Equações Diferenciais Ordinárias

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1 Equaçõs Dfrcas Ordáras ISIG Eg. d Ssmas Dcsoas Eg. d Iformáca Vasco A. Smõs

2 Aáls Ifsmal III Vasco Smõs

3 Aáls Ifsmal III Vasco Smõs ÍNDICE ag.. Irodução. Equaçõs Dfrcas d rmra Ordm. Equaçõs dfrcas d varávs sarávs Equaçõs dfrcas acas Facor Igra Equaçõs dfrcas lars Mudaça d varávl Equação d Broull 6. Equaçõs Dfrcas Lars d Ordm Equaçõs Homogéas d Cofcs Cosas Equaçõs ão Homogéas d Cofcs Cosas... Soluçõs arculars... Varação das cosas.. Equação d Eulr.. Rdução d ordm cohcdo uma solução arcular Aêdc Soluçõs Sgulars 9 Aêdc Ercícos varados 5 Aêdc Alcaçõs 5 Aêdc Soluçõs dcaçõs sobr os Ercícos Alcaçõs dos Aêdcs.

4 Aáls Ifsmal III Vasco Smõs. INTRODUÇÃO Muos roblmas ras volvm drvadas. Uma quação od fgurm drvadas é chamada Equação Dfrcal. S la fguram Drvadas arcas é chamada Equação Dfrcal arcal, caso coráro dz-s Equação Dfrcal Ordára. Ns caíulo vamos sudar algus méodos ara a rsolução d muas quaçõs dfrcas ordáras qu ocorrm m varadíssmos roblmas ras. Vjamos algus mlos: A sguda l d Nwo ara arículas d massa cosa m a forma vcoral r r F ma dv r S scrvrmos a aclração a forma, od v r d r é a vlocdad, ou a forma od d d r é o vcor d osção, obmos uma quação dfrcal (ou um cojuo d quaçõs dfrcas, uma ara cada como do vcor. A aa à qual o calor scaa aravés d uma jala é roorcoal à ára à aa d varação da mraura T com a dsâca a drcção do fluo d calor. Tmos ão d dt ka d d ( k é chamada coduvdad érmca dd do maral. A ordm d uma quação dfrcal é a ordm da maor drvada qu la fgura. Assm, as quaçõs dv d g di L d RI V

5 Aáls Ifsmal III Vasco Smõs são quaçõs d rmra ordm, é d sguda ordm. d r m d kr A solução d uma quação dfrcal ( com varávs é a rlação r ssas varávs qu, subsuída a quação, a rasforma uma ddad. or mlo, a rlação s é solução da quação dfrcal cos, uma vz qu s subsurmos a rmra rlação a quação obmos a ddad cos cos. Rar-s o ao qu s ou s são ambém solução da quação dfrcal roosa, so é, m gral, a solução d uma quação dfrcal ão é úca. EXERCÍCIO Vrfqu s, A B, são ou ão soluçõs da quação dfrcal. EUAÇÕES DIFERENCIAIS DE RIMEIRA ORDEM As quaçõs dfrcas ordáras d rmra ordm volvm a fução (, a varávl a rmra drvada (, são os quaçõs do o: f (,, Es o d quaçõs dvdm-s m dos grads gruos, a sabr; Equaçõs rsolvdas, s é ossívl lcar m fução d d 5

6 Aáls Ifsmal III Vasco Smõs or mlo: qu s od scrvr a forma Equaçõs ão rsolvdas, s al ão é ossívl, como or mlo o caso Comcmos or sudar o caso das quaçõs rsolvdas, qu s odm orao scrvr a forma f (, mos rar algumas coclusõs a arr do roblma vrdo, so é, como aarc uma quação dfrcal. Cosdr-s uma quação m, g (,. (a odmos dfrcar sa quação: obêm-s dg g g d d Chammos (, (, rscvam ás drvadas dfrcal rá a forma g g, ão, a quação d d (. (b odmos drvá-la m ordm a obr so é: [ g(, ( ] g g d d (. as quaçõs obdas m (a m (b são dêcas, são a quação dfrcal ordára d rmra ordm corrsod à quação cal g (,. 6

7 Aáls Ifsmal III Vasco Smõs EXEMLO A arr da quação 5 obém-s or dfrcação ( ou, or drvação m ordm a : ( d ( d ( d d O roblma qu os roomos rsolvr é o d corar a quação cal g (,, dadas qualqur uma das quaçõs (. ou (.... Equaçõs dfrcas d varávs sarávs Smr qu s avala o gral f ( d sá-s a rsolvr a quação dfrcal d d f ( raa-s d um mlo smls d uma quação qu s od scrvr d f ( d od m cada mmbro aas fguram rmos com uma só das varávs ou. Smr qu odmos sarar as varávs uma quação dfrcal, dzmos qu a quação é sarávl obéms a solução or gração dos dos mmbros da quação sarada. EXEMLO A aa à qual uma subsâca radoacva dca é roorcoal ao úmro d áomos dssa subsâca qu rsam dos do dcamo. S vrmos calm N áomos (o sa, quaos áomos rmos um sa qualqur osror? A quação dfrcal é dn d λ N od λ é aas uma cosa d roorcoaldad. Esa quação é sarávl, com fo odmos scrvê-la dn λ d N 7

