Capítulo VII GEOMETRIA ANALÍTICA NO ESPAÇO
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- Herman Paranhos Amorim
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1 Cpíulo VII GEOMERIA ANALÍICA NO EAÇO
2 Cpíulo VII Geome Anlí no Epço Cpíulo VII em de Coodend no Epço Ddo do em de oodend engule em R é poíel npondo um dee em gdmene no epço fe ond do do eo dee em dgmo o eo de um do em om o eo do ouo O endo do eo de um do em pode pó l npoe ond om o endo do eo do ouo o que mpl ondên do em ou e opoo ee O em dem-e gulmene oendo no pmeo o e de oenção opo no egundo É fál e po eemplo que oenção do em d pme fgu que qu é peend é opo à oenção do em O A d egund fgu Um em de oodend engule d-e pomene ou negmene oendo onfome eej oendo de odo om o em d egund fgu ou o em d pme fgu É fál ef ddo um em de oodend engule que um oedo olodo num pono do em-eo poo que oe o eo pondo p m oeá o eo pondo p de e o em de oodendo é pomene oendo e pondo p equed e o em é negmene oendo Ee fo ugee um poedmeno óo de deemnção d oenção de qulque em de oodend ddo O oneo de oenção pode e eenddo qulque pl odend de eoe não oplne o é não ompeendd num plno ou em plno plelo Am ddo um em de oodend engule ej - po e odem um pl de eoe não oplne om ogem em A Condeemo O A 9 of Al Dn
3 Cpíulo VII Geome Anlí no Epço nfomção d pl que one em d o eo um oção no plno defndo pelo eoe é que e one - em que e enh ondo olne ne nfonção o é em que o ângulo ene e e enh ondo gul ou π - e em egud em d o eo um oção no epço em que oe o plno fomdo po e - é que e one pependul ee plno Reul m um pl de eoe oogon npondo gdmene e pl no epço pode-e fe ond o eoe e em deção e endo om o eo e epemene e ne ondçõe o endo de ond om o do eo d-e que pl de eoe nl e o em ão gulmene oendo pme fgu dendo-e em o onáo que oençõe ão opo egund fgu ejm j k o eoe unáo que êm mem deção e endo que o eo epemene Um eo áo de oodend ( ) e epeo n fom ( ) j k pode enão o ef oe que ( ) j ( ) k ( ) enão em-e j k ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Idenfção de E om o Epço Euldno Denomn-e poduo el ou neno de do eoe ( ) ( ) de E el oodend endo po onegune númeo e nee o emo pudeem e ompleo - o númeo ( ) ( ) em E pmo fl mém em epço euldno ono e defnmo o poduo el Equçõe mé e Cen d Re ejm ( j k) um em de oodend ( ) e ( ) A um pono genéo e um pono ddo epemene d e e j k um eo 9 of Al Dn
4 Cpíulo VII Geome Anlí no Epço om mem deção d e : D equção eol d e : A ( ) (A e p po um pono A k e em A ( ) deção de um eo não nulo O que j um pono do epço peenç à e é neeáo e ufene que o eoe A e ejm olnee: A logo A ) em enão A o é ( ) ( ) ( j k) ( ) j k ou ( ) ( ) j ( ) k j k ou nd: e n qu e não ão odo nulo ( ) ão denomnd equçõe pmé d e em elção o em de oodend fdo A e é o onjuno de odo o pono ( ) deemndo pel equçõe pmé qundo - denomndo pâmeo de Eemplo A equçõe pmé d e que p pelo pono ( ) A e em deção do eo j k ão: ( ) ( ) ( j k) j ( ) k j k - ão ( ) ( ) equçõe pmé e e fo deemnd po do pono A ( ) e B ( ) A B A equçõe pmé de eão: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 97 of Al Dn
5 Cpíulo VII Geome Anlí no Epço of Al Dn 98 Eemplo A equçõe pmé d e que p pelo pono ( ) A e ( ) B ão ( ) ( ) ( ) ( ) A B A ( ) ( ) ( ) - equçõe pmé A deemnção d equçõe en f-e p d pmé deemnndo e uundo em e Logo eemo que e em ( ) ( ) eemo m equçõe en d e : ( ) ( ) Eemplo A equçõe en d e que p pelo pono ( ) A e em deção do eo ( ) eá deemnd é d equçõe pmé: omo mo ne logo e e ou melho ( ) e ( ) ou ( ) e e fo deemnd po do pono ( ) A e ( ) B equçõe pmé eão omo mo ( ) ( ) ( ) e enão:
6 Cpíulo VII Geome Anlí no Epço logo ( ) e ( ) ( ) ( ) enão eemo Eemplo A equção en d e que p pelo pono ( ) A e ( ) B eá deemnd é d equçõe pmé: Logo eemo e e o é ( ) ( ) Equçõe mé e Cen do lno ej A um pono de um plno π e ejm u do eoe não olnee lnemene ndependene plelo π e fo um pono genéo do plno π eemo A hu : Qundo h e que denomnmo po u hu pâmeo m A de π k peoe o plno π Enão equção A hu é O denomnd equção j eol do plno π ejm ( j k) um em de oodend ( ) e ( ) genéo e um pono ddo epemene de um plno π ( ) ( ) A um pono u e do eoe não olnee plelo π D equção eol do plno π : A hu em A hu j k ou ( ) ( ) ( ) h hj hk j k ou nd h h h e 99 of Al Dn
