Alocação Estratégica Intertemporal de Ativos para Otimização de Carteiras de Renda Fixa. Victor Hideki Obara

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1 UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO INSIUO DE MAEMÁICA E ESAÍSICA DEPARAMENO DE MAEMÁICA APLICADA BACHARELADO EM MAEMÁICA APLICADA E COMPUACIONAL Alocação Eraégica Ineremporal de Aivo para Oimização de Careira de Renda Fia Vicor Hideki Obara Orienador: Prof. Dr. Nelon Ihiro anaka São Palo 007

2 Alocação Eraégica Ineremporal de Aivo para Oimização de Careira de Renda Fia Vicor Hideki Obara rabalho de Formara MAP Orienador: Prof. Dr. Nelon Ihiro anaka São Palo 007

3 Remo Qando falamo de mercado financeiro eamo no referindo a cenena de prodo de divero egmeno econômico e de milhare de inveidore qe movimenam e capiai de acordo com a convicçõe e epecaiva obre a economia. Para o mercado braileiro e mai epecificamene para o qe é indeado à aa de jro denominado de mercado de renda fia nacional ea realidade não é diferene. Apear de eiirem algn modelo de conrole de epoição ao rico como o VaR e o Sre e dealhe em orion 997 no mercado ainda há ma carência obre m raameno maemáico robo para aílio na deciõe eraégica de alocação de capial. Ea carência é a moivação para o edo de m modelo maemáico de oimização de m inveimeno no mercado de renda fia nacional onde o objeivo é deerminar qal a careira de renda fia qe maimiza o reorno financeiro dado o comporameno da aa de jro e a reação do inveidor frene ao rico. A aação na ecolha da alocação é ineremporal o qe ignifica dizer qe a inervençõe ocorrem ao longo do empo em qe a careira eá em vigência. i

4 Agradecimeno Agradeço ao me pai Fernando e Mariko Obara qe me deram a bae e formação de caráer neceária para qe pdee chegar aé aqi. Agradeço à Profeora Sonia Regina Garcia idealizadora do cro de Maemáica Aplicada e Compacional qe drane odo o cro no ailio e noreo noa dúvida e aneio. Por fim agradeço ao Profeor Nelon Ihiro anaka por a enorme paciência e boa vonade na orienação dee rabalho. Com cereza a ajda me acreceno mio ano na conclão dee rabalho qano na liçõe e conhecimeno qe levo comigo daqi para frene. ii

5 Índice Inrodção Conceio Báico de Renda Fia Inrodção aa de ro aa de ro Forward Medida de Rico em aa de ro Análie de Componene Principai Modelagem da aa de ro Inrodção Claificação do Modelo de aa de ro aa de ro Modelo de Meron Modelo de Vaicek Modelo de Co-Ingeroll-Ro Modelo de Ho-Lee Modelo de Hll-hie Modelo de Black-Karainki Modelo de Heah-arrow-Moron eoria da Uilidade Inrodção Conceio de Uilidade Fnção Uilidade Propriedade Econômica da Fnção Uilidade Averão ao Rico do Inveidor Eemplo iii

6 4. Programação Dinâmica Inrodção Conceio Báico Princípio de Oimalidade de Bellman Programação Dinâmica Eqação de Hamilon-acobi-Bellman Oimização em Careira de Renda Fia Inrodção O problema da Alocação de Aivo de Renda Fia Modelagem da Careira de Renda Fia Óima Simlação em Careira de Renda Fia Inrodção Análie da Variávei do Modelo Simlaçõe em Geão de Careira de Renda Fia Conclão Bibliografia iv