8 Aáls Ifsmal III Vasco Smõs, grado ambos os mmbros obém-s dn N λ d log N λ C qu é a solução gral da quação. Agora, é obvo qu sa solução dv ddr do úmro N d áomos d qu dsúhamos à arda. Como, ara é N N log N λ C C, a solução fca mos assm drmada a cosa C a arr das codçõs arculars do roblma m qusão C log N obmos ão uma solução arcular da quação subsudo C a solução gral: ou sja ou ada log N λ log N log N N N N λ λ fca: EXEMLO Cosdr-s a quação. odmos scrvê-la fcou assm sarada. Igrado ambos os mmbros d d log( log C qu é a solução gral rocurada. Esa solução gral é uma famíla d curvas laas. S chamarmos à cosa C log A odmos smlfcar a solução obda: a solução gral ambém s od scrvr log( log log A log( A A ou A qu é a famíla d rcas qu assam lo oo (, -. 8

9 Aáls Ifsmal III Vasco Smõs Ns msmo caso, corar uma solução arcular sgfca os slccoar uma dsas rcas o qu s cosgu sablcdo um valor fo ara a cosa A, o dclv das rcas. EXERCÍCIOS ( rsolvdos Drm a solução gral d cada uma das quaçõs dfrcas sgus, ara cada uma dlas slcco a solução arcular qu sasfaz a codção dada. (a, com ( Rsosa:, orao C ( ou d d d d C Solução gral: C ara obr a solução arcular, dvmos slccoar d r as soluçõs m gral, aqula qu vrfca a codção (, so é, aqula qu assa o oo (, : C C a solução arcular rocurada srá: (b d d com s Rsosa: A quação é sarávl: d d Igrado ambos os mmbros: d d C qu é a solução gral. uao à solução arcular, m-s a solução arcular srá C ou: Vja Aêdc Soluçõs Sgulars 9

10 Aáls Ifsmal III Vasco Smõs (c ou: s log com (π Rsosa: A quação od scrvr-s d cosc d log log log log(cosc cog C log log log(cosc cog log A log log log ( A cosc A cog log Acosc Acog Usado agora a codção (π obém-s A a solução arcular srá log cosc cog EXERCÍCIOS (roosos (a ( d d com ( 5 R: C com C 5 (b com ( R: log log C com C (g cos d s s d cos com ( π π R: s cos C com C (c com ( R: C( com C (d d ( 8 d com ( R: 8 C com C ( com s (f R: C com C ( com ( R: C com C

11 Aáls Ifsmal III Vasco Smõs.. Equaçõs dfrcas acas S a quação dfrcal (, d (, d fo obda dfrcado uma quação F (,, so é, s df d d a quação dz-s dfrcal aca. Ns caso, a arr d (, d (, d od scrvr-s mdaam a solução fca, mdaam: d F F C. O roblma coss ão m drmar a fução F (,. As d assarmos à drmação d F, vjamos como é ossívl dfcar s uma quação dfrcal é ou ão é dfrcal aca. S (, d (, d é dfrcal aca, ão s a fução F (, al qu o F F su dfrcal df d d, dv-s ão r F F, ão, s form fuçõs couas drvávs com drvadas arcas couas m cro domío dvrá ambém r-s qu F F orao a quação srá dfrcal aca s: EXEMLO (a Cosdr-s a quação ( d ( d Tm-s orao raa-s d uma quação dfrcal aca. (b Cosdr-s a quação d d

12 Aáls Ifsmal III Vasco Smõs Ns caso orao a quação ão é dfrcal aca. Vjamos ão como drmar a fução F cosqum a solução quação. A quação dfrcal aca od scrvr-s F F d d F C da mos orao F F. S grarmos a rmra quação m ordm a, obém-s F (, d sa rmva rsulará cram uma fução d, a qu chamarmos Λ (, mas uma fução clusvam d, qu fucoa como cosa d gração. A fução Λ (,, or sua vz, só odrá sr a soma d uma fução com rmos od fguram smulaam, uma fução clusvam d : F Λ, C ( α (, β ( C ( (. ( D gual forma, obmos smulaam qu F (, d ou sja: F Λ, C ( α (, β ( C ( (. ( Mas, como F F m qu sr a msma fução, dv r-s:. α, α (, α(, (. β C ( (. C β ( ( coclu-s os qu: F F α (, β( β( a arr d (., ou, o qu é o msmo: F F α (, β( β( a solução rocurada srá os α, β ( β ( C (

13 Aáls Ifsmal III Vasco Smõs EXEMLO Cosdr-s a quação ( d ( d É fácl vr qu s raa d uma quação dfrcal aca, mos ão: F ( d 5 C( : F d 5 C ( ( od s dfcam faclm as fuçõs α α α(,, ( β ( Dvmos ão r β C β C, orao a fução F srá: F(, 5 β. a solução rocurada é: 5 C EXERCÍCIOS (rsolvdos (a Cosdr-s a quação ( d ( d Tm-s ( (, orao é dfrcal aca. F ( d C( F ( d C ( ão: ou: F a solução rocurada srá: C C ( rar-s qu, como ão oda dar d sr, a fução F, o rmo m qu fguram smulaam é gual m F m F (b ( d ( d é dfrcal aca (vrfqu, ão

14 Aáls Ifsmal III Vasco Smõs F ( d C( F ( d C ( s caso, ara qu s ra da msma fução, dvm sr ulos os rmos C C, orao a solução srá C (c ( d ( d é dfrcal aca (vrfqu F ( d C( F ( d o calculo ds gral od smlfcar-s muo s adrmos a qu o rmo od fguram smulaam é forçosam gual ao d F. Com fo: F ( d ( d d o rmro gral é, forçosam, o rmo d F m qu fguram. Rsa aas calcular o sgudo gral obém-s: F C ( a solução srá: C EXERCÍCIOS (roosos Rsolva as sgus quaçõs dfrcas: (a ( d ( d R: C (b ( d ( d (c (cos cos s d (s s cos d R: C R: s cos s s C (d ( sc d (g d R: g C ( ( d ( d R: C

