Circuitos não senoidais

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1 Crcuos não snodas Objvos Famlarzar-s com os comonns da xansão da sér d Fourr ara qualqur função snodal ou não snodal. Enndr como a aarênca gráfco do xo do mo d uma forma d onda odm dnfcar quas rmos d uma sér d Fourr sarão rsns. Podr drmnar a rsosa d um crcuo a qualqur nrada dfnda or uma xansão da sér d Fourr. Arndr a acrscnar duas ou mas formas d onda dfndas las xansõs da sér d Fourr. 5. INRODUÇÃO oda forma d onda qu dfr da dscrção básca da forma d onda snodal é dnomnada. As formas d onda não snodas mas comuns são as formas d onda conínua, quadrada, rangular, dn d srra snod rfcada, mosradas na Fgura 5.. O snal d saída d muos dsosvos lércos lrôncos od sr não snodal, msmo qu o snal alcado o sja. Por xmlo, o crcuo mosrado na Fgura 5. usa um dodo ara lmnar os smcclos ngavos do snal d nrada m um rocsso dnomnado rfcação d ma onda, qu é usado ara ransformar corrn alrnada m conínua. Em um curso d lrônca, você rá a oorundad d arndr qu o dodo é smlhan a uma chav mcânca, orém l é um dsosvo qu só conduz corrn m um sndo. A forma d onda d saída é dfnvamn não snodal, mas la m o msmo ríodo qu o snal snodal d nrada é roorconal a l duran mad d cada ríodo. (c) (d) () Fgura 5. Algumas das formas d onda não snodas mas comuns: conínua; quadrada; (c) rangular; (d) dn d srra; () snod rfcada.

2 886 Inrodução à análs d crcuos Dodo dal v o R v o Fgura 5. O crcuo rfcador d ma onda roduz uma forma d onda não snodal. Ns caíulo, mosrarmos como uma forma d onda não snodal, como a qu vmos na Fgura 5., od sr rrsnada or uma sér d rmos. O lor arndrá ambém a calcular a rsosa d um crcuo a um snal d nrada não snodal. 5. SÉRIES DE FOURIER O nom rfr-s a uma sér d rmos dsnvolvda m 8 lo Barão Jan Fourr (vja a Fgura 5.3), qu od sr usada ara rrsnar uma função ródca não snodal. Na análs dssas formas d onda, calculamos cada rmo na sér d Fourr: f () A A sn v A sn v A 3 sn 3v... A n sn nv valor médo ou CC B cos v rmos m sno B cos v B 3 cos 3v... B n cos nv (5.) analsando-s a forma d onda não snodal sua osção rlava ao xo horzonal. O rmro rmo das sérs m sno m cossno é dnomnado. Essa comonn rrsna o rmo d mnor frquênca ncssáro ara rrsnar uma drmnada função, ambém m a msma frquênca qu a forma d onda orgnal. Porano, o rmo fundamnal m d consar m qualqur rrsnação m sérs d Fourr. Os ouros rmos com frquêncas d ordm maor (frquêncas múllas da fundamnal) são dnomnados. Um rmo com uma frquênca duas vzs maor do qu a comonn fundamnal é chamado sgundo harmônco; s a frquênca for rês vzs maor, é chamado rcro harmônco; assm or dan. rmos m cossno Dndndo da forma d onda, od sr ncssáro um grand númro d rmos na quação anror ara xrssar a função com uma rcsão acávl do ono d vsa da análs d crcuos. D acordo com a Equação 5., a sér d Fourr od sr dvdda m rês ars. A rmra é o rmo rlavo à comonn conínua A, qu é o valor médo da forma d onda ara um cclo comlo. A sgunda é uma sér d rmos m sno. Não xsm rsrçõs quano aos valors das amluds dos rmos m sno, orém, cada um dls m uma frquênca qu é o múllo nro da frquênca do rmro rmo da sér. A rcra ar é uma sér d rmos m cossno. Nss caso, ambém não xsm rsrçõs quano aos valors das amluds dos rmos, orém, cada um m uma frquênca qu é o múllo nro da frquênca do rmro rmo m cossno. Para drmnada forma d onda, é ossívl qu odos os rmos m sno ou odos os rmos m cossno sjam nulos. Caracríscas dss o odm sr drmnadas Fgura 5.3 Barão Jan Fourr. (Smhsonan Insu Lbrar.) Foo N o 56.8 (Auxrr, Grnobl, Pars) (768-83) Écol Polchnqu. Fourr é mas conhcdo la sér mamáca nfna d rmos m sno cossno dnomnadas sérs d Fourr, or l ulzadas ara o sudo da condução d calor m sóldos. Embora foss ssncalmn um mamáco, grand ar d su rabalho sá lgado ao sudo d fnômnos físcos como ransfrênca d calor, manchas solars clma. Fourr fz ar do rmro gruo d rofssors da Écol Polchnqu, m Pars. Naolão rqusou sus srvços como squsador d angudads gícas, fazndo com qu l assass rês anos no Ego como scráro do Insu d Ég. Em 89, fo agracado com o íulo d barão or Naolão,, m 87, fo lo ara a Académ ds Scncs.