7 Cpíulo VII Geome Anlí no Epço h h E equçõe n qu não ão odo h nulo ão denomnd equçõe pmé do plno π em elção o em de oodend fdo O plno π é o onjuno de odo o pono ( ) pmé qundo h e m de deemndo pel equçõe Eemplo Deemne equçõe pmé do plno π que p pelo pono ( ) A e é plelo o eoe u j k e j k Degnndo po ( ) o é ( ) ( ) h( ) ( ) um pono genéo dee plno em-e: A hu Qundo h e m de peoe o plno π Am e h e ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) po eemplo: ( ) ( ) O pono é um pono do plno π Enão e ( ) ( ) h( ) ( ) ( ) ( h h h ) em-e h h h - equçõe pmé e o plno π fo deemndo po ê pono A ( ) ( ) B e C ( ) equçõe pmé de π eão: A h( B A) ( C A) ej ( ) ( ) h( ) ( ) h h h ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ou Eemplo A equçõe pmé do plno que p pelo pono ( 7 ) A B ( 8 ) e C ( ) ão A h( B A) ( C A) ( ) ( 7 ) of Al Dn
8 Cpíulo VII Geome Anlí no Epço h ( 8 7 ) ( 7 ) ou ( ) ( 7 ) ( h h h) h 7 h - equçõe pmé h ( ) A deemnção d equção en ou gel do plno f-e do egune modo: ejm ( j k) um em de oodend ( ) e ( ) k O u A j π A um pono genéo e um pono ddo epemene de um plno π u ( ) e ( ) do eoe não olnee plelo π : ( ) ( ) e é um pono genéo do plno π o eoe A u ão oplne e o poduo mo dee ê eoe é nulo: ( ) A u o é: e ( ) Fendo em ( ) ( ) ( ) ou: Fendo d em fnlmene d E equção n qul e não ão mulnemene nulo é equção gel do plno π ou equção en do plno Eemplo A equção gel do plno que p pelo pono ( ) A e é plel o eoe u j k e j k é: ou ( ) ( ) ( ) ou ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 9 of Al Dn
9 Cpíulo VII Geome Anlí no Epço A equção gel do plno π pode e deemnd elmnndo o pâmeo h e n equçõe pmé e o plno π fo deemndo po ê pono A ( ) ( ) C ( ) e e ( ) B e é um pono genéo de π o eoe A B A e C A ão oplne e o poduo mo dee ê eoe é nulo: ( A B A C A) o é: ou de odo om popedde do deemnne: O deenolmeno do deemnne onduá um equção do po: d lelmo Ene Do lno ejm o plno π e π epeo epemene pel equçõe: d e d noml o plno w é O eo ( ) π e o eo ( ) w é noml o plno π A ondção de plelmo do plno π e π é mem do eoe w e w o é: w mw ou Eemplo O plno π e π epeo epemene pel equçõe: 8 e ão plelo? De fo omponene do eo w noml o plno π ão: 8 e omponene do eo w noml o plno π ão: A ondção de plelmo de do plno é: e nee o: 8 o que po eem plelo o plno π e π of Al Dn
10 Cpíulo VII Geome Anlí no Epço e lém d guldde e e mém o d d plno π e π eão ondene poque nee o equção de π é od de π medne mulplção po um númeo o que não le equção de π Em pul e e d d o plno π e π mém ão plelo ependuldde Ene Do lno ejm o plno π e π epeo epemene pel equçõe: d e d noml o plno w é O eo ( ) π e o eo ( ) w é noml o plno π A ondção de pependuldde do plno π e π é mem ondção de oogonldde do eoe w e w o é: w w ou Eemplo O plno π e π epeo epemene pel equçõe: 8 8 e 7 ão pependule? De fo omponene do eo w noml o plno π ão: 8 e omponene do eo w noml o plno π ão: A ondção de pependuldde do do plno é w w o é: No o peene: 8 o que po eem pependule o plno π e π lelmo Ene Re e lno ej um e de pâmeo deoe m p epe pel equçõe: m n ej um plno π epeo pel equção d A e p q é plel o plno π e o eo ( m p) que defne deção de fo of Al Dn
11 Cpíulo VII Geome Anlí no Epço oogonl o eo ( ) m p w noml o plno π o é e: w ou Eemplo A e epe pel equçõe e e o plno π epeo pel equção: 7 9 ão plelo? De fo omponene do eo ( m p) ão: m p que defne e - lém de A omponene do eo w noml o plno ão: 7 A ondção p que e ej plel o plno π é que o eo w o é: w ou m p Nee o: 7 o que po e e plel o plno π ependuldde Ene Re e lno ej um e de pâmeo deoe m p epe pel equçõe: m n ej um plno π epeo pel equção d A e p q m p que defne deção de fo é pependul o plno π e o eo ( ) plelo o eo ( ) w noml o plno π o é e: w ou m p 8 Eemplo A e epe pel equçõe: e o plno π epeo pel equção 7 ão pependule De fo omponene do que defne deção d e - lém de ão: eo ( m p) m A p omponene do eo w noml o plno π ão: 7 ondção p que e ej pependul o plno π é que o eo ej m p plelo o eo w o é: No o peene: po e e pependul o plno π A o que 7 of Al Dn
12 Cpíulo VII Geome Anlí no Epço Ineeção de Do lno ejm o plno π e π não plelo epeo pel equçõe: d e d A neeção do plno π e π é e uj equçõe edud e deej deemn e emo equçõe e m enão m e n em m n ; e emo equçõe e p enão p e q em p q que ão equçõe edud d e O em onudo pel du equçõe ge do plno π e π é ndeemndo podendo epm-e du áe em função de um ee: d d Enão d e d d d Efeud opeçõe ndd du equçõe eulne d plção de deemnne eduem-e à fom m n o é oemo equçõe p q edud d e que p pelo pono N ( n q) ( m p) e em deção do eo Eemplo Deemne equçõe edud d e de neeção do plno π e π epeo epemene pel equçõe: 7 e O em fomdo pel equçõe do plno π e π pode e eo do egune modo: 7 o que peme epm e em função de : of Al Dn