15 Aáls Ifsmal III Vasco Smõs.. Facor Igra Cosdr-s a quação dfrcal (, d (, d, al qu, so é, ão s raa d uma quação dfrcal aca. Suohamos qu a quação é al qu é ossívl corar uma fução λ (, al qu ( λ ( λ sso sgfca qu a quação λ d λ d é dfrcal aca, sa ova quação já sabmos como rsolvr. À fução λ (, qu mullcada or ambos os mmbros da quação dfrcal cal a rasforma uma quação dfrcal aca chama-s Facor Igra. EXEMLO 5 Sja ( d ( 5 d. É fácl vr qu ão s raa d uma quação dfrcal aca os qu 6 mas, mullcado a quação or obém-s od: ( 5 5 d ( 5 d 6 6 so sgfca qu a quação cal adm a fução λ (, como facor gra, rmos 5 5 F ( d C( a solução srá: F 5 C ( 5 C 5

16 Aáls Ifsmal III Vasco Smõs Vjamos s é ossívl drmar o facor gra ara uma dada quação dfrcal. Suohamos qu a quação (, d (, d adm um facor gra λ (,, ão é dfrcal aca, so é: λ d λ d ( λ ( λ λ λ λ λ (.5 Esa quação, o caso gral, é basa comlcada d rsolvr or forma a obr λ. Dmos os d lado o caso gral vamos sudar aas os dos casos arculars sgus:. λ é aas fução d. λ é aas fução d λ No rmro caso mos λ λ (, orao m (.5 m-s d λ λ λ d lo qu a quação fca sa quação já é d fácl rsolução: d λ λ d grado ambos os mmbros fca: log λ d ou sja, d λ d λ λ ( d qu é o facor gra. É fácl vr qu o caso d λ sr aas fução d, um racocío m udo smlha a s coduz a um facor gra da forma: 6

17 Aáls Ifsmal III Vasco Smõs λ ( Rar-s qu um ouro caso armos da hós d qu o facor gra sra uma fução clusva d ou d, o ao é fácl vr a arr da quação dfrcal cal s mos um dss casos ou ão, m caso afrmavo qual dls. S S for fução só d, ão λ λ( for fução só d, ão λ λ( d EXEMLO 5 Volmos á quação do mlo aror ( d ( 5 d 6 5 Tm-s 5 orao s um facor gra qu é fução clusva d. O facor gra srá:, λ ( d log qu fo a fução ulzada ara rasformar a quação m dfrcal aca. EXERCÍCIOS (rsolvdos (a Rsolvr a quação d ( d Tm-s,, orao ão é Dfrcal Eaca. Vjamos s adm facor gra fução só d : ão é fução clusva d. Vjamos ão s adm facor gra fução só d : 7

18 Aáls Ifsmal III Vasco Smõs 8 é fução clusvam d, orao a quação adm facor gra log log log ( d λ mullcado a quação or s facor gra obém-s d d qu é dfrcal aca, ão ( C d F, log ( C d d d F a solução srá: C log (b Rsolvr a quação ( 6 ( d d sabdo qu adm facor gra fução d, ou sja (, ( ϕ λ. S ϕ é facor gra, ão ( ( ϕ ϕ, ou sja ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ξ ϕ ϕ com ξ grado ambos os mmbros m ordm á varávl ξ obém-s d ξ ϕ ξ ξ ξ ϕ log log Cohcdo o facor gra m-s a quação dfrcal aca 6 d d qu s rsolv faclm ara dar a solução:

19 Aáls Ifsmal III Vasco Smõs 9 C O roblma colocado o rcíco aror é basa comum lo qu mrc uma rsolução órca mas gral. Cosdrmos ão qu a quação dfrcal d d adm um facor gra fução d, ( α, so é:, ( ( α ϕ λ. Eão, a quação d d ϕ ϕ é dfrcal aca m-s sucssvam: ( ( ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ α ϕ ϕ α ϕ ϕ ϕ α α ( α α ϕ ϕ o facor gra fca: α α α ϕ λ d EXERCÍCIO ( rsolvdo Rsolva a quação ( d d sabdo qu adm um facor gra fução d. Tm-s,, α α α Eão o facor gra srá: d d d ( α λ α α α α Eão:

20 Aáls Ifsmal III Vasco Smõs ( d ( d é dfrcal aca : F ( d C( F d C ( a solução srá: C. EXERCÍCIO Rsolva a quação do rcíco aror rocurado um facor gra fução clusva d ou d. R: λ a solução é: C (o-s qu, quadrado a quação, obmos a solução aror Os dos rcícos arors mosram qu m gral, uma quação dfrcal od admr dvrsos facors gras. EXERCÍCIOS (roosos. Rsolva as sgus quaçõs dfrcas: (a d ( d R: C (b ( d ( d R: C (c log com ( R: log log. Drm k sabdo qu k λ é facor gra da quação d ( log d, d sguda, rsolva-a ara (. R: k, log C com C