3 Caíulo 5 Crcuos não snodas 887 Valor médo: A O rmo da comonn conínua da sér d Fourr é o valor médo da forma d onda ara um cclo comlo. S as áras acma abaxo do xo horzonal form guas, m um ríodo comlo, A =, o rmo CC não aarc na xansão. S a ára acma do xo horzonal for maor, A é osvo aarcrá na rrsnação da sér d Fourr. S a ára abaxo do xo horzonal for maor, A é ngavo aarcrá com o snal ngavo na xansão. Funçõs ímars (smra cnral) Quando o valor d uma função ara é o ngavo do valor da função ara, dzmos qu a função é ímar ou ossu smra cnral. A Fgura 5.4 mosra um xmlo d uma forma d onda com smra cnral. Obsrv qu a forma d onda m valor máxmo m, qu é gual m valor absoluo (com snal ooso) ao valor máxmo qu ocorr m. Para formas d onda dss o, odos os arâmros B da Equação 5. são nulos. D fao, as formas d onda com smra cnral odm sr dscras comlamn usando-s anas os rmos CC sno da sér d Fourr. Obsrv na Fgura 5.4 qu uma snod é uma função ímar com smra cnral. Para as duas formas d onda mosradas na Fgura 5.4, a rlação mamáca a sgur od sr scra: f f (função ímar) (5.) Exrsso m alavras, o valor da função m é o msmo qu o ngavo da magnud m ( na Fgura 5.4). Funçõs ars (smra axal) S uma forma d onda é smérca m rlação ao xo vrcal, dzmos qu a função é ar ou ossu smra axal. A Fgura 5.5 mosra um xmlo d uma forma d onda com smra axal. Obsrv qu o valor da função m é gual ao valor m. Para formas d onda dss o, odos os arâmros A são nulos. Na vrdad, as formas d onda com smra axal odm sr dscras comlamn usando-s anas os rmos CC cossno da sér d Fourr. Obsrv na Fgura 5.5 qu uma cossnod é uma função ar com smra axal. Para as duas formas d onda mosradas na Fgura 5.5, a sgun rlação mamáca od sr scra: f f (função ar) (5.3) Exrsso m alavras, o valor da função m é o msmo qu m ( na Fgura 5.5). Smra scular ou d ma-onda Quando uma função arsna smra scular ou d ma-onda, como a forma d onda da Fgura 5.6, os harmôncos ars dos rmos sno cossno srão nulos. Em forma funconal, a forma d onda rcsa sasfazr a sgun rlação: f f a b (5.4) A Equação 5.4 xrssa o fao d qu a forma d onda m um nrvalo / s r no nrvalo sgun, f() Forma d onda não snodal f() Valor médo = (A = ) Função ímar Smra cnral Onda d sno Smra cnral (m rlação a ss ono) Valor médo = (A = ) Fgura 5.4 Smra cnral.

4 888 Inrodução à análs d crcuos f() Função ar f() Valor médo (A ) Cossnod Méda = (A = ) Forma d onda não snodal Smra m rlação ao xo vrcal Smra m rlação ao xo vrcal Fgura 5.5 Smra axal. mas com o snal nvrdo ( na Fgura 5.6). Por xmlo, o nrvalo d zro a / da forma d onda mosrada na Fgura 5.6 r-s no nrvalo d / a, orém, na ar d baxo do xo horzonal. Smra d mo-cclo A naurza rva d uma forma d onda od sr drmnada s cras comonns harmôncas svrm rsns na xansão da sér d Fourr. Em arcular, s uma forma d onda é rva no mo-cclo, como dmonsrado la forma d onda mosrada na Fgura 5.7, os harmôncos ímars das sérs d rmos m sno cossno são nulos. Em forma funconal, a forma d onda rcsa sasfazr a sgun rlação: f f a b (5.5) A Equação 5.5 xrssa o fao d qu a função s r aós cada nrvalo d mo / ( na Fgura 5.7). Enrano, a forma d onda ambém s r aós cada ríodo. Em gral, ara uma função dss o, s o ríodo da forma d onda é scolhdo d modo a sr o dobro do ríodo mínmo (/), os harmôncos d ordm ímar srão nulos. f() Abordagm mamáca Os cofcns A, A n, B n odm sr drmnados usando-s as sguns quaçõs com cálculo ngral: A A n B n f d (5.6) f sn nv d (5.7) f cos nv d (5.8) Essas quaçõs foram arsnadas anas ara lusrar as quaçõs gras ara o cálculo dos cofcns; las não srão usadas nas análss a sgur. Insrumnação Exsm rês nsrumnos qu rmm drmnar as comonns conínua, fundamnal harmônca d uma forma d onda: o analsador scral, o analsador d onda o analsador d Fourr. O objvo dsss nsrumnos não s rsum anas m drmnar a comosção scral d uma forma d onda m arcular, mas ambém avalar a quandad d dsorção qu um crcuo 3 Fgura 5.6 Smra scular.

5 Caíulo 5 Crcuos não snodas 889 f() Fgura 5.7 Smra d mo cclo. od causar a um snal. Por xmlo, um amlfcador od aumnar a amlud do snal alcado or um faor d 5, mas ambém od nroduzr no rocsso uma dsorção da forma d onda qu sra dfícl d obsrvar na la d um oscloscóo. A quandad dssa dsorção aarcra na forma d harmôncos cujas frquêncas são múllas da frquênca do snal alcado. Qualqur um dos nsrumnos mnconados anrormn odra sr usado ara dscobrr quas são as rncas frquêncas rsonsávs la dsorção, o qu rm rmovê-las do snal d saída com o auxílo d flros adquados. O analsador scral m a aarênca d um oscloscóo, como mosra a Fgura 5.8, mas m vz d xbr na la uma forma d onda qu é um gráfco da nsão (xo vrcal) m função do mo (xo horzonal), mosra um gráfco da nnsdad m db (xo vrcal) m função da frquênca (xo horzonal). Dzmos qu ss gráfco sá no domíno da frquênca, ao conráro do gráfco vso m um oscloscóo comum, qu sá no domíno do mo. A alura do raço qu vmos na la mosrada na Fgura 5.8 ndca a morânca rlava da frquênca corrsondn ara o snal. Os analsadors scras não são caazs d mdr o ângulo d fas assocado a cada comonn do snal. EXEMPLO 5. Drmn quas comonns da sér d Fourr são rsns nas formas d onda mosradas na Fgura 5.9. Solução: a) A forma d onda m uma ára sob a curva qu sá acma do xo horzonal, ndo, orano, um CC A. A forma d onda m uma smra axal, rsulando m na xansão da sér. A forma d onda m smra d mo-cclo, rsulando m m cossno da sér. b) A forma d onda m áras guas acma abaxo do xo horzonal m cada ríodo, rsulando m A =. A forma d onda m smra cnral, rsulando m rsns na xansão. EXEMPLO 5. Escrva as xansõs m sér d Fourr das formas d onda mosradas na Fgura 5.. Solução: a) A A Sn B Sn b) A A 5 3 A Sn B Sn 5 3 sn V c) A 8 A Sn B B Sn 8 cos V EXEMPLO 5.3 Esboc o gráfco da sgun xansão m sér d Fourr: Solução: cos a sn a Obsrv a Fgura 5.. V 5 ma 5 ma Fgura 5.8 Analsador scral. (Corsa da Hwl- -Packard.) Fgura 5.9 Exmlo 5..

6 89 Inrodução à análs d crcuos 5 ma Forma d onda snodal V V V av = 8 V (c) Fgura 5. Exmlo ,57 3 = cos sn,36 V = v sn cos Fgura 5. Exmlo 5.3. A solução od sr obda grafcamn, loando-s as rês funçõs no msmo gráfco somando-as ono a ono ou usando-s a álgbra fasoral da sgun manra: cos a sn a V 9 V j V V V j V,36 V 6,57,36 sn a 6,57,36 sn A 6,57 qu é smlsmn uma onda snodal surosa a um nívl CC d V. Ou sja, su valor máxmo osvo é V,36 V = 4,36 V, su valor mínmo é V,36 =,36 V. EXEMPLO 5.4 Esboc o gráfco da sgun xansão m sér d Fourr: sn v sn v Solução: Vja a Fgura 5.. No qu nss caso a soma d duas snods d frquêncas dfrns não rsula m uma snod. Lmbr-s d qu a álgbra dos fasors od sr alcada somn a formas d onda com a msma frquênca. Nss caso, a solução dv sr obda grafcamn ono a ono, como é mosrado ara =.

