MODELOS PARA A PREVISÃO DE EVAPORAÇÃO EM RESERVATÓRIOS DE ÁGUA

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1 MODELOS PARA A PREVISÃO DE EVAPORAÇÃO EM RESERVATÓRIOS DE ÁGUA André Luz Emdo de Abreu Cenro Unversáro Francscano FAE; Programa de Pós-Graduação em Méodos Numércos em Engenhara - UFPR FAE Rua 4 de mao Cenro, Curba, Paraná, ameodoses@gma.com Ansemo Chaves Neo Deparameno de Esaísca - Unversdade Federa do Paraná Cenro Poécnco Jardm das Amércas, 19081, Curba, Paraná, ansemo@ufpr.br RESUMO O rabaho apresena a apcação do méodo Suppor Vecor Machne, em sua varane de regressão, para prever possíves perdas por evaporação em um reservaóro de água. Ao odo foram uzados 48 observações referenes às médas coeadas para quaro caraceríscas ndependenes: méda da emperaura (º C), veocdade méda do veno (m/s), horas de so (h/da) e méda da umdade reava do ar (%), e a caracerísca dependene sendo o níve de evaporação, por mímeros por semana. Fo uzada a modeagem Leas Squares Suppor Vecor Machnes, para mnmzar a compexdade compuacona da soução. Os resuados obdos fcaram denro do esperado, endo uma boa generazação para os dados de ese e gerando um erro RMSE baxo, cerca de 0,1301 para os dados de renameno e 0,5517 para os dados de ese, demonsrando o poder do méodo para prevsões. PALAVARAS CHAVE. Suppor Vecor Machne, Prevsões, Trenameno. ABSTRACT The paper presens he appcaon of Suppor Vecor Machne mehod, n varan regresson o predc possbe osses by evaporaon n a waer reservor. Aogeher were used 48 observaons on average coeced for four ndependen feaures: average emperaure ( C), he mean wnd speed (m / s), hours of sunshne (h / day) and average reave humdy (%), and he characersc beng dependen on he eve of evaporaon, by mmeers per week. Modeng Suppor Vecor Machnes Leas Squares was used o mnmze he compuaona compexy of he souon. The resus obaned were as expeced, havng a good generazaon o he es daa and generang an error RMSE ow, around o ranng daa, and o es daa, demonsrang he power of he mehod for forecass. KEYWORDS. Suppor Vecor Machne, Forecass, Tranng.

2 1. Inrodução A possbdade de prever fenômenos físcos e econômcos nfuencam os pesqusadores a avançar em pesqusas e desenvovmeno de meodoogas que consgam prever mudanças ou endêncas a parr de dados hsórcos, mudanças cmácas ou aé mesmo aconecmenos do codano. Assm, dversas áreas de pesqusa foram desenvovdas e com o auxío dos auas compuadores, uma das áreas que se pode desacar é a écnca de aprendzado de máqunas, com o desenvovmeno das redes neuras, agormos genécos e meodoogas que mam o comporameno humano e anma. O poder de prever é ago amejado por quaquer área de esudo, pos possba a anecpação frene a dvergêncas ou ransornos, auxando na segurança, desenvovmeno, produção agrícoa ou aé mesmo na economa, por exempo, a nfuênca da prevsão do empo na agrcuura, ou a prevsão do crescmeno, ou decrescmeno, da economa de cera regão. Assm, é de exrema mporânca o desenvovmeno de écncas de prevsão cada vez mas efcazes e com a maor confabdade possíve. Vsando o desenvovmeno das écncas de prevsão, ese rabaho apresena uma abordagem do méodo das Máqunas de Veores Supore (Suppor Vecor Machnes - SVM) apcado à regressão, uzando enão, sua varane denomnada Suppor Vecor Regresson (SVR), onde a méodo se basea em um conjuno de observações que recebem cassfcações devdo o seu padrão. Para a prevsão uzou-se um conjuno de dados composo de 48 observações do níve de evaporação referenes à méda semana da reserva de Manasgaon em um reservaóro em Anand Sagar, Shegaon, Índa (Deswa, Pa, 008), sendo os padrões de enrada separados em quaro caraceríscas ndependenes: méda da emperaura (º C), veocdade méda do veno (m/s), horas de so (h/da) e méda da umdade reava do ar (%), e o padrão dependene: evaporação, por mímeros por semana. Para ano, fo desenvovdo um programa em nguagem Forran 90 para desenvover os modeos SVR e souconá-os uzando a apcação de mínmos quadrados, gerando o modeo Máqunas de Veores Supore por Mínmos Quadrados, que reduz a compexdade maemáca da soução, passando de um probema de programação não near para a resoução de um ssema de equações, smpfcando e dmnundo o cuso compuacona. O rabaho apresena, aém da apcação do méodo Suppor Vecor Regresson, a mpemenação de uma écnca aernava as demas já exsenes para esmar prevsões de evaporações, e ao fm, os resuados obdos são comparados com os já exsenes (Deswa, Pa, 008), a fm de verfcar o níve de generazação do modeo, e o vaor da raz do erro quadrado médo (RMSE).. Séres Temporas e Modeos de Prevsão Uma sére empora pode ser caracerzada como um conjuno de observações ordenadas no empo e podem ser cassfcadas como séres emporas dscreas ou conínuas (Moren; Too, 006). A represenação de uma sére empora pode ser fea da segune forma: por enumeração {Z 1, Z,..., Z,..., Z n-1, Z n } ou por compreensão {Z, = 1,,..., n}. Geramene as observações da sére são feas no mesmo nervao de empo fxo h. Para ese rabaho as séres emporas dos níves de evaporação esão assocadas dreamene aos seus padrões de emperaura, veocdade do veno, horas de so e umdade reava do ar, crando assm, um eo enre a sére que descreve o níve de evaporação e seus padrões. Ao ongo dos anos, dversos modeos de predção para séres emporas foram desenvovdos, as como os modeos de asameno exponenca, auo-regressão, fragem adapava e os modeos Box & Jenkns. A grande maora dos méodos de prevsão enconrados na eraura se basea na dea de que as observações passadas conêm nformações sobre o padrão de comporameno das séres emporas esudadas. Assm, o propóso dos méodos é dsngur o padrão enconrado de quaquer ruído que possa esar condo nas observações e enão usar esse padrão para prever vaores fuuros da sére.

3 Uma grande casse de méodos de prevsão, que ena raar ambas as causas de fuuação em séres de empo, é a do asameno exponenca. Tas écncas assumem que os vaores exremos da sére represenam a aeaoredade e, assm, aravés do asameno desses exremos, pode ser denfcado o padrão básco. A grande popuardade arbuída aos méodos de asameno é devda à smpcdade, à efcênca compuacona e à sua razoáve precsão (Moren; Too, 1985). Segundo Moren & Too, 1985, a anáse de regressão fo por cero empo um méodo aceáve para ajusar modeos auo-regressvos, com o objevo de cacuar prevsões. Porém, a méodo não é ú quando se rabaha com um número pequeno de observações, pos a hpóese de ndependênca dos resíduos é quase sempre voada, produzndo assm, esmadores nconssenes. 3. Suppor Vecor Machnes SVM O SVM é uma meodooga que bascamene cassfca os padrões em dos conjunos, porém podendo ser ampado para cassfcações em múpas casses. Devdo à meodooga de uzar margens de separação para os conjunos, as quas são desocamenos com dsanca gua a um, denomnando-se o conjuno de casse -1 e ouro de casse +1. Por se raar de uma meodooga de aprendzado de máqunas, com aprendzagem supervsonada, nroduz-se uma noação para referencar conjuno de renameno, dados de enrada e saídas. Seja o conjuno de renameno: S } {( x1, y1),( x, y),...,( x, y )} { X Y (1) { x, y são os ponos de onde é o número de ponos no conjuno de renameno e } renameno. Cada pono é represenado por x, y }, para = 1,...,, onde x IR, x x..., x 1, x, n {, é o vaor de enrada, perencene ao espaço de enrada, que represena a quanfcação das caraceríscas, e y { 1, 1} é a saída bnára correspondene. Por exempo, para uma cassfcação near, pode-se ober a função rea f : X IR n IR da segune manera: a enrada x x 1, x,..., xn é consderada de casse +1 se f (x) 0 e caso conráro é consderada -1. Assm, a função decsão f (x) é represenada por: f ( x) w x b () A fgura 1a apresena duas casses de dados de enrada. Já a fgura 1b apresena as duas casses após a apcação do SVM, resuando na função de separação f (x) e as margens separadoras, apresenando a separação oa dos dados em duas casses.

4 Fgura 1 Separação near dos dados. 4. Suppor Vecor Regresson SVR Para probemas de regressão, fo crada uma adapação, ou exensão, do méodo SVM. Ta exensão se dá pea nrodução de uma função de perda, denomnada do ngês oss funcon. A formuação do Suppor Vecor Regresson (SVR) uza os mesmos prncípos do agormo de cassfcação (SVM), com exceção de aguns deahes (Parrea, 007). Ao conraro do SVM, o SVR propõe deermnar um hperpano, fgura, ómo em que, as amosras de renameno esejam o mas próxmas possíve, não mporando qua dos ados da superfíce os ponos se ocazam, e sm que a dsânca para a superfíce seja a mínma possíve, [y ε, y + ε], onde, desvos são permdos desde que não urapassem a margem especfcada. Porém, mesmo com propósos oposos, ambos buscam esabeecer uma função com máxma capacdade de generazação (Lma, 004). Fgura Apcação do SVR a um conjuno de dados [y ε, y + ε]. 4.1 Modeagem Maemáca SVR O modeo maemáco para o SVR raa-se de um probema de programação não near, dado pea sua formuação dua na equação (3) (Wang e Hu, 005): mn s. a 1 1, [0, C], 1 j1 ( )( ) x x ( ) 0 j j 1,, onde são os mupcadores de Lagrange., j 1 ( ) 1 y ( ) 5. Leas Squares Suppor Vecor Machnes LSSVM Proposo por Suykens e Vandewae (1999), LS-SVM é uma varane do méodo SVM cássco. Leas Squares Suppor Vecor Machne (máquna de veores supore à mínmos quadrados) maném as mesmas caraceríscas báscas e a mesma quadade na soução enconrada que a sua predecessora. Ao conráro do SVM, o LS-SVM consdera resrções de guadade no ugar das desguadades, com sso, resua um agormo que reduz os probemas ao se apcar a um conjuno exenso de dados (Sanos, 013). Uma das maores dferenças, é que, ao conráro do SVM que uza a programação quadráca para cacuar seus veores supore, que demanda um grande empo compuacona e possuem compexdade maemáca consderáve, o LS-SVM uza um ssema de equações neares e a função de cuso por mínmos quadrados (Born, 007; Shah, 005). (3)

5 Assm, o modeo prma para o probema é dado pea equação (4) a segur (Trafas, Sanosa, Rchman, 005): mn s. a 1 y C w w w x n 1 e b e 1,,..., n onde w é o veor de pesos, C é o parâmero que penaza erros aos e é omzado peo usuáro, e são os erros mínmos em reação a rea de regressão, conforme pode-se verfcar na fgura 3 dada a segur. (4) Fgura 3 Erros mínmos em reação à rea de regressão. Assm, em-se o segune ssema de equações, orgnadas da apcação do méodo dos mínmos quadrados (Trafas, Sanos, Rchman, 005): 0 1 n b 0 (5) 1 n I n C Y com Y ( y1, y,..., y n ), 1n (1,1,...,1), ( 1,,..., n ) e Ω é uma marz dada peos eemenos j x ) ( x ) K( x, x ) (6) ( j j com, j = 1,..., n, sendo que K(x, x j ) é o Kerne uzado, nese caso, o fo uzado a função RBF para suas abordagens, dada por: x x x x K ( x, x ) exp (7) E a função de regressão é dada por: n y f ( x) K( x, x ) b (8) 1 6. Cácuo do Erro e Medda de desempenho O desempenho do méodo fo meddo a parr do cácuo da raz do erro quadráco médo (RMSE Roo Mean Squared Error) (Ren, Du, 013):

6 onde, ese. RMSE 1 n n ( p) y y 1 ( p) y é o vaor prevso para cero padrão e y é o vaor rea para a padrão do grupo de 7. Padrões de Enrada Para o renameno, foram uzadas 5 amosras do conjuno oa de 48 conhecdas, resando enão 3 amosras para o conjuno de ese. As amosras uzadas são referenes a méda semana da reserva de Manasgaon de um reservaóro em Anand Sagar, Shegaon, Índa (Deswa, Pa, 008). Ao odo foram coeadas as médas de 48 semanas segudas, sendo os padrões de enrada separados em quaro caraceríscas ndependenes: méda da emperaura (º C), veocdade méda do veno (m/s), horas de so (h/da) e méda da umdade reava do ar (%), e o padrão dependene: evaporação, por mímeros por da (Deswa, Pa, 008). 8. Sofwares e Lnguagem de Programação Uzada Para o desenvovmeno da anáse, fo eaborado um programa em nguagem Forran, responsáve por fornecer as prevsões, bem como o renameno do modeo e o Sofware MATLAB 01 para a eaboração dos gráfcos. 9. Resuados Aém da anáse do cácuo da raz do erro quadráco médo (RMSE), os resuados obdos são apresenados em vaores absouos, ou seja, as prevsões para os padrões, a fm de apenas apresenar mas dreamene a dsânca das prevsões dos vaores reas e comparar os resuados obdos em cada uma das apcações. A Fgura 4 apresena a comparação enre os vaores exaos e as prevsões para os 30 padrões de renameno uzados. Para esa eapa, obeve-se o vaor R = 0,996 e RMSE = 0,1301, já a Fgura 5 apresena a comparação enre os vaores reas e os vaores prevsos para 3 semanas à frene, ou seja, a méda da semana 6 aé a méda da semana 48. O vaor obdo para o RMSE fcou gua a 0,5517, fcando abaxo do menor vaor obdo no argo referênca dos dados uzados, 0,865 (Deswa, Pa, 008). Já o vaor do coefcene R fcou gua à R = 0, (9) Fgura 4 Dados de renameno.

7 Fgura 5 Dados de ese. 9. Concusão O rabaho apresenou uma apcação do méodo LSSVM na geração de um modeo para o cácuo das prevsões de evaporação quda em um reservaóro na Índa, com base em quaro varáves ndependenes. Consdera-se que os vaores obdos são sasfaóros, ano para o renameno quano para fase de ese, uma vez que o erro cacuado fcou abaxo do menor erro cacuado peo argo base, demonsrando assm, uma boa generazação do modeo. Referêncas Born, A. Apcações de Máqunas de veores de supore por mínmos quadrados (LS-SVM) na quanfcação de parâmeros de quadade de marzes áceas. Tese de Douorado (Químca). Unversdade Esadua de Campnas, 007. Deswa, S.; Pa, M. Arfca Neura Nework based Modeng of Evaporaon Losses n Reservors. Word Academy of Scence, Engneerng and Technoogy. Vo:. Inernaona Scence Index Vo:, No:3, 008. Lma, C. A. de M. Comê de máqunas: uma abordagem unfcada empregando maqunas de veores-supore. Tese (Douorado em Engenhara Eérca) Facudade de Engenhara Eérca e de Compuação, Unversdade Esadua de Campnas, Campnas, 004. Moren, P. A. & Too, C. M. de C. Modeos para prevsão de Séres Temporas. IMPA, Ro de Janero, RJ, Moren, P. A. & Too, C. M. de C. Anáse de Séres Temporas. Edora Edgard Bücher, São Pauo, SP, 006. Parrea, F. Onne Suppor Vecor Regresson. Maser Scence Thess. Deparmen of Informaon Scence, Unversy of Genoa, Iay, 007. Ren, P. Du, Z. Informaon Scence and Managemen Engneerng (Se). WIT Transacons on Informaon and Communcaon Technooges. Schuan Unversy, Chna, 013. Sanos, L. T. Abordagem da máquna de veor supore omzada por evoução dferenca apcada à prevsão de venos. Dsseração de Mesrado (Engenhara Eérca). Unversdade Federa do Paraná, 013. Shah, R. S. Leas Squares Suppor Vecor Machne Suykens, J.; Vandewae, J. Leas squares suppor vecor machne cassfers. Neura Processng Leers, Sprnger Neherands, v. 9, p , ISSN Trafas, T. B.; Sanosa, B.; Rchman, M. B. Learnng neworks n ranfa esmaon. Compuaona Managemen Scence. Juy 005, Voume, Issue 3, pp 9-51.

8 Wang, H.; Hu, D. Comparson of SVM and LS-SVM for Regresson. Neura Neworks and Bran, 005. ICNN&B '05. Inernaona Conference on, vo.1, no., pp.79,83, Oc. 005.