LISTA DE REVISÃO GEOMETRIA ESPACIAL 2 ANO PROVA TRIMESTRAL 3º TRIMESTRE

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1 LIST DE REISÃO GEOMETRI ESPCIL NO PRO TRIMESTRL º TRIMESTRE PRISMS ) Cacue a área oa e o voume de um prisma reo, de 0 de aura, cuja ase é um exáono reuar de de ado ) Um prisma reo em por ase um riânuo isóscees de 8 de ase por de aura Saendo que a aura do prisma é iua a do perímero da ase, cacue sua superfície oa ) De uma via de madeira de seção quadrada de ado 0 exrai-se uma cuna de aura = 5, conforme a fiura Cacue o voume e a área oa da cuna ) ) (IT - SP) Considere P um prisma reo de ase quadrada, cuja aura mede m e que em área oa de 80 m O ado dessa ase quadrada mede: ) m B) 8 m C) m D) m E) m

2 5) fiura aaixo represena um prisma reo, de aura 0, e cuja ase é o penáono BCDE Saendo-se que B = e BC = CD = DE = E =, cacue o voume e a área oa do prisma ) Um prisma reuar rianuar em odas as aresas conruenes e 8 m² de área aera Seu voume vae: ) m B) m C) m D) m E) m PIRÂMIDES 7) Uma pirâmide quadranuar reuar em m de aura e a aresa da ase mede m Cacue seu voume e a área oa 8) Cacue a área aera, a área oa e o voume de cada uma das pirâmides reuares cujas medidas esão indicadas nas fiuras a) Pirâmide reuar exaona

3 ) Pirâmide reuar (quadrada) 9) aresa da ase de uma pirâmide reuar exaona mede m Sendo a superfície aera 0 vezes a área da ase, cacue a aura e a área oa dessa pirâmide 0) Considere uma pirâmide quadranuar reuar inscria em um cuo de de aresa Cacue: a) a área aera da pirâmide; ) a área oa da pirâmide; c) a razão enre o voume da pirâmide e do cuo; d) a razão enre as áreas oais da pirâmide e do cuo

4 ) Numa pirâmide reuar de ase rianuar, a aresa da ase mede e a aura mede Cacue o apóema da ase, o apóema da pirâmide e a aresa aera ) Cacue a medida da aura de um eraedro reuar saendo que o perímero da ase mede 9 ) Deermine a área oa e o voume de um eraedro reuar cuja aresa mede m ) (FUEST) ase BCD da pirâmide BCDE é um reânuo de ados B = e BC = s áreas dos riânuos BE e CDE são, respecivamene, 0 e 7 Cacue o voume da pirâmide CILINDROS 5) (UEMG) O diâmero da ase de um ciindro reo em 0 Saendo que a aura do ciindro é, o seu voume é: ) 0 π³ B) 0π³ C) 00π³ D) 00π³

5 ) Qua é a aura de um ciindro reo de,5² de área da ase sendo a área aera o doro da área da ase? Use π =, 7) Cacuar a área aera de um ciindro equiáero sendo 89² a área de sua secção meridiana 8) Um róuo reanuar, conendo a prescrição médica, foi coado em oda a superfície aera de um recipiene de forma ciíndrica de um cero remédio, conornando-o aé as exremidades se enconrarem, sem aver superposição Saendo-se que a aura do recipiene é e que o voume do recipiene (desprezando-se a sua espessura) é 9 ³, pode-se afirmar que a área do róuo, em ², é iua a: ) 9 B) 80 C) 7 D) 7 E) 70 9) Nove cuos de eo, cada um com aresa iua a, derreem denro de um copo ciíndrico, iniciamene vazio, com raio da ase amém iua a pós o eo derreer compeamene, deermine a aura do níve da áua no copo Considere =