7 Caíulo 5 Crcuos não snodas 89 = sn v sn v v sn v ( = ) sn v Fgura 5. Exmlo 5.4. Como xmlo adconal do uso das sérs d Fourr, consdr a onda quadrada vsa na Fgura 5.3. O valor médo é nulo, não A =. Como s raa d uma função ímar, odos os cofcns B n ambém são nulos; anas os rmos m sno aarcm na xansão m sér. Como ssa forma d onda sasfaz o créro m qu f() = f ( /), os harmôncos ars ambém são nulos. Aós calcularmos os dvrsos cofcns usando a Equação 5.8, obmos 4 asn v 3 sn 3v sn5 v 5 7 sn 7v... sn nv b (5.9) n 4 Comonn fundamnal Comonn fundamnal rcro harmônco rcro harmônco () v Obsrv qu a comonn fundamnal m ralmn a msma frquênca qu a onda quadrada. S somarmos a comonn fundamnal o rcro harmônco, obrmos o rsulado mosrado na Fgura 5.4. Msmo usando somn os dos rmros rmos, noamos qu comçam a aarcr algumas das caracríscas da onda quadrada. S adconarmos os dos rmos sguns da xansão (vja a Fgura 5.5), os ulsos fcarão mas xnsos com maor númro d cos. Fgura 5.4 Adção da comonn fundamnal com o rcro harmônco. Númro d cos = númro d rmos adconados Comonn fundamnal 3º, 5º, 7º harmôncos Onda quadrada Função ímar com smra d ma-onda 3 v Fgura 5.5 Adção da comonn fundamnal com o rcro, o quno o sémo harmôncos. Fgura 5.3 Onda quadrada. À mdda qu adconamos mas rmos, a sér s orna uma aroxmação cada vz mlhor da onda quadrada. Enrano, obsrv qu a amlud dos rmos sucssvos dmnu aé s ornar dsrzívl quando comarada com a

8 89 Inrodução à análs d crcuos dos rmos ncas. Uma boa aroxmação sra consdrar qu a forma d onda od sr rrsnada la soma dos nov rmros harmôncos. Qualqur harmônco d ordm maor sra mnor qu um décmo da comonn fundamnal. S dslocássmos vrcalmn a forma d onda qu acabamos d analsar ara cma ou ara baxo, a únca alração na sér d Fourr sra uma varação do rmo rlavo ao valor CC. O gráfco mosrado na Fgura 5.6(c), or xmlo, é a soma das formas d onda das fguras 5.6. A sér d Fourr ara a forma d onda rsulan é, orano, Equação V m asn v 3 sn3 v sn 5 5 v 7 sn 7 v... b 4 c asn v 3 sn v 3 sn 5v 5 7 sn 7 v... bd A quação da forma d onda rfcada d ma-onda mosrada na Fgura 5.7 é,38,5 sn a, cos,44 cos 4a... (5.) A forma d onda mosrada na Fgura 5.7(c) é a soma das formas d onda mosradas na Fgura 5.7. A xansão m sér d Fourr da forma d onda mosrada na Fgura 5.7(c) é, orano, Equação 5.,5,38,5 sn a, cos a,44 cos 4a...,8,5 sn a, cos a,44 cos 4a... S a forma d onda mosrada na Fgura 5.7 ou (c) for dslocada ara a squrda ou dra, srá rcso somar ou subrar, rscvamn, um dslocamno d fas aos rmos m sno cossno da sér d Fourr corrsondns; o rmo da comonn conínua não srá afado com um dslocamno ara a dra ou ara a squrda. S o snal rfcado m ma-onda é dslocado 9º ara a squrda, como na Fgura 5.8, a sér d Fourr s orna,38,5 sn( 9 ), cos ( 9 ),44 cos 4( 9 ),38,5 cos, cos( 8 ),44 cos(4 36 ) cos,38,5 cos, cos,44 cos RESPOSA DE UM CIRCUIO A UM SINAL NÃO SENOIDAL A rrsnação qu usa as sérs d Fourr d um snal não snodal od sr alcada a um crcuo lnar qu usa o rncío da surosção. Como vmos, ss rncío rm consdrar saradamn os fos d cada fon d um crcuo. S subsurmos o snal não snodal or um númro d rmos da sér d Fourr sufcn ara rduz-lo com uma rcsão sasfaóra, odmos usar o orma da surosção ara nconrar a rsosa do crcuo ara cada rmo (vja a Fgura 5.9). A rsosa oal do ssma, não, é a soma algébrca dos valors obdos ara cada rmo. A rncal dfrnça nr o uso do rncío da surosção ara sudar crcuos não snodas as alcaçõs dscudas anrormn é qu a frquênca srá dfrn ara cada rmo no caso do snal não snodal. Porano, as raâncas X L fl X C fc rão valors dfrns ara cada rmo da nsão ou da corrn do snal. Como vmos no Caíulo 3, o valor rms d qualqur forma d onda é dado or B f d 3 Fgura 5.6 Dslocamno vrcal d uma forma d onda la adção d uma comonn conínua. = 3 (c)

9 Caíulo 5 Crcuos não snodas 893 V m a 3 a = V m 3 a (c) Fgura 5.7 Rbaxamno d uma forma d onda la adção d uma comonn conínua ngava a Fgura 5.8 Modfcação do ângulo d fas d uma forma d onda. = A A sn... A n sn n... B cos... B n cos n... Crcuo lnar A A sn A n sn n B cos B n cos n Crcuo lnar Fgura 5.9 Alcação d uma sér d rmos d Fourr a um crcuo lnar. S alcarmos ssa quação à sgun sér d Fourr Enrano, como não a V sn a... n sn na V m cos a... V mn cos na não a ba b V rms V rms V rms V rms C V... n V m... V mn (5.) V rms V V rms... V nrms V rms... V nrms (5.)