21 Aáls Ifsmal III Vasco Smõs.. Equaçõs Lars Uma quação dfrcal d rmra ordm lar é uma quação da forma ( ( Traa-s d um caso arcular d quação qu adm facor gra fução clusva d, or sr ão frqu é muo úl rsolvê-la m arcular. A quação lar od scrvr-s d ( ( d d ( d ( d orao mos a quação: [ ( ( ] d d Π(, d Κ(, d com Π(,, Κ(,. Π Κ Eão ( Κ é fução clusva d, o facor gra srá: λ ( d obmos assm uma quação dfrcal aca: ( d d d d Arrumado os rmos da quação fca d d d d d d d d d d d d No rmro mmbro fgura o dfrcal da fução d, com fo: d ( d d ( d d d d orao odmos scrvr a quação dfrcal a forma d d d d d d d d

22 Aáls Ifsmal III Vasco Smõs d ou sja: λ λ d qu é a solução rocurada. A vaagm d, à arda, dfcarmos uma quação dfrcal d rmra ordm como sdo lar é o faco d sabrmos mdaam qual é o facor gra qual é a sua solução. d d EXEMLO rd-s rsolvr a quação orao mos mdaam: a solução srá: λ 5. É uma quação lar com d log 5 d C 5, É d oar qu ão há, à arda, huma razão ara qu o al das varávs ão ossa sr rocado, o qu sgfca qu uma quação com a forma ( ( é ambém lar, m-s s caso λ d, a solução srá: λ λ d. EXERCÍCIOS (roosos Rsolva as sgus quaçõs: (a g sc R: sc g C (b ( d d R: C log (c ( d ( d R: C 5 (d ( d d R: C ( log R: log C

23 Aáls Ifsmal III Vasco Smõs.5. Mudaça d Varávl Tal como m muos ouros domíos da mamáca, ambém o qu rsa á rsolução d quaçõs dfrcas, uma écca basa úl é a da mudaça d varávl. A quação (, d (, d volv as varávs. S fzrmos, or mlo: do m coa qu: f (, f f d d d f f a quação fca: (, f d (, f d d so é, uma quação qu volv as varávs. or vzs sa ova quação m é d rsolução basa mas smls qu a quação orgal. Um cojuo d quaçõs qu s smlfcam gradm usado uma mudaça d varávl são as chamadas quaçõs homogéas. A quação (, d (, d dz-s homogéa s (, (, form fuçõs homogéas do msmo grau, so é, s: ( k, k k (, ( k, k k (, com N s o d quaçõs rasformam-s m quaçõs d varávs saradas mda a mudaça d varávl u. EXEMLO A quação ( d ( d é homogéa, ão, fazdo u fca: ( u d ( u( u d du ( u u d ( u du qu é d varávs saradas. d u u du u EXERCÍCIO: Rsolva a quação do mlo aror. R: C

24 Aáls Ifsmal III Vasco Smõs Muas ouras quaçõs qu ão são homogéas ambém s odm rsolvr mda mudaças d varávl crrosam scolhdas. Vjamos algus mlos: Sja a quação d ( d. S fzrmos u a quação fca ( du u d ( u d faclm s saram as varávs: orao rmos a solução: log du u d u log C ou sja log log C A Vjamos ouro caso. A quação ( rsolv-s fazdo: z S calm ( dv r-s z z(, orao z, so é: z a quação fca: z z z ( z z z z z obdo-s or fm a quação lar z z z z z z z z z z z z z A drvação dv sr fa com cudado. Na quação orgal, m-s (, ão, s fução d, so é u u(, orao u. u u, u dv sr

25 Aáls Ifsmal III Vasco Smõs 5 z z qu m rsolução mdaa: C d z d λ dsfazdo a subsução, a solução fca: C ( ou, o qu é dêco: C EXERCÍCIOS (roosos Rsolva as sgus quaçõs dfrcas ulzado as mudaças d varávl dcadas: (a fazdo z R: C (b z z z z fazdo z R: C z.6. Equação d Broull Chama-s quação d Broull a uma quação dfrcal d rmra ordm com a forma ( ( Traa-s d uma quação dfrcal qu s rasforma uma quação lar mda a mudaça d varávl z. Com fo, odmos scrvr a quação a forma: ( ( ( ( fazdo agora z z z ( a quação fca: ( ( z z

26 Aáls Ifsmal III Vasco Smõs z ( ( z ( ( fazdo ( ( Π(, ( ( Κ( : A solução é ão mdaa: ou, dsfazdo a subsução: z Π( z Κ( qu é lar. z Π d Π d K Π d K d Π d d EXEMLO Cosdr-s a quação Dvddo or fca:. Traa-s d uma quação d Broull. fazdo agora obém-s z z z z z z z sa ulma quação é lar, rá facor gra λ d log z solução: d C Dsfazdo a subsução fca falm: C 6

27 Aáls Ifsmal III Vasco Smõs EXEMLO A quação d ( d od scrvr-s qu é uma quação d Broull ( é da forma ( (. Dvddo or : z ão, fazdo z z fca qu é lar, ão z λ d z z 8, a solução srá: 8 d ( ( d d z C como z a solução fca: C EXERCÍCIOS (roosos Rsolva as sgus quaçõs: (a R: C (b g s( R: sc cos C (c ( R: C 7

28 Aáls Ifsmal III Vasco Smõs. EUAÇÕES LINEARES DE ORDEM Chama-s quação dfrcal lar d ordm a uma quação do o ( ( ( (... ( ( ( É d oda a covêca raarmos s o d quaçõs m duas aas, rmro as chamadas Equaçõs Lars Homogéas, as quas s m (, d sguda as ão Homogéas... Equaçõs homogéas d cofcs cosas As quaçõs lars homogéas são ão da forma gral ( ( ( (... ( ( ara s o d quaçõs val o rcío d sobrosção qu sablc qu, s srm soluçõs larm dds,...,, ão o gral gral da quação srá GH C... C EXERCÍCIO Cosdr a quação (a Mosr qu (b Mosr qu são duas soluçõs da quação. 5 7 ambém é solução da quação. S uma quação lar d ordm, os cofcs ( são cosas, a quação dz-s lar homogéa d cofcs cosas rá a forma gral: No-s qu a dsgação Homogéas aqu ão m o sgfcado d homogdad à Eulr ulzado o arágrafo.5. Rcord-s qu,..., são larm dds s C... C C,. or mlo, as fuçõs s são larm dds, com fo: C C s C C Já as fuçõs, ão são larm dds, com fo: 5 A ( B(5 (A 5B A 5B orao mos soluçõs dfrs d zro. 8

29 Aáls Ifsmal III Vasco Smõs m-s ão: a... a a ( ( a a S for uma quação d rmra ordm já a sabmos rsolvr. Sja a a a d a d, R qu é d varávs saradas orao a d ad a log a C a log C a a C a a a C orao, a quação d rmro grau m soluçõs do o ocal. Vamos agora vsgar s uma quação d ordm odrá r soluçõs do o ocal, da forma gérca k. ara al drvamos vzs a fução a quação scrv-s ão:,, k k k k ( k k a,...,... a k k k k k k a k a k a ( a k a k... a k a... a k a k a k orao mos d faco soluçõs do o ocal raízs do olómo a k a k... a k k k ara odos os valors d k qu sjam c ( k k a. Es olómo chama-s olómo caracrísco da quação dfrcal, a quação a k a k.. a k a é a quação. caracrísca da quação dfrcal. Esa quação caracrísca obém-s faclm a arr da quação dfrcal subsudo cada drvada d ordm, (, la oêca d k, k. 9

30 Aáls Ifsmal III Vasco Smõs EXEMLO Cosdr a quação dfrcal a quação caracrísca é k k qu m raízs -, ão rmos a solução gral od A B são cosas d gração. A B A solução srá dêca s as raízs do olómo caracrísco form comlas. Ns caso é d oar qu as raízs comlas aarcm smr aos ars a b a b. Cosdr-s ão uma quação dfrcal qualqur, al qu o su olómo caracrísco adma raízs comlas cojugadas a b a b. A sua solução srá ão A B ( a b ( ab Normalm sa solução é arsada oura forma. Rcordado a Fórmula d Eulr a solução obda od scrvr-s: A a ± α cs( ± α cosα ± sα a b B a b a b b [ A B ] [ A(cosb s b B(cosb s b ] a fazdo A B C, ( A B C fca: [( A Bcosb ( A B s b ] a ( C cosb C s b ou, s as raízs comlas cojugadas do olómo caracrísco form dcadas or R( K [ C K C s(im K ] cos(im K, K : EXEMLO Sja a quação. A quação caracrísca k k adm soluçõs comlas ±, ão, R K, Im K a solução gral srá: ( C cos C s

31 Aáls Ifsmal III Vasco Smõs Vjamos agora o caso d rmos raízs múllas do olómo caracrísco. Suohamos qu a raz k k do olómo caracrísco é dula. Eão, além d sr raz do olómo caracrísco é ambém raz da drvada do olómo, so é: dvmos os r qu, além d c k c ( k ( k c( k k k ambém c( k c ( k sa gualdad é garada s k for raz dula da quação caracrísca. oso so, s mos uma quação a d d d d k k a... qu é vrfcada ara drmado k raz dula da quação caracrísca a drvamos m ordm a k: a d d d d k k a... sa quação vrfca-s ara o msmo k, coclu-s qu, o caso d k sr raz dula da quação caracrísca ao a fução k como a fução k são soluçõs da quação dfrcal. Como s raa d fuçõs larm dds, a solução gral srá k C C k ( C C qu é do o gral k olómo d grau ( mullcdad Um racocío smlha rm coclur qu, s k for uma raz d mullcdad da quação caracrísca, a solução srá: k olómo d grau ( k EXEMLO ara a quação dfrcal a quação caracrísca é k k k ( k qu adm a raz rla k, ão a solução gral srá ( A B C

32 Aáls Ifsmal III Vasco Smõs EXEMLO S bm qu os rcícos qu vamos rsolvr ão aarcm quaçõs caracríscas com raízs comlas múllas, o rocsso ara a sua rsolução é smlha ao das raízs ras múllas. or mlo, s o ar a ± b é dulo, a solução srá ( a b ( ab [ A B ]( C D [ E cosb F s b] ( C D [ C C cosb ( C C s b ] a a ( EXERCÍCIOS (roosos. Rsolva as sgus quaçõs dfrcas: (a R: B C (b R: ( Acos B s (c R: A B cos C s (d 6 9 R: ( ( V R: A B A B C D E (f 5 R: A ( B cos C s (g R: ( cos s A B C. A quação caracrísca corrsod a uma quação dfrcal homogéa d cofcs cosas, adm como raízs : rla ± (a Escrva a quação dfrcal. (b Drm a sua solução gral. (c Drm o gral arcular qu sasfaz ( ( ( ( π ( π R: (a ( V (b A B C D cos E s (c cos s

33 Aáls Ifsmal III Vasco Smõs.. Equaçõs ão homogéas d cofcs cosas Como já fo do arás, uma quação ão homogéa, ou comla, d cofcs cosas é da forma gral ou a... a a ( ( ( a a... b b ( ( b, ( Já vmos como drmar a solução gral da quação homogéa corrsod... b b ( ( b R Chammos-lh, sso sgfca qu s m: ( ( b.. b b (.6. Suohamos agora qu, d alguma forma, cohcmos uma solução arcular da quação comla, chamado-lh, rmos... b b ( ( b ( (.7 Somado (,6 (,7 mmbro a mmbro obém-s ( (... b b b... b b ( ( b ( so é: ( ( ( b (... b ( b ( ( orao, a fução: é solução da quação comla. D faco é msmo a solução gral da quação comla uma vz qu la vão fgurar cosa d gração arbráras. Em rsumo, a solução gral d uma quação dfrcal lar d ordm cofcs cosas é a soma da solução gral da quação homogéa corrsod com uma solução arcular da quação comla.

