Capítulo 1 ATIVIDADES PROPOSTAS PÁG. 14 ATIVIDADES PARA SALA PÁG. 14 GEOMETRIA. Geometria de posição. 2 a série Ensino Médio Livro 1 9.

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1 Reoluçõe 01 a) Poulado, poi o poulado ão conaaçõe que não neceiam e compovada paa que ejam conideada vedadeia. ) Pono, ea e plano. c) Teoema. 0 apíulo 1 Geomeia de poição TIIS PR SL PÁG. 14 omo o polongameno é infinio no doi enido e em dua dimenõe (compimeno e lagua), em-e a ideia de plano, elemeno geoméico infinio com dua dimenõe. 01 F,,, F,, F,, TIIS PROPOSTS PÁG. 14 O pono, a ea e o plano ão exemplo de conceio pimiivo. Po doi pono diino, paa uma única ea. oi pono diino deeminam uma única ea que paa po ele. 0 ineeção de um plano com uma face (quadado) do cuo é um egmeno. im, o polígono em ei lado e é um hexágono. eja. 03 a) Infinia. ) Tê ea. c) Infinio. d) PL(), PL() e PL(). 04 a) PL() e PL(G) (doi plano). Noe que PL() = PL() e PL(G) = PL(GH). ) São 8 véice ( cano ) e cada véice pode e ligado ao ouo 7 véice, deeminando 7 ea. Logo, o oal de ea eia 8 7 = 56. Poém, cada ea eá endo conada dua veze. Po exemplo, é igual a. Logo, em-e 56 : = 8 ea. Sendo x cm a medida do lado do hexágono, em-e o eguine: I. Na face (quadado) do cuo: 05 eeminam ee plano. x lém do plano da 5 face, em-e o plano que conêm a diagonai e da ae, junamene com o véice. x 3 cm 3 cm O ee plano deeminado ão PL(), PL(), PL(), PL(), PL(), PL() e PL(). x = 3 cm = = = = 3 cm II. Peímeo do hexágono egula = 6 3 = 18 cm. a éie nino Médio Livo 1 9

2 03 Mea com ê pena não alançam poque ê pono não colineae deeminam um único plano (poulado da deeminação de plano). 04 Pode-e imagina uma piâmide na qual a ae é um penágono egula, cujo véice ão o pono,,, e. O pono é o véice da piâmide (pono foa do plano da ae). im, dene ee ei pono, não exiem ê alinhado; a ea deeminada po doi quaique dee pono ão diina. São ela: cinco ea que conêm a cinco quina inclinada (aea laeai):,,,e cinco ea que conêm o cinco lado do penágono (aea da ae):,,, e. cinco ea que conêm a cinco diagonai do penágono (diagonai da ae):,,, e. im, o cinco pono coplanae,,,, deeminam um memo plano (o plano da ae da piâmide). Qualque ouo plano deeminado deve cone o pono e doi pono da ae. São ele PL(), PL(), PL(), PL(), PL(), PL(), PL(), PL(), PL() e PL(). o odo, em-e = 11 plano deeminado. 06 F,, F, F,, 07,, F, 08 O paalelogamo é uma egião limiada pelo lado. O plano é ilimiado. Tê pono deeminam uma ea e ee eiveem alinhado. Tê pono não alinhado deeminam um plano. O pono da diagonal peencem ao quadado, ma a ea que coném a diagonal em pono foa do quadado. face da piâmide ão 4 iângulo e um quadado (ae). ineeção de um plano com cada uma da face é um egmeno de ea. omo o plano inecepaá a cinco face, o coe povocado pelo plano eá um polígono de cinco lado (5 egmeno de ea). o odo, ão = 15 ea. É poível, amém, cona ea ea de oua maneia. ada um do ei pono pode e ligado a cinco pono (cada um do ei pono deemina cinco ea). Logo, 6 5 = 30 ea. ee modo, cada ea foi conada dua veze (a ea, po exemplo, foi conado pono e, novamene, no pono ). im, o númeo coeo de ea deeminada é 65 = Pode-e imagina uma piâmide na qual a ae é um penágono egula, cujo véice ão o pono,,,,. O pono é o véice da piâmide (pono foa do plano da ae). O plano que coném o penágono deacado (polígono de 5 lado) divide a piâmide em dua pae. onideando uma dea pae, o penágono deacado eá uma de ua face. 09 ada um do 8 véice pode e ligado ao 7 ouo, deeminando 7 ea. Seiam, poano, 8 7 = 56 ea. No enano, dea maneia, cada ea foi conada dua veze. Poano, em-e o númeo de ea = 87 = Tem-e o plano da ae, o ei plano da face laeai e mai o plano deeminado po cada uma da 6 ( 6-3 ) = 9 diagonai do hexágono e o véice da piâmide. Toal = = 16 plano. F 10 a éie nino Médio Livo 1