10 894 Inrodução à análs d crcuos Da msma forma, ara a I I m sn a... I mn sn na I m cos a... I mn cos na mos 6 sn 4 V I rms C I I m... I mn I m... I mn (5.3) Fgura 5. Exmlo 5.5. = 4 V 6 sn v I rms I I rms... I nrms I rms... I nrms (5.4) A oênca oal forncda é a soma das oêncas assocadas aos dfrns rmos d nsão d corrn. Nas quaçõs a sgur, odos os valors d nsão corrn são fcazs: P V I V I cos u... V n I n cos u n... (5.5) P I R I R... I n R... (5.6) ou P I rms R (5.7) ond I rms é dfnda la Equação 5.3, da msma forma, P V rms R ond V rms é dfnda la Equação 5.. (5.8) EXEMPLO 5.5 a) Esboc a forma d onda rsulan da combnação d fons mosradas na Fgura 5.. b) Calcul o valor rms do snal mosrado na Fgura 5.. Solução: a) Vja a Fgura 5.. b) Para a Equação 5.: V rms B V B 4 6 V V B 6 36 V 34 V 5,83 V 4 V 6 V v Fgura 5. Forma d onda grada la fon mosrada na Fgura 5.. É nrssan noar no Exmlo 5.5 qu o valor rms d uma forma d onda com uma comonn conínua oura alrnada não é smlsmn a soma dos valors fvos d cada uma. Em ouras alavras, sra uma nação dsnsar a Equação 5. dzr qu V rms = 4 V,77 (6 V) = 8,4 V, o qu é ncorro, na vrdad, xcd o valor corro m 4 or cno. Insrumnação É moran sabr qu nm odo mulímro dgal é caaz d mdr o valor rms d formas d onda não snodas como a qu aarc na Fgura 5.. Muos dsss aarlhos são rojados ara mdr o valor rms anas d formas d onda snodas. É moran lr o manual do nsrumno ara vrfcar s o msmo é um mulímro rms vrdadro (ru rms), caaz d mdr o valor rms d qualqur forma d onda. Arndmos no Caíulo 3 qu o valor rms d uma onda quadrada é gual ao valor d co da forma d onda. Vrfcarmos ss rsulado usando a xansão m sér d Fourr a Equação 5.. EXEMPLO 5.6 Drmn o valor fcaz da onda quadrada vsa na Fgura 5.3 com = V usando os ss rmros rmos da xansão m sér d Fourr, comar o rsulado com o valor rms ral d V.

11 Caíulo 5 Crcuos não snodas 895 Solução: R 4 V sn v 4 a b V sn3v 3 4 a 5 b V sn5v 4 a b V sn7v 7 V sn R = 3 C X C = vc = = 4 ( rad/s)( 8 F) 4 a 9 b V sn v 4 9 a b V snv 5,465 sn v 8,488 sn3v 5,93 sn 5v 3,638 sn 7v,89 sn9v,35 snv Para a Equação 5.: V rms C V Fgura 5.3 Crcuo mosrado na Fgura 5. com as comonns d Fourr do snal alcado.. Na rsosa do crcuo à fon snodal, Z 3 j ,3 I E V Z 5 53,3 A 53,3 V V V 5.93 V V.89 V.35 V C 9.66 V Ess rsulado dfr m mnos d,4 V da rsosa corra, V. Enrano, cada rmo qu for adconado à sér d Fourr ornará o rsulado mas róxmo d V. Sra ncssáro somar um númro nfno d rmos ara s obr o valor xao. EXEMPLO 5.7 O snal d nrada no crcuo mosrado na Fgura 5. é = sn a) Drmn a corrn as nsõs v R v C. b) Calcul os valors rms d, v R v C. c) Calcul a oênca forncda ao crcuo. Solução: a) O crcuo orgnal od sr rdsnhado conform mosra a Fgura 5.3. Alqu o orma da surosção:. Para a rsosa do crcuo à fon conínua d V, I =, os o caacor s comora como um crcuo abro ara nsõs conínuas quando v C alcança su valor fnal (rgm saconáro). Porano, V R = IR = V V C = V R V R I ur a A 53,3 b3 6 V 53,3 V C I ux C 9 a A 53,3 b 4 9 No domíno do mo, 8 V 36,87 sn 53,3 Obsrv qu, mbora xsa o rmo da comonn conínua na xrssão da nsão d nrada, ss rmo na xansão da corrn no crcuo é nulo: R 6 sn 53,3 C 8 sn 36,87 A b) Equação 5.4: I rms C A,44 A V Rrms 6 V Equação 5.: C 8 V 4,43 V R = 3 C = F 8 C V Crms V 8 V Equação 5.: C 76 V 3,67 V Fgura 5. Exmlo 5.7. c) P I rms R a A b 3 6 W

12 896 Inrodução à análs d crcuos EXEMPLO 5.8 Drmn a rsosa do crcuo mosrado na Fgura 5.4 à nrada mosrada.,38e m,5e m sn v,e m cos v,44e m cos 4v... Solução: Para fns d análs, consdr qu anas os rês rmros rmos da xansão m sér d Fourr sjam usados ara rrsnar o snal. Convrndo os rmos m cossno m rmos m sno subsundo E m or su valor, obmos 63,6, sn v 4,4 sn v 9 Usando a noação fasoral, o crcuo orgnal od sr subsuído lo crcuo mosrado na Fgura 5.5. Para o rmo da comonn conínua (E = 63,6 V): X L curo ara cc Z R 6 I E R V R I R E 63,6 V V L 63,6 V 6,6 A A oênca méda é P I R,6 A 6 674, W Para o rmo fundamnal (E = 7,7 V, v = 377): X L vl 377 rad/s, H 37,7 Z 6 j 37,7 38,7 8,96 I E Z 7,7 V 38,7 8,96,85 A 8,96 V R I ur,85 A 8,96 6, V 8,96 V L I ux L 9,85 A 8,96 37,7 9 69,75 V 9,4 A oênca méda é P I R,85 A 6,54 W Para o sgundo harmônco (E = 9,98 V 9, v = 754): o ângulo d fas d E fo mudado ara 9 ara rmos a msma olardad qu as nsõs d nrada E E. mos X L vl 754 rad/s, H 75,4 Z 6 j 75,4 75,64 85,45 I E Z 9,98 V 9 75,64 85,45,396 A 74,45 V R I ur,396 A 74,45 6,38 V 74,45 V L I ux L 9,396 A 74,45 75,4 9 9,9 V 84,45 A oênca méda é P I R,396 A 6,94 W A xansão m sér d Fourr da corrn é,6,85 sn 377 8,96,396 sn ,45 I rms,6 A,85 A,396 A,77 A A xansão m sér d Fourr ara v R é R 63,6, sn 377 8,96,38 sn ,45 V Rrms 63,6 V, V,38 V 64,6 V R R = 6 v = 377 rad/s E m = L =, H 3 v Fgura 5.4 Exmlo 5.8 E = 63,6 V E = 7,7 V E = 9,98 V I v = 377 rad/s v = 754 rad/s V R 6 L I I Fgura 5.5 Crcuo da Fgura 5.4 com as comonns d Fourr do snal alcado. Z L =, H V L

13 Caíulo 5 Crcuos não snodas 897 A xansão m sér d Fourr ara v L é L 69,75 sn 377 9,4 9,93 sn ,45 V Lrms 69,75 V 9,93 V 75,9 V A oênca méda oal é P I rms R,77 A 6 695,96 W P P P 5.4 ADIÇÃO E SUBRAÇÃO DE FORMAS DE ONDA NÃO SENOIDAIS A xansão m sér d Fourr da forma d onda rsulan da adção ou da subração d duas formas d onda não snodas od sr drmnada usando-s as rgras da álgbra fasoral nos rmos com a msma frquênca qu são consdrados saradamn. Por xmlo, a soma das duas formas d onda não snodas a sgur é drmnada usando-s s méodo: 3 sn... 5sn sn sn 4 cos 6. rmos das comonns conínuas: V 3 V 6 V 9 V. v = : V máx 3 V V 5 V 3. v = 4: 4. v = 6: 5 sn sn 4 5 sn 6 3,775 V 3 3,54 V 3 cos 6 sn 6 9,77 V 9 7,7 V 9 V 3 3,54 V 3 7,7 V 9 3,7 V j,77 V j 7,7 V 3,7 V j 8,84 V V 3 9,36 V 7,85 3 3,4 sn 6 7,85 com 9 5 sn sn 4 3,4 sn 6 7, ANÁLISE COMPUACIONAL PSc Sérs d Fourr. Essa análs comuaconal comça com a vrfcação das formas d onda mosradas na Fgura 5.5, dmonsrando qu somn quaro rmos da sér d Fourr odm grar uma forma d onda qu nha dvrsas caracríscas d uma onda quadrada. Uma onda dss o, com valor d co d V frquênca d khz, arsna, or mo do uso da Equação 5.9 ( sabndo-s qu v = f = 683,9 rad/s), a sgun sér d Fourr: 4 V asn v 3 sn v 3 5 sn5v sn7v b 7,73 sn v 4,44 sn3v,546 sn5v,89 sn 7v Cada rmo da sér d Fourr é raado como uma fon alrnada ndndn, como mosra a Fgura 5.6, com su valor d co a frquênca alcada. A rsulan da soma das fons d nsão aarc no rssor R, sndo a forma d onda dssa nsão mosrada na Fgura 5.7. odas as fons mosradas na Fgura 5.6 são do o VSIN, como dsjamos mosrar o rsulado m função do mo, scolhmos m. Para cada uma das fons, a caxa d dálogo fo abra, os arâmros AC,, PHASE, (m V) foram ajusados, mbora anas os arâmros, PHASE nham sdo mosrados na Fgura 5.6 or qusão d lmação d saço. As ouras grandzas foram confguradas m ara qu não fossm mosradas ( ). O arâmro fo ajusado m ms, d modo qu dos cclos da forma d onda da comonn fundamnal d khz udssm sr mosrados. O arâmro fo mando no valor dfaul d s fo ajusado m ms, mbora ms/. = ms, os qurmos r mas onos no gráfco ara a forma d onda comlxa. Uma vz qu a janla SCHEMAIC nha aarcdo, a squênca rsula na forma d onda mosrada na Fgura 5.7. A ra horzonal m V é fa com raço mas grosso, clcando-s com o boão dro do mous na lnha, slconando-s scolhndo-s a cor vrd (grn) uma lnha mas grossa. Clqu m, a lnha grossa, mosrada na Fgura 5.7, aarcrá, fazndo com qu o osconamno da lnha d V fqu mas ní-

14 898 Inrodução à análs d crcuos Fgura 5.6 Uso do PSc ara alcar quaro rmos da xansão d Fourr d uma onda quadrada com amlud d um rssor d kω. Fgura 5.7 Forma d onda rsulan sobr o rssor R do crcuo da Fgura 5.6.

15 Caíulo 5 Crcuos não snodas 899 do. Ulzando-s o msmo rocdmno, as rordads da curva odm sr alradas ara amarlo com sssura maor, conform mosra a msma fgura. Usando os cursors, odmos vr qu o rmro co alcança,84 V m,63 ms, cando m sguda ara 8,9,4 ms. O valor médo da forma d onda é vdnmn V na ar osva, conform s od vrfcar aravés da nsrção d uma lnha horzonal usando-s a squênca. Em odos os ascos, a forma d onda assmlha-s a uma onda quadrada ródca com um valor d co d V uma frquênca d khz. Comonns da sér d Fourr. O gráfco do scro d frquênca, qu rvla a amlud a frquênca d cada comonn da sér d Fourr, od sr obdo ao rornarmos à oção slconarmos sgudo d, m sguda m. Clqu m dvrsos cos aarcrão no lado squrdo da la, com um scro d frquênca qu s snd d Hz a 6 khz. Avando novamn, aconando slconando, você od alrar ara a faxa d frquênca d Hz a khz, já qu é ssa a faxa d nrss ara al forma d onda. Clqu m o gráfco, mosrado na Fgura 5.8, aarcrá com a amlud a frquênca das comonns do snal. Usando o cursor squrdo, odmos nconrar o maor valor d co,74 khz, qu sá muo róxmo do valor d co da fon V,73 khz. Usando o cursor da dra, odmos movê-lo ara a osção corrsondn a 3 khz nconrar uma amlud d 4,48 V qu sá, mas uma vz, bm róxma do valor d co da fon V, qu é 4,44 V. Fgura 5.8 Comonns d Fourr da forma d onda da Fgura 5.7. PROBLEMAS Sção 5. Sérs d Fourr Para as formas d onda vsas na Fgura 5.9, drmn s os sguns rmos são rsns na xansão m sér d Fourr: comonn conínua rmos m cossno c) rmos m sno harmôncos ars harmôncos ímars S a sér d Fourr ara a forma d onda vsa na Fgura 5.3 é I m a 3 cos v 5 cos 4v 35 cos 6v... drmn a rrsnação m sér d Fourr das quaro formas d onda mosradas m a (d). Esboc os gráfcos das formas d onda não snodas a sgur consdrando qu a = v sja a abscssa. = 4 sn a = (sn a) c) = cos a Esboc os gráfcos das formas d onda não snodas a sgur consdrando qu a sja a abscssa. = 3 sn a 6 sn a = cos a sn a Esboc os gráfcos das formas d onda não snodas a sgur consdrando qu v sja a abscssa. = 5 sn v 5 sn 3v = 5 sn a 5 sn 3a c) = 4 3 sn v sn v sn 3v

16 9 Inrodução à análs d crcuos f() f() A m A m (I) (II) f() f() A m A A A m (III) (IV) Fgura 5.9 Problma. I m I m I m I m I m (c) (d) Fgura 5.3 Problma. Sção 5.3 Rsosa d um crcuo a um snal não snodal Calcul os valors médo fcaz das sguns formas d onda não snodas: = 5 sn v 5 sn v = 3 sn(v 53 ),8 sn(v 7 ) Drmn o valor fcaz (rms) das sguns formas d onda não snodas: = sn v 5 sn v sn 3wv = 6 sn(v ) sn(v 3 ) sn(3v 6 ) Calcul a oênca méda oal m um crcuo no qual a nsão a corrn são as ndcadas no Problma 6.

17 Caíulo 5 Crcuos não snodas 9 Calcul a oênca méda oal m um crcuo no qual a nsão a corrn são as ndcadas no Problma 7. A rrsnação m sér d Fourr da nsão na nrada do crcuo vso na Fgura 5.3 é = 8 3 sn 4 R V 3 v R = L L =, H mf Fgura 5.3 Problmas,. Obnha a xrssão não snodal da corrn. Calcul o valor rms da corrn. c) Obnha uma xrssão ara a nsão no rssor. Calcul o valor rms da nsão no rssor. Obnha a xrssão da nsão no lmno ravo. Calcul o valor rms da nsão no lmno ravo. Calcul a oênca méda forncda ao rssor. Ra o Problma ara = 4 3 sn 4 sn 8 Ra o Problma ara a sgun nsão d nrada: = 6 sn 3 sn 6 Ra o Problma ara o crcuo vso na Fgura 5.3. R Fgura 5.33 Problma 4. ma, H v = 377 k v o 3 v R = 5 Fgura 5.3 Problma 3. C C = 5 mf, mh mf v o A nsão d nrada, mosrada na Fgura 5.33, qu é alcada ao crcuo, mosrado na Fgura 5.33, é um snal snodal rfcado d onda comla qu od sr rrsnado la sgun xansão m sér d Fourr: V a 3 cos v cos 4v 5 53 cos 6v... b ond v = 377. Drmn a xrssão ara a nsão o usando anas os rês rmros rmos da sér d Fourr. Calcul o valor rms d o. c) Obnha a oênca méda forncda ao rssor d kω. Drmn a xrssão m sér d Fourr da nsão o vsa na Fgura Fgura 5.34 Problma 5. Sção 5.4 Adção subração d formas d onda não snodas Excu as oraçõs ndcadas a sgur ara formas d onda não snodas: [6 7 sn v sn(v 9 ) sn(3v 6 )] [ 3 sn v cos v 5 cos 3v] [ 6 sn a sn(a 8 ) 5 cos(3a 9 )] [5 sn a 4 sn(3a 3 )] Drmn xrssão não snodal ara a corrn s no crcuo vso na Fgura = 3 sn,5 sn(4 9 ) = 4 sn( 9 ),5 sn(4 3 )

18 9 Inrodução à análs d crcuos s Fgura 5.35 Problma 7. Drmn a xrssão não snodal ara a nsão no crcuo vso na Fgura v = sn 6 cos. 75 sn.8 v = 5 sn(6 3 ) 5 sn(.8 6 ) Sção 5.5 Análs comuaconal PSc Plo a forma d onda mosrada na Fgura 5. ara vsualzar dos ou rês cclos. Em sguda, obnha as comonns d Fourr comar-as ao snal alcado. Fgura 5.36 Problma 8. Plo a forma d onda d uma nsão snodal rfcada d ma-onda com um valor d co d V usando a Equação 5.. Us os rmos da comonn conínua, da fundamnal quaro harmôncos. Comar a forma d onda obda com a forma d onda d um rfcador d ma-onda dal. Dmonsr grafcamn o fo da adção d mas dos rmos à forma d onda mosrada na Fgura 5.7 gr o scro d Fourr. GLOSSÁRIO Comonn d mnor frquênca na xansão d uma função ródca m sér d Fourr. Qualqur forma d onda qu s dfrnc da função snodal fundamnal. rmos d uma xansão m sér d Fourr cujas frquêncas são múllos ímars da frquênca da comonn fundamnal. rmos d uma xansão m sér d Fourr cujas frquêncas são múllos ars da frquênca da comonn fundamnal. rmos d uma xansão m sér d Fourr cujas frquêncas são múllos nros da frquênca da comonn fundamnal. Sér d rmos dsnvolvda m 8 lo Barão Jan Fourr, qu od sr ulzada ara rrsnar qualqur função não snodal. Função snodal ou não snodal qu ossu smra m rlação ao xo vrcal. Smra d uma função qu sasfaz a rlação f = f. Smra d uma função qu sasfaz a rlação f f a b