34 Aáls Ifsmal III Vasco Smõs EXEMLO A quação ão é homogéa. A quação homogéa corrsod m uma quação caracrísca qu adm raízs -, orao A B. od faclm vrfcar-s qu a quação comla adm a solução arcular E rmos a solução gral da quação comla: A B 9 9 Como s od vrfcar s mlo, o roblma coss m drmar uma solução arcular da quação comla. É a sa arfa qu os vamos ddcar d sguda.... Soluçõs arculars Como fo vso, a rsolução das quaçõs lars d ordm volv a drmação d uma solução arcular. Um méodo gral ara obr a solução é o méodo da varação das cosas d qu falarmos mas ada, o ao há gruos d fuçõs ( qu rmm d uma forma ráda obr. Em gral, quado rocuramos uma solução arcular, amos corá-la do o do rmo da quação dfrcal qu qubra a homogdad, so é, do o d (. (a S ( é um olómo d grau, rocura-s uma solução arcular ambém olómo d grau, dsd qu sja dd da solução gral da quação homogéa corrsod. or mlo, ara m-s ( é um C C, como olómo d grau, amos obr uma solução arcular com a forma: a b

35 Aáls Ifsmal III Vasco Smõs qu é obvam dd d. Agora rsa corar os valors acos das cosas a b. ara al, colocamos a solução arcular a quação dfrcal. Como a, a quação dfrcal fca orao ão, a fução gral srá: a ( a b a b a a a b a b 9 sasfaz a quação comla, é os uma solução arcular, a solução 9 G C C 9 Cosdrmos agora o caso m qu a fução do o d ão é dd d. Sja. Tm-s ão C C. Como é um olómo d rmro grau, ar-s-a dd d a b, mas uma scção a sa solução rvla mdaam qu la ão é, com fo, m ambas fgura um rmo cosa ( C m, b m, orao o olómo gral do rmro grau ão va sr solução da quação dfrcal o qu s od vrfcar s subsurmos sa solução a quação armos corar os valors d a b covs qu coduzrá a mossbldads. Com fo, com sa solução, a quação fca: a a so sgfca qu ão há valors d a b qu façam a fução a b sr solução da quação dfrcal. uado so sucd, assamos a ar a ova solução arcular qu s obém da aror mullcada or, so é, a-s ( a b a b sa fução é dd d ( com fo m ão fguram rmos m m m, orao sa dv sr a boa solução arcular a rocurar ( s sa solução ada ão foss dd d, orava-s a mullcar or aé obr uma solução dd. a b, a 5

36 Aáls Ifsmal III Vasco Smõs a quação dfrcal fca ão a a b a b orao, a boa solução arcular é a solução gral rocurada é G C C (b S ( é o roduo d um olómo or uma ocal, couado a scolhr soluçõs arculars do o d, rmos ambém, á arda ( k dsd qu sa solução sja dd d. or mlo, sja 5, m-s C C do m coa qu é o roduo d um olómo d grau com uma ocal, a-s sa solução é dd d ( a b a b é os a boa solução, rsa corar a b. ( a b a, (a b a ão m-s a a b a 5a b a b a a b a b / a solução arcular é a solução gral rocurada é: G C C S or ouro lado vrmos a quação, fca A B, como é o roduo d um olómo d grau zro (cosa or uma ocal, a-s C. Mas sa fução ão é dd d assa-s a: 6 ( cosa fgura m ambas, orao

37 Aáls Ifsmal III Vasco Smõs qu é dd d C orao a boa solução arcular. Com sa solução arcular obém-s o fal (rcíco G A B (c S m ( fgura a fução s k ou cos k, rocuram-s soluçõs arculars qu sjam combaçõs lars d s cos d k, dsd qu dd d. Ns caso ora-s cssáro qu a solução arcular fgurm sos cosos uma vz qu as drvadas sucssvas d são, acam, sos cosos. Sja ão s. É fácl coclur qu C C, como é o roduo d um olómo d grau com s rocura-s uma solução arcular do o ( a b( As B cos qu é mafsam dd d ( aa ba s ( ab bb cos ( D Es ( F Gcos. Já ara o caso da quação cos, m-s C cos C s como é o roduo d um olómo d grau zro or cos, a-s a s bcos qu ão é obvam dd d. Mullcado ão sa fução or fca as b cos sa sm, sdo dd d, é a boa solução arcular a drmar. (d S (... cada é do o (a, (b,(c ou msmo do o olómo vzs ocal vzs susód, a solução gral da quação homogéa é a msma, o rcío da sobrosção rm qu s cor a solução arcular como sdo a soma das soluçõs arculars corrsods a cada rmo dvdualm. Vjamos um mlo ds caso. 7