7 Inrodção O mercado financeiro movimena m enorme volme de operaçõe odo o dia. O dinheiro vem de inveidore do mndo ineiro qe em diferene objeivo diferene epecaiva e diferene perfi e é ea diferença qe orna o comporameno de flo de capiai impreviível. É impoível aber com cereza e a bola de valore vai ear em ala daqi a algm empo e o dólar vai cair o e o jro vão bir. Ea incereza orna o inveimeno no mercado financeiro m jogo qe odo o dia beneficia n e penalizam oro. Denro dee mercado financeiro qe conam com cenena de prodo em diferene egmeno da economia eie m mercado qe acompanha a aa de jro eja ela acordada e fiada no início de conrao o qe acompanhe algma aa de jro já eiene no mercado nacional Selic CDI ec o inernacional Libor ec. Ao inveimeno qe acompanham ee mercado dá-e o nome de mercado de renda fia. Como em qalqer oro mercado o inveidore do mercado de renda fia deejam maimizar o reorno financeiro do e inveimeno e para io como em m jogo apoam em palpie obre o comporameno da aa de jro para direcionar e capial. Obviamene à veze aceram ora não. O preene rabalho é ma rancrição livre de ai 003. A erra de apreenação do conceio e relado foi manida porém adapaçõe de conceio e aalizaçõe de bae de dado gerando relado mai aai foram coniderada. O objeivo dee rabalho é apreenar m modelo maemáico para oimização de reorno financeiro em m inveimeno em renda fia. O princípio é qe dado m modelo de comporameno da aa de jro dado o perfil de m inveidor io é o qano ele em propenão o averão ao rico apreenaremo m modelo qe maimiza o lcro em m inveimeno nicamene no mercado de renda fia.

8 Para ea modelagem primeiramene ão inrodzido algn conceio báico do mercado de renda fia como aa de jro aa de jro forward aa de jro livre de rico draion e conveidade. O egndo pao é edar algn modelo de comporameno da aa de jro já eiene no mercado como o Modelo de Meron Vaicek Hll-hie enre oro. Ee modelo enam reprodzir o comporameno aleaório da aa de jro por meio de eqaçõe diferenciai eocáica. Depoi edamo o comporameno do inveidor frene ao rico. Se m inveidor em averão ao rico e ea averão varia conforme e nível de riqeza. A modelagem dea averão é feia ilizando a eoria da Uilidade. O pao egine é a apreenação do conceio do Princípio de Oimalidade de Bellman e da Programação Dinâmica. Ee conceio erão ferramena qe permiem ranformar o proceo de oimização em inervençõe ponai em deerminado inane de empo inervençõe ea definida a parir de eqaçõe diferenciai. Renindo o conceio e ferramena apreenada aé enão ecolhendo m modelo de comporameno da aa de jro ma fnção ilidade qe reflee o comporameno do inveidor frene ao rico e ilizando a écnica de oimização podemo apreenar a olção qe maimiza o reorno financeiro do inveidor. Finalmene para checar a veroimilhança do modelo obido ão feia algma imlaçõe em divero cenário econômico arbirariamene ecolhido para diferene perfi de inveidore. No Capílo inrodzimo o conceio báico do mercado de renda fia. O Capílo dice o divero modelo de aa de jro diponívei na lierara. No Capílo 3 a eoria da Uilidade é edada realando a averão ao rico do inveidor. O Capílo 4 é dedicado à Programação Dinâmica. No Capílo 5 renimo o conceio deenvolvido no capílo aneriore para monar e olcionar o problema de alocação óima. O Capílo 6 apreena imlaçõe do comporameno do modelo de oimização em vária iaçõe criada.

9 Capílo Conceio Báico de Renda Fia. Inrodção O inveimeno no mercado de renda fia é caracerizado por ma aplicação do capial onde e epera m reorno financeiro qe acompanhe ma aa de jro. Ea aa pode er ano fiada no início do inveimeno pré-fiada qano egir algma aa eiene no mercado pó-fiada como por eemplo a aa de jro Selic. Ee capílo é dedicado à inrodção do conceio báico do imporane mercado de renda fia onde erão abordado algma erminologia e conceio como: aa de ro aa de ro Forward aa de ro Livre de Rico Análie de Componene Principai Draion e Conveidade. Ee conceio erão ferramena qe ilizaremo no capílo poeriore e podem er vio mai dealhadamene em Secrao aa de ro Se ma iniição inclive o governo deeja capar recro no mercado ela emie ílo ornando-e devedora de qem o compra. A qem compra ee ílo o credor a iniição deve pagar ao fim de m cero período de empo o valor principal depoiado pelo credor mai ma cera remneração referene à devalorização do capial nee período de empo além do rico de crédio da iniição. Ea remneração obre valor inveido inicialmene denomina-e aa de jro. Nee capílo adoaremo algma hipóee em relação ao ílo edado: ele não êm pagameno de inermediário no mercado ão 3

