Representação de Sistemas Dinâmicos. Profa. Vilma A. Oliveira USP São Carlos Março de 2011

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1 Rprsação d Ssmas Dâmcos Smáro Profa Vlma A Olvra USP São Carlos Março d Ssmas físcos modlos Dscrção rada-saída Eqaçõs d ssmas dâmcos Ssmas rlaados, casas lars dscros por opradors 3 Igral d sprposção 3 Igral d covolção 5 Ivarâca o mpo 5 3 ção d rasfrêca 5 3 Rprsação spaço d sado 6 3 Classfcação d ssmas spaço d sado 6 3 Larzação a vzhaça d m poo fo 7 33 Ssmas lars varas o mpo 8 34 Solção, modos, rsposa mplsva, fção d rasfrêca 3 4 Ssmas qvals 6 5 Ssmas lars dscros o mpo 7 5 Rprsação rada-saída 7 53 Rprsação spaço d sado Solção o domío do mpo ção d rasfrêca 6 Ssmas amosrados Domío da frqüêca 6 rasformação blar o apromação d s 3

2 Ssmas físcos modlos Para o propóso d aáls projo m ssma físco é m gral rprsado por m modlo smplfcado q rém os arbos rlvas para o problma m qsão Um ssma físco pod r dfrs modlos dpddo das codçõs da sa opração aplcação Na omclara d corol os modlos d ssmas físcos são doados ssmas os ssmas físcos plaas o procssos Por sa vz, os modlos podm r dfrs rprsaçõs mamácas O objvo dsas oas é aprsar as rprsaçõs rada/saída spaço d sado d modlos d ssmas físcos bm como as sas proprdads prcpas Rfrêcas sadas sa ala: CHEN, C Lar Sysm hory ad Dsg, HRW, 998 RUGH, W J Lar Sysm hory, Prc-Hall Iformao ad Sysm Sccs Srs, 996 Dscrção rada-saída A dscrção rada-saída forc ma rlação mamáca r a rada saída do ssma As proprdads do ssma são obdas aravés da aplcação d radas d s As radas são doadas por m vor m, [ K m ] as saídas por m vor q, y [ y Ky q ] A rprsação smplfcada do ssma a forma d dagrama d blocos é: Ssma y Noação: o doa m vor dfdo m -, ; é sado para rprsar o valor d o mpo ; [, ] sgfca q é dfdo m [, ] A rprsação ípca d m ssma d corol comm corada é a mosrada o dagrama da gra m q r é a rada d comado, rído do ssor, d prrbação d rada da plaa, d prrbação da saída da plaa, y saída; Ks Gs fçõs d rasfrêca do corolador procsso, rspcvam d d r Ks P Gs y - gra: Ssma a malha fchada Eqaçõs d ssmas dâmcos

3 3 As qaçõs dfrcas d m ssma são obdas a parr das ls q dscrvm o s comporamo o mpo Por mplo, a l d Nwo a l d são corr d Krchhoff são a bas da cosrção das qaçõs d movmo para ssmas mcâcos para ssmas lércos, rspcvam Coslar os lvros os báscos d corol para mplos A forma mas gral d scrvr ma qação dfrcal lar d cofcs cosas d ordm é m d y d y d y dy d a a a a a y b b m m d L L d d d d od y é a saída é a rada a,, L, b j, j, L, m cosas com m < Ssmas rlaados, casas lars dscros por opradors Dfção: S a saída d m ssma m dpdr som da rada aplcada m o ssma é chamado ssma saâo o ssma sm mmóra Dfção: Um ssma é do sr rlaado m s só s a saída y [, é cada cam por [, Pod-s scrvr: od H é m oprador, o smplsm: y [, H [, y H Dfção: Um ssma é do sr casal o ão acpaóro s a saída do ssma o sa ão dpdr da rada aplcada dpos do mpo ; dpd apas da rada aplcada o mpo as do mpo Pod-s scrvr: y H, ] para m -, para m ssma casal rlaado Dfção: Um oprador é lar s para radas obr-s: H α α H α H α Igral d sprposção O oprador H para ssmas lars rlaados pod sr dscro m rmos d ma gral d sprposção, sado a fção dla o mplso d Drac Sja a fção