13 Cpíulo VII Geome Anlí no Epço e 8 9 A e de neeção do plno π e π é epe pel equçõe 9 Dân Ene Do ono A dân δ ene o pono ( ) e ( ) é deemnd de odo om egune fómul: ( ) ( ) ( ) δ Eemplo Clule dân ene o pono A ( 7) e ( ) B A dân δ ene o pono A e B é: δ ( ) ( ) ( ) De odo om o ddo do polem 7; ; ; logo: δ ( 7) ( ) ( ) Dân de Um ono Um Re ejm um pono ( ) e um e epe pel equção: A e omo e e p pelo pono ( ) deção do eo ( ) e em A dân δ do pono à e é medd oe pependul à e que p po : k O u δ θ A fgu mo que dân δ do pono à e é lu do plelogmo j of Al Dn
14 Cpíulo VII Geome Anlí no Epço of Al Dn 7 ujo ldo ão o eoe k j e ( ) ( ) j u ( )k endo em fómul p lul áe de um plelogmo - h A - e endo que áe é dd po δ endo que δ nθ u enão áe é u u θ δ n logo u δ M u k j ou j u k e em-e u logo oém-e fnlmene fómul δ Eemplo Clule dân do pono ( ) 7 à e epe pel equçõe: A e p pelo pono uj oodend ão: e o pâmeo deoe de e ão: A oodend do pono ão: 7 A dân δ do pono à e é dd po δ Oemo m δ
15 Cpíulo VII Geome Anlí no Epço 7 7 ( ) ( ) ( ) Dân Ene Du Re ejm e e epe epemene pel equçõe: e ( ) e em deção do eo u ( ) deção é do eo u : endo em fómul uld p lul o olume de um plelpípedo w δ V A θ e lu k u podemo e que lu do plelpípedo é O δ e omo e é j um plelogmo A u omo já mo ne enão u w u w que é o poduo w θ δ mo de ê eoe e ( u w) u δ u A e p pelo pono e e ão onoene dân δ ene el é po defnção nul e e ão plel dân δ ene e e é nee o dân do pono ( ) à e que p pelo pono ( ) eo ( ) e em deção do - que é ução neomene peend Vejmo o que e p qundo e em e ened e m que não eão no memo plno: o eoe ( ) ( ) j ( )k j k j k e w u deemnm um plelpípedo uj e é fomd pelo eoe u e e uj lu é dân δ ene e e poque e é plel o plno d e do plelpípedo um e que u e V u δ m omo δ w oθ : em-e u w oθ ( ) ( ) 8 of Al Dn
16 Cpíulo VII Geome Anlí no Epço of Al Dn 9 M ( ) w u k j u k j e u logo em-e δ O deemnne do numedo dee e ondedo em lo oluo endo em que dân é defnd omo um númeo el não nego Eemplo Clule dân ene e epe pel equçõe: e e epe pel equçõe: A e p pelo pono uj oodend ão: e o pâmeo deoe de e ão: A e p pelo pono uj oodend ão: e o pâmeo deoe de e ão: A dân δ ene e e é δ o é δ
17 Cpíulo VII Geome Anlí no Epço ( 8 ) ( ) ( ) 8 Dân de Um ono Um lno ejm um pono ( ) um pono qulque dee plno: w O eo w ( ) é noml o δ plno π k A π e po onegune o eo A em mem deção de w A dân do O pono j o plno π é: δ A A é pojeção do eo n deção do eo w Vejmo go o egune: e um plno π epeo pel equção: d ejm A o pé d pependul ondud po oe o plno π e ( ) endo em que A e w êm mem deção pode onde-e A w Am A A o é A w e mulplmo mo o emo po w A δ em w ( A w) w A w w w e m w w w w w endo o eo w unáo Como ínhmo w defndo A w em A ( w) w e enão A w e o eo w não fo unáo dee onde-e o eu eo: w w logo e-e-á: A w w que no dá pojeção do eo n deção de w M ( ) ( ) j ( )k w ( j k) w w w logo: of Al Dn
18 Cpíulo VII Geome Anlí no Epço δ ( ) ( ) ( ) Como o pono peene o plno π : d d e δ Eemplo Clule dân do pono ( ) o plno 8 A omponene do eo w noml o plno ddo ão: e o lo de d é: d 8 A oodend do pono ão: A dân do pono o plno ddo é enão d δ o é: 8 δ 8 8 Quád Chm-e quád od upefíe que pode e epeend po um equção do egundo gu em e : d e f m n p q Em ou pl quád é o lug geoméo do pono M do epço dmenonl uj oodend e num em eno oogonl fem equção do egundo gu: d e f m n p q A oodend e do pono M do epço ão omponene O X ( ) do eoe X R que fem equção de um quád: ( ) M of Al Dn
19 Cpíulo VII Geome Anlí no Epço A equção de um quád d e f m n q p pode e epe do egune modo: [ ] d f q [ m n p] e d f e um e que d e f é um fom qudá no epço dmenonl Condendo X d e A d f e e f m N n equção neo f: X AX N X q p que é equção de um quád o fom ml endo em que X X e que de odo om o que mo no píulo neo X AX X DX equção X AX N X q f mplemene X DX N X q M: X D e Logo e-e-á [ ] [ m n p] q o é equção de um quád pode e epeend po q n qul e ão o loe pópo d m mé el A e omponene do eoe X n e { X ( ) X ( ) X ( )} e dependem d omponene do eoe pópo unáo X X e X odo e of Al Dn
20 Cpíulo VII Geome Anlí no Epço of Al Dn Equção Redud de Um Quád A equção de um quád pode e epe po q upondo e dfeene de eo pode eee-e q o é q ou ej q Fendo Q q e é de um nlção: em: Q e fnlmene Q E úlm equção é equção edud de um quád de eno e omo e ê o pmeo memo é fom nón d fom qudá no epço dmenonl e um do loe pópo fo gul eo po eemplo equção: q f q o é q q q Fendo é de um nlção:
21 Cpíulo VII Geome Anlí no Epço of Al Dn q em E equção é equção edud de um quád em eno e em e de foe ou equção edud de um quád em eno e ou e do loe pópo foem gu eo equção edud d quád em eno é d fom B A Eemplo Deemne equção edud d quád epeend pel equção: 7 A equção d quád o fom ml é [ ] [ ] 7 Fendo X A e N equção f 7 X N AX X Deemnemo o loe pópo d m A : [ ] de I A o é ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) 9 ou ej em-e ( )( )( ) [ ] ( )( ) e m emo
22 Cpíulo VII Geome Anlí no Epço of Al Dn ( )( ) ( )( ) 8 8 Deemnemo íe d equção de º gu: ( ) ( ) ± ± ± o é logo eemo ( ) ( )( )( ) de I A eemo o loe pópo e Deemnemo o eoe pópo unáo odo o loe pópo: uundo po n m neo em o é: e Ee euldo é odo e eolemo o em em odem e ondendo depo um qulque nógn l omo fo epldo no úlmo píulo Am ( ) X ão eoe pópo odo Fendo - ou ej o neo d nom de ( ) - oém-e o eo pópo unáo X odo uundo po em o é e Am ( ) X ão eoe pópo odo Fendo oém-e o eo pópo unáo X odo uundo po em o é e Am ( ) X ão eoe pópo odo Fendo oém-e o eo pópo unáo X odo
23 Cpíulo VII Geome Anlí no Epço of Al Dn A m A é nfomd n m D é d m oogonl ujo elemeno ão omponene do eoe pópo unáo X X e X odo e : A equção 7 X N AX X pode e epe é de um nfomção oogonl oção po 7 X N DX X Condendo X em [ ] [ ] 7 o é: 7 ou ej 7 ou 7 9 Fendo é de um nlção: equção neo f: ou 7
24 Cpíulo VII Geome Anlí no Epço Clfção d Quád A equção de um quád de eno é Q Dependendo do loe de e e Q quád eá do po elpóde ou hpeolóde A equção de um quád em eno é: ou ou A quád epeend po qulque um de equçõe é do po páolóde A quád epeend po um equção d fom A B é do po lndo Eemplo Deemne o géneo de quád epeend pel equção 7 Vmo que equção edud de quád é Como e emo equção que é equção de um quád de eno 7 of Al Dn
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j h i TEMA III Geometi Anlíti 1. Geometi nlíti no plno Inequções tesins de semiplnos > < > + + < + + Sejm A( 1, ) e B( 1, ) dois pontos do plno: Distâni ente A e B. ( 1 1 ) + ( ) h 1 + 1 Ponto médio do
Geometria Plana 04 Prof. Valdir
pé-vestiul e ensino médio QUILÁTS TÁVIS 1. efinição É o polígono que possui quto ldos. o nosso estudo, vmos onside pens os qudiláteos onveos. e i Sendo:,,, véties do qudiláteo; i 1, i, i 3, i 4 ângulos
Computação Gráfica Interativa - Gattass 01/10/15
Coção Gáf I - G 0/0/5 Aoo d Ro d Ro P o o P o o Ição oção O q á f? A q dâ do oo? R T Coção Gáf I - G 0/0/5 So Oão Efo Po Gd d I ê do do o Idd do oo oo Foof D Pooo o éo XX! R T Coção Gáf I - G 0/0/5 C o
Física Geral I F semestre, Aula 4 Movimento em duas e três dimensões
Físic Gel I F -18 semese, 1 Aul 4 Moimeno em dus e ês dimensões Moimeno em D e 3D Cinemáic em D e 3D Aceleção consne - celeção d gidde Moimeno cicul - moimeno cicul unifome - moimeno helicoidl Moimeno
Notas de Aula - Prof. Dr. Marco Antonio Pereira
Ecol de Engenhi de Loen - UP - inétic Químic pítulo 7 Intodução etoe Químico 1 - Intodução cinétic químic e o pojeto de etoe etão no coção de que todo o poduto químico indutii. É, pinciplmente, o conhecimento
Dinâmica de uma partícula material de massa constante
ísc Gel Dâc de u ícul el de ss cose Dâc de u ícul el de ss cose Iodução Dâc É o esudo d elção esee ee o oeo de u coo e s cuss desse oeo. Ese oeo é o esuldo d ecção co ouos coos que o cec. s ecções são
Resoluções das Atividades
esoluções s tivies umáio óulo Geometi pln IV... óulo Geometi pln V... óulo Geometi pln VI...7 0 óulo emos que: Geometi pln IV tivies p l I. e e N são pontos méios N méi). II. ntão: 0 m e 80 m N + (se é
F ds = mv dv. U F θds. Dinâmica de um Ponto Material: Trabalho e Energia Cap. 14. = 2 s1
4. Trblho de um orç MECÂNICA - DINÂMICA Dinâmi de um Ponto Mteril: Trblho e Energi Cp. 4 Prof Dr. Cláudio Curotto Adptdo por: Prof Dr. Ronldo Medeiro-Junior TC07 - Meâni Gerl III - Dinâmi 4. Prinípio do
RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA DO VESTIBULAR 2015 DA FUVEST-FASE 2. POR PROFA. MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA
RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA DO VESTIBULAR DA FUVEST-FASE POR PROFA MARIA ATÔIA C GOUVEIA M gu bo ccueêc de ceto em O e o tgec o ldo BCdo tâgulo ABC o poto D e tgec et AB o poto E Os potos A D e O
Capítulo 1 ATIVIDADES PROPOSTAS PÁG. 14 ATIVIDADES PARA SALA PÁG. 14 GEOMETRIA. Geometria de posição. 2 a série Ensino Médio Livro 1 9.
Reoluçõe 01 a) Poulado, poi o poulado ão conaaçõe que não neceiam e compovada paa que ejam conideada vedadeia. ) Pono, ea e plano. c) Teoema. 0 apíulo 1 Geomeia de poição TIIS PR SL PÁG. 14 omo o polongameno
L dt. onde. k se refere às diferentes coordenadas e ) Equações de movimento na forma Lagrangeana, ) Apenas translação. 3N equações de 2a.
Dsln: SCoMol Dsln: SCoMol Euções de oeno n fo gngen 0 K d d k k k j j d d 0 k se efee às dfeenes oodends e N euções de. ode Aens nslção Dsln: SCoMol Euções de oeno n fo lonn K 6N euções de. ode Dsln: SCoMol
dv = πr 2 dx dv = π[f(x)] 2 dx b 8.2- Volume de Sólidos de Revolução
![dv = πr 2 dx dv = π[f(x)] 2 dx b 8.2- Volume de Sólidos de Revolução](/thumbs/46/23551904.jpg "dv = πr 2 dx dv = π[f(x)] 2 dx b 8.2- Volume de Sólidos de Revolução")
8.- Volume de Sóldos de Revolução Um egão tdmensonl (S) que possu s popeddes ) e ) segu é um sóldo: ) A fonte de S consste em um númeo fnto de supefíces lss que se nteceptm num númeo fnto de ests que po
TIPOS DE GRANDEZAS. Grandeza escalar necessita apenas de uma. Grandeza vetorial Além do MÓDULO, ela
TIPO DE GRANDEZA Gndez escl necessit pens de um infomção p se compeendid. Nesse cso, qundo citmos pens o MÓDULO d gndez (intensidde unidde) el fic definid. Exemplo: tempetu(30ºc), mss(00kg), volume(3400
Lista de exercícios 3. Considere o modelo de transformação estrutural descrito pelas seguintes equações:
Eono do Deenvolveno Prof. Fernndo Veloo 04. de exerío 3 Queão Condere o odelo de rnforção eruurl dero pel egune equçõe: df d f Q f 0 0 d d df d f Q f 0 0 () d d w pv C C C Cy, p 0 0 y p y pc C (5) y w
F, V, V, F, V, F, V, V
GOMTRI Reoluçõe apíulo 1 Geomeia de poição TIIS PR SL PÁG. 14 01 a) Poulado, poi o poulado ão conaaçõe que não neceiam e compovada paa que ejam conideada vedadeia. b) Pono, ea e plano. c) Teoema. 0 omo
Capítulo 3 PSICROMETRIA APLICADA A PROCESSOS DE CONDICIONAMENTO DE AR. h [kj/kg ar seco ] m! v [m 3 / kg ar seco ] w [kg vapor/ kg ar seco ]
![Capítulo 3 PSICROMETRIA APLICADA A PROCESSOS DE CONDICIONAMENTO DE AR. h [kj/kg ar seco ] m! v [m 3 / kg ar seco ] w [kg vapor/ kg ar seco ]](/thumbs/88/116832612.jpg "Capítulo 3 PSICROMETRIA APLICADA A PROCESSOS DE CONDICIONAMENTO DE AR. h [kj/kg ar seco ] m! v [m 3 / kg ar seco ] w [kg vapor/ kg ar seco ]")
No de Aul de Se Téro II 9 íulo PSIROETRIA APLIADA A PROESSOS DE ONDIIONAENTO DE AR onderçõe: A roredde e ão or undde de r eo. kj kj [kj/ r eo ] kw [ / r eo ] Q [ or/ r eo ].-ur de Do Jo de Ar ob.: O roeo
'!"( )*+%, ( -. ) #) 01)0) 2! ' 3.!1(,,, ".6 )) -2 7! 6)) " ) 6 #$ ))!" 6) 8 "9 :# $ ( -;!: (2. ) # )
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Geometria plana. Resumo teórico e exercícios.
eomei pln. eumo eóico e eecício. 3º olegil / uo enivo. uo - Luc cvio de Sou (Jec) elção d ul. Págin ul 01 - onceio inicii... 0 ul 0 - Pono noávei de um iângulo... 18 ul 03 - onguênci de iângulo... 8 ul
Resoluções das atividades
Resoluções ds tividdes Rets, ângulos e segmentos popoionis go é om voê! págin 8 1 g e d f h 180 16 etu do pítulo Respost pessol lguns postuldos e teoems já estuddos são: Postuldos: "Eistem infinitos pontos,
ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia Mecânica. PME 2100 Mecânica A Segunda Prova 23 de outubro de 2007
ES PITÉNI D UNIVESIDDE DE SÃ PU Deptmento de Engenh Mecânc PME Mecânc Segund Po 3 de outuo de 7 ª Questão: (3,5 Ptos) com eto de otção constnte Ω Ω g no plno hoontl em tono de. nclnd pode desl em um lu
GABARITO. 2 Matemática A. 08. Correta. Note que f(x) é crescente, então quanto menor for o valor de x, menor será sua imagem f(x).
Eensivo V. Eercícios ) D y = log ( + ) Pr = : y = log ( + ) y = log y = Noe que o gráfico pss pel origem. Porno, únic lerniv possível é D. ) M + = log B B M + = log B B M + = log + log B B Como M = log
Física. Unidades fundamentais: -unidade de massa: Kg -unidade de comprimento: m -unidade de tempo: s
ísc Unddes fundments: -undde de mss: Kg -undde de compmento: m -undde de tempo: s Unddes usus mecns e undde I equvlente Undde devd: - Undde de foç: N nlse Dmensonl: -mss: Kg------------M -compmento: m-----l
APLICAÇÕES CONFORMES E GEOMETRIA HIPERBÓLICA PLANA
Deptmento de Mtemát APLICAÇÕES CONFOMES E GEOMETIA IPEBÓLICA PLANA Aluno: Dnel Clett Oentdo: do Sá Ep Intodução Estudou-se s Aplções Confomes, dndo foo p s Tnsfomções de Möus e Invesões om espeto íulos
RELAÇÃO DE TURMA I D L. E. P o r t. H i s t. G e o g r.
O UÁ U ÇÃO U 7º v 07/08 l d Bá º m º 0 B BO X X X X X X X X X X - X 004638 0 É BO X X X X X X X X X X - X 004639 03 BO O BUÃO 7 X X X X X X X X X X X - 00434 04 O O O X X X X X X X X X X - X 00470 05 O
Capítulo 3 ATIVIDADES PARA SALA PÁG. 50 GEOMETRIA. Projeções, ângulos e distâncias. 2 a série Ensino Médio Livro 1 1
esoluções pítulo ojeções, ângulos e distâncis 0 Sendo pojeção otogonl do ponto soe o plno, tem-se o tiângulo, etângulo em, confome figu. t TIIS SL ÁG. 0 0 0 onte luminos 7 cm 8 cm estcndo o tiângulo, tem-se
Propriedades e Medidas
D Popiedde e Medid D. Revião de Álge, Geometi e Tigonometi Álge Popiedde de Logitmo Geometi Geometi Anlític Pln Geometi Anlític no Epço Tigonometi Biliotec de Funçõe Álge Opeçõe com Epoente. n m n m. n
O ROTACIONAL E O TEOREMA DE STOKES
14 O ROTACONAL E O TEOREMA DE STOKES 14.1 - O ROTACONAL A equção:. dl ( A) (14.1) ecion integ de inh do veto intensidde de cmpo mgnético fechdo L com coente tot envovid po esse cminho. o ongo de um cminho
ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA PME 2200 MECÂNICA B 1ª
ESL PLTÉN D UNVESDDE DE SÃ PUL DEPTENT DE ENEN EÂN PE EÂN ª Pov 9/3/ Dução mnutos Não é pemtdo o uso de clculdos. b y ª Questão 3, pontos fu o ldo most um sstem mecânco. dsco, de mss, o e cento de mss,
Vestibular 2ª Fase Resolução das Questões Discursivas
Vesibula ª Fase Resolução das Quesões Discusivas São apesenadas abaixo possíveis soluções paa as quesões poposas Nessas esoluções buscou-se jusifica as passagens visando uma melho compeensão do leio Quesão
RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA UNICAMP-FASE 2. 2014 RESOLUÇÃO: PROFA. MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA
RESOLUÇÃO D PROV DE MTEMÁTIC UNICMP-FSE. PROF. MRI NTÔNI C. GOUVEI. é, sem úv, o lmento refero e mutos ulsts. Estm-se que o onsumo áro no Brsl sej e, mlhão e s, seno o Esto e São Pulo resonsável or % esse
Soluções do Capítulo 9 (Volume 2)
Soluções do pítulo 9 (Volume ) 1. onsidee s ests oposts e do tetedo. omo e, os pontos e estão, mbos, no plno medido de, que é pependicul. Logo, et é otogonl, po est contid em um plno pependicul.. Tomemos,
Kalecki: Investimento e ciclo. Profa. Maria Isabel Busato
Klek: nvesmeno e lo Prof. Mr sel Buso Klek: nvesmeno e lo A nálse íl é sed n nerção do po mulpldor e elerdor Onde: = sensldde do nvesmeno à S; = sensldde do nvesmeno à vrção no luro; = sensldde do nvesmeno
MATEMÁTICA. 01. Sejam os conjuntos P 1, P 2, S 1 e S 2 tais que (P 2 S 1) P 1, (P 1 S 2) P 2 e (S 1 S 2) (P 1 P 2). Demonstre que (S 1 S 2) (P 1 P 2).
GGE RESOE - VESTIBULAR IME MATEMÁTICA) MATEMÁTICA Sj o ojuo S S qu S ) S ) S S ) ) or qu S S ) ) : Sj S S Coo S S ão ou l r o rol oo uor r grl) qu oo S ão logo oo qurío orr F F F F F ) Crufrê ro -) ro
Capítulo 2 Movimento Retilíneo
Cpíulo Moimeno Reilíneo. Deslocmeno, empo e elocidde médi Eemplo: Descreer o moimeno de um crro que nd em linh re Anes de mis nd, emos que: - Modelr o crro como um prícul - Definir um referencil: eio oriendo
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ME100 Mecânc o Substtut 06 de Dezembo de 005 Dução: 100 mnutos Impotnte: não é pemtdo o uso de clculdos 1 (0 pontos) pso é o efeencl fo e colun psmátc (plel o eo z) está f neste pso. cento do dsco tmbém
Folhas de Cálculo. O EXCEL como Folha de Cálculo
Flh d Clul O qu é: U Flh d Clul é, dç, u ju d élul qu u glh u bl qu d l- vé d xõ lóg /u O qu : Ogzç ç d bl l d vl; F, í,, qu jud xu lul lx; Auzç d, vé d gç u d ódg d lul u d uld; Rç g d ç; d bl ulzd çõ
ROUPEIRO VIVARE / BARI 6 PORTAS
() 59-5050 v. Jesus andian, -. Mangueira ural - E 500-000 - Ubá - MG E-mail: qualidade@moveisnovohorizonte.com.br OUEO VVE / OT LT.: 70mm LG.: 7mm OF.: 55 mm UT NO ÁGN NO FEOOK LNK O LDO (Q ODE) F TÉN
Informática BASES DE DADOS. 4.1 Noções de Bases de Dados. Conceitos fundamentais do Modelo Relacional
BASES E AOS @2007 v 1 41 çõ d B d d C b duó dl Rll C ud d dl Rll Rçõ d gdd dlg d h d B d d Rl @2007 v 2 O qu é u B d d? u gé, qulqu ju d dd é u B d d (B): u gd d d hd; u l d C/V; u lv; d ul; dd gudd ud
BANCO DE FÓRMULAS PROF. FRED MOURA. Movimento Circular 1 T. a cp. = velocidade angular. = espaço angular. Unidades de medida
O D ÓMUL O. D MOU MU & MU Moo ul Lço Oblíuo p = lo ul * opo l - MU y y y y y s y y y = lo é = ção spço = spço ul = o H s = Ilo po = üê * opo hozol - MU = spço (l) = píoo x os = spço Il = lo = lo l = lção
GEOMETRIA PLANA 1 - INTRODUÇÃO 2 - NOÇÕES PRIMITIVAS 3 - NOTAÇÕES 4 - ÂNGULO
GEOETRI L 1 - ITROUÇÃO Geomeia é uma palava de oigem gega e que ignifica medida de ea. Geomeia, como um do amo da aemáica, euda a figua geoméica e ua popiedade. O conceio peviamene eaelecido, em Geomeia,