10 almene conhecido como ílo zero-cpon e não há rico de crédio o eja com cereza o emior do ílo honrará com e compromio. Definimo como o vencimeno de m ílo de renda fia e eja o horizone de empo definido em [0 ] a daa correne analiada erá denoada por porano 0 < <. Vamo definir como P o preço de m ílo no inane cjo vencimeno é no inane para ma nidade de moeda. Dee modo o valor de P é crecene aingindo e valor máimo no e vencimeno. Dee modo P = e P< para <. Chamaremo de aa de jro {Y} o rendimeno do jro obre o ílo em qeão. Enão Y é a aa de jro no inane de m ílo qe vence em. O preço de m ílo aifeia a hipóee iniciai acima no inane com vencimeno em capializado m veze ao ano jeio a ma aa de jro Y é dado por: m Y P =.. m Qando o ílo é capializado de modo coníno o preço erá dado por: m Y P = lim.. m m Porano P Y = e..3 4

11 A parir de.3 obemo: ln P Y =..4 A eqação.4 decreve a aa de jro. Ea aa é inflenciada por inúmero faore do mercado como a iação econômica do paí a volailidade da aa de mercado e a confiança do inveidore. Modelar ee comporameno reqer m raameno eocáico e é m do grande deafio da modelagem em Finança. Edaremo agora a iação em qe o vencimeno e aproima de o eja o inervalo de empo ende a zero. Dee modo eie m inervalo de empo infinieimal d cjo vencimeno é dado por = d. Nee cao a aa de jro é chamada de aa de jro livre de rico poi nee peqeno inervalo oda a inflência eerna decria acima earão endo deprezada: r = limy = Y..5 ambém é al chamar r de aa de jro inanânea. Se ivermo m inveimeno em renda fia qe page jamene ea aa de jro inanânea amindo qe em = 0 inviamo B 0 = enão chamando de B o reorno do inveimeno no inane podemo modelar a variação de B pela eqação: db = r B d..6 A eqação acima é ma Eqação Diferencial Ordinária análoga à eqação de crecimeno poplacional o qe faz odo enido poi mora qe o 5

12 crecimeno marginal do reorno do inveimeno de m aivo aplicado em renda fia é proporcional à aa livre de rico e ao monane diponível no inane. A reolção dea EDO rela em B = ep r d..7 0 Noe qe no doi úlimo parágrafo eamo coniderando apena a variação deerminíica..3 aa de ro Forward Diferenemene da aa de jro convencional a aa de ro Forward conhecida no mercado como FRA Forward Rae Agreemen é ma aa acordada hoje qe ó erá vigor em m empo poerior e e fim no vencimeno. Eamo porano falando de rê inane de empo diferene: : o inane de empo em qe a aa é acordada; : o inane de empo em qe o vigor da aa erá e início; S: o inane de empo em qe o vigor da aa erá e fim. Logo < < S. Vamo imaginar doi ílo o primeiro cjo vencimeno ocorre em e o egndo cjo vencimeno ocorre em S com < S. Spomo ambém qe eamo no inane. Da eqação.3 emo qe: P Y = e.8 é o preço por nidade de moeda do primeiro ílo no inane e P S Y S S = e.9 é o preço de egndo ílo ambém no inane. 6

13 7 Vamo definir FS a aa forward qe é inerpreada como endo a aa de variação por nidade de empo da proporção da variação do preço no inane do ílo qe vence em S em relação ao ílo qe vence em = P S P S S F.0 onde < < S. Se o comprimeno do inervalo S ende a zero S é decrio como endo o inane mai m incremeno de empo infinieimal d decorrido de o eja S = d e enão definimo a aa de jro forward livre de rico como lim lim S P S P P S F S S = P P = P = ln. Porano; P S F f S = = ln lim.. Da eqação acima: = = d f P f P ln ln e porano: ep = d f P.. O eja o preço do aivo P depende do acmlo da aa de jro forward inanânea f no inervalo de empo enre e.

14 .4 Medida de Rico em aa de ro Qando compramo o vendemo diferene ipo de aivo de renda fia como ílo debênre ec; com diferene período de vencimeno dizemo qe monamo ma careira. Eá careira de renda fia eá jeia a variaçõe da aa de jro do mercado podendo er prejdicada o beneficiada com a ocilação da aa de jro. A medida de rico no fornecem ma noção da epoição da careira em relação à variação na aa de jro correne. Para o ien em.4. e.4. aremo a egine noação: PV j : valor do ílo j no preene; C j : valor do ílo j na daa do e vencimeno; i: aa de jro paga pelo ílo; j : empo aé o vencimeno do ílo j..4. Draion Draion é ma média do prazo do aivo denro de ma careira ponderada pelo valor razido ao preene dee ílo. Dado m ílo cjo valor no vencimeno é dado por C j o cálclo do valor preene dee ílo é dada por C j PVj =..3 j i Com io o cálclo da draion é n Σ PVj j j= D =..4 n Σ PV j= j 8

15 Além de no dar ma noção de empo a draion pode er inerpreada como ma medida de enibilidade da careira em relação à aa de jro. Para vermo io ponhamo qe poamo repreenar a careira ineira como endo m único ílo qe denominaremo de ílo inéico. Uaremo a egine noação: PV: valor da careira no preene; FV: valor da careira na daa do vencimeno; I: aa de jro paga pelo ílo inéico; D: draion da careira. Enão: FV PV =..5 D I Qeremo edar a variação no valor preene da careira dpv em relação à variação da aa de jro do ílo inéico di. Porano por derivação dpv di FV = D..6 D I Deenvolvendo dpv PVdI FV PV I dpv PVdI D = D = D I. D D I Porano: dpv di = D..7 PV I 9

16 A eqação.7 no permie inerprear a draion como ma medida de enibilidade. Ela eima a variação relaiva do valor preene da careira em relação a ma variação relaiva na aa de jro..4. Conveidade namene com a draion a conveidade é ma medida de enibilidade qe ena capar o efeio da mdança na aa de jro no valor preene da careira. A conveidade eda a variação relaiva do preço em fnção da variação dpv da aa de jro di o eja ela eda a crvara o conveidade da PV variação do preço em relação à variação da aa de jro. Qano maior for ea crvara qano mai convea maior erá a enibilidade da careira o do aivo em relação a mdança na aa de jro. Do Cálclo abemo qe qando qeremo edar a crvara devemo olhar a egnda derivada da fnção. Porano a medida da conveidade é dada da egine forma: PV C =..8 PV I Uando.5 obemo FV C =.9 D PV I I e porano 0

17 PV DD FV C = D I..0.5 Análie de Componene Principai Seja m veor aleaório de diribição D com média µ e variância Σ. Podemo repreenar io da egine maneira: ~ D µ Σ. onde µ é m veor de média e Σ é ma mariz de variância-covariância e porano amimo como endo poiiva definida e de poo compleo. A Análie de Componene Principai ACP conie em achar ma mariz nn A R al qe A [aa...a n ] = de modo qe a prodza a maior eplicação da variância em Σ io é Var é a mai próima poível da oma da a variância em Σ. Em egida a deve prodzir a maior eplicação da variância em Σ braído o efeio de a e aim por diane. Dee modo conrímo a i orogonai o eja e Seja X = A' enão emo i j enão a = 0. i a j Var[ X] = E[ XX' ] E[ X] E[ X' ] = E[ A' A' '] E[ A'] E[ A' '] = E[ A' ' A] E[ A'] E[ ' A] = A' E[ ' ] A A' E[ ] E[ ] A = A' E[ ' ] E[ ] E[ ' ] A = A' Var[ ] A Var [ X ] = A' ΣA..

18 Como por hipóee Σ é ma mariz poiiva definida pelo eorema da Decompoição Epecral abemo qe eie ma mariz P oronormal e ma mariz diagonal Λ formada pelo ao-valore de Σ al qe Σ = P Λ P'.3 P' = P.4 onde denoaremo por λ... λn o aovalore de Σ com λ λ... λn. Como qeremo A al qe a colna ejam orogonai io é e enão = 0 emo a i a j i j Var[ X ] = Var[ A'] = A'ΣA = A'PΛ P' A = P' PΛ P' P e ecolhermo A = P. Porano Var [ X ] = Λ.5 onde Λ = diag λ λ... λ..6 n Por oro lado a oma da variância da mariz de variância-covariância Σ é o raço da mariz. Dee modo n i= i = r Σ = r PΛP' = r ΛP'P = r Λ = λ..7 n i= i o eja a oma do ao-valore λ... λn é o raço da mariz Σ. λ Primeiramene qeremo a al qe:

19 k... M = a = a a... a k.8 k k a a a epliqe o máimo da variância em Σ o eja qeremo a al qe: Var a = Var =.9 a a aσa prodza a maior eplicação da variância de Σ. A primeira componene principal a erá o ao-veor aociado ao maior ao-valor e como Var = λ.30 a a eplicação qe ea componene repreena do veor Σ é direamene proporcional ao valor de e ao-valor o eja a porcenagem de eplicação erá λ λ λ... λ kn..3 Analogamene a eplicação dada por e doi primeiro componene principai erá λ λ λ λ... λ kn..3 e e componene principai erão o ao-veore aociado à λ e λ repecivamene. 3

20 Repeimo o proceo aé achar o número de componene principai qe epliqe ma porcenagem aifaória da variância de Σ. Ea porcenagem pode variar de acordo com o objeivo da análie de acordo com o gra de precião e da dificldade de rabalhar com ma nova componene principal. Ligando a ACP com o jro rabalhado aqi emo qe na práica a volailidade da aa de jro é eplicada por ma érie de componene como a volailidade do mercado inernacional a reniõe do COPOM a inflação a bola de valore o aldo da cona correne o mercado cambial e oro faore. Agora ilizaremo a ACP para achar combinaçõe linearmene independene da aa de jro qe epliqem o máimo da volailidade do nível da aa de jro. Primeiramene omemo a informaçõe no inane de empo i i =... n. Chamaremo de r i τ j j =... k a aa de jro no inane i para o aivo τ j. Vamo definir ma variável aleaória d j cja obervaçõe erão a diferença: d ij = r τ r τ..33 i j i j O eja ea variável d eá medindo a diferença enre a aa de jro inanânea r de ma aivo τ j no inane i e i. Para cada inane de empo emo qe: d i = d d M d i i ik i =... n.34 é Vamo coniderar o veor com o d i obrepoo m acima do oro io 4

21 d d d = M d n..35 A mariz de variância-covariância de d erá Σ = Covd.36 o eja Σ = Σ onde Σ ij = Cov d i d j i =... n; j =... n..37 ij Ao aplicarmo a ACP na variável d ij = r τ r τ eamo achando i j i j combinaçõe linearmene independene da variávei decria acima qe epliqem aifaoriamene de acordo com o criério da análie o raço da mariz de variância-covariância Σ o eja eamo enando achar a combinaçõe lineare do jro em número menor qe o oal da variávei qe eplicam a maior porcenagem poível da variação da aa de jro enre doi inane de empo conecivo para cada aivo. Ea é a grande vanagem de ilizarmo a ACP no edo do comporameno da aa de jro. Maiore dealhe obre Análie de Componene Principai podem er enconrado em ohnon & ichern

22 Capílo Modelagem da aa de ro. Inrodção Para podermo falar em maimizar o lcro provindo de deerminada careira de renda fia primeiramene devemo edar modelo qe enam reprodzir o comporameno da aa de jro em m deerminado período de empo. Io porqe o rendimeno de ma careira eá direamene arelado ao jro. Ee capílo é dedicado a ma breve apreenação de algn do mai imporane modelo de aa de jro ilizado no mercado. O modelo erão apreenado de forma remida onde erão aponada a principai diferença enre ele levando-e em cona conceio como o de eqilíbrio e o de não arbiragem. Uma abordagem mai dealhada do modelo de aa de jro pode er enconrada em Brigo & Mercúrio 00 e Ellio & Koop Claificação do Modelo de aa de ro Inicialmene emo da verene de modelo a erem edado: o Modelo de Eqilíbrio e o Modelo de Não Arbiragem. O modelo de eqilíbrio põem qe a aa de jro é relado de m eqilíbrio econômico o eja dada a variávei qe compõem o eqilíbrio econômico a variável aa de jro é endógena endo m relado do modelo. Por ea razão a aa deerminada por m modelo de eqilíbrio não precia neceariamene correponder à aa efeivamene obervada e precificada 6

23 no mercado. Dee modo não é confiável a ilização dee ipo de modelo no apreçameno de aivo e derivaivo de aa de jro. Por oro lado ora caegoria de modelo de aa de jro é o de não arbiragem. Ee modelo poem ermo dependene no empo o qe permie a enrada no modelo de dado efeivamene obervado no mercado. Ea caraceríica orna o modelo de não arbiragem meno vieado e porano mai aceio no mercado. Por arbiragem iremo enender e eiir ma probabilidade não nla de m inveimeno zero em m deerminado inane de empo qe rele com cereza em m reorno poiivo em m inane poerior. O modelo de não arbiragem põem ea iação er impoível. Ora claificação aribída enre o modelo é em relação ao número de variávei de eado denro do modelo. Uma variável é denominada de eado e ela é reponável pela compoição da erra a ermo da aa de jro. A variávei de eado mai comn ão: o preço do ílo P; a aa de jro inanânea r ; e a aa de jro forward inanânea f. Se no modelo omene ma variável é variável de eado enão denominamo o modelo de nifaorial. Falar qe m modelo é nifaorial ignifica dizer qe a variável de eado geralmene a aa de jro livre de rico r é ma eaíica ficiene para oda a erra a ermo da aa de jro o eja ela é perfeiamene correlacionada com odo o vencimeno da crva de jro. Se m modelo em mai qe ma variável de eado enão ele é denominado de mlifaorial. Eiem relado empírico ilizando a écnica de Análie de Componene Principai ACP qe moram qe 85% a 90% da variação da aa de jro é eplicada pela primeira componene o nível da aa de jro. Ea praicidade em e er m nível de eplicação relaivamene alo lançando mão de ma única componene jifica o fao de grande pare do modelo erem nifaoriai. 7

24 Por oro lado relado ambém conhecido moram qe em geral 90% a 95% da variação da aa de jro é eplicada pela da primeira componene principai o nível da aa de jro e a inclinação qe repreena a endência. Qando e raa de derivaivo de aa de jro qe dependem da correlação enre o vencimeno o enre a aa inanânea e a forward o modelo mlifaoriai ão melhore opçõe para a modelagem da crva de jro. Decrevemo a egir algn do modelo de aa de jro mai poplare na práica do mercado..3 Modelo de Meron O modelo de Meron 973 foi m do pioneiro na enaiva de modelagem do proceo eocáico da aa de jro. Segndo o modelo o nível da aa de jro é reprodzido pela egine eqação diferencial eocáica: dr = µ d. d onde o empo é decrio de modo coníno; µ e ão conane poiiva repreenando média e devio padrão repecivamene e é o Movimeno Browniano reponável pela incereza aleaória do comporameno da aa de jro. O modelo é nifaorial poi ó poi ma variável de eado r e é de eqilíbrio poi a deerminação da crva de jro é endógena aravé da componene µ. O modelo diz qe a variação da aa de jro é eplicada aravé de m faor deerminíico a aa média do mercado no eqilíbrio mai ma componene eocáica a variação em orno dea média decria pelo Movimeno Browniano. 8

25 Podemo noar qe e eivermo em empo de rblência com volailidade ala e m cenário de re de mercado a diferença enre a aa obervada no mercado e a eimada pelo modelo amena. Calclando a olção da eqação acima emo o egine relado: r = r µ dv d. onde pela propriedade browniana ~ Normal0..3 O fao da diribição er Gaiana gera a poibilidade da aa de jro amirem valore negaivo. Além dio como dicido aneriormene a deerminação da aa de jro é endógena e não reprodz a aa efeivamene obervada no mercado. Oro pono imporane é qe a variância do modelo depende direamene da diferença e a medida qe ea diferença crece indefinidamene a variância ende a infinio. Ee faore ão devanagen do modelo e faz com qe ele eja meno al na práica do mercado..4 Modelo de Vaicek Vaicek 977 propô ma nova modelagem para a aa de jro ando o princípio de reverão à média de Ornein-Uhlenbeck: dr = k θ r d d..4 9