38 Aáls Ifsmal III Vasco Smõs Sja. Fca ão C C. Cosdr-s agora a quação rocura-s a b obém-s. 9 Agora, cosdra-s a quação rocura-s A, qu rm coclur qu (rcíco. A solução gral da quação comla srá os G C C 9 EXERCÍCIOS (roosos. Rsolva as sgus quaçõs dfrcas (a (b s R: A B cos s 5 6 R: A B 9 (c R: Acos B s (d ( (f (g (h ( R: C C C s R: A B C s cos cos R: A B cos C s cos R: cos R: R: A B 6 A B C ( C A B 6 cos C s. Rsolva a quação ( 8 6 fazdo a mudaça d varávl. 8

39 Aáls Ifsmal III Vasco Smõs R: A ( B (. Cosdr a quação IV ( (a Vrfqu qu é solução da quação homogéa corrsod. (b (c Drm o gral gral da quação homogéa. Cosdr ( drm o gral gral da quação comla. R: (b C C C cos C s ( (c C C ( C cos C s... Varação das cosas O méodo qu vamos or d sguda é gral, mas or sr rabalhoso dv sr vado smr qu sja ossívl obr as soluçõs rocuradas or oura va. Comcmos or um mlo smls d uma quação qu, ara lusrar a graldad do méodo, m squr é d cofcs cosas, a quação lar é fácl quas mdao sablcr a sua solução (Ercíco: 6 C 6 Vjamos como rsolvê-la ulzado o méodo da varação das cosas. rmro obém-s a solução da quação homogéa qu, sdo d varávs sarávs coduz a: orao: d d d d log log C C 9

40 Aáls Ifsmal III Vasco Smõs solução C Agora, vamos suor qu a cosa C é d faco uma fução d, C C(, ara qu a C( G é s rasform a solução da quação comla, so é, samos a suor qu solução da quação comla. Como a quação comla fca: C C C C 6 C C C C C C 6 orao dv sr ou, scro d oura forma C C d A 6 C( A G 6 6 A 6 Vjamos ão o qu s assa o caso gral da quação (... ( ( ( qu suomos admr como solução gral da quação homogéa a fução C Suodo ão qu os C são fuçõs d, C C (,,,...,, r-s á C ( ( C C como mos aas fuçõs a drmar, C (,..., C (, odmos sablcr uma rlação arbrára r rmos d, faz-s orao: C (

41 Aáls Ifsmal III Vasco Smõs C s caso a sguda drvada é d ovo odmos mor fcado ão C C C ( C com falm: Rdo o rocsso, chga-s or fm à codção ( ( ( C (- C ( ( C Colocado as sucssvas drvadas a quação dfrcal comla, do m coa qu os são soluçõs da quação homogéa, fca ou, com R, C ( ( ( C C... C C ( : C C... R C R C ( ( mas, como os são soluçõs da quação homogéa, fca aas C ( qu, juam com as codçõs (, (,., (- mosas rm calcular os C or gração. C, obdo-s os

42 Aáls Ifsmal III Vasco Smõs EXEMLO Sja g É fácl vr qu (rcíco: C cos C s Suodo ão qu C C são fuçõs d r-s-á C cos C s C s C cos Imõ-s ão qu C cos C s (a ão: C s C cos C s C cos C cos C s ão a quação comla fca C s C cos g (b juado (a (b: orao C cos C s C s C cos g s C cos C s s cos C d d d A (sc cos log sc g s cos cos C s d cos B lo qu, a solução rocurada é G Acos Bs log sc g cos EXERCÍCIOS (roosos. Rsolva as sgus quaçõs dfrcas: (a sc R: A B cos C s log sc g cos s log cos (b 6 9 R: ( A B log

43 (c Aáls Ifsmal III cos R:. Rsolva a quação cos( Vasco Smõs s As B cos cos (a Usado o méodo da varação das cosas (b Fazdo a mudaça d varávl z R: A B cos(.. Equação d Eulr A quação d Eulr é um caso arcular d uma quação dfrcal lar d ordm, od os cofcs ( êm uma forma drmada, o qu va rmr rsolvê-la d uma forma mas ou mos smls. A sua forma é al qu, cada drvada ( aarc mullcada or múllos ros da oêca d um olómo d grau : a ( ( ( a (... a ( a ara uma quação ds o, a subsução ( a b ( rasforma-a uma quação lar d ordm cofcs cosas. Com fo : : Como d d d d (, ão d d d d a d d d d d d d d orao: d d d d d d a d d d d ( a a ( a ( a ( d d d a d d... a ( d d d d d c Colocado sas drvadas a quação dfrcal, obém-s

44 Aáls Ifsmal III Vasco Smõs ou sja:... a a ( a a a (... a a ( a a a (... a a a a a a a (... a a ( a a a a a ( qu é d cofcs cosas:... A B C ( EXEMLO Sja a quação ( ( Fazdo d, d, as drvadas fcam : d d d d d d d d ( ( d d ão a quação fca: qu é d cofcs cosas. Rar-s qu aas a quação orgal, as drvadas dcadas or, são m ordm a, odas as ouras são drvadas m ordm a. Equao a quação orgal volv varávs, a quação d cofcs cosas fal volv vrávs. EXERCÍCIOS (rsolvdos d d. Sja a quação log. d d S, ão: d d d d d d d d

45 Aáls Ifsmal III Vasco Smõs d d d d d d d d Subsudo a quação orgal, obém-s uma quação m : d d d d d d d d d d ( ara a quação homogéa m-s a solução gral A B, d sguda rocura-s uma solução arcular ( a b (rcíco, obdo-s: orao A B como log fca B (log log A. Sja d d ( ( d d Fazdo fca: d d d d d d d d a quação fca: d d d d d d d d d d d d d d qu é d cofcs cosas. A quação caracrísca m soluçõs, orao A B rocura-s d sguda soluçõs arculars do o do rmo qu qubra a homogdad, s caso ( ar-s-a a b, mas ão é dd d, há os qu ar a b 5