Código G R$ 51,99 ICMS
f O V - º37 - MO/JUHO/JULHO/2013 MEO 2013 Vh v E ( ul) 01 04 m x ul/ Há: 14h à 21h 15 18 m ul/ Há: 13h à 20h QUÍMEO L - Ml Quml - p 0-100 mm; - Lu 0,01 mm; - 0,02mm; - 3 õ: - lg/lg, - mm/plg, - z; - u
Módulo I MOTORES DE BUSCA NA INTERNET
Módul MOTORES E BUSCA NA NTERNET duç Pqu d ç d gé Pqu d ç B d d Ulzç d d -l F d duç -l @2007 v 1 O qu é? A é d udl d d d ud qu uç l qulqu ud d ud, d lh u C u? Avé d u ju d l (g d uç TCP/P) qu ê gd vg d
Capítulo 4. Vetores. Recursos com copyright incluídos nesta apresentação:
Cpítulo 4 Vetores Reursos om oprght nluídos nest presentção: Grndes eslres: mss, volume, tempertur,... Epresss por um número e undde Grndes vetors: deslomento, forç,... Requerem módulo, dreção, sentdo
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M 100 MÂNI ov Sustitutiv 1 de deemo de 009 ução d ov: 100 minutos (não é pemitido uso de luldos) 1ª Questão (3,0 pontos) pl tinul de mss está lid às s e, d um de mss m, e à de mss m. Todos os sólidos são
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Análise Vetorial. Prof Daniel Silveira
nálise Vetoil Pof Dniel Silvei Intodução Objetivo Revisão de conceitos de nálise vetoil nálise vetoil fcilit descição mtemátic ds equções encontds no eletomgnetismo Vetoes e Álgeb Vetoil Escles Vetoes
REGULAMENTO DE INSTALAÇÃO E FUNCIONAMENTO DOS ESTABELECIMENTOS DE HOSPEDAGEM No u s o d a c o mp e t ê n c i a p r e v i s t a al í n e a v ) d o n. º 1 d o ar t i g o 64º d o De c r e t o -Le i n. º 1
01- A figura ABCD é um quadrado de lado 2 cm e ACE um triângulo equilátero. Calcule a distância entre os vértices B e E.
PROFESSOR: Macelo Soae NO E QUESTÕES - MTEMÁTI - 1ª SÉRIE - ENSINO MÉIO ============================================================================================= GEOMETRI Pae 1 01- figua é um quadado
Decembro ConvocatoriasH2020: 2.Novas.6. 3.Eventos.8. 4.ProcuradeSocios Servizos.13. A.GrandesIniciativas.2. B.AcciónsTranversais.
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Estados e suas equações
UI4_eo- ntunh Not e etuo uefíie teoinâi 5//7 g. / to e u equçõe águ óli ou líqui o C: = / te, /kg. o o e águ: /(.),4[. /(kgole.k)]7k/([kgole/kg]) /kg UI4_eo- ntunh Not e etuo uefíie teoinâi 5//7 g. / Oee
QUESTÃO 01 01) ) ) ) ) 175 RESOLUÇÃO:
QUESTÃO A AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA DA UNIDADE II- COLÉGIO ANCHIETA-BA ELABOAÇÃO: POF. ADIANO CAIBÉ e WALTE POTO. POFA, MAIA ANTÔNIA C. GOUVEIA Sejm ABC e ADE dois tiângulos etângulos conguentes, com AB
Questionário sobre o Ensino de Leitura
ANEXO 1 Questionário sobre o Ensino de Leitura 1. Sexo Masculino Feminino 2. Idade 3. Profissão 4. Ao trabalhar a leitura é melhor primeiro ensinar os fonemas (vogais, consoantes e ditongos), depois as
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4 CPÍTULO 5 CINEMÁTIC DO MOVIMENTO PLNO DE CORPOS RÍGIDOS O estudo d dinâmic do copo ígido pode se feito inicilmente tomndo plicções de engenhi onde o moimento é plno. Neste cpítulo mos nlis s equções
Ondas Eletromagnéticas Interferência
Onds Eletomgnétics Intefeênci Luz como ond A luz é um ond eletomgnétic (Mxwell, 1855). Ess ond é fomd po dois cmpos, E (cmpo elético) e B (cmpo mgnético). Esses cmpos estão colocdos de um fom pependicul
E v o lu ç ã o d o c o n c e i t o d e c i d a d a n i a. A n t o n i o P a i m
E v o lu ç ã o d o c o n c e i t o d e c i d a d a n i a A n t o n i o P a i m N o B r a s i l s e d i me nt o u - s e u ma v is ã o e r r a d a d a c id a d a n ia. D e u m mo d o g e r a l, e s s a c
ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO. Departamento de Engenharia Mecânica
ESCL PLITÉCNIC D UNIVESIDDE DE SÃ PUL venid Pofesso Mello Moes nº3 CEP05508-900 São Pulo SP Telefone: 0 88-5337 F 0 83-886 Deptento de Engenhi Meâni PME 00 MECÂNIC Piei Pov 04 de il de 006 Dução d Pov:
œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ αœ œ œ œ œ œ œ œ Υ Β œ œ œ œ αœ
ANEXO 12 - TRANSCRIÇÃO DO OFÍCIO «FESTA DE STA. MAFALDA V.» P-AR Res. Ms. 017 Ad Vésperas -Antífona - Modo VII - fl. 003r Copista: Fr. Rodrigues das Dores Transcrição: Cátia Silva Al - le - lú - ia, al
EQUAÇÕES DINÂMICAS DE MOVIMENTO ESPACIAL PARA CORPOS RÍGIDOS
NOAS DE AULA EQUAÇÕES DINÂICAS DE OVIENO ESPACIAL PAA COPOS ÍIDOS OBEO SPINOLA BABOSA SB POLI USP LDSV OIVAÇÃO Um veíulo tem eu movmento deto de foma ma geal quando epeo ntegalmente no epaço tdmenonal
Matemática para CG. Soraia Raupp Musse
Mtemátic p CG Soi Rupp Musse 1 Sumáio Intodução Revisão Mtemátic Vetoes Mties Intodução Em CG, tlh-se com ojetos definidos em um mundo 3D Todos os ojetos têm fom, posição e oientção Pecismos de pogms de
