2 PROBLEMA ESTRUTURAL ESTÁTICO NÃO-LINEAR

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1 PROBEA ETRUTURA ETÁTICO NÃO-INEAR. INTRODUÇÃO O prsn apíulo m o obvo d fornr os fundamnos para a obnção da raóra d qulíbro d ssmas sruuras sblos aravés do méodo dos lmnos fnos (EF). ab-s qu um dos passos mporans para s rsolvr um problma sruural não-lnar, a parr d uma abordagm numéra aproxmada, é obr, aravés dos prnípos básos da mâna, a quação ou o onuno d quaçõs algébras não-lnars qu govrna o sado d qulíbro do ssma. Porano, oura apa mporan da análs é nroduzda nvolv, nvaravlmn, a solução da quação ou onuno d quaçõs algébras não-lnars. Ao onráro do problma sruural om ararísas lnars, ua solução pod sr obda por prodmnos algébros smpls dros, a solução do problma não-lnar normalmn só pod sr alançada aravés do mprgo d prodmnos numéros spas. Dos méodos usualmn adoados, os qu são onsdrados mas fns prouram rsolvr passo a passo as quaçõs não-lnars; m parular, mrm dsaqu os squmas qu ombnam prodmnos nrmnas ravos. Na próxma sção é aprsnada a formulação do lmno fno não-lnar d vga-oluna adoado na dsrzação dos problmas sruuras sáos dnâmos do prsn rabalho. Na ção.3 são nroduzdas modfaçõs na rlação forçadsloamno do lmno fno proposo para qu l norpor os fos dvdo à flxbldad (ou sm-rgdz) das onxõs sruuras. Por fm, na ção.4, é aprsnada a modologa d solução não-lnar usada, qu m a ararísa d auomazar onrolar o prosso nrmnal-ravo d solução do onuno d quaçõs qu dfnm o qulíbro do ssma.

2 . FORUAÇÂO DO EEENTO FINITO NÃO-INEAR Duas abordagns êm sdo proposas para dsrvr o movmno d orpos sóldos: as do po Eulrana agrangana. Na formulação Eulrana, as oordnadas spaas, so é, aqulas assoadas ao orpo dformado, são mprgadas omo as oordnadas d rfrêna. Já na formulação agrangana, as oordnadas maras, ou sa, aqulas assoadas ao orpo ans d sua dformação, são ulzadas omo as oordnadas d rfrêna. A formulação agrangana é parularmn aproprada para análss nãolnars do po passo-a-passo, ond o nrss sá nrado na hsóra d dformação d ada pono do orpo duran o prosso d arrgamno. Já a formulação Eulrana m sdo amplamn adoada na análs d problmas d mâna dos fludos, ond a anção sá foada no movmno do maral ao longo d um volum spífo d onrol. Poso sso, o prsn rabalho rsrng-s a formulaçõs do po agrangana, ndo-s m vsa anda qu a maora das formulaçõs d lmnos fnos om não-lnardad goméra nonradas na lraura basam-s nss po d rfrnal. Com a abordagm agrangana, rês pos d onfguraçõs podm sr onbdos m rmos d um ssma saonáro d oordnadas Carsanas: a onfguração nal, a úlma onfguração dformada a onfguração dformada orrn. Por hpós, assum-s qu odas as varávs d sado, as omo nsõs, dformaçõs dsloamnos, unamn om a hsóra d arrgamno, são onhdas na onfguração. A parr daí, a qusão prnpal passa a sr a formulação d um prosso nrmnal para drmnar odas ssas varávs d sado para o orpo na onfguração, onsdrando qu o arrgamno xrno auando na onfguração nha sofrdo um pquno arésmo d valor. O passo qu ararza o prosso d dformação do orpo d para é pamn rfrdo omo um passo nrmnal. Dpndndo d qual onfguração anror é slonada omo rfrêna para a obnção do sado d qulíbro do orpo na onfguração dformada orrn,

3 , dos pos d rfrnas agranganos podm sr dnfados: o rfrnal agrangano aualzado (RA), ond a úlma onfguração d qulíbro é slonada omo o sado d rfrêna, o rfrnal agrangano oal (RT), qu ulza a onfguração nal ndformada para o msmo propóso. Para o RT, os dsloamnos são mddos m rlação à onfguração nal ndformada (Fgura.) para o RA, os dsloamnos são mddos m rlação à ulma onfguração d qulíbro obda no prosso nrmnal, ou sa, m rlação a um rfrnal qu é aualzado a ada nrmno d arga (Fgura.). y u + Y G u u v v u v v x = X G Fgura.: Rfrnal agrangano oal (RT). Y G y y v u u v x = x X G Fgura.: Rfrnal agrangano aualzado (RA).