4 4, δ Δ, Δ < < Δ Δ δ é a chamada fção plso Δ S faz-s Δ m-s: δ : lm δ Δ q é a chamada fção mplso d Drac o fção dla Δ Sja y H Apromado por ma sér d fçõs plsos: sbsdo spodo H lar m-s: δ Δ Δ : y H Hδ Δ ] Δ [ fazdo Δ,, m-s: y Hδ τ τ dτ dfdo H δ τ g, τ, od τ é o mpo m q a fção δ é aplcada o mpo m q a saída é obsrvada, m-s y g, τ τ dτ od g, τ é a chamada rsposa mplsoal do ssma a gral é a gral d sprposção Porao, s g, τ for cohcda, a saída y pod sr obda para odo No caso mlvarávl a gral d sprposção fca: com G, τ ma marz m formada plas rada j y G, τ τ dτ 3 q, τ g j rsposas mplsoas r a saída a

5 5 Obsrvação: Um ssma lar rlaado pod sr rprado como m oprador lar q mapa o spaço d fçõs coías por par m -, m oro spaço d fçõs coías por par Igral d covolção Ivarâca o mpo As caracríscas do ssma ão mdam com o mpo Dz-s q o ssma é fo, o sacoáro Dfção: Um ssma lar rlaado é vara o mpo s só s HQα Qα H Q para α com Q α o oprador d dslocamo: Qα α, A rsposa mplsoal g, τ d m ssma rlaado vara o mpo dpd apas da dfrça τ D fao, pla dfção d varâca o mpo m-s: Q α g, τ Qα Hδ τ HQαδ τ, sado a dfção d g, τ, pod-s scrvr H δ τ α g, τ α Agora, pla dfção d Q α, a qação Q α g, τ g, τ α mplca g, τ g α, τ α,, α, τ Escolhdo α -τ, m-s g, τ g τ,,, τ Podmos coclr q a rsposa mplsoal d m ssma lar rlaado vara o mpo dpd apas da dfrça r τ Porao, pod-s obr a rsposa y m rmos: q é a chamada gral d covolção 3 ção d rasfrêca Cosdr a gral d covolção 4: α y y G τ τ dτ 4

6 6 y G τ τ dτ lzado a rasformada d Laplac m-s: ys Gs s od G s dada pla rasformada d Laplac d G dfda por s G s : G d doa a fção d rasfrêca r y Prova: Aplcado a rasformada d Laplac m 4, m-s para s y s G τ τ dτ d Uma vz q o ssma é casal m-s G τ para τ > Eão, s y s G τ τ dτ d Mdado a ordm d gração m-s: s y s G τ d τ dτ Usado a proprdad d dslocamo da rasformada d sτ Laplac: L{ G τ } G s, m-s y s s G s τ τ dτ E o rslado sg 3 Rprsação spaço d sado Eqaçõs dfrcas podm sr dscras como m cojo d qaçõs dfrcas d a ordm smlâas Para ssmas dâmcos d dmsão fa, sas qaçõs são rprsadas a forma spaço d sado como ma qação voral &,, 5 y H,, m q com R a rada, y R a saída R o chamado sado,, H,, fçõs voras A dscrção compla d ssmas dâmcos rqr m cojo d codçõs cas para o sado com o mpo cal Dfção: O sado d m ssma m,, é a qadad d formação m q, jam com [, drma cam o comporamo do ssma para odo 3 Classfcação d ssmas spaço d sado Ssma aôomo: S m 5,,, o ssma é do sr aôomo Ssma pródco: S, D qado, D s,,,, para odo, D ão &,,,,

7 Ssma homogêo lar: S m 5,, A m q A [ a ] j 7 é ma marz ral com lmos a j coíos por par m m rvalo d mpo dfdo para Ssma ão homogêo lar: S m 5,, A B marz ral m formados por lmos coíos por pars com B [ b ] ma j Ssma homogêo, aôomo lar: S m 5,, A A a j R com [ ] Para o caso lar, ão aôomo ão homogêo cldo a saída y pod-s scrvr as qaçõs d sado saída varas o mpo & A B y C D 6 com A, B, C D marzs, m, q qm, Para smplfcar a oação, m gral rfr-s a s ssma como ssma A,B,C,D A prmra qação é a qação d sado a sgda a qação da saída Para qalqr ralzação A,B,C,D s ma ralzação dal A,C,B,D E falm, para o caso lar, aôomo ão homogêo cldo a saída y pod-s scrvr as qaçõs d sado saída varas o mpo & A B, com A, B, C D marzs cosas y C D 3 Larzação a vzhaça d m poo fo Podmos sdar o comporamo d 5 para o caso aôomo a vzhaça d m poo fo ambém chamado d poo d qlíbro d m ssma ão-lar, fazdo ma larzação spodo q H sjam fçõs savs s poo Spoha q, sja m poo fo d 5} Para ma pqa prrbação ζ v m-s ζ, v 8 Sbsdo agora 8 m 5 obém-s & ζ ζ, v 9 Assm, rasformamos o poo fo, d 5 o poo fo ζ, v Spodo a class C, o mímo, pod-s padr 9 m ma sér d aylor m oro do poo, ão & ζ, grad ζ grad v,, 7

8 8 od grad grad são as marzs Jacobaas d m rlação a, rspcvam, dadas por, L L L L K, L L L L K Dssa forma, dsprzado os rmos d ordm spror, m-s Bv A v grad grad ζ ζ ζ,, & com A B calcladas m, 33 Ssmas lars varas o mpo Cosdr a rprsação das qaçõs spaço d sado saída D C y B A, & com A, B, C D marzs cosas Um ssma com ma rada m ma saída q é chamado ssma SISO das cas d sgl p ad sgl op, s ão for o caso o ssma é chamado MIMO das cas d mlpl p ad mlpl op A corrspod marz d rasfrêca r y é dfda por: s U s G s Y od D B A si C s G Spõ-s q Gs m poso complo PosoGsmp,m A sg oação é frqüm sada: D B A si C D C B A :,,, D C B A ssma dâmco lar a forma spaço d sado O modlo spaço d sado al q,,, D C B A D B A si C s G é domado ma ralzação spaço d sado d Gs

9 9 Rprsação spaço d sado dagrama d blocos do ssma: D B C y A Emplo : Pêdlo vrdo sobr m carrho Cosdr o ssma d pêdlo vrdo mosrado a fgra aprsada a sgr Ch, 999 Projar m ssma d corol para mar o pêdlo vrdo a posção vrcal a prsça d dsúrbos aplcados ao âglo θ /o a vlocdad aglar & θ É dsjado q o ssma d corol ror o carro à posção d rfrêca ao fal do procsso d corol Não há rada d rfrêca para o carro Cosdr os valors mércos para M, m, l, I, b : M kg, m kg, l 5m, I 6 kg * m, b N/m/sc As qaçõs do pêdlo vrdo o ssma do carrho podm sr obdas a parr do dagrama d corpo lvr mosrados a fgra abao com H V as forças vrcal horzoal rcdas plo carrho sobr o pêdlo

10 Somado as forças do dagrama do carro a drção do movmo lar m-s: M& b& H &, somado as forças do dagrama do pêdlo a drção horzoal m-s: d H m lsθ d m && ml && θ cosθ ml & θ sθ d V mg m lcosθ d ml[ && θsθ & θ cosθ ] Somado as forças do dagrama do pêdlo a drção vrcal m-s: : Vs θ H cosθ mgsθ ml && θ && l cosθ Somado os momos m oro do cród do pdlo m-s: Combado as das úlmas qaçõs m-s: V lsθ Hl cos θ I & θ θ&& mglsθ ml& & cosθ I ml As qaçõs dâmcas do ssma podm ão sr rsmdas m M m && ml && θ cos θ ml & θ sθ V mg ml[ && θsθ & θ cos θ ] I ml && θ mglsθ m &&l cos θ Larzado m oro d θ dsprzado os rmos θ & m-s V mg obém-s as qaçõs dâmcas:

11 Agora, dfdo as varávs d sado como scrvr a qação d spaço d sado: & A B M m && b& ml && θ I ml && θ ml&& mglθ θ, θ, & 3 ; 4 & pod-s Ercíco : Obr as qaçõs dâmcas do pêdlo va a formlação Lagragaa Emplo : Ssma d sspsão magéca O ssma d sspsão magéca coss d ma bola d mal q dv sr mada aravés d qlíbro r a força gravacoal a força lromagéca a ma dsâca z da boba O dagrama sqmáco do ssma é mosrado abao Olvra al, 5 O modlo para o ssma é obdo a parr das qaçõs: L f, z a z/ a d z m mg f, z d d L z v R d m q f, é a força lromagéca [N], é a corr a boba [A], v é a são aplcada [V], L R são a dâca [H] a rssêca da boba [Ω], a é ma cosa [m] L L-L Esas qaçõs são ão lars, mas podm sr larzadas m oro d m poo

12 d qlíbro Os parâmros são aprsados a abla Nsa abla, L é ma cosa q aproma L o poo d qlíbro No qlíbro mg f z, forcdo para L cosa z 45 : mga z L a abla : Parâmros do ssma d sspsão magéca massa da sfra málca m [kg],6-3 rssêca da boba R [Ω] 9,9 dâca da boba apromada L [H],5 dâca boba o poo d opração L [H],49 - posção da bola o poo d opração z [m] 4,5-3 cosa a a [m] 6,7 3 Modlo do ssma a forma spaço d sado Plas qaçõs acma q rgm o ssma, por mo d maplação algébrca obmos a rprsação do ssma d sspsão magéca a forma spaço d sado dfdo-s z, z& : 3 & od L 3 g am a v R 3 L E o poo d qlíbro é dado por [ z,, ] Larzado m oro d z m-s, v & & Dfdo, v, v v, v v v

13 3 pod-s scrvr od A : com l v v & A B l l k k ; B : m m v v,, R L L f L f L, k z z, z z, z k 3 [ a ] [ a ] a a z 45, 447, v R, porao, v Solção, modos, rsposa mplsoal, fção d rasfrêca Solção orma A solção do ssma 6 é dada por A A τ B τ dτ Prova Aplcado a rasformada d Laplac o ssma 6 obém-s s s A s B s s si A si A B s y s C si A [ C si A B D] s A parr da apromação m sér d aylor m oro da orgm para A A A A A dada por

14 4 pod-s obr A k k A A parr da rasformada d Laplac k k! A k k s L{ } A d k! k k A k k sado L { } s pod-s vrfcar q L { } s A s s A k! k Uma vz q f s s s s k k s pod-s obr k s A I s A s I s Dsa forma pod-s scrvr si A A s si A s L{ A } si A porao Cosdrado a apromação m oro d obém-s oado q o sgdo rmo d A solção y é dada por A A τ B τ dτ, é a covolção d A com B A A y C τ [ C B Dδ τ ] τ d τ Spoha, m-s ão a rsposa Doado à rada la: A A Φ, : pod-s scrvr : s,,, Φ, A úlma qação é a chamada marz d rasção d sado a qal dscrv a propagação do sado d ao mpo Pod sr rprada como m oprador

15 5 A solção úca d & A para é da forma A Modos do ssma Para rodzr os modos d & A prssa-s A como sg A m k m A k [ A λ k λ A λ L A λ ] com λ,,λ L os m aovalors com mlplcdad dsos d A m A k [[!! lm s k k λ k s λ si A ] ] m q [] l k λ doa a l ézma drvada com rspo a s O rmo Ak é chamado d modo do ssma & A Cosdr agora o caso m q Ns caso A oma a forma: A λ A com A [ s λ si A lm s λ Para ss caso, s m procdmo alravo para compar ] A sado A v com v R R aovors a dra a sqrda d A, o sja, v são obdos a parr d λ I A v λ I A, rspcvam D fao, com Q : [ v, L, v ] Q [, L, ] sado A Q dag[ λ, Lλ ] Q pod-s scrvr : si A si Qdag[ λ, L, λ ] Q Q si dag[ λ, L, λ ] Qdag[ s λ v s λ Q, L, s λ ] Q A λ Aplcado a vrsa d Laplac obém-s v Em parclar, s αv j, ão, A λ λ λ j Φ, : v L v αv, ma vz q v j δ j j

16 6 A A Ercíco Obr para A sado a dcomposção para Idm para 9 3 A A Comar sobr a prsça o ão d odos os modos do A ssma m Rsposa mplsoal Para m-s a rsposa ao sado zro A τ [ B τ dτ A τ y [ C B Dδ τ ] τ dτ : s ;,, é chamada rsposa ao sado zro G : C A B Dδ é a chamada rsposa mplsoal Noação: Solção do ssma 7 é dada por s ;,, s ; s ;, ção d rasfrêca, rsposa,, rsposa a rada la ao sado zro A obção da rlação rada/saída é fa cosdrado : G s [ C si A B D] [ C{ adj si A} B] [ C{ adj si A} B D d si A] G s D d si A d si A O polômo dsi-a é o chamado polômo caracrísco d A é doado por Δs 4 Ssmas qvals É fácl vrfcar q m dado ssma d qaçõs dfrcas pod r mas dscrçõs spaço d sado A ralzação spaço d sado d ma fção d rasfrêca ão é úca Aravés d ma mdaça d varávs, ão sglar pod-s obr ora ralzação Dsd q s ma fdad d marzs s ma fdad d ralzaçõs

17 7 Dfção: Sja ma marz ão sglar com cofcs o corpo dos úmros complos C, dfa Eão & A B y C D é qval ao ssma A, B, C rasformação d qvalêca, D, com A A, B B, C C, D D a A rlação A A é cohcda como rasformação d smlardad A A são chamadas marzs smlars rprsado o msmo oprador Dfção: Dos ssmas são sado-zro qvals s só s êm a msma marz rsposa mplsoal São rada-la qvals s só s para qalqr codção cal sr m sado cal vc-vrsa al q os dos ssmas ham a msma rsposa a radala orma: Dos ssmas qvals são sado-zro rada-la qvals Prova A prmra par do orma pod sr mosrada da sg forma A marz rsposa mplsoal do ssma A, B, C, D é da forma G C A B Dδ para o ssma A, B, C, D é G C A B Dδ os dos ssmas são qvals, mos Cosqüm, A S A A, B B, C C, D D A A A C B Dδ C B Dδ C B Dδ Assm, os dos ssmas são sado-zro qvals A sgda par é mosrada como sg A rsposa rada-la do ssma A, B, C, D é A y C a rsposa do, B, C, D A A A A y C C Eão, s scolhrmos os dos ssmas aprsam a msma rsposa ao sadozro 5 Rprsação rada-saída Sjam {k} sqüêca d rada; {yk} sqüêca d saída; 5 Ssmas lars dscros o mpo

18 com k N o príodo da amosragm Usamos k : k y k : y k, k,,, Eqaçõs a dfrça 8 Ssmas dâmcos dscros podm sr dscros por qaçõs a dfrça A forma mas gral d scrvr ma qação a dfrça lar d cofcs cosas d ordm é a yk a yk - a yk a yk a yk b k m b k b k m - od k é o sa d mpo, yk é a saída k a rada cosas com m< Emplo, a, L,,,, L,m são Cosdr o cclo d ma poplação d plaas dahas od a dâmca d plaas dahas aas é dscra aravés d faors dpds dpds da dsdad d plaas do úmro d sms por ára dsdad d sms os scssvos cclos a parr do úmro d sms do cclo cal Assm, a dsdad d sms ss o cclo k é drmado pla dsdad d sms do cclo aror k y k gos y k g y k gos v g y k od y é o úmro d sms por ára, g, o, s v são as aas d scsso d grmação, floração, fcddad úmro d sms prodzdas por plaa d sms vávs o solo o cclo sg, rspcvam, com g, o s cosas O sgdo rmo rprsa as graçõs sobrposas porao, s ão fcaram sms o solo dra m cclo mplca v O modlo dscro pod sr rcohcdo como ma qação a dfrça do po acma com raado-s d ssmas lars pod-s dscrvr a saída como ma sqüêca podrada da rada por Ssma casal m y k g k, m m b m-s g k, m, k < m porao: y k g k, m m 3 k m Para m ssma vara o mpo m-s

19 9 g k, m g k m, k y k g k m m, m Para ma rada mplso k k k m-s q g k y k, k Sqüêca dscra Cosdr agora a sqüêca dscra k m k,,l 4 * p k δ k com p m rm d plsos áros d príodo Ulzado a rasformada d Laplac obém-s s L * p k k Dfrm do caso coío, a rasformada d Laplac dos sas dscrzados rsla a sqüêca rprsada o somaóro m 6 Da msma forma, cosdrado-s o somaóro d covolção m 4, o so da rasformada d Laplac com aílo d 6 prodz a rprsação dscrzada da fção d rasfrêca G s y s s g k k A fção d rasfrêca rlacoado rada saída dscras é ão dada m rmos d ma sqüêca fa dscra o somaóro m 7 ão a formlação algébrca d razão d polômos como o caso coío A aáls d ssmas dscros, porao, com o so da rasformada d Laplac ão ofrc smplfcação do raamo mamáco comm aos ssmas coíos A solção para so é o so da rasformada Z dfda a sgr ks ks rasformada Z A rasformada Z é ma aplcação mamáca q faz corrspodr a cada sqüêca d úmros, ma fção da varávl compla z A varávl compla z é dfda como

20 z s σ jw σ [ cos w js w] 8 Usado 8 m 6 obém-s a sg rprsação do sal dscro a varávl z z Z Z k [ ] k z - z - k z L -k z é ão ma sér fa d poêcas da varávl z domada rasformada Z do sal dscrzado m 6 Da msma forma, sado 8 obém-s a rasformada Z da fção dscrzada m 7 Em mos casos é possívl obr ma fção plca m z q rprsa sa sér, lzado proprdads d sérs d poêcas, o progrssõs armécas o gomércas A fção assm obda é rfrcada como fção m z A rasformada Z da sqüêca dscra k doada por z é ão dfda como k z Z[ k] k z 9 k Emplo Sja a fção dgra áro Na forma dscra m-s k k Aplcado a dfção d rasformada obém-s X z z z L Obsrva-s q a fção Xz acma rprsa ma sér gomérca do po f r a a ar L para al sér, sab-s q, a f r r No caso acma dz-s q a sér fr covrg para a fção dada por a/-r Assm, fazdo a r z m-s a rasformada Z da da fção dgra z X z z 53 Rprsação spaço d sado k A k B k y k C k D k Solção da qação d sado dscra

21 Smlarm ao caso coío pod-s obr a solção da qação d sado o domío da frqüêca va rasformada Z Aplcado a dfção 9 m-s k k Z [ k ] k z z k z Dfdo l k k k o somador m-s Z[ k ] z l, somado sbrado l l z z[ z ] dsd q l l z z l Aplcado, porao, a rasformada Z a qação spaço d sado acma m-s: A solção da qação d sado é da forma: z z z A z B z daq, z zi A z zi A B z 7 y z C zi A z G z z 8 O prmro rmo d sado zro yz é a saída dvdo a rada la o sgdo rmo a saída dvdo ao Solção o domío do mpo A solção do ssma dscro spaço d sado pod sr obda a parr da fção d rasfrêca dscra ção d rasfrêca A fção d rasfrêca dscra pod sr obda como: G z C zi A B D 9 Pod-s rar a rasformada vrsa d z yz para obr, smlarm ao caso coío as solçõs para k > a rsposa mplsoal k k A k y k CA k A k k CA B k B D k

22 D, k Gk k- CA B, k > 6 Ssmas amosrados 6 Apromação com sgrador d ordm zro a rada Spoha o ssma cado por m sal dscro como o dagrama: k Ssma y D/A A,B,C,D A/D yk Em q o bloco D/A é o covrsor dgal/aalógco Eão, para m covrsor D/A sgrador d ordm zro m-s k, k k Sja k, k Pod-s ão, scrvr a solção das qaçõs dscras para k k a parr da solção do ssma coío o mpo aprsada arorm como: k dη dτ, A k τ k m -s η τ k m -s η k A k τ k agora, dfdoη k τ, m -s ão, m-s, k, falm k A A k Aη k G k B k k [ dη] B k Aη com as marzs G dfdas d acordo Domío da frqüêca O dagrama d blocos r y é da forma: B τ dτ η dη

23 3 k y δ-k yk - -s /s Gs k Spodo m sgrador d ordm zro dado por m rm d plso d pso dração obéms: p ZOH s L[ p ] s / s A saída amosrada m k é dada por y k δ k y Eão, obém-s a fção d rasfrêca do ssma d k a yk : G z Z[ G s] s G s z Ζ[ ] s s sado a rlação r os plaos s z dada por z a rasformada d Laplac ZOH s Esa apromação é ambém rfrcada por apromação vara ao dgra m dcorrêca da mposção y y k m k fazdo-s Z z [ k s G z] L G s [ ] s od o lado sqrdo é y k o lado dro y m k No Malab pod-s sar o comado cd com opção hold 6 rasformação blar o apromação d s k Na rasformação d s, a rlação r a varávl s da rasformada d Laplac a varávl z da rasformada z é dada por s s / z z o s s / z A rasformação s, ambém rfrcada como rasformação blar, corrspod à apromação da gral k k d

24 4 k pla rgra rapzodal k [ j j ] Para k pod-s scrvr, j sado k k k d d k k d k k k Assm, m-s a qação a dfrça k k [ k k 3 z z Aplcado a rasformada Z, obém-s z z o z z z z Comparado a rasformada d Laplac d dada por s s s com a rasformada Z d 3 obém-s a rlação r s z Rprsação spaço d sado Cosdr agora o ssma a forma spaço d sado & A B y C D Aplcado a rasformada d Laplac a qação acma obém-s s s A s B s Assm, lzado a rlação r s z aplcado a rasformada Z com Z[ s] : Z[ L s] k Z[ k ] pod-s obr a qação o domío do mpo sm prda d graldad cosdra-s A B k k k k k k Agrpado os rmos m k, m-s A B A B k k k k k k Ulzo-s aq L { } s Dfdo A B k k k : z k o mpo k m-s A B I k z k k q forc

25 5 k I A z k I A B k Sbsdo k acma a qação para k obém-s A A A z k I I z k I B k Para obr a qação d saída dscrzada sbs-s k a qação d saída coía Em rsmo, podmos scrvr o ssma dscrzado corrspod z k z k G k y k Hz k J k com A A A I I, G I B A B J { D C I }, No Malab a sg forma spaço d sado é dada para a rasformação s A B d d βa δi αi γa αβ γδ αi γa Cd D d C αi γa D γc αi γa αz δ s α, δ, γ, β γ z β B B A H C I, Comados Malab para sa rasformação: sysd cdsysc,s, 's', com sysc o ssma coío a forma syscssa,b,c,d s o mpo d amosragm Para obr as marzs do ssma dscrzado lzar [Ad,Bd,Cd,Dd]ssdaasysd Rfrêcas CHEN, C Lar Sysm hory ad Dsg, HRW, 998 ZHOU, K Robs Opmal Corol, Prc-Hall, 996 DESOER, C A Lar Sysm hory, Sprgr Vrlag, 99 RUGH, W J Lar Sysm hory, Prc-Hall Iformao ad Sysm Sccs Srs, 996 ANSAKLIS, P J, MICHEL, A N A Lar Sysms Prmr, Brkhasr, 7 OLIVEIRA, VA, OGNEI, S E, SIQUEIRA, D Robs corollrs hacd wh dsg ad mplmao procsss, IEEE rasacos o Edcao, vol 49, 3, pp 37-38, 6 hp://plororg/pl/ocrsljsp?syar6&smbr3499&sbm3goo Iss com