46 Aáls Ifsmal III Vasco Smõs a quação, com orao a ( a a ( a a fca aas a C a quação, com fca aas C orao Eão A B ou, como log( [ A log( ] B ( EXERCÍCIOS (roosos Rsolva as sgus quaçõs dfrcas d d d. log d d d cos(log s(log log R: A [ B C ]. 5 log R: log log A ( B C log 8. R: A B C 5 5. R: A B 6.. Rdução d ordm cohcdo uma solução arcular Uma écca arcularm úl m város casos é a sgu. Suohamos qu, d alguma forma, cohcmos uma solução arcular h da quação ( homogéa corrsod a uma quação lar d ordm, f (,...,,,. Ns caso, é 6

47 Aáls Ifsmal III Vasco Smõs ossívl rasformar a quação dfrcal uma quação dfrcal d ordm mda a mudaça d varávl Cosdr-s or mlo a quação. dos rcícos roosos acma h z Obsrvado a solução coclu-s qu uma ossívl solução arcular da quação homogéa corrsod é. Fazdo ão ou aas: S for ão qu é lar: z z, z z, z z z, a quação fca h z z z z z z w z fcamos com a quação d rmra ordm w w w w mos os o facor gra λ d log log, a solução como z wd : rsa agora obr w d C C w C z C d D 6 6 z C D 7

48 Aáls Ifsmal III Vasco Smõs EXERCÍCIOS (roosos Rsolva as quaçõs dfrcas sgus, uma vz cohcda a solução arcular da quação homogéa corrsod dcada (a ( sabdo qu h R: A B (b d d d d sabdo qu log h R: A B (c 6 8 sabdo qu h R: A B 8

49 Aáls Ifsmal III Vasco Smõs Aêdc Soluçõs Sgulars Cosdr a quação dfrcal d d. cuja solução é É uma quação d varávs sarávs d d C Asar dsa solução sr chamada solução gral, é fácl mosra qu a fução cosa ± é solução da quação dfrcal, com fo a quação d d od scrvr-s: d, s ±, m-s orao a quação rasforma-s uma d ddad. O qu é d oar é qu sa solução ± ão od sr obda da solução gral C or scolha rcsa da cosa C. d d Ás soluçõs chamam-s soluçõs sgulars. Fazdo um sboço d dvrsas soluçõs gras, ara város valors d C odmos vrfcar uma rordad rssa dsas soluçõs sgulars. O gráfco das soluçõs sgulars é ag m cada oo a um dos gráfcos da solução gral. 9

50 Aáls Ifsmal III Vasco Smõs No gráfco acma são rrsados os ramos osvos d ( ara dvrsos valors d C r. Todas as curvas são ags à solução sgular. No-s qu a quação usada ão é lar. ara quaçõs lars, odas as soluçõs são codas a solução gral, mas as quaçõs ão lars odm r soluçõs qu ão são codas a sua solução gral. Iso sgfca qu uma quação ão lar d rmra ordm m od r od r duas ou mas soluçõs qu assam or um drmado oo (, quao qu uma quação lar m smr aas uma solução qu ass or um drmado oo. EXERCÍCIO (Rsolvdo Drm soluçõs sgulars da quação. Tm-s d d arcs C orao s( C Na fgura são dvrsas soluçõs gras, od vr-s qu as rcas ± são ags a odas las, dvm os sr soluçõs sgulars da quação. Com fo ± a quação rduz-s a uma ddad. 5

51 Aáls Ifsmal III Vasco Smõs Aêdc - Ercícos varados. Rsolva as sgus quaçõs dfrcas (sarávs, acas, homogéas, facor gra (a cos al qu ( (b g g. log (c com ( (d ( d d ( s (f ( d d (g ( s d ( cos s d (h d ( d ( (arcs d ( arcg d (j ( d ( d (k d ( d (l d ( d. Rsolva as sgus quaçõs (d rmra ordm lars Broull (a cos g (b arcs (c log log com ( (d ( arcg ( cos s (f ( (g ( ( 5 (h cos (j g s. Rsolva as quaçõs (lars d ordm (a (b ( (c IV (d com ( (f π π (, ( 6 6 π 6 5 com (, ( 9 5

52 Aáls Ifsmal III Vasco Smõs (g s com ( cog (, ( (h 5 6. Rsolva as sgus quaçõs ( quação d Eullr, rdução d ordm (a (b ( ( 8 (c ( log (d com (, ( d d log (f d d 5. Rsolva as quaçõs sgus fcuado a mudaça d varávl dcada (a (c z (b, ( cos cog, arccos cos, 6. Uma quação dfrcal d 5ª ordm, lar homogéa d cofcs cosas, adm como soluçõs cos(. Drm a quação m causa. 7. Rsolva a quação ( ( 8 (a fazdo a subsução (b ardo do cohcmo qu é uma solução da quação homogéa. 8. Sja ϕ ( uma fução drvávl. Rsolva a quação d ϕ ( ϕ ( ϕ( ϕ ( d 9. Cosdr a quação d ( d. Sabdo qu s um facor gra da forma k λ (, k R drm o valor d k gr a quação. 5

53 Aáls Ifsmal III Vasco Smõs Aêdc Alcaçõs 5

54 Aáls Ifsmal III Vasco Smõs Aêdc Soluçõs dcaçõs sobr os Ercícos Alcaçõs dos aêdcs 5