4 3 É mporan dsaar qu dvdo aos vnuas dsloamnos d orpo rígdo oorrdos duran o prosso nrmnal, uas nfluênas não são prfamn onsdradas, bm omo dvdo à ulzação d funçõs d nrpolação smplfadas, a ndêna é qu os rsulados obdos s afasm do omporamno ral à mdda qu a onfguração dformada dsana-s da onfguração orgnal. Es problma é mnos sndo quando s ulza o rfrnal agrangano aualzado (RA), pos ns po d abordagm a onfguração d rfrna é a obda no nrmno anror ao qu s dsa obr a onfguração dformada, não havndo, porano, grand dsanamno nr as duas onfguraçõs. A ora a sr aprsnada a sgur fundamna-s nos rabalhos d Yang uo (994) Alvs (995), Galvão (). Nss úlmo são nonradas váras formulaçõs gomramn não-lnars, para a modlagm d ssmas sruuras planos formados por barras. A análs do dsmpnho ompuaonal dssas formulaçõs é fornda nos argos d Galvão lvra () lvra al. (). Enrano, mr dsaqu, do pono d vsa d dsmpnho na solução d problmas formn não-lnars, mpo d prossamno fêna na obnção das onfguraçõs pós-rías mas ompladas, aqula formulação dsnvolvda por Galvão () qu ulza as rlaçõs nmáas não-lnars sugrdas por Yang uo (994) os onos d nrga proposos por Alvs (995). Essa formulação srá brvmn dsra nas próxmas sçõs. rão aprsnadas prmramn as rlaçõs dformação-dsloamno nãolnars do lmno fno onsdrado; m sguda, srão dfndas a xprssão da nrga ponal oal do ssma na forma nrmnal as quaçõs d qulíbro não-lnars; fnalmn, a marz d rgdz angn o vor d forças nrnas do lmno fno adoado.

5 4.. Rlaçõs dformação-dsloamno As sguns omponns d dformação axal ransvrsal, basadas no nsor d Grn-agrang, á xprssas sparando-s as parlas lnars das nãolnars, são adoadas: (.) xx xy xx xy xx (.) xy ond para ada parla s srv: u u v xx xx (.3) x x x xy u v y x xy u u v v y x y x (.4) sndo u o dsloamno axal d um pono dsan y da lnha nura da sção. Aando-s a hpós da ora d barras d Brnoull d qu as sçõs ransvrsas nalmn planas prmanm planas após a dformação, srv-s: dv u u y (.5) dx ond a prmra parla, u, é onsqüêna dos sforços xnsonas auans é onsan ao longo da sção; a sgunda parla, y(dv/dx), é dvdo aos sforços d flxão, vara lnarmn om a dsâna à lnha nura. ubsundo-s não (.5) m (.3) (.4), hga-s a:

6 5 du d v xx y (.6a) dx dx xx du dx du d v y y dx dx d v dx dv dx (.6b) dv dv xy dx dx (.6) xy du dv dv d v y dx dx dx dx (.6d) No aso do RA, é ndspnsávl qu s dfna para o lmno fno onsdrado o sado d nsõs, ou d dformaçõs, na úlma onfguração d qulíbro obda no prosso d solução nrmnal, ou sa, na onfguração. Nssa onfguração, as forças nas rsulans axas P, salhans Q, momno flor, podm sr dfndas por: P xx da ; Q xy da ; xx y da (.7) A A A d aordo om a Fgura.3, m-s qu: x Q - (.8) Para um lmno d póro plano ua hpós d Brnoull nha sdo adoada, apnas a nsão axal xx pod sr obda dramn da l onsuva: xx = E xx.. Yang uo (994) sugrm qu a nsão salhan nrmnal xy sa drmnada onsdrando-s omo hpós nal a sção ransvrsal sméra m rlação aos xos x z. Dssa forma, hga-s à sgun xprssão: xy l xy n xy (.9)

7 6 ond as parlas lnar não-lnar do nrmno da nsão salhan são dadas por (Yang uo, 994): l xy 3 E h d v y dx n xy 3 E h du d v y - (.) 4 dx 3 dx sndo h gual a alura da sção ransvrsal do lmno d vga. P P a) Tnsõs rsulans nas nuramno - x y - + x y b) Dagrama d momnos ) Dformaçõs na xrmdad Fgura.3: Dformação nal: onfguração d qulíbro. + alongamno - nuramno alongamno +.. Inrmno da nrga ponal oal O nrmno na nrga ponal oal d um ssma sruural pod sr dfndo, na onfguração d qulíbro +, d aordo om a sgun xprssão: D V (.) sndo o nrmno d nrga nrna d dformação, D, á nroduzndo as parlas axal salhan da dformação, dado por:

8 7 D E xxxx xyxy dadx xyxy dadx xx Vol Vol (.) Já o nrmno da nrga ponal das forças xrnas, V, é dfndo por: V - F u d - F u d F u d (.3) Assumndo aqu qu as dformaçõs nrmnas são pqunas d forma qu as parlas não-lnars dsas podm sr dsprzadas, sgundo a sugsão d Alvs (993), pod-s rsrvr o funonal d nrga da sgun forma: U U U - F u d F u d (.4) ond, aravés das Equaçõs (.6)-(.9), dfn-s: U E xx dvol (.5a) Vol U du dv P dx dx du dv Q dx dx dx I A d v dx dx du d v dx dx dx (.5b) U xxxx xyxy dvol (.5) Vol No qu a Equação (.5) pod sr assoada ao rabalho ralzado plas nsõs auans no lmno, na onfguração d qulíbro, quando o lmno

9 8 sofr o nrmno d dformação. Ess rabalho, porano, dv sr gual ao daqul ralzado plas forças xrnas auans m, ou sa: U F u d (.6) assm onsgu-s rsrvr o nrmno da nrga ponal,, da sgun forma: U U F u d (.7)..3 Elmno fno O lmno d vga-oluna adoado é o squmazado na Fgura.4. Traa-s d um sgmno ro, lmado plos nós, qu s dforma no plano d dfnção da sruura. Cada lmno dfn um ssma loal d oordnadas xy, roaonado m rlação a um ssma global d oordnadas XY d um ro ângulo. Y y, v v u x, u v v u x u X Fgura.4: Elmno d vga-oluna adoado.

10 9 Para aproxmar o dsloamno axal nrmnal u é adoada uma função lnar, nquano para a omponn ransvrsal v, admndo-s = dv/dx, adoas uma função do rro grau. Dssa forma, srv-s: u a a x (.8a) v b b xb x b x 3 3 (.8b) ond a, a, b, b, b, b 3 b 4 são onsans a srm drmnadas aravés das ondçõs d onorno do lmno, so é: m x =, u = u, v = v = dv /dx; m x =, u = u, v = v = dv /dx. Dssas ondçõs hga-s às xprssõs para u v m rmos dos sus valors nodas: u Hu H u (.9a) v H v H H v H (.9b) ond H, H,... H 6 são as funçõs d nrpolação: H 3 3 H x ; H x x 3 x x ; H x 3 4 ; H 3 x (.a) 5 3x x ; H x x (.b) aralmn, m-s qu os dsloamnos u v, a roação d um dado pono do lmno, a uma dsâna x do nó (Fgura.4), são dadas por: d Hu (.) T ond u v T d u u v u v oném as funçõs d forma m (.). ; H é uma marz qu

11 3..4 arz d rgdz vor das forças nrnas Com a subsução das Equaçõs (.9a,b) nas rlaçõs nmáas (.6), m sguda sas nas xprssõs (.5), hga-s, d aordo om Alvs (993), à nrga ponal oal m função dos dsloamnos forças nodas, ou sa: u T τ u u T F u T F r (.) ond as omponns das marz d rgdz lnar marz d rgdz goméra τ são obdas dramn da nrga nrna d dformação aravés da dfrnação d U U, rspvamn: k U (,) u u (.3a) k U (,) (.3b) u u Em (.), m-s anda qu F ararza o vor das forças nrnas do lmno gnéro onsdrado na onfguração d qulíbro ; é um faor d arga F r um vor d argas nodas d rfrêna. vando-s m ona não a onrbução d odos os lmnos fnos, sm squr qu o somaóro dos vors das marzs dv sr fuado m rlação a um rfrnal omum ( = R T R, R sndo a marz d roação do lmno), hga-s a uma xprssão smlhan à (.) para odo o ssma sruural. Do prnípo da nrga ponal oal saonára, m-s qu a ondção d qulíbro do ssma na onfguração + é dada por: U F Fr (.4a)

12 3 ou, sndo: F F F F r U (.4b) (.5) dfndo omo o nrmno das forças nrnas da sruura. Obsrv porano qu o vor das forças nrnas na onfguração d qulíbro +, F, é obdo ns rabalho d forma nrmnal, ou sa, alulando a ada nrmno o arésmo nas forças nrnas. Prourando-s lmnar os modos spúros d dformação dorrns d dsloamnos roaçõs d orpo rígdo, Yang uo (994) propõm qu a sgun quação sa ulzada para o nrmno das forças nrnas num dado lmno gnéro : F u N (.6) om u N sndo o vor d dsloamnos nauras nrmnas do lmno, no ssma loal, é dfndo omo: T N u (.7) ond, da Fgura.5, hga-s às xprssõs dos dsloamnos qu provoam dformação no lmno: ; ; (.8) sndo an [v /( U)], om v = v v, a roação d orpo rígdo qu o lmno sofr. Assm, aravés das rlaçõs anrors, hga-s a uma xprssão nrmnal força-dsloamno do lmno, ou sa:

13 3 ond P EA / P / / / / /, (.9a) 4EI P 4P EI (.9b) 5 EA EI P P EI (.9) 3 EA Por fm, o vor das forças nrnas d odo o ssma sruural dv sr obdo somando-s os sforços nrnos absorvdos por ada lmno, dvdamn ransformados para o ssma global d rfrêna. YG y P x XG P a) Dsloamnos nauras nrmnas. b) Esforços rlaonados om, + v y u + u u v v x ) Gomra dformada Fgura.5: Cálulo das forças nrnas.

14 33.3 FORUAÇÃO DO EEENTO FINITO HÍBRIDO NÃO-INEAR Habualmn, prodmnos padrõs d análs não-lnar para póros são basados na hpós d qu as onxõs nodas são das. Daí, duas dalzaçõs xrmas para as lgaçõs são ulzadas: prfamn rígdas ou rouladas. odlos om onxõs das smplfam o prodmno d análs, mas frqünmn não rprsnam o omporamno ral dos ssmas sruuras. Em gral, onxõs nodas d póros planos são suas à nfluêna d momnos flors forças axas salhans. Os fos dsas úlmas podm, m gral, sr nglgnados, d modo qu apnas os momnos flors são d nrss práo. Há muas manras d norporar a flxbldad da onxão nodal na análs dsra não-lnar d póros. Um dos modos mas smpls é a obnção das marzs d rgdz omando-s omo bas a rlação fnal d força-dsloamno do lmno d vga-oluna no ssma d oordnadas loas. Prnd-s não nsa sção aprsnar d forma suna as modfaçõs nssáras na rlação forçadsloamno (.9) para lvar m onsdração o fo da flxbldad da onxão numa análs não-lnar. Como mosrado por Pnhro (3), uma lgação sm-rígda pod sr modlada omo um lmno d mola nsrdo no pono d nrsção nr a vga a oluna, al qual xmplfam as Fguras.6.7. Para a grand maora das sruuras m aço, os fos das forças axal salhan na dformação da onxão são pqunos s omparados om aquls provoados plo momno flor. Por ssa razão, apnas a dformação roaonal do lmno d mola é onsdrada m análss práas. Por smpldad d álulo, o lmno d mola da onxão possu, por hpós, amanho dsprzívl, omo mosrado pla Fgura.7 (Chan Chu, ).

