5. Implementação da solução da equação de estados

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1 Sisma para vrifiação Lógia do Corolo Dzmbro 3 5. Implmação da solução da uação d sados No apiulo arior abordamos a aális dsvolvimo mamáio d Sismas d Corol por Espaço d Esados u os prmiiu hgar à Solução da Euação d Esados. Esa solução, vai sr o osso poo d parida para dsvolvr algorimos implmaçõs praias para sismas d orolo u prmiam drmiar o sado dos sismas. Vamos porao s apiulo implmar um algorimo para dar rsposa a sa ssidad, para al vamos uilizar a frrama mamáia ompuaioal posa ao osso dispor para s rabalho, ou sa o ATLAB. As d ualur implmação vamos, m primiro lugar, aalisar o dsvolvimo da Solução da Euação d Esados para vr os problmas ssidads vamos orar para o dsvolvimo d um algorimo. 5.. Dsvolvimo da Solução da Euação d Esados No apiulo arior vrifiamos u a Solução da Euação d Esados ão homogéa ivaria o mpo.! ( 5.) x Ax Bu é dada por x A( ) A( τ) () x( ) Bu()τ τ d ( 5.) s poo vamos implmar um algorimos u alul o valor do Esado do Sisma x () para ada isa uado apliado o orolo u () para. A uação ( 5.) pod sr rprsada da sgui forma o aso m u isa iiial. x x () x () Φ(,) x Φ(, τ) Bu() τ ( 5.3) A A Aτ Em u Φ (,) Φ(, τ) Φ(,) Φ(, τ) subsiuido ss valors, a uação ( 5.3) fia x x () x () Φ(,) x Φ(,) Φ(, τ) Bu() τ - -

2 Sisma para vrifiação Lógia do Corolo Dzmbro 3 A omo (,) x x Φ é osa m τ, ão () x () Φ(,) x Φ(, τ) Bu() τ A difiuldad s poo vai sar m sabr u forma oma a fução d orolo u (), vamos por isso, para simplifiar o problma, supor u fução d orolo u () para é dada por. u () u u < Figura 5. : fução d orolo u(). Ds modo fiamos om dois valors u u osas os sus irvalos d igração x x () x () Φ(,) x Φ(, τ) Bu Φ(, τ) Bu Sdo assim a difiuldad d implmação vai sar o álulo da xpoial mariial A (,) Φ do igral da xpoial mariial Φ A (, τ). - -

3 Sisma para vrifiação Lógia do Corolo Dzmbro Cálulo do xpoial mariial Exism vários méodos difrs abordags para alular a xpoial mariial. Ns rabalho vamos uilizar o méodo da diagoalização. A Para alular o xpoial mariial d uma mariz uadrada A uilizado méodo da A diagoalização vamos orgaizar do sgui modo. A Λ m u Λ é mariz diagoal das xpoiais dos valors próprios d A m a sgui forma Λ ", # valors próprios d A,, é mariz dos vors próprios d A, é a mariz ivrsa d. Calulo dos valors próprios vors próprios d A. A ada mariz uadrada A, d dimsõs, podmos assoiar um ouo d valors salars, hamados valors próprios, a ada valor próprio, sá assoiado um vor, hamado vor próprio. Os valors próprios da mariz A drmiam-s rsolvdo a uação homogéa ( A I) vor olua vor ulo A uação arior m soluçõs ão riviais para for ulo. s só s o drmia d( A I) ( A I) d Esa é a uação ararísia d A. Os vors próprios d A drmiam-s a parir d A ou ( A I). Para ilusrar mlhor, vamos osidrar o sgui xmplo d uma mariz uadrada A d dimsão, duas lihas por duas oluas

4 Sisma para vrifiação Lógia do Corolo Dzmbro Exmplo: A. Em primiro lugar vamos drmiar dos valors próprios d A. ( ) ( )( ) d I A d Solução: Λ. Vamos agora drmiar dos vors próprios d A. ( ) I A om [ ] Fazdo as oas m u é um valor osa ualur m u é um valor osa ualur Podmos ormalizar a mariz usado o sgui riério ± ±

5 Sisma para vrifiação Lógia do Corolo Dzmbro solhdo por xmplo os valors posiivos fiamos om Solução: Em ATLAB a fução [,D]ig(A) produz uma mariz diagoal D om os valors próprios uma mariz uas oluas são os vors próprios orrspods. Aé aui á mos os valors d d Λ u são Λ rspivam. Prisamos agora d alular ( ) ( ) d ad Em ATLAB a fução iv() alula a mariz ivrsa d. Tmos agora odos os lmos ssários para o álulo da xpoial mariial A Λ A A Ao olharmos para a solução d A vrifiamos u m uma pariularidad u é a xisêia d duas marizs uadradas a u vamos hamar u mulipliam por rspivam. A &%$ '%'$ &

6 Sisma para vrifiação Lógia do Corolo Dzmbro para obrmos ssas marizs fazmos o sgui sdo s aso, m u mos uma maiz uadrada A d dimsão ou sa m R, a solução d A é, A gralizado para R A Sdo sa úlima a forma géria u vamos uilizar para formulação d um algorimo m ATLAB Cálulo do igral do xpoial mariial Calulado á o xpoial mariial A fala-os agora alular ( ) τ τ τ Φ d d, A ( ) 5.4 Volado ao alulo d A íhamos hgado ao sgui rsulado A s rpirmos o msmo prodimo para A vrifiamos u A

7 Sisma para vrifiação Lógia do Corolo Dzmbro 3 subsiuido s rsulado a uação (.4) A omo as marizs são osas o mpo 5 rsula u A hgamos fialm ao rsulado gério para o alulo do igral do xpoial mariial A ( ) Volado ovam ao osso xmplo A ( ) ( ) 5.4. Implmação m ATLAB. O sado d um dado sisma x! Ax Bu é dado, o aso d supormos o valor d orolo u osa por. x x () x () Φ(,) x Φ(, τ) Bu Nos poos vimos omo s alula Φ (,) Φ(, τ) rspivam. O osso obivo s momo é implmar uma fução, uilizado omo frrama d programação o ATLAB, u alul o valor do sado x () um drmiado isa d mpo parido d um sado iiial x suio ao orolo u supusmos osa u

8 Sisma para vrifiação Lógia do Corolo Dzmbro 3 Fução x(a,b,x,u,) fuio xx(a,b,x,u,) a; i_a; lgh(a); [,D]ig(a); for i: zzros(); z(i,i); m*z*iv(); aam*xp(*d(i,i)); i_ai_a-m*((xp(-*d(i,i))-)/d(i,i)); d xa*(xi_a*b*u); Eradas saídas da fução: A fução x(a,b,x,u,) vai r omo rada os sguis parâmros:! a - maiz uadrada A.! b vor B.! x vor rprsaivo do sado iiial.! u orolo u apliado ao sisma.! mpo dorrido r o isa iiial o isa fial. O rsulado dsa fução, ou sa xx(a,b,x,u,), vai sr:! x rsulado da fução, rprsa o valor do sado x (). Dsrição da fução A fução vai sr implmada sguido os poos dsrios ariorm. Em primiro lugar vamos iiializar as variávis a i_a u orrspodm a A a A rspivam. Uilizado a fução lgh(a), drmiamos a dimsão da mariz a. Com fução [,D]ig(a), drmiamos uma mariz diagoal D om os valors próprios d a, uma mariz uas oluas são os vors próprios orrspods. Rlmbrado u: A A ( ) Tmos porao u alular ss dois somaórios, para al rorrmos ao ilo for, u vai r um úmro d ilos igual à dimsão da mariz a. A variávl zzros() vai sr uma mariz uadrada auxiliar d dimsão iiializada a zros mas u vai sdo aualizada m ada ilo - 8 -

9 Sisma para vrifiação Lógia do Corolo Dzmbro 3 z(i,i) d forma a prmiir o álulo das marizs, m*z*iv(). fazdo sa, uso dos valors d iv(). Tmos agora odos os valors ssários para aualizar m ada ilo os valors d aam*xp(*d(i,i)) i_ai_a-m*((xp(-*d(i,i))-)/d(i,i)). No fim dos ilos da fução for vamos r os valors fiais dos somaórios aima dsrios. Fialm após o álulo dos somaórios, podmos alular o valor do sado do sisma x (), para um orolo u (osidrado osa) apliado ao sisma, aravés da sgui opração xa*(xi_a*b*u) u orrspod a: A () A x x τ d Bu. Ts da fução o ATLAB. Esamos agora m odiçõs d sar sa fução o ATLAB, para al vamos osidrar o sgui xmplo para os valors do sisma: A B x» a[ ; ] a» b[;] b» x[;] x» Cosidrado os valors d u para o orolo (osidrado osa) para um isa d mpo.» u u - 9 -

10 Sisma para vrifiação Lógia do Corolo Dzmbro 3»» Podmos agora alular o valor do sado do sisma para o xmplo dado.» xx(a,b,x,u,) x»