IFUSP PSub 03/12/2013
Físi IV p ngni léi IFSP - 9 PSub // pov ução inuos. Rsolv qusão n fol osponn. s o vso s nssáio. sv fo lgívl lápis ou in. É piio o uso lulo. Jusifiqu sus sposs. Não bs opi fóul o fouláio. Sj éio: pov é
CAPÍTULO 2. Exercícios 2.1. f é integrável em [0, 2], pois é limitada e descontínua apenas em x 1. Temos
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CAPÍTULO Eercícios.. a) Ï f( ), onde f( ) Ó f é inegrável em [, ], pois é limiada e desconínua apenas em. Temos f( ) f( ) f( ) Em [, ], f() difere de apenas em. Daí, f ( ) [ ] Em [, ], f(). Logo, f( )
CURSO DE NIVELAMENTO PEQ/COPPE/UFRJ M.Sc EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS. Prof. Evaristo Chalbaud Biscaia Junior
CURSO DE NIVELMENTO PEQ/COPPE/UFRJ M.S. EQUÇÕES DIFERENCIIS ORDINÁRIS Pof. Esto Clbu Bs Juo Fe Wlelm Bessel Bo: Jul 8 Me Westl (ow Gem) De: M 8 Kögsbeg Puss (ow Klg Russ) ) -) Equções Dfees e Pme Oem Le
Módulo III. Processadores de texto
Módul F d O Pd d x Flh d Clul F d duvdd @2006 Módul v 1 Pd d x Uldd í djv Wwd d d x Ed u du Sl x Tblh u du Fç d g Fçõ gé Fçõ d x A lz l lu ú @2006 Módul v 2 Pd d x F d dh Tbl M uç Plzç d l dl Cç d lzd
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Correção da fuvest ª fase - Matemática feita pelo Intergraus
da fuvest 009 ª fase - Matemática 08.0.009 MATEMÁTIA Q.0 Na figura ao lado, a reta r tem equação y x no plano cartesiano Oxy. Além dis so, os pontos 0,,, estão na reta r, sendo 0 = (0,). Os pontos A 0,
02. Resolva o sistema de equações, onde x R. x x (1 3 1) Solução: Faça 3x + 1 = y 2, daí: 03. Resolva o sistema de equações, onde x R e y R.
7 ATEÁTICA Prov Diuriv. Sej um mtriz rel. Defin um função n qul element mtriz e elo pr poição eguinte no entio horário, ej, e,impli que ( f. Enontre to mtrize imétri rei n qul = (. Sej um mtriz form e
Cinemática Direta. 4 o Engenharia de Controle e Automação FACIT / Prof. Maurílio J. Inácio
Cnemáta Deta 4 o Engenhaa de Contole e Automação FACI / 9 Pof. Mauílo J. Ináo Cnemáta Deta Cnemáta do manpulado Cnemáta é êna que tata o movmento em ondea a foça que o auam. Na nemáta ão etudado: poçõe,
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SCLA PLITÉCICA A UIVRSIA SÃ PAUL eptmento de ngenhi Mecânic Mecânic I PM 3100 Pov n o Rec. t 0 / 0 / 018 ução d Pov: 10 minutos ão é pemitido o pote de clculdos, "tblets", celules e dispositivos similes.
GABARITO LISTA 2. A firma 2 resolve um problema semelhante e tem como CPO:
Fundção Getúlo Vgs FGV-RJ Gdução em dmnstção Mcoeconom II of: ulo omb Monto: Flvo Moes GBRITO LIST No duopólo de ounot, cd fm escolhe untdde ue mmz o seu luco dd untdde d out fm sendo ue escolh é smultâne
ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 3 a LISTA DE EXERCÍCIOS - PME MECÂNICA A DINÂMICA
1 ESL PLITÉI D UIVESIDDE DE SÃ PUL LIST DE EXEÍIS - PME100 - MEÂI DIÂMI LIST DE EXEÍIS MPLEMETES LIV TEXT (FÇ, MTSUMU 1 Tês bs unifomes de mss m são soldds confome most fiu. Detemin os momentos e podutos
GUARITA / FACHADA GUARITA / PLANTA COBERTURA
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Com muito carinho para minha querida amiga e super profissional. Ale Del Vecchio
Com muito carinho para minha querida amiga e super profissional. BA BE BI BO BU BÃO ba be bi bo bu bão BA ba boi BE be bebê BI bi Bia BO bo boi BU bu buá Nome: BA BE BI BO BU BÃO ba be bi bo bu bão BA
Transformada de Laplace Solução de Modelos Lineais
TEQ CONTROE DE PROCESSOS Dmo d Eghi Químic d Pólo UFF Tfomd d lc Solução d Modlo ii Pof Niok Bojog A Tfomd d lc EDO: dy 5 y y d Equção Difcil Odiái Equção Algéic y -,8,5,5 Solução d Equção Difcil - Solução
GABARITO. 2 Matemática D 06) 11 = = = 01. Correto. Do enunciado temos que: h = 4r. Portanto, V cilindro. Portanto, por Pitágoras:
Mtemáti D Extensivo V. 8 Exeíios 0) ) 96 dm b) ) (x) p x : () 5. + 8. 6 dm Potnto: V b... 6 96 dm b) Os vloes de x devem stisfze s seguintes equções. Sendo V. b. então π.. (x 5x + 8x) 6π dm Potnto x 5x
Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul Curso de Física - Laboratório de Física Experimental A
Unesdde Estdul de Mto Gosso do Sul Cuso de ísc - otóo de ísc Expeentl A Pof. Pulo Cés de Souz (ט) OTEIO DA EXPEIÊNCIA Nº 9 VISCOSÍMETO DE STOKES 1. Ojetos Estud o efeto do tto scoso nu fludo tés d qued
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Versão preliminar 10 de setembro de 2002
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INCLUSO. consulte RELÓGIO DIGITAL. Vinhedo Tel: 55 (19) 3886-3003 Daniela - (19) 3515-5673
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