15 34 Fgura.6: Elmno d mola smulando uma onxão. Fgura.7: odlo do lmno d póro sm-rígdo dalzado. Dvdo à flxbldad d uma lgação sm-rígda, as roaçõs da xrmdad da arulação onada ao plar da xrmdad onada à vga são, m gral, dfrns onhdas omo roação da onxão roação da vga b, rspvamn. Consdrando a ondção d qulíbro dos momnos na onxão, obém-s (Fgura.6): (.3) b ond, ( ) (.3a) b ( ) (.3b) b b

16 35 m qu b são os momnos na onxão na vga, rspvamn, auando no lmno d mola, é a rgdz da onxão. As quaçõs (.3a) (.3b) podm sr rarranadas sob uma forma nrmnal maral, ou sa: b b (.3) sndo b os momnos nodas nrmnas na onxão na vga, rspvamn, b as roaçõs nodas nrmnas orrspondns àquls momnos a rgdz angn da onxão, qu é obda fazndo-s: d (.33) d ond é o momno auando na lgação a roação rlava (so é, a roação da mola ou dformação roaonal), dfndo omo sndo (.34) b Da Equação (.3), a marz d rgdz angn do lmno d mola pod sr dsra aravés: (.35) A onfguração dformada do lmno híbrdo om molas nas xrmdads é mosrada na Fgura.8a. A roação da lgação é dfnda omo a dfrnça nr os ângulos d roação do lado onado ao nó global o lado onado ao lmno d vga-oluna, omo á mosrado mamaamn pla Equação (.34).

17 36 Com as molas d onxão adonadas às xrmdads da vga-oluna, a marz d rgdz onvnonal do lmno dv sr modfada d al modo a lvar m onsdração o fo das lgaçõs sm-rígdas. A marz d rgdz rsulan pod, não, sr ulzada nas análss posrors. Consdrando agora as sçõs nrnas da vga-oluna onadas às molas, a rlação d rgdz do lmno, ambém na forma nrmnal, é dada por b b b b, (.36) sndo os subsros rfrdos aos nós xrmos do lmno d vgaoluna. Os rmos são as omponns d rgdz à flxão dss msmo lmno, uos valors são, para uma análs d prmra ordm, 4EI/ para EI/ para. No aso d uma solução não-lnar, as valors dpndm da formulação ulzada (Galvão, ; Pnhro, 3).

18 37 Fgura.8: Elmno d vga-oluna om molas d onxão (Chan Chu, ). Combnando a Equação (.36) om as omponns d rgdz das molas das duas xrmdads do lmno, nonra-s: b b b b (.37) ond são as omponns d rgdz angns das molas d onxão são, d aordo om a Fgura.9, as roaçõs nrmnas das duas xrmdads do lmno omando-s omo bas um xo parallo ao úlmo ssma d rfrêna, ou sa, na úlma onfguração d qulíbro.

19 38 Fgura.9: Roaçõs dflxõs laras d uma lmno dformado om molas nas xrmdads smulando onxõs flxívs (Pnhro, 3). Efuando-s a mulplação maral, assumndo-s qu as argas são apladas apnas nos nós globas, qu dssa forma ano b quano b sam guas a zro, hga-s a, á organzando s maralmn: b b (.38) nquano as quaçõs rsans, ambém organzadas maralmn, fam: b b (.39) O vor qu oném os valors d b b pod sr obdo a parr d (.38) aravés da xprssão: b b (.4)

20 39 ubsundo-s não quação anror m (.39), nonra-s: (.4) ond ) )( (. Para um lmno d vga-oluna, pod-s anda drmnar algumas rlaçõs nr os sforços salhans os momnos nrmnas. Essas rlaçõs, d aordo om a Fgura., valm: Q Q (.4) m qu são os momnos nrmnas, Q Q são as forças salhans nrmnas nos nós do lmno híbrdo é o omprmno do lmno d vga-oluna na onfguração d qulíbro ulzada omo rfrêna, uo sobrsro squrdo fo omdo por qusõs d larza. Fgura.: Noaçõs para dsloamnos forças nodas do lmno d póro plano om lgaçõs sm-rígdas. Combnando não (.4) (.4), nonra-s: Q Q. (.43)

21 4 Da Fgura.9, pod-s anda obr as rlaçõs nr os nrmnos d roação da onxão m rlação aos xos loas os nrmnos d roação obdos m rlação ao úlmo ssma d oordnadas, ou sa: v v (.44) ond v v são os dsloamnos laras nrmnas proados sobr a úlma onfguração d qulíbro d ambos os nós do lmno o omprmno do msmo. D poss d (.44), pod-s obr a marz d rgdz lása para o lmno híbrdo d vga-oluna subsundo-s a quação anror m (.43), o qu forn: Q Q v v (.45) ua xprssão fnal é: Q Q,, 3, 4,,, 3, 4,,3,3 3,3 4,3,4,4 3,4 4,4 v v (.46) ond: ( ), (.47a)