3 01 F,,, F, F O pono podem e alinhado. Tê pono coincidene eão em um plano; ê pono alinhado eão em uma ea, e ea ea eá conida em um plano; ê pono não alinhado deeminam um plano. ea ó pode e ecane ao plano, conido plano ou paalelo a ele. ea ecane ao plano em apena um pono em comum com o plano, e a paalelão conido plano não em nenhum pono em comum. Soou apena a ea conido plano. Pene em uma piâmide de ae iangula; exiem quao face (quao plano). ea, e F do enunciado da queão eguine, po exemplo, ão paalela ene i; no enano, não eão conida oda em um memo plano. 0 a) Rea H e GF. ) Rea F e HG. c) Plano (G). Oevação: podem e ecolhida ê quaique da quao lea,, G, H, em qualque odem, paa idenifica o plano. 03 TIIS PR SL PÁG. 7 Sendo o númeo máximo de faia oida com n coe, noe que um coe (ea ) dividiá o olo em dua faia (egiõe 1 e R ); R1 1 ou eja, a 3 = a + 3 a 3 = = 7 egiõe. Seguindo o padão ugeido, em-e: = a = = 11 egiõe. ee modo, cinco coe deeminaão, no máximo: a 5 = + 5 a 5 = = 16 egiõe (faia). 04 O padão da queão aneio ugee que o númeo de faia oida ( ) com n coe pode e dado po: = + ( n) Logo, pode-e dize que: = 1 + ( n) = 1+ ( 1 + n ) n Logo, a 10 = 1 + ( ) 10 = I. ua ea paalela e coplanae não ão concoene. II. ua ea paalela não êm pono comum e não ão evea. III. onidee a figua. ' ' R ou eja: a 1 = egiõe. doi coe (ea e ) dividião o olo em quao 1 faia (egiõe, R, R 3 e R 4 ); R 3 R 4 R 1 Sejam e dua ea evea. Tomando um pono da ea, exie uma única pependicula comum a e que inecepa a ea no pono, de al modo que ' e //'. nalogamene, oém-e a ea '//. Poano, o plano = (, ') e β = (', ) ão o único plano paalelo, cada um conendo uma da ea. I.. onidee o quadiláeo eveo da figua, com e β. ou eja, a = a 1 + a = + = 4 egiõe. ê coe (ea,, ) dividião o plano em ee 1 3 egiõe (, R,..., R 7 ); 1 R 5 Q P M N R 3 R R 4 R 6 R 7 3 omo PQ é ae média do iângulo e MN é ae média do iângulo, egue que PQ// e MN//. Logo, PQ//MN. Similamene, conclui-e que MQ PNP e, poano, egue-e o eulado. a éie nino Médio Livo 1 11

4 aea (,, e H). Noe que a aea não é evea à ea, poi exie o plano (FG) conendo e ( // ). Há eclipe com o alinhameno do Sol, da Tea e da Lua. Logo, a ea SL etl ão paalela coincidene. 03 Noe o padão eguine, em que indica o númeo máximo de egiõe pa ea: 04 a 1 = a = 4 = + a 3 = 7 = = = 11 = = Seguindo o padão, em-e: = + ( n) = 1 + ( n) 1 = 1+ ( + nn ) não, 11 = 1+ n+ n n + n 40 = 0 = = n = -± 1 41 u' TIIS PROPOSTS PÁG. 8 p n = 0 n = 1 (não convém) Logo, eão endo conideada 0 ea. Paa aalha com plano pependiculae, nada melho que o paalelepípedo eângulo (uma caixa de apao). onidee, enão, a figua eguine elaiva ao enunciado, em que u é uma ea conida em β pependicula à ea, paando em. ' u Noe que a medida do ângulo ene o plano e q é a medida do ângulo ene a ea a e, io é, q = aâ = 90º. I. eja, na figua, o plano p paalelo ao plano β. 05 a) Se a ea e ão paalela diina, exie um único plano paando po e. não, é um conjuno uniáio. Se a ea ão paalela coincidene, enão: = = ) Se e ão ea evea, não exie um plano po ela. Logo, = ø. 06 naliando a afimaiva, em-e o eguine: I. ea é pependicula a dua ea concoene ( e u) do plano β, enão é pependicula ao plano β. II. ea é pependicula ao plano β, enão qualque ea de β foma 90º com a ea (qualque ea de β é pependicula ou oogonal à ea ). omo a ea conida em β é concoene à ea, e ão ea pependiculae. III. ea é pependicula ao plano β, enão qualque plano que conenha é pependicula a β. onidee o paalelepípedo eângulo eguine. G H q a I. Oeve o plano paalelo () e (FGH) inecepado pelo plano (H); a ineeçõe ão a ea e. Noe que e eão conida no memo plano (H) e = ø; e ão paalela. II. Oeve o plano paalelo () e (FGH). ea F eá conido plano (FGH), a ea = eá conido plano () e, no enano, e F ão evea. III. Oeve a ea GH paalela ao plano () e (F); ee plano ão ecane e não paalelo. I. eja juificaiva da afimaiva II. F onidee a e a. 1 a éie nino Médio Livo 1

5 07 O eaedo (piâmide de ae iangula) em 6 aea. onideando a aea, oda a oua aea ão concoene a (êm um plano em comum), exceo a aea que é evea a. Tem-e, enão, 3 pae de aea evea. 1 o pa: e o pa: e 3 o pa: e Oua olução: o pa e é o memo pa e ; cada aea apeena apena uma aea evea e ão 6 aea. São 6 1 = 6 pae, ma cada pa foi conado dua veze. aí: n o de pae = 61 = 3 08 a) Se o 3 pono foem alinhado, o plano que o conêm podem e ecane. ) eja a figua do paalelepípedo eguine. ea e ão pependiculae a e não ão paalela, ma concoene. 10 c X Oeve na figua que d é pependicula ao plano (X); ai deeminado pela ea concoene e c. im, d foma 90º com qualque ea do plano (X), ou eja, d é pependicula à ea. d c) É um do cao de deeminação do plano. d) eja o plano, e no paalelepípedo eguine. pea de ele aifazeem a condição, o plano e não ão paalelo. u v : plano da face fonal : plano da face upeio : plano da face à dieia e) eja a ea u e v paalela ao plano, na juificaiva do iem aneio. 09 F, F, F, F, e não êm pono comum; enão e podem e evea. ua ea paalela diina empe deeminam um plano. Uma ea eá conida em infinio plano diino. Tê pono não colineae deeminam um plano. a éie nino Médio Livo 1 13