6 0) (Enem) Uma aresã confecciona dois diferenes ipos de vea ornamena a parir de modes feios com carões de pape reanuares de 0 0 (conforme iusram as fiuras aaixo) Unindo dois ados oposos do carão, de duas maneiras, a aresã forma ciindros e, em seuida, os preence compeamene com parafina: Supondo-se que o cuso da vea seja direamene proporciona ao voume de parafina empreado, o cuso da vea do ipo I, em reação ao cuso da vea do ipo II, será: ) o ripo B) o doro C) iua D) a meade E) a erça pare ) Um anque suerrâneo, que em a forma de um ciindro circuar reo na posição verica, esá compeamene ceio com 0 m de áua e m de peróeo: Se a aura do anque é meros, a aura, em meros, da camada de peróeo é ) π B) 7 C) (7π)/ D) 8 E) 8/ CONES ) Cacue a aura do cone circuar reo cuja erariz mede 5 e o diâmero da ase mede

7 ) Cacue a área da secção meridiana do cone equiáero cuja ase em área ) Cacue a área oa e o voume de um cone equiáero de aura medindo 0 5) (Ufscar) Em uma anconee, um casa de namorados resove dividir uma aça de mik sake com as dimensões mosradas no deseno a) Saendo-se que a aça esava oamene ceia e que ees eeram odo o mik sake, cacue qua foi o voume, em m, inerido peo casa doe π = ) Se um dees eer sozino aé a meade da aura do copo, quano do voume oa, em porcenaem, erá eido ) No sóido da fiura, BCD é um quadrado de ado e E = BE = 0 O voume desse sóido é: ) 5 π B) π C) π D) 5π E) π

8 ESFERS 7) Deermine o voume de uma esfera cuja superfície em área de 8) Uma fundição ransformou uma esfera maciça de ferro em oio esferas maciças de raio 5 Qua é a medida do raio da esfera oriina? 9) Um pano secciona uma esfera, deerminando um círcuo de de área Deermine o raio da esfera, saendo que o pano disa do cenro da esfera 0) (UFJF-MG) Um reservaório de áua em a forma de um emisfério acopado a um ciindro circuar como mosra a fiura medida do raio do emisfério é a mesma do raio da ase do ciindro e iua a r = m Se a aura do reservaório é = m, cacue a capacidade máxima de áua comporada por esse reservaório ) (UFRGS) Uma panea ciíndrica de 0 de diâmero esá compeamene ceia de massa para doce, sem exceder a sua aura, que é O número de doces em formao de oinas de de raio que se podem oer com oda a massa é: ) 00 B) 50 C) 00 D) 50 E) 00

9 GBRITO ) 5 T ( 0) ( 08 0) ) No riânuo isóscees a aura amém é mediana i) Pea reação de Piáoras emos: a 5 5 ii) O perímero da ase vae: = 8 iii) aura do prisma vae (8) iv) Área oa: (8 ) (5 ) 08 8 T 08 ) cuna é um prisma rianuar reo cuja ase é um riânuo reânuo ipoenusa: a a c a 5 0 Área da ase: ( ca)( ca) (0)(5) 75 Área oa: (75) (00)(5)(0) (5 )(0) (8 ) oume: ) Sendo x a aresa da ase, emos que: x x x x Do enunciado, emos que 80 ssim: x x 80 x x oux ( não convém ) x 80 0: ( ) x x 0 0

10 5) ase é formada por um reânuo e um riânuo Área do riânuo: ( ) Área da ase: r 7 x ( 7) Área aera: (0) ()(0) Área oa: ( ) 0 0 ( ) oume: ) 7 ( )0 7) i) oume: pirâmide () ()() 8m 9 5m ii) Área oa: () m ()(5) 5 0m 0 9m

11 8) a) Área da ase: a 8 Cácuo do apóema da pirâmide (): a ( ) Área aera: Área oa: 8 ( a 8 ) Seis riânuos isóscees ura da pirâmide: Seja m o apóema da ase: m a m 9 85 oume: ( 9 7 )( ) ) Área da ase: a (5) 5 Área aera: Triânuo equiáero 5 5 a 5 aura a face 5 5 5

12 Área oa: 5 5 5( ) ura da pirâmide: Seja m o apóema da ase: a m m 5 ( ) oume: (5)( 59 / ) ) 0 póema da pirâmide () : a a () m (9) 0 póema da ase (m): m a m ura da pirâmide: (5 ) ( ) (9)() (5) 75 m ()(75) m Área oa: 0 a ()(9 ) 97 m

13 0) a) a ) )( ( ) 5 5 ) ( c) ()()() 8 cuo pirâmide cuo pirâmide d) 5 () 5 ) ( ) ( cuo pirâmide oa oa ) i) a a a p ii) 7 iii) L ) O eraedro reuar é a pirâmide rianuar reuar com odas as faces sendo riânuos equiáeros O apóema,, da pirâmide é a aura do riânuo equiáero e o apóema da ase, ap, é a erça pare da aura da ase (amém mediana) Uiizando esses dados, emos: 7 a ap p ² ² ² ²

14 ) O eraedro reuar é uma pirâmide cujas faces são odos riânuos equiáeros aura será cacuada pea reação = + m, onde é o apóema da pirâmide (no caso aura no riânuo equiáero da face), m é o apóema da ase (amém riânuo equiáero) i) Toa ( ) m ii) m ; ase m ( ) m ) s áreas aerais de BE e CDE são diferenes Loo as respecivas auras amém são Considerando e as respecivas auras de CDE e BE Temos: () (CDE) 7 (CDE) 7 (BE) (BE) () aura da pirâmide não inercepa a ase em seu cenro Considerando x e -x as disâncias respecivas da inerseção da aura com a ase aé os ados B e CD, emos: Loo, 0 () ( x) 7 (x) x x (x) 0 9 x x x x x 8 0 x x x ( ) ()()() O voume será enão: ase 5) R² 5 ( ) ( 5)( ) 00 ³ ase Diâmero 0 Raio 5

15 , 5 i) ase R², 5 (, ) R² R, ) aera ase, 5 5, ² 5, ii) (, )( ) 5, aera R, 5 7) No ciindro equiáero a aura possui a mesma medida do diâmero da ase Temos: sec ção sec ção aera r r(r) r 89 r 89 r r r(r) r² 89³ 89 7,5 8) ( r)²( ) 9 ( r)²( ) 9 r² r 9 Laera r ( )( ) 9² 9) (áua ) 9(cuo) 9()³ 9(7) ³ 7 (copo) r² ()² 9 9() 7 r ()() 9² Layera 7 9 0) B Consruindo os ciindro do Tipo e do Tipo cacuando o raio da ase comparando com a arura do reânuo, emos: 0 0 Tipo : r 0 r r (0) Tipo : r 0 r r ( 0) O cuso da vea do ipo I, em reação ao cuso da vea do ipo II, será o doro ) B ) O raio da ase mede 7 aura será cacuada pea reação de Piáoras r

16 ) secção meridiana é um riânuo equiáero cujo ado mede o diâmero da ase Conecendo a área da ase do cone, emos: ase ase r r sec ção r Triânuo r sec ção ()() ) aura do cone equiáero é a aura do riânuo equiáero O ado do riânuo equiáero vae o doro do raio: 0 r 0 i) Área oa: 0 os : r(r ) ase ii) oume: 5) r (5) (0) ()(5) (0) a) O voume do cone é: cone m Oserve que a siuação se resume em cacuar a diferença enre dois voumes de cones O voume do cone menor é: r (, 5) ( 0) ( )(, 5)( 0) cone menor, 5 O voume consumido pea ª pessoa foi de 500,5 = 7,5 ³ 7, 5 Percenuamene, emos 0, , 5% 500 ) O sóido é formado peo ciindro cujo diâmero vae o ado do quadrado e que amém é diâmero da ase do cone aura do ciindro amém é o ado do quadrado

17 ciindro ) i) oume do ciindro: r ( ) ( ii) ura do cone: 0 9 iii) oume do cone: r ( ) cone iv) oume do sóido: sóido ciindro cone 7) esfera esfera esfera r r r (9) r r (79) () 97 8 r 8 9 8) esfera oriina oriina R r 8 R ( 5) esfera R 000 9) ção r r r secção sec O raio da esfera é deerminado pea reação de Piáoras: R ( ) r R ( ) ( ) R 9 5 0) capacidade do reservaório será a soma dos voumes do emisfério e do ciindro s medidas esão iusradas na fiura r R ( ) emisfério ciindro r ( ) ( ) 7m 8m reservaório 8m 7m 5m ) panea ci 0 00 esfera panea 00 nº de doces esfera rnaiva D