MODELO MULTI-ESCALA PARA ANÁLISE ESTRUTURAL DE COMPÓSITOS VISCOELÁSTICOS SUSCETÍVEIS AO DANO

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1 UNIVRSIDAD FDRAL DO CARÁ PROGRAMA D MSTRADO M NGNHARIA D TRANSPORTS MODLO MULTI-SCALA PARA ANÁLIS STRUTURAL D COMPÓSITOS VISCOLÁSTICOS SUSCTÍVIS AO DANO Flávo Vasconclos d Souza Dssração submda ao Programa d Msrado m ngnhara d Transpors da Unvrsdad Fdral do Cará, como par dos rqusos para a obnção do íulo d Msr m Cêncas M.Sc. m ngnhara d Transpors ORINTADOR: Prof. Dr. Jorg Barbosa Soars Foralza 25

2 FICHA CATALOGRÁFICA SOUZA, FLÁVIO VASCONCLOS D Modlo Mul-scala para Análs sruural d Compósos Vscoláscos Suscívs ao Dano. Foralza, 25. xx, 89 fl., Dssração Msrado m ngnhara d Transpors Programa d Msrado m ngnhara d Transpors, Cnro d Tcnologa, Unvrsdad Fdral do Cará, Foralza, 25.. Transpors Dssração 2. Modlo Mul-scala 3. Mcânca dos Maras 4. Compósos Vscoláscos 5. Méodo dos lmnos Fnos 6. Hrogndad 7. Propagação volução do Dano CDD 388 RFRÊNCIA BIBLIOGRÁFICA SOUZA, F. V. 25 Modlo Mul-scala para Análs sruural d Compósos Vscoláscos Suscívs ao Dano. Dssração d Msrado, Programa d Msrado m ngnhara d Transpors, Unvrsdad Fdral do Cará, Foralza, C, 89 fl. CSSÃO D DIRITOS NOM DO AUTOR: Flávo Vasconclos d Souza TÍTULO DA DISSRTAÇÃO D MSTRADO: Modlo Mul-scala para Análs sruural d Compósos Vscoláscos Suscívs ao Dano. Msr / 25 É concdda à Unvrsdad Fdral do Cará prmssão para rproduzr cópas dsa dssração d msrado para mprsar ou vndr as cópas somn para propósos acadêmcos cnífcos. O auor rsrva ouros dros d publcação nnhuma par dsa dssração d msrado pod sr rproduzda sm a auorzação por scro do auor. Flávo Vasconclos d Souza Rua Juvnal d Carvalho, 68 Barro d Fáma CP: Foralza/C Brasl

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4 v DDICATÓRIA A Dus, por odas as graças concddas. Aos mus pas, Januáro Mara d Fáma, plo amor apoo ncondconas. À mnha nova, Isabéla, plo amor, companhrsmo ddcação. Aos mus rmãos, Fábo Januáro Júnor, rmã, Fabíola, plo carnho frarndad. Aos mus famlars amgos. DDICO.

5 v Não xsm grands homns. xsm apnas grands dsafos, qu nós, pssoas comuns, somos forçadas a nconrar plas crcunsâncas da vda. Wllam F. Halsy

6 v AGRADCIMNTOS A ralzação ds rabalho ornou-s possívl graças às conrbuçõs d dvrsas pssoas, a qum ddco mus sncros agradcmnos. Na mpossbldad d car os noms d odos, gosara d agradcr, m spcal àquls qu parcparam mas dramn do procsso d conclusão dsa dssração: Aos profssors Marco Aurélo Holanda d Casro Jorg Barbosