1 { COPPE{EE/UFRJ, Caixa Postal 68504, Rio de Janeiro, RJ, Brasil, vmcosta@embratel.net.br

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1 MODELAGEM DE DISPOSITIOS DE CONTROLE NUMA FORMULAC ~AO AUMENTADA PARA FLUXO DE POT^ENCIA ander Menengoy da Cosa 1; Jose Luz R. Perera Nelson Marns 1 { COPPE{EE/UFRJ, Caxa Posal 6854, Ro de Janero, RJ, Brasl, e-mal: vmcosa@embrael.ne.br { UFJF, Faculdade de Engenhara, Juz de Fora, MG, Brasl, e-mal: jluz@lacee.ufjf.br { CEPEL, Caxa Posal 4, Ro de Janero, RJ, Brasl, Fax: (1)6145 Resumo: Ese argo apresena modelos maemacos para a ncorporac~ao de dsposvos de conrole no problema do uxo de po^enca, ulzando-se uma formulac~ao aumenada cuja caracersca de converg^enca e a mesma da formulac~ao convenconal expressa em ermos das coordenadas polares. Esa formulac~ao aumenada e alamene esparsa, sendo obda va equac~oes de njec~ao de correnes expressas em coordenadas reangulares. Os resulados apresenados valdam a meodologa proposa. Palavras Chaves: Ssemas de Po^enca, Fluxo de Po^enca, Dsposvos de Conrole Absrac: Ths paper presens he mahemacal modelng for ncorporang conrol devces no he power ow problem, usng an augmened formulaon whose convergence characersc s he same of he convenonal formulaon expressed n erms of polar coordnaes. Ths augmened formulaon s hghly sparse and obaned as a funcon of he curren njecon equaons wren n recangular coordnaes. The resuls valdae he proposed mehod. Keywords: Power Sysems, Power Flow, Conrol Devces 1 Inroduc~ao O calculo do uxo de po^enca e de val mpor^anca nos esudos de planejameno e operac~ao dos Ssemas Elercos de Po^enca. Imporanes conrbuc~oes nese campo em sdo apresenadas ao longo dos anos, esando somene algu- Em douorameno na COPPE/UFRJ, RJ, Brasl Argo submedo em 7//97; 1 a Revs~ao em 8/8/97 Aceo por recomendac~ao do Ed.Consulor Prof.Dr.Jorge Coelho mas referencadas nese argo (Tnney e Har, 1967; So, 1974; Bacher e Tnney, 1987; Semlyen, 1996) Alem dos componenes bascos, exsem dsposvos de conrole que nuencam nas condc~oes de operac~ao, devendo desa forma er suas equac~oes ncorporadas a formulac~ao basca do problema de uxo de po^enca (Bron, 1969; Peerson e Meyer, 1971; Domell e al, 197; Mamandur e Berg, 198; Mara e al, 1988). Em Chang e Brandwajn (1991) s~ao ulzados ajuses alernados enre erac~oes do meodo desacoplado rapdo, de modo a analsar a naureza das nerac~oes enre conroles e propor soluc~oes para elmnar as problemas. Em Da Cosa e al (1996a), Da Cosa e al (1996b), Da Cosa e al (1997) s~ao apresenados os desenvolvmenos maemacos referenes a formulac~ao aumenada para soluc~ao do problema do uxo de po^enca. O objevo dese argo e mosrar a represenac~ao de alguns pos de conrole nesa formulac~ao, desacando-se: Transformador defasador Barras do po P e PQ Compensador esaco de reavo Compensac~ao sere conrolada a rsores Barra ploo para conrole de ens~ao Barra de gerac~ao Noac~ao P + j Q : resduo de po^enca complexa na barra SBA Conrole & Auomac~ao /ol.9 no. 1/Jan., Fev., Mar. e Abrl

2 P G() + jq G() :po^enca complexa gerada na barra P L() + jq L() : carga na barra P sp P calc + jqsp :po^enca complexa especcada na barra + jq calc :po^enca complexa calculada na barra I r + j I m : resduo de correne complexa na barra I sp r + ji sp m : correne njeada especcada na barra I calc r + jim calc : correne njeada calculada na barra r + j m : ens~ao complexa na barra ; :^angulo e modulo da ens~ao na barra sp :modulo da ens~ao especcado na barra G m + jb m : elemeno (; m) da marz adm^anca nodal ; : correc~oes no ^angulo e no modulo da ens~ao E q() : ens~ao de exo de quadraura assocada a barra :^angulo de carga assocado a barra X q() : rea^anca sncrona de exo de quadraura assocada a barra S nom :po^enca aparene nomnal nom : ens~ao nomnal cos nom : faor de po^enca nomnal As marzes es~ao represenadas em negro e os veores em negro sublnhados. Revs~ao da Formulac~ao Aumenada Para a obenc~ao da formulac~ao aumenada ulzam-se as equac~oes de njec~ao de correnes expressas em coordenadas reangulares, ano para as barras de carga quano para as barras de ens~ao conrolada. Para ese ulmo po de barra nroduz-se uma varavel dependene adconal Q e a segune equac~ao adconal mpondo a resrc~ao de conrole da ens~ao: == r r + m m (1) Desa forma, a marz Jacobana obda possu os elemenos dos blocos ( ) fora da dagonal d^encos aqueles da marz adm^anca de barras, ndependene do po de barra a ser consderado. Os elemenos dos blocos () dagonas s~ao modcados em func~ao do modelo de carga consderado. O modelo maemaco obdo (Da Cosa e al, 1997) e expresso pela segune noac~ao marcal: = 6 4 Y B C rm PQ Os blocos da marz Y possuem a segune esruura: Y 4 B = G G B 5 Y m = 4 B m G m G m,b m 5 () B = B, a () G = G, b (4) G = G, c (5) B =,B, d (6) Os par^ameros a, b, c e d referem-se ao modelo de carga ulzado, esando apresenados no Ap^endce B de Da Cosa e al (1997). As marzes B e C possuem a segune esruura: B = C = B = C = B 1 B C 1 C, m, r, m r... B n C n 7 5 r, m r m SBA Conrole & Auomac~ao /ol.9 no. 1/Jan., Fev., Mar. e Abrl 1998

3 = 1 1 n n PQ = P 1 Q 1 P Q P n Q n rm = r1 m1 r n m n Aplcando-se a reduc~ao de Kron, demonsra-se que esa formulac~ao possu a mesma caracersca de converg^enca do uxo de po^enca convenconal escro em coordenadas polares (Tnney e Har, 1967). As correc~oes da magnude e do ^angulo das ens~oes nas barras s~ao dadas por: (h) = C(h) (h) rm (7) ' (h+1) j = ' (h) j +'(h) j (1) 4. Represenac~ao de Barras P e PQ Uma barra de gerac~ao (barra P) pode ser usada para conrolar a ens~ao numa barra remoa (barra PQ), consderando-se que a ens~ao na barra P seja desconhecda e especcando-se a ens~ao na barra PQ. Nese caso, a equac~ao de resrc~ao de ens~ao (1) referene a barra PQ e nroduzda no ssema de equac~oes (). Por ouro lado, se NP barras do po P conrolam a ens~ao de uma unca barra PQ, en~ao (NP, 1) equac~oes adconas s~ao necessaras de modo a possblar uma unca soluc~ao, onde cada equac~ao descreve os faores de parcpac~ao da po^enca reava gerada enre as NP barras do po P, ou seja: A nova soluc~ao e dada por: (h+1) = (h) + (h) (8) (h+1) = (h) + (h) (9) 4 Modelagem de Dsposvos de Conrole 4.1 Represenac~ao de Transformador Defasador Seja um ransformador defasador conecado enre as barras e j de modo a conrolar o uxo de po^enca ava P j araves de varac~oes no ^angulo de fase ' j. Assm, a equac~ao lnearzada de P j enroduzda na marz Jacobana resulando: P j D = E =, j Y B E C D j F j rm PQ ' j e j: denoam barras do po P Q G(), Q G(j) = (11) : faor de parcpac~ao da po^enca reava gerada =1; ;;(NP, 1) Lnearzando-se a Equac~ao (11) em-se: Q Q =Q (), Q (j) = (1) =,Q L() + Q L(j), (Q calc, Q calc j ) (1) O ssema aumenado de equac~oes e en~ao modcado de modo a ncorporar a Equac~ao (1), bem como a equac~ao de resrc~ao de ens~ao para a barra PQ. Assm: Q = 6 4 Y B C D 4 = D D 1 D.. D n rm PQ (14) Onovo valor do ^angulo de fase e dado por: SBA Conrole & Auomac~ao /ol.9 no. 1/Jan., Fev., Mar. e Abrl 1998

4 onde denoa a barra na qual o CER esa nsalado. Da Fgura (1): = + X s Q G() (16) = max G, mn () Q mn G () G (), Q mn G () (17) X s = mn, max G (), Q mn G () (18) Fgura 1 - Caracersca Tens~ao ersus Po^enca Reava Para odas as barras PQ, P e PQ : D =[] Para somene uma barra do po P em-se: C =, m rl l r ml l D = Para odas as ouras barras j do po P em-se: C j =, m j j rj j D j = 1, Se Q G() > G () o CER compora-se como um capacor endo a segune equac~ao: Q G() = Qmax G () ( mn ) (19) Se Q G() < Q mn G () o CER compora-se como um nduor endo a sequne equac~ao: Q G() = Qmn G () ( max ) () As Equac~oes (16), (19) e () s~ao expressas em func~ao das coordenadas reangulares, para poseror lnearzac~ao e nserc~ao na formulac~ao aumenada. Assm, da Equac~ao (16) em-se: +X s (Q L() +Q ), = r r + m m +X s Q (1) onde l denoa barra PQ e os valores n~ao nulos na marz D j correspondem as colunas e j. 4. Represenac~ao do Compensador Esaco de Reavo (CER) A curva caracersca de esado permanene da ens~ao versus po^enca reava para um CER esa mosrada na Fgura (1). A faxa de conrole lnear e deermnada pela suscep^anca maxma do nduor e pela suscep^anca oal devdo aos bancos de capacor em servco e a capac^anca de lragem (Kundur, 1994; Taylor, 1994). Na faxa de varac~ao lnear o CER e equvalene a uma fone de ens~ao em sere com uma rea^anca (X s ). Assm: = + X s I (15) Da Equac~ao (19) em-se: Q L() + Q, G () ( mn ) Qmax = G () ( mn ) r r + Qmax G () ( mn ) m m, Q () Da Equac~ao () em-se: Q L() + Q, Q mn G () ( max ) = Qmn G () ( max ) r r + Qmn G () ( max ) m m, Q () 4 SBA Conrole & Auomac~ao /ol.9 no. 1/Jan., Fev., Mar. e Abrl 1998

5 O processo de soluc~ao e smlar ao da barra P. Ao nves de se ulzar a equac~ao da resrc~ao de ens~ao, ulza-se uma das Equac~oes (1), () ou () dependendo do pono de operac~ao do CER. Torna-se mporane ressalar que os compensadores esacos de reavo s~ao normalmene mplemenados acrescenando-se uma barra P cca ao ssema, cuja ens~ao e gual a ens~ao de refer^enca do CER. Esa barra cca e conecada a barra fsca na qual esa lgado o CER araves da rea^anca X s (Alvarado e DeMarco, 1995). Na formulac~ao proposa n~ao ha qualquer po de nserc~ao de barras, manendo-se por consegune a opologa orgnal do ssema. 4.4 Represenac~ao de Compensac~ao Sere Conrolada a Trsores (CSCT) O prncpo de operac~ao de um CSCT e smlar ao CER, com a excec~ao de que o CSCT e conecado em sere com a lnha. O CSCT e normalmene ulzado para regular o uxo de po^enca ava araves do crcuo no qual esa conecado. O modo de conrole esudado e aquele no qual o dsposvo conrola o uxo de po^enca ava araves do crcuo no qual esa conecado. Seja um CSCT conecado enre as barras and j de modo a conrolar o uxo de po^enca ava P j araves de varac~oes na rea^anca de lnha X j. Assm, a equac~ao lnearzada de P j enroduzda na marz Jacobana como a segur: P j = Y B E C D F rm PQ X j 4.5 Represenac~ao de Barra Ploo para Conrole de Tens~ao Dependendo das caracerscas do ssema de po^enca pode ser neressane er uma esac~ao de gerac~ao ploo conrolando a ens~ao meda de uma deermnada area parcular. Assm, seja a barra ploo de gerac~ao conrolando ameda ponderada das ens~oes nas barras, j e l em um valor especcado p.u. Desa forma em-se: + j j + l l + j + l = (5) A Equac~ao (5) e expressa em ermos das coordenadas reangulares para poseror lnearzac~ao e nserc~ao no ssema aumenado de equac~oes como a segur: r r + m m + j rj j rj + mj rl ml j mj + l rl + l ml = j l l ( + j + l ), ( + j j + l l ) (6) A Equac~ao (6) e nserda no local referene a equac~ao de resrc~ao de ens~ao relaconada a barra. 4.6 Represenac~ao de Barra de Gerac~ao O modelo comumene ulzado em esudos de uxo de po^enca consdera xo os lmes de gerac~ao de po^enca reava para um gerador sncrono. Tal represenac~ao e uma aproxmac~ao, uma vez que os lmes de gerac~ao de po^enca reava dependem do despacho de po^enca ava, bem como da ens~ao de operac~ao do gerador. Uma represenac~ao mas realsca deses lmes requer a deermnac~ao do dagrama de capabldade do gerador sncrono (Kundur, 1994). D = E j F j Em Lof e al (1995) represenam-se os lmes maxmo e mnmo da gerac~ao de po^enca reava, consderando-se a correne maxma de esaor, o lme da correne de roor e o lme de sub-excac~ao. Tano os geradores de roor lso quano os de polos salenes podem ser represenados. O objevo dese argo e modelar a barra de gerac~ao no problema de uxo de po^enca, consderando-se que os lmes da gerac~ao de po^enca reava s~ao dependenes da ens~ao devdo aos mesmos par^ameros como em Lof e al (1995). Alem dso, quando a gerac~ao de po^enca reava de uma maquna conecada na barra esa denro da faxa denda pelos lmes maxmo e mnmo, nroduz-se a segune equac~ao no problema de uxo de po^enca: Anova rea^anca de lnha e dada por: = nom (7) X (h+1) j = X (h) j +X(h) j (4) Por ouro lado, se a gerac~ao de po^enca reava esa fora dos lmes, nroduz-se a segune equac~ao: SBA Conrole & Auomac~ao /ol.9 no. 1/Jan., Fev., Mar. e Abrl

6 Q G() = Q lm (8) onde Q lm e o lme maxmo ou mnmo de gerac~ao de po^enca reava volado numa dada erac~ao. Ese valor para uma barra de gerac~ao e deermnado araves dos lmes do esaor, do roor e de sub-excac~ao, dados respecvamene, pelas Equac~oes (9), (), (1) e () (Lof e al, 1995): Q (max;mn) es ro =, X q() + = q(s max ), PG () (9) vu (Emax q () ) X q (), P G () () Tabela 1 - Transformador Defasador { Ssema 7-Barras Tabela - IEEE{118 Ierac~ao Resduo Maxmo (pu) -48,87 1,598 -,6986,45 Combnac~ao de Barras P e PQ { Ssema Numero Tens~ao Gerac~ao da Modulo ^Angulo Ava Reava Barra (pu) (graus) (MW) (MAr) 1 1,7-19,555. 