26 onde k θ e ão conane poiiva é o Movimeno Browniano e r é a aa de jro inanânea o no cro prazo. A evolção em relação ao modelo anerior é a preença da componene θ qe é a epecaiva da aa de jro no longo prazo. A componene deerminíica da eqação diferencial acima θ r eprea a reverão da aa de jro r à epecaiva θ. Se r for menor maior qe θ a diferença θ r é poiiva negaiva e ano maior erá ea diferença qano menor maior for r em relação a θ. Por oro lado endo k θ r a componene deerminíica da eqação ela indica a velocidade de crecimeno decrecimeno de r e porano qano maior for θ r mai rápido r e dirigirá em direção a θ. Ee comporameno de reverão à média faz com qe o problema de ma variância eploiva preene no modelo anerior eja olcionado. Reolvendo a eqação diferencial eocáica.4 emo: r = r e k k k θ e e d..5 Por r er ma diribição normal a medida de média e variância ão fechada e repecivamene e E[ r k k r ] = r e θ e.6 Var[ r k r ] = [ e ]..7 k Significa dizer qe nm prazo mio longo a aa média do jro enderá para θ e a variância enderá para. k Ora abordagem em ermo de preço pode er decria como: 0

27 dp = r b λ d b d.8 P onde λ é ma conane poiiva e k b = e.9 k é chamada de draion do modelo de Vaicek. O modelo de Vaicek ambém é m modelo nifaorial e de eqilíbrio. Memo endo ma evolção em relação ao modelo de Meron a deerminação da aa de jro conina endo endógena e pelo fao de r er Gaiana a preença de valore negaivo conina endo m problema para a ilização na práica..5 Modelo de Co-Ingeroll-Ro O modelo de Co-Ingeroll-Ro CIR 985 propõe m cenário de eqilíbrio econômico onde emo m eqilíbrio enre a prodção e a opornidade de rabalho a evolção da ecnologia e m eqilíbrio enre a ofera e a demanda do aivo da economia. Denro dee cenário a eqação qe reprodz a dinâmica da aa de jro é dr = k θ r d r d.0 onde o empo é decrio de modo coníno; é o Movimeno Browniano. k θ e ão conane poiiva; e O modelo CIR ambém é m modelo nifaorial e de eqilíbrio. Apreena reverão à média como o modelo de Vaicek.

28 A evolção em relação ao modelo aneriore e dá pela preença da componene eocáica r qe não permie qe a aa de jro eja negaiva. A variância de r amena à medida qe r amena. Qando r e aproima de zero a pare eocáica e evanece. Nee modelo r apreena ma diribição Qi-Qadrado e da Eaíica abemo qe e valore eperado de média e variância ão: e E[ r r k k ] = r e θ e. Var[ r r ] = r k e k e k θ k e k.. Podemo obervar qe qando a diferença - ende a infinio a eperança E r r ] e aproima de θ e a variância Var r r ] e aproima de [ [ θ k. Io ignifica qe a aa de jro no longo prazo é θ e a variação ambém no longo prazo em orno dea média é θ. k Apear da evolção em relação ao modelo aneriore o modelo CIR ainda não reprodz a aa obervada no mercado endo o nível da aa de jro relado do modelo porano endógena. Por ea razão não é comm a a ilização na práica do mercado..6 Modelo de Ho-Lee Um grande avanço na conrção do modelo de aa de jro foi a paagem do modelo de eqilíbrio para o de não arbiragem. O modelo de Ho-Lee 986 foi o primeiro dea linha e egndo a propoa

29 dr = θ d d.3 onde a novidade rge com a componene θ o eja a componene da eqação qe ane era ma aa média de longo prazo eperada no eqilíbrio econômico agora é ma fnção do empo de modo qe podemo ajá-la para qe e reprodza a aa obervada no mercado. O modelo é mio emelhane ao de Meron e analogamene o empo é decrio de modo coníno é a volailidade da aa de jro no cro prazo e é reponável pela componene eocáica da aa de jro. A diribição do modelo ambém é Normal o qe por m lado facilia o cálclo para preço e aa denro do modelo ma por oro permie qe a aa de jro amam valore negaivo. Além dio analogamene ao modelo de Meron o modelo de Ho-Lee não poi a reverão à média o qe permie qe a variância poa er m comporameno eploivo..7 Modelo de Hll-hie Na mema linha do modelo de Ho-Lee o modelo propoo por Hll-hie 990 é de não arbiragem e nifaorial poi a variável de eado conina endo o nível da aa de jro r. A propoa inicial de modelagem é dr = [ ϑ a r ] d d..4 Podemo noar qe analogamene ao modelo de Ho-Lee a componene ϑ é ma fnção do empo o qe permie ajar a aa do modelo para a aa obervada no mercado. Por oro lado emo algma evolçõe em relação ao modelo anerior: a componene eocáica reponável pela volailidade do modelo ambém é 3