22 4,, ( ),4 (.47b),3 (.47) ( ) 4, (.47d) ( ) (, 4,4 (.47),3 ) ( ( ) 4,3 (.47f) ),4 ( ) ( ) 4, (.47g) ( ) ( ) 3, (.47h) 3, ( ) 3,4 (.47) ( ) 3,3 (.47) Além dsso, ragrupando-s sa úlma na marz d rgdz ompla do lmno, qu possu dmnsão 6, obém-s: P EA / Q P EA / Q,, 4, 3,,, 4, 3, EA / EA /,4,4 4,4 3,4,3,3 4,3 3,3 u v u v (.48) Com bas na formulação d lmno fno não-lnar aprsnada na ção., pod-s obr uma rlação fnal d força-dsloamno á s lvando m

23 4 onsdração o fo da sm-rgdz prsn nas onxõs nodas, qu pod sr formulada omo sndo P EA / P / / / * * / / *, (.49) * ond os rmos P, dnoam a força axal nrmnal os momnos nodas nrmnas, rspvamn. Como ambém á dfndos,, mnsuram o nrmno d dformação axal as roaçõs nodas nrmnas, rspvamn. Os valors d P, dnoam a força axal os momnos nodas na úlma onfguração d qulíbro, rspvamn.por fm, os rmos prsns na marz d rgdz são dfndos omo ond ( )( ) ( ) * (.5a) * (.5b) * (.5) ( ) * (.5d), sndo os valors d sm-rgdz d ambas as onxõs qu, numa análs nrmnal-rava, podm sr aualzados ulzando-s um dos modlos onsuvos rprsnavos da lgação (vr Apênd B). Já,, rprsnam os rmos da formulação não-lnar ulzada são dados plas Equaçõs (.9b.9):

24 43.4 ETODOOGIA DE OUÇÃO NÃO-INEAR D um modo gral, a ondção d qulíbro d um ssma sruural om ararísas não-lnars pod sr xprsso da sgun forma: F (U) = F r (.5) ond, omo á mnonado, F é vor das forças nrnas da sruura, função dos dsloamnos dos ponos nodas da sruura U, é o parâmro d arrgamno proporonal é rsponsávl plo salonamno d F r, qu é um vor d rfrêna d magnud arbrára, ou sa, apnas a sua drção é mporan. Para s obr as dvrsas onfguraçõs d qulíbro do ssma assm podr raçar a hamada raóra não-lnar d qulíbro, dv-s rsolvr a quação (.5) d forma nrmnal. Isso sgnfa qu para uma sqüêna d nrmnos do parâmro d arga,,..., dv sr alulada uma sqüêna d nrmnos d dsloamnos nodas U, U U,... Enrano, omo F é uma função não-lnar dos dsloamnos, a solução smada do problma (solução prda:, U ), para ada passo d arga, não dv sasfazr a pror a quação anror. Como onsqüêna, dfn-s uma força rsdual g, ou ambém hamada força dsqulbrada, dada por: g F F (U) (.5) r qu dv sr aplada novamn ao ssma sruural. Os város algormos xsns, qu ulzam abordagm nrmnal-rava, aprsnam omo passo fundamnal a avalação dssas forças rsduas, m parular das forças nrnas da sruura. Dssa forma, uma nova smava para os dsloamnos é grada pla rlação: U g (.53)

25 44 ond é a marz d rgdz rprsnava do ssma sruural U é o vor d dsloamnos rsduas, ou sa, é o valor smado para s orrgr o nrmno d dsloamnos da solução prda U. Em város rabalhos (Crsfld, ) ssa smava da orrção d u não é obda d uma manra dra aravés da solução d (.53). Nss os dsloamnos rsduas são dfndos omo a soma d duas omponns, ou sa: U U g U r (.54) ond é um parâmro qu, a fm d ornar mas fn o prosso d orrção, dv sr avalado no lo ravo para ambém orrgr o nrmno d arga; u g u r são obdos aravés das rlaçõs: U g g Ur Fr. Obsrv qu sss vors d dsloamnos podm sr obdos d forma mdaa, pos, g F r são onhdos. A dfnção d m (.54) va dpndr d uma quação d rsrção a sr mposa adonalmn ao problma não-lnar. Uma das sraégas usada nss rabalho para s hgar ao valor d é basada no mprgo da éna dnomnada omprmno d aro onsan (Crsfld, 99; Roha, ), qu onss m adonar à Equação (.5) a sgun rsrção: U T T U F F r r l (.55) ond l é o omprmno d aro da raóra d qulíbro. A adção d (.55) ao ssma prm qu s faça aus no parâmro d arga duran o lo ravo, dssa forma ulrapassar possívs ponos ríos xsns nos amnhos prmáros sundáros. Após a ralzação d uma sér d raçõs qu lv o rsíduo a sr ão pquno quano s qura, sso é fo aravés d algum réro d onvrgêna (Apênd A), um novo sado d qulíbro é sabldo. A ração rprsnada

26 45 plo suprsro k dv, porano, fornr os subnrmnos (ou orrçõs) k u k, após ssa ração os nrmnos d arga dsloamno são novamn avalados fazndo: k (k) k U k U (k) U k (.56) Num onxo ompuaonal, é vanaoso nroduzr a quação d rsrção sgundo as duas apas d solução aprsnadas a sgur:. A parr da úlma onfguração d qulíbro da sruura, é slonado um nrmno d arga, dfndo aqu omo nrmno nal do parâmro d arga, prourando sasfazr alguma quação d rsrção mposa ao problma (Equação (.56), por xmplo). Após a slção d, drmna-s o nrmno nal dos dsloamnos nodas u aravés da quação: U U r (.57) sndo U F o vor dos dsloamnos angnas. As aproxmaçõs r r U ararzam a hamada solução nrmnal prda.. Na sgunda apa d solução, proura-s, aravés d raçõs do po Nwon, orrgr a solução nrmnal nalmn proposa na apa anror, om o nuo d rsaurar o qulíbro da sruura o mas rápdo possívl. as raçõs ralzadas nvolvm não só os dsloamnos U, mas ambém o parâmro d arga, não uma quação adonal d rsrção é rqurda. A forma dssa quação d rsrção é o qu dsngu as váras énas d solução (vr Apênd A). A Fgura. forn um squma d solução nrmnal-rava para o ssma om um grau d lbrdad, ond os parâmros d arga o dsloamno são aualzados sgundo a rsrção d omprmno d aro líndro (Crsfld, 99).

27 46 solução prda l rsrção u u u u u Fgura.: olução para um nrmno d arga. A sgur, om o propóso d fornr um rsumo dos prodmnos ompuaonas ulzados, são mosrados na Tabla. Fgura., os passos básos nvolvdos na mplmnação ompuaonal da modologa d solução numéra aprsnada.. Confguração nal: U. Dfnção da solução prda: U 3. Iraçõs: k =,,, I máx 4. Vrfa a onvrgêna: (k) (k) g /? F r m: par o lo d raçõs, sga para o passo 7; k k k Não: alul U Ug U 5. Aualzação das varávs: k r k (k ) k. nrmnas: U k U (k) U k. oas: k k k k U U U 6. Rorn ao passo 3 7. Faça novo nrmno d arga rom o prosso Tabla.: Algormo d solução não-lnar.

28 47 INÍCIO DO PROCEAENTO ura d dados d nrada onagm do vor d argas d rfrêna: F r Novo nrmno Confguração nal: U arz d rgdz: arz d massa Clo nrmnal-iravo n=,,...n o máxmo d nrmnos olução prda: U m g F r Não? Vor d forças rsduas: g F F (U) r Clo ravo k=,,... Vor d forças nrnas: F N-R padrão Aualza Cálulo d k U k Aualza-s as varávs nrmnas oas Arquvos d saída FI DO PROCEAENTO ATRIZ DE RIGIDEZ =,,3,..., m Calul R VETOR DE FORÇA INTERNA =,,3,..., m Calul R R a u = R T U u = R T U Calul + + = R T + R ond: + : úlma onfguração d qulíbro onfguração orrn. R: marz d roação lmnar aualzada na onfguração. R a : marz d roação lmnar aualzada na úlma ração. U: vor d dsloamnos nrmnas no ssma global. : marz d rgdz o ssma global. F : vor d forças nrnas no ssma global. Calul u n u) Calul F + F = F + F + F = R a + F Fgura.: Fluxograma da modologa d solução não-lnar.