XXXI OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA PRIMEIRA FASE NÍVEL 3 (Ensino Médio) GABARITO

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1 XXXI OLIMPÍ RSILEIR E MTEMÁTI PRIMEIR FSE NÍVEL Ensino Médio RITO RITO NÍVEL 6 E E E 5 0 E 5 ada quesão da Primeira Fase vale pono. Toal de ponos no Nível 5 ponos. guarde a pulicação da Noa de ore de promoção à Segunda Fase no sie: Seja XYZ um número de rês dígios que deona. evemos er X, 5, 6, 7, ou 9; Y,,..., 9 e Z 5, 6, 7, ou 9. Porano, emos 6 opções para o primeiro dígio, para o segundo e 5 para o erceiro. Ou seja m. omo 5m 0n e a fração é irreduível, m k e n k, k ineiro posiivo. n ssim, mn k, que é múliplo de. Tomando k, verificamos que as demais alernaivas são incorreas.. Temos x x x x x x x x x x x x.. O ângulo enre as reas e é 90 graus. omo foi oido a parir de uma roação de 5 graus de, o ângulo enre as e é 5 graus menor, sendo igual a graus. 5. Um dos cinco números é divisor da soma dos ouros quaro se, e somene se, é divisor da soma dos cinco números. Tal soma é 0 5, que é divisível por. 6. E s seguines siuações podem ocorrer para que gilulfo não fique de casigo: gilulfo vola depois da escola com uma adverência e sua mãe não esá em casa; gilulfo vola depois da escola sem adverência e sua mãe não esá em casa; gilulfo vola depois da escola sem adverência e sua mãe esá em casa; om isso, gilulfo pode ano er receido como não er receido adverência e sua mãe pode esar ou não esar em casa, de modo que nenhuma das afirmações nas alernaivas a é ceramene verdadeira. 7. iremos que uma casa aaca oura se elas esiverem na mesma linha, coluna ou diagonal do auleiro. Em um auleiro duas casas quaisquer se aacam, de modo que não é possível colocar peças que não se aaquem no auleiro. Em um auleiro, cada casa do cano aaca ouras 6, sorando somene casas que esão na mesma diagonal; porano, se colocarmos peça em uma das casas do cano não é possível colocar as ouras duas. Todavia, não é possível colocar peças sem que duas se aaquem se não for permiido escolher casas do cano: XXXI Olimpíada rasileira de Maemáica Primeira Fase aario Nível

2 figura a seguir exie uma possiilidade para n.. Temos LK 0 KLM LM 0 90 LM 90 LM ML, amos os ângulos KL e LM são reos, de modo que os riângulos KL e LM são congruenes. Porano, sendo x K, L x, L x e M L x. Logo a área do rapézio K KM é igual a M x x e, consequenemene, a área de KM é. 9. Possível caminho: É impossível começar pelas casas ou, asa ver as siuações aaixo: XXXI Olimpíada rasileira de Maemáica Primeira Fase aario Nível

3 0. E Enre h e h0min, o ângulo enre os poneiros cresce coninuamene. omo o ângulo 0 formado enre os poneiros às h5min é menor do que , o ângulo enre os 60 poneiros formam 5 graus pela primeira vez após as h5min. 0º α α α α p k k α α α k k k. Sendo n p p a faoração canônica de n, emos n p p. ssim, a quanidade de divisores posiivos de n é α α α α e a quanidade de divisores posiivos de n é α. Essa quanidade é o doro da anerior quando α α α α p k XXXI Olimpíada rasileira de Maemáica Primeira Fase aario Nível

4 α α α α k α α α α k α α α quer dizer que n não em faores, ou seja, n é ímpar. 0. Isso 5 5. Há 0 maneiras de escolher os livros que serão guardados onde esavam anes. Os rês demais livros, que denominaremos,,, na ordem em que esavam anes, podem ser guardados na ordem ou. ssim, há 0 0 possiilidades para Esmeralda guardar seus livros sore heráldica.. pós compleas a aela, eremos quaro s em cada linha. omo emos linhas, eremos 7 s em oda a aela. Se a quanidade de s é a mesma em cada coluna, e emos seis colunas, eremos 7 s por 6 coluna.. Tomando x no lugar de x, oemos fx fx fx fx 9 fx 9 fx. ssim, f009 f006 f5 f. 5. omo o quadriláero E é inscriível, E. Sendo um diâmero, o ângulo é reo, de modo que é alura e mediana do riângulo. Porano é isósceles com 0 e ssim, E Temos x xy ky x y k y. ssim, se k enão x xy ky 0 para odos x, y reais. lém disso, omando x y > 0, para k < oemos x xy ky < 0. Logo o menor valor de k é. 7. Para oermos a maior diferença possível devemos omar o maior e o menor primo cuja soma seja 6. omo,,9 77,5 5, al represenação é, cuja diferença é 00.. E Um suconjuno é superpar se, e somene se, não coném dois números ímpares. ssim, suconjunos superpares conêm no máximo um ímpar e, porano, 0 números. 9. S S S S S S S 0 S S S... S0 S S S... 0 S... 0 S S S Logo 0. E XXXI Olimpíada rasileira de Maemáica Primeira Fase aario Nível

5 P N R T O O Sejam O e O os cenros de e, respecivamene. Os riângulos O PQ e O RS são semelhanes, PQ OP assim. lém disso, os segmenos angenes NP, NT e NR são congruenes e MN é RS OR paralelo a PQ e RS. ssim, M e N são ponos médios de QS e PR, respecivamene. ssim, MN é ase PQ RS PQ RS MN MN média do rapézio PQSR, de modo que MN. ssim,.,5 razão enre as áreas dos rapézios MNPQ e MNRS, que êm aluras iguais, é Q M MN PQ,5 MN RS,5. Seja x a disância enre as cidades, em quilômeros. Quando o carro mais rápido chega ao pono M, ele percorre x km e o mais leno, x 96 km siuação. S 5. x 96 x Quando o carro mais leno chega ao pono M, ele percorre mais 96 km e o carro mais rápido mais 60 km. x omo as velocidades dos carros são consanes, 5 x 96 x x 0 km. x 60. omo, a soma dos dígios de odos os números que gilulfo deve escrever é 9 9 congruene a módulo 9. Porano, quando gilulfo oiver um número de um único dígio, ele vira. XXXI Olimpíada rasileira de Maemáica Primeira Fase aario Nível 5

6 . onsidere a quanidade de cuos no quadradinho cenral da visa de cima apresenada na alernaiva. Esse é o único do meio da visa da frene e porano deve er cuo; esse é amém o único do meio da visa da e porano deve er cuos, o que não é possível. Enão a visa de cima não pode ser a que esá apresenada na alernaiva. s figuras a seguir indicam possíveis quanidades de cuos em cada quadradinho da visa de cima das demais alernaivas. E frene frene frene frene. figura aaixo mosra odos os ponos amarelos, que são dois riângulos de área. essa forma, a área oal é. 5. Sejam,, a progressão ariméica, o aricenro de e I o incenro de. Sejam amém e r o inraio de. I L M r r área de é um erço da área de, que é igual a. ssim, a área de r r é. Logo a alura relaiva a de é r e, porano, as disâncias de I e a são iguais, o que prova que I é paralelo a. Sendo L a isseriz de e M o pono médio de, emos M e, pelo eorema das L L L isserizes, L. ssim, L L L M L. 6 XXXI Olimpíada rasileira de Maemáica Primeira Fase aario Nível

7 XXXI Olimpíada rasileira de Maemáica Primeira Fase aario Nível 7 Os riângulos LM e I são semelhanes, assim, I M LM I. Oura solução: uilizando as noações da solução anerior, e I I I I I