ω (3.) i com i o aio da cicunfeência, cenada no eio, descia po cada pono, é poano, consane o poduo i ω paa cada pono, mas é difeene de pono paa pono. A ese equilíbio dá-se o nome de equilíbio dinâmico de oação. Equilíbio de uma paícula Paa que uma paícula eseja em equilíbio seá necessáio que se veifique qualque das condições; v = (equilíbio esáico), v = consane (m..u. ou equilíbio dinâmico de anslação), às quais coesponde aceleação nula v a =, que po sua vez, implica, F = m. = ou seja, a condição de equilíbio da paícula é que seja nula a esulane de odas as foças que sobe ela acuam: - Condições geais de equilíbio do copo ígido F = F + F Fn = (3.3) O equilíbio do copo ígido num dado efeencial, esume-se, poano à anulação da sua aceleação a, na anslação, e da sua aceleação angula γ, na oação: a =, γ = são condições necessáias e suficienes paa que um copo ígido eseja em equilíbio. Com efeio, a condição F = gaane o equilíbio esáico e o equilíbio dinâmico de anslação, já que o sisema de foças não implica qualque efeio de anslação. É po isso que a condição F = se chama condição da esulane ou do equilíbio de anslação. Po ouo lado, a condição M = gaane o equilíbio de oação, já que, sendo nulo o momeno, o sisema de foças não implica qualque efeio oaivo. Esa condição M = chama-se, po isso, condição do momeno ou do equilíbio de oação. Física Eng. Elecoécnica e de Compuadoes

36 Abiaiedade na escolha do pono em elação ao qual se calculam os momenos Sendo as condições de equilíbio dadas po F = e M = (em elação a um pono O), a escolha desse mesmo pono O é abiaia, iso é, paa qualque pono - o momeno esulane de odas as foças aplicadas coninua a se nulo. Momeno em elação ao pono O: Momeno em elação ao pono O': M M = n i= n ' = ' i= i F i i F i A elação ene os dois momenos; n n i ' = O' O + i e M ' = i ' Fi = ( O' O + i vindo, M ) i= i= n ' = O' O F + i Fi = M + ' i= O O F = M F i (3.4) (3.5) Momeno Angula de uma paícula Consideemos uma paícula de massa m, que se move com velocidade v. A sua quanidade de movimeno, é: p = m v (3.6) Seja o veco posição da paícula em elação a um pono O. A gandeza vecoial; l = p = m v (3.7) designa-se po momeno angula da paícula em elação a um pono O, como já sabemos. A unidade do momeno angula no S.I. é o kg m s -. Figua Momeno angula de uma paícula. Física Eng. Elecoécnica e de Compuadoes - - 6

37 3.5.9 Momeno Angula de um sisema de paículas No caso de emos um sisema disceo de n paículas, de massas m, m,..., m n e quanidades de movimeno, especivamene p p p,,..., n, o momeno angula do sisema, em elação ao pono O, é a soma dos momenos angulaes de cada uma das paículas: n n L = p + p p = p = l (3.8), n n i i i= i= No caso paicula e impoane de um sólido e movimeno de oação em ono de um eio fio de simeia, o seu momeno angula em elação ao eio é dado pelo poduo do momeno de inécia pela velocidade angula: v L = Iω (3.9) 3.5. Momeno Angula de um Copo Rígido Comecemos po analisa o movimeno de oação de uma paícula de massa m, obigada a gia numa ajecóia cicula, devido a uma foça cuja componene angencial, F, se maném consane em módulo, (figua 3.35). O momeno é enão: i M = F e em po módulo M = m a como a a = γ (da deivação de v = ω, γ é a aceleação angula) vem que : M = (m ) γ = I γ (3.) Figua 3.35 Momeno da foça angencial I (= m ) chama-se momeno de inécia, da massa ponual m, em elação ao pono O, e mede-se em kg.m. A elação ene o momeno da foça, o momeno de inécia da massa ponual giane e a sua aceleação angula, na foma vecoial é: M = I γ (3.) com os vecoes segundo o eio de oação, com o mesmo senido. Esa epessão aduz a lei de Newon do movimeno de oação. Se ivemos um sisema de n paículas, igidamene ligadas ene si, o momeno de inécia esulane coesponde à soma dos momenos de inécia de odas em elas, em elação a um mesmo pono O. I = I + I I = m + m m = m (3.) n n n i i i= Física Eng. Elecoécnica e de Compuadoes n