6,,99-18, ,151-14,581-9, 6, Q mn ro =, X q() Q mn exc = P G () g max + mn Eq () (1) X q(), () X q() As Equac~oes (7) e (8) s~ao expressas em ermos das coordenadas reangulares, para poseror lnearzac~ao e ncorporac~ao na formulac~ao aumenada. Assm, da Equac~ao (7) resula: nom, = r r + m m () Da Equac~ao (8) resula: Q L() + Q, Q lm =,Q (4) O processo de mplemenac~ao e smlar ao da barra P convenconal. Ao nves de se ulzar a equac~ao de resrc~ao de ens~ao, ulza-se uma das Equac~oes () ou (4) dependendo do pono de operac~ao da maquna sncrona. 5 Resulados Para valdar os modelos de conrole proposos s~ao ulzados os ssemas de 7 barras relaconado ao ssema nerconecado sul-sudese braslero (Da Cosa e al, 1997) e IEEE{118 barras. Todos os dsposvos de conrole em esudo, com excec~ao do ransformador defasador, s~ao esados ulzando o ssema IEEE{118. A Tabela (1) mosra as caracerscas de converg^enca do ssema de 7 barras, no qual um ransformador defasador esa conecado enre as barras 5 e 99 com o objevo de conrolar o uxo de po^enca ava da barra 461 para 5 em,44 pu. A converg^enca e obda quando o valor absoluo da dferenca enre o valor especcado e calculado do uxo de po^enca ava for menor que,1 pu. Nese caso, os ^angulos de fase ncal e nal s~ao, e 46,96 graus, respecvamene. A combnac~ao de barras P e PQ e valdada ulzando-se o ssema IEEE{118, assumndo-se que as barras 1 e 4 s~ao do po P e a barra do po PQ. A ens~ao na barra deve ser conrolada em,99 pu de modo que Q G(1) = Q G(4). A soluc~ao do uxo de po^enca obda apos r^es erac~oes, com relac~ao as barras de neresse, esa mosrada na Tabela (). A smulac~ao de barras ploo para conrole de ens~ao e valdada ulzando-se o ssema IEEE{118, no qual a barra ploo 46 conrola a meda das ens~oes nas barras 4, 44, 45, 47 e 48 em 1, pu e a barra ploo 9 conrola a meda das ens~oes nas barras 9, 94, 95, 96, 97, 11 e 1 em,99 pu. A soluc~ao do uxo de po^enca obda apos r^es erac~oes, com relac~ao as barras de neresse, esa mosrada na Tabela (). Ulzando-se o ssema IEEE{118 ncluu-se um compensador esaco de reavo na barra, modelado por max = 1; 5 pu, mn = ; 9 pu, G = 95; MAr e Q mn G =,15; MAr correspondendo a uma rea^anca de.5%. Os resulados para sucessvos aumenos na carga da barra es~ao apresenados na Tabela (4). Observa-se que com esa modelagem do compensador esaco de reavo, o numero de erac~oes necessaras a converg^enca da soluc~ao n~ao e elevado. Para cargas da ordem de,6 vezes seu valor ncal, o uxo de po^enca passa a n~ao convergr. ATabela (5) mosra as caracerscas de converg^enca obda com relac~ao ao ssema IEEE{118, no ocane a nserc~ao da compensac~ao sere conrolada a rsores enre as barras 4 e 49, com o objevo de conrolar o uxo de po^enca ava enre esas barras em -,5 pu. A converg^enca e obda quando o valor absoluo da dferenca 6 SBA Conrole & Auomac~ao /ol.9 no. 1/Jan., Fev., Mar. e Abrl 1998

7 Tabela - Barras Ploo { Ssema IEEE{118 Numero Tens~ao Gerac~ao da Modulo ^Angulo Ava Reava) Barra (pu) (graus) (MW) (MAr) 4, , ,988-16, ,991-14, ,17-11,59 19, 6,4 47 1,195-9, ,5-1,4.. Meda: 1, 9,9874, , 9,988, ,989-1, ,9797 -, ,9919 -, ,11 -,6.. 11,99 -,55.. 1,987,181.. Meda:,99 Tabela 4 - Compensador Esaco de Reavo { Ssema IEEE{118 Carga Tens~ao Gerac~ao Numero Barra Barra Barra de MW MAr (pu) (MAr) Ierac~oes 1 5,9897 6,1 1,989 8,99 4,98 45,6 8 4, ,74 1 6,98 74, ,91 94,7 1,98 87, ,996 8, , ,61 5 enre o valor especcado e calculado do uxo de po^enca ava for menor que,1 pu. Nese caso, os valores ncal e nal da rea^anca da lnha s~ao, pu e,4767 pu, respecvamene. O proxmo passo e comparar os resulados obdos ulzando-se o procedmeno convenconal para as barras de gerac~ao, com aqueles obdos consderando-se a formulac~ao proposa na qual os lmes de gerac~ao de po^enca reava s~ao dependenes da ens~ao. Com ese nuo, esuda-se o gerador conecado na barra 87 cujos valores nomnas s~ao S nom =; 5 pu, P G =; 45 pu, nom =1; 15 pu e Tabela 5 - Compensac~ao Sere { Ssema IEEE{118 Ierac~ao Resduo Maxmo (pu) 5, ,857 -,9 -,167 4,1 Tabela 6 - Barra de Gerac~ao ; C: convenconal; P:proposa Carga Tens~ao (pu) MAr Numero Barra 86 Barra 87 Barra 87 Ierac~oes MW MAr C P C P C{P 1 1 1,15 1,15 6,6 6,6 { 4 1,15 1,15 1,14 1,14 { ,15 1,15 5,4 5,4 { ,9 1,9,8,8 { 16 6,9841,9,8 8,1 { 147 7,9566,914,8,56 { ,957,865,8 14,97 {6 cos nom =; 85. O valor de X q e 1, pu e da ress^enca e zero. As correnes maxmas do esaor e do roor consderadas s~ao 5% e 1% acma dos respecvos valores nomnas eo^angulo de carga maxmoe 8 graus. Na formulac~ao convenconal os lmes mnmo e maxmo de gerac~ao de reavo s~ao xos nos valores de -,8 MAr e +,8 MAr. Os resulados para sucessvos aumenos na carga da barra 86 es~ao apresenados na Tabela (6). Observa-se que com esa modelagem para os lmes de gerac~ao de reavo, n~ao houve um aumeno excessvo no numero de erac~oes necessaras a converg^enca da soluc~ao. Alem dso, observam-se os valores realscos da ens~ao e da gerac~ao de reavos na barra de gerac~ao, dferenes daqueles obdos consderando-se a gerac~ao de reavos xa no valor do lme volado, prncpalmene a medda que a carga na barra 86 aumena. 6 Conclus~oes Ese argo apresena os modelos maemacos para ncorporac~ao dos dsposvos de conrole no problema do uxo de po^enca. Para so, ulza uma formulac~ao aumenada baseada em njec~oes de correne, cuja marz Jacobana aumenada e alamene esparsa (4n4n) e faclmene avalada a cada erac~ao (Da Cosa e al, 1997). A formulac~ao aumenada apresena as mesmas caracerscas de converg^enca do uxo de po^enca convenconal expresso em ermos das coordenadas polares. No enano, perme uma maor facldade na ncorporac~ao dos modelos de dsposvos de conrole, bem como perme uma modelagem mas realsca de deermnados componenes em ssemas de po^enca, as como, lmes de gerac~ao reava de maqunas sncronas e compensadores esacos de reavo. Ese argo apresena uma nova proposa de represenac~ao das barras P e PQ, do compensador esaco de reavo, da barra ploo para conrole da ens~ao e da barra de gerac~ao, em esudos de uxo de po^enca. Os modelos do ransformador defasador e da compensac~ao sere conrolada a rsores foram adapados para a represenac~ao na formulac~ao aumenada, onde os resulados obdos valdam a modelagem. Conclu-se dos esudos realzados que a formulac~ao e os modelos proposos consuem-se em ferramenas va- SBA Conrole & Auomac~ao /ol.9 no. 1/Jan., Fev., Mar. e Abrl

8 losas na soluc~ao dos problemas auas de uxo de po^enca, onde a adequada consderac~ao dos varos pos de conrole orna-se cada vez mas mporane. Refer^encas Bblogracas Alvarado F.L. and C.L. DeMarco. (November, 1995). Compuaonal ools for plannng and operaon nvolvng FACTS devces. Proceedngs of Worshop on Facs, Ro de Janero, Brazl. Bacher R. and W.F. Tnney. (Ocober, 1989). Faser local power ow soluons: The zero msmach approach. IEEE Transacons on Power Sysems, 4, No. 4:145{154. Bron J.P. (Ocober, 1969). Improved area nerchange conrol for Newon's mehod load ows. IEEE Transacons on Power Sysems, pages 1577{1581. Peerson N.M. and W.S. Meyer. (January/February, 1971). Auomac adjusmen of ransformer and phase-shfer n he Newon power ow. IEEE Transacons on Power Sysems, pages 1{18. Semlyen A. (Augus, 1996). Fundamenal conceps of a Krylov subspace power ow mehodology. IEEE Transacons on Power Sysems, 11, No. :158{157. So B. (July, 1974). Revew of load-ow calculaon mehods. Proceedngs of IEEE, 6:916{99. Taylor C.W. (1994). McGraw-Hll, Inc.. Power Sysem olage Sably. Tnney W.F. and C.E. Har. (November, 1967). Power ow soluon by Newon's mehod. IEEE Transacons on Power Sysems, PAS-86:1449{1456. Chang S. and. Brandwajn. (May, 1991). Solvng he adjusmens neracons n fas decoupled load ow. IEEE Transacons on Power Sysems, 6,No. :81{85. Da Cosa.M., N. Marns, J.L.R. Perera, and H.J.C.P. Pno. (Mao, 1996a). Um modelo de uxo de po^enca com ala exbldade de represenac~ao de equpamenos FACTS. Proceedngs of Symposum of Specalss n Elecrc Operaonal and Expanson Plannng, Recfe, Brasl. Da Cosa.M., J.L.R. Perera, and N. Marns. (Ouubro, 1996b). Fluxo de po^enca em coordenadas polares ulzando-se varaves nermedaras em coordenadas reangulares. III Enconro Luso-Afro-Braslero de Planejameno e Explorac~ao de Redes de Energa, Poro, Porugal. Da Cosa.M., N. Marns, and J.L.R. Perera. (Mao, 1997). Um procedmeno alernavo para o problema do uxo de po^enca. Revsa da Socedade Braslera de Auomaca, 8, No. 1. Dommel H.W., W.F. Tnney, and W.L. Powell. (January, 197). Furher developmens n Newon's mehod for power sysem applcaons. IEEE Wner Power Meeng, Conference Paper No. 7 CP 161-PWR New Yor. Kundur P. (1994). Power Sysem Sably and Conrol. McGraw-Hll, Inc.. Lof P-A., G. Andersson, and D.J. Hll. (February, 1995). olage dependen reacve power lms for volage sably sudes. IEEE Transacons on Power Sysems, 1, No. 1:{8. Mamandur K.R.C. and G.J. Berg. (June, 198). Auomac adjusmen of generaor volages n Newon- Raphson mehod of power ow soluons. IEEE Transacons on Power Sysems, PAS-11, No. 6:14{149. Mara G.A., A.H. Yuen, and J.A. Fndlay. (Augus, 1988). Conrol varable adjusmen n load ows. IEEE Transacons on Power Sysems,, No. :858{8. 8 SBA Conrole & Auomac~ao /ol.9 no. 1/Jan., Fev., Mar. e Abrl 1998