30 ma fnção do empo; e analogamene ao modelo de Vaicek a componene deerminiica ϑ a r é reponável pela reverão à média não permiindo o comporameno eploivo da variância como no modelo de Ho-Lee. Nee cao a é ma fnção do empo qe deermina a velocidade de reverão à média. O fao de a variância er ma fnção do empo é ma evolção do modelo poi além da aa média o modelo permie reprodzirmo a volailidade da aa de jro efeivamene obervada no mercado. Por oro lado ee gra de precião adqirido nem empre é neceário. Aivo com poca volailidade o poco líqido no mercado não neceiam de m raameno ão precio. Nee cao a velocidade de reverão à média pode er coniderada conane. Denro dea hipóee vamo no concenrar no egine modelo dr = [ ϑ ar ] d d.5 onde a e ão conane poiiva e f 0 a ϑ = af 0 e..6 a Reolvendo a eqação diferencial eocáica.5 obermo: r = r e a a a α α e e d.7 onde a α = f 0 [ e ]..8 a Como repecivamene r em diribição normal a média e a variância ão 4

31 E[ r r ] a a = r e α α e.9 e Var[ r r a ] = e..0 a Embora o modelo de Hll-hie enha reolvido o problema de variância com comporameno eploivo pelo fao de r er diribição normal ainda eie o problema de ma aa de jro negaiva..8 Modelo de Black-Karainki O modelo de Black-Karainki 99 ambém é m modelo nifaorial a variável de eado é o nível da aa de jro e de não arbiragem. Ee modelo conina incorporando a reverão à média. A aa média de longo prazo e a volailidade ão fnçõe do empo de modo qe podemo ajar o modelo de forma a capar a obervaçõe no mercado. A forma diferencial do modelo é dada por d ln r = [ θ a ln r ] d d.. Na eqação diferencial eocáica acima θ é a aa de jro de longo prazo e é ma fnção do empo de modo a e adapar à aa obervada no mercado. Analogamene a componene eocáica é a variância em orno dea aa média da componene eocáica e ambém é ma fnção do empo. Aim pode e adapar à volailidade do aivo efeivamene obervado no mercado. O ermo a é a fnção qe deermina a velocidade de reverão a média. No cao pariclar de 5

32 a =. o eja a velocidade de reverão é proporcional a aa de variação relaiva da variância em relação ao empo o modelo ambém é conhecido como Modelo de Black-Derman-oy 990. No modelo de Black-Karainki d ln r em diribição normal e porano a variável qe menra o nível da aa de jro r em diribição log-normal. Se por m lado a hipóee de log-normalidade de r dificla olçõe analíica para a eqação de pono de via financeiro é ma grande avanço em relação ao modelo aneriore poi reolve em co o problema da ocorrência de aa de jro negaiva..9 Modelo de Heah-arrow-Moron O modelo de Heah-arrow-Moron 99 repreena ma grande evolção na modelagem da aa de jro. raa-e de m modelo de não arbiragem o qe maném a poibilidade da enrada de dado obervado no mercado denro do modelo ma a novidade é qe permie o edo concomiane de vária variávei de eado. Porano ele é m modelo mlifaorial. Vamo no referir a ee modelo por HM. Como mencionado na Seção. no cao de eiirem da componene principai o nível da aa de jro e a inclinação para a eplicação da variação da aa de jro implica qe a erra a ermo não depende omene do nível dea aa e aim não é perfeiamene correlacionada com a variável de eado. Nee cao podemo er aleraçõe de movimeno na crva de jro ao longo do empo o qe permie maior precião na modelagem. Por eemplo e qiéemo precificar m derivaivo de renda fia qe foe inflenciado pela correlação enre 6

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