MEF Aplicado à Análise Estrutural Mecânica

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1 PR - âna Compaonal para arôna EF Aplado à Análs Esrral âna A aplação mas radonal d EF na vrdad, ond s no é a smlação d srras mânas. Dssa forma os prómos íns abordam ss assno, o al é rmamn mporan para o ngnhro aalmn dvndo fazr par d ss onhmnos básos m smlação ndpndnmn d sa formação. Sm dúvda nnhma os lmnos mas smpls mas sados na análs srral mâna são os lmnos d rlça, os lmnos d vga os lmnos sóldos b rdmnsonas. Com rlação aos lmnos sóldos, nss rso srão dsdos apnas os lmnos sóldos bdmnsonas ranglar adrláro. Váras srras podm sr modladas omo rlças o vgas. Esrras d rlças vgas já foram sdadas no rso d mâna rssêna dos maras, nss rso srá mosrado omo modlar ssas srras sando m méodo podroso omo o EF. Traa-s d ma formlação d EF smpls mo bm onhda, possblando ao ngnhro, s dsjar, mplmnar falmn m algormo própro para ss fm sando o SCIAB o o ATAB. No nano, sss lmnos não prmm somn modlar srras d vga rlça m s, mas prmm ambém nlsv modlar d forma prlmnar srras onínas. Para sso basa onsrr ma malha om lmnos d rlça o vga onando os nós d forma nrlaçada omo mosrado na fgra abao. Isso forn m rslado razoávl do mo oníno a m so ompaonal bao para o ngnhro. Traa-s porano d mas m mplo do ponal dsss lmnos na smlação srral.

2 PR - âna Compaonal para arôna EF Aplado a Esrras d Trlças A rlça é ma srra m os ss lmnos são sjos somn à ração o omprssão omo mosrado abao. Consdrando o dsloamno na drção da barra d rlça, omo mosrado na fgra abao a açao dfrnal dsrv o omporamno d ma barra d rlça é dada por: A EA ond A é a ára da sção da rlça, a dnsdad E o módlo d lasdad do maral da rlça. Além dsso, mos: P σ Eε ε A ond P é a força normal na rlça, σ a nsão mâna, ε a dformação. Como fnção nrpoladora para o dsloamno é adoado m polnômo d prmra ordm, assm mos: N N : N ; N ond é o omprmno do lmno, N, N são as fnçõs d forma, são os dsloamnos nodas do lmno d rlça. Dfnda a fnção nrpoladora podmos aplar a formlação d EF éodo d Galrkn dsda m ala na ação ama. Para m úno lmno mos: A EA d ond, gras d lbrdad

3 PR - âna Compaonal para arôna após ralzar a ngração por pars,obém-s: ] [ EA d EA A Para, N, sbsndo a fnção nrpoladora d, mos: EA d EA A Para, N, mos: EA d EA A ond são as alraçõs nodas. Após allar as ngras faça omo río! agrpar na forma maral ambas as açõs obém-s: [ ]{ } [ ]{ } { } N N EA EA A C U K U ond [ ], [K ],{U }, { } U {C } são dnomnados marz d massa, marz d rgdz, vor d dsloamnos nodas, vor d alração nodas vor d arrgamno nodal, rspvamn, do lmno. N N são as forças d omprssão o ração na rlça. No no aso d rlças não mos m gral o vor orrspondn a forças dsrbídas porano N N. Para modlar a srra d rlças dvmos monar o ssma global omposo dos város lmnos d rlça d ada lmno dsro ama. A marz d massa [] aprsnada ama é hamada marz d massa onssn. Pod-s sar ambém ma formlação mas nva d marz d massa hamada marz d massa onnrada lmpd m nglês dada por: ] [ A Essa marz é obda apromando-s o lmno d rlça por m ssma massamola omo mosrado na fgra abao. No nano raa-s d ma apromação é sada somn ando s dsja rdzr o so ompaonal da análs.

4 PR - âna Compaonal para arôna No nano, apsar do lmno d rlça sofrr apnas dformação aal, ss nós podm dsloar nas drçõs X Y. Dssa forma o vor d dsloamno, omo mosrado na fgra abao, fa: U v v { } { } T A marz d rgdz fa: [ K ] EA Além dsso, a formlação aprsnada ama spõ o lmno d rlça sá alnhado om m dos os oordnados. No nano, as barras d rlça s aprsnam dsposas formando ânglos om m ssma arsano global XY, omo mosrado na fgra abao.

5 PR - âna Compaonal para arôna Nss aso os dsloamnos v são domposos m omponns U V na drção dos os globas vr fgra. No nano, as marzs d rgdz massa prssas m fnção d v dvm sr ransformadas d forma a srm prssas m fnção d U V. Para sso dvmos srvr a ransformação d oordnadas nr o ssma loal o global. os sn U v sn V os { U } [ T]{ U } sn os U v sn V os ond a marz [T] é hamada marz ransformação d oordnadas é o ânglo d ornação do lmno. Para obr a nova marz d rgdz podmos sar o ono d nrga lása do lmno prssa por: E l { U } T [ K ]{ U } Sbsndo a ransformação d oordnadas: T T T T E l { U} [ T] [ K ][ T]{ U} { U} [ K ]{ U} [ K ] [ T] [ K ][ T] o sja: os ossn os ossn EA [ ] ossn sn ossn sn K os ossn os ossn ossn sn ossn sn T A marz d massa [ ] fa: [ ] [ T] [ ][ T] U ε Além dsso, a prssão da dformação fa: os V sn U os V sn U os Vsn U os Vsn { os sn os sn} U V U V Para o aso m a ára do lmno vara om A, as fórmlas anrors dvm sr rddzdas. Erío rsolvdo: Consdr a rlça da fgra abao. Call os dsloamnos dos nós raçõs sando o EF. 5

6 PR - âna Compaonal para arôna Solção: A abla abao mosra a nmração dos nós d ada lmno o ânglo l forma om a horzonal. As marzs para os lmnos, fam: A marz do lmno na marz do ssma global fa:

7 PR - âna Compaonal para arôna A marz do lmno na marz do ssma global fa: A marz do lmno na marz do ssma global fa: A marz para o lmno fa: 7

8 PR - âna Compaonal para arôna A marz do lmno na marz do ssma global fa: A marz para o lmno fa: 8

9 PR - âna Compaonal para arôna A marz do lmno na marz do ssma global fa: A marz para o lmno 5 fa: A marz do lmno 5 na marz do ssma global fa: onando o ssma global obmos: 9

10 PR - âna Compaonal para arôna smplfando: Aplando as ondçõs d onorno U X, U Y o, U X U Y, o arrgamno F Y -5, F 5Y -5, rdzndo o ssma:

11 PR - âna Compaonal para arôna Com rlação a monagm do vor d forças globas, no a soma das forças nrnas das rlças m ada gra d lbrdad, orrspondrão às açõs d líbro nos nós, porano o srão nlas o srão gas às forças rnas raçõs forças apladas. Rsolvndo obém-s: As raçõs podm sr obdas da sgn forma: rslando m:

12 PR - âna Compaonal para arôna EF Aplado a Esrras d Vgas O lmno d vga sá sjo a sforços d flão. Consdrando o dsloamno na drção prpndlar ao lmno d vga a roação φv, omo mosrado na fgra abao a açao dfrnal dsrv o omporamno d ma vga é dada por:, A ond I é o momno d néra da vga, é ma arga dsrbída as dmas andads já foram dfndas anrormn. Além dsso, mos: ; ; V φ ond V é a força oran o momno flor. A formlação d lmno d vga srá aprsnada é dnomnada vga d Elr-Brnoll, ond s spõ o plano da sção prman smpr normal à lnha nra da vga, o sja, dsprzam-s os fos d nsõs d salhamno na sção da vga, o prm srvr a roação φ omo drvada do dsloamno. Como fnção nrpoladora para o dsloamno é adoado m polnômo d rra ordm, assm mos: φ Podmos srvr os ofns 's omo fnção dos dsloamnos roaçõs nodas,, φ φ : φ φ φ φ é o omprmno do lmno. Rsolvndo o ssma anror para,,, obém-s:

13 PR - âna Compaonal para arôna ond: Essas fnçõs d forma são hamadas fnçõs d forma d rm garanm ano o dsloamno omo a roação φ sjam onínos nr os lmnos vznhos. A fgra abao lsra ma ploagm dssas fnçõs d forma. Dfnda a fnção nrpoladora podmos aplar a formlação d EF éodo d Galrkn dsda m ala na ação da vga. Para m úno lmno mos:, d A ond,, gras d lbrdad Após ralzar a ngração por pars das vzs,obém-s:, V d A ond V é a força oran o momno flor dfndos anrormn. Sbsndo a fnção nrpoladora d as fnçõs na ação ama, rmos:

14 PR - âna Compaonal para arôna { }, V V d A Varando d à, rmos aro açõs d ngras, podm sr ondnsadas na noação maral abao sndo, mos: { }, V V d A ond os snas d V,, V s rfrm aos sndos dos dsloamnos,, ndados na fgra ama. Porano:

15 PR - âna Compaonal para arôna 5 d V V d sméra d d d d d d d d d d sméra d d d d d d d d d A, Após allar as ngras, agrpar as açõs na forma maral, obém-s: [ ]{ } [ ]{ } { } { } F C U K U ond: [ ] [ ] ; A K A marz d massa ama é a hamada marz d massa onssn. Assm omo no aso da rlça podmos lzar ma apromação da marz d massa hamada marz d massa onnrada lmpd. Esm algmas formas d obr a marz d massa onnrada para o lmno d vga rslam nas marzs dsras abao: [ ] [ ] ; A A No são marzs dagonas, sndo ompaonalmn mas fás d manplar do a marz d massa onssn é ma marz ha.

16 PR - âna Compaonal para arôna Com rlação ao vor d arga { } d, F, onsdrando ma prssão nform aplada sobr o lmno obém-s: { } F Já no aso d ma arga onnrada P δ ond δ é a fnção Dla Dra, P é arga onnrada aplada m, obém-s: { } P F A fgra abao lsra oros pos d arrgamnos possívs no lmno d vga. Emplo: Como mplo, onsdrmos ma vga ngasada omo mosrado na fgra abao sja a ma arga onnrada na sa rmdad.

17 PR - âna Compaonal para arôna Qrmos allar o dsloamno na sa rmdad pono d aplação da arga sando o EF. Consdrando a dsrzação d apnas m lmno mos: v V v P P mas v, porano obém-s: v. O sja, o msmo rslado analío obdo no rso d rssêna dos maras. Isso oorr por o prfl ao d dsloamnos d ma vga ngasada sg m polnômo úbo. Como as fnçõs nrpoladoras são úbas, obmos a solção aa, msmo sando m úno lmno na dsrzação. Já onsdrando ma arga dsrbída na vga não obmos a solção aa, pos a msma sg m polnômo d ordm maor do. Assm omo o lmno d rlça, o lmno d vga ambém pod s aprsnar nlnado m rlação aos os oordnados o g sja fa ma ransformação d oordnadas dará orgm a novas marzs, análogo ao ddzdo para o lmno d rlça. A ddção dssa ransformação para o lmno d vga pod sr nonrada nos lvros ndados na rfrêna bblográfa do rso. Na vrdad, mbora os lmnos d rlça vga nham formlação rlavamn smpls m EF, a modlagm m s d srras sando sss lmnos nm smpr é ma arfa fál. O prnpal problma é srras d rlça vga são modlos rmos d srras. Por mplo, raramn s vê ma jnção nr das barras sando ma arlação prfa rlça, o vnalmn ma não onína prfa vga. Em gral, as barras são ndas aravés d parafsos, o rsla nma rgdz d jnção das barras sá nr o modlo d arlação prfa rlça o solda prfa vgas. O orro sra modlar a srra sando molas nas jnçõs das barras, no nano o valor orro dssas molas é dfíl d sr smado, ornando dfíl m algns asos obr rslados ralísos na smlação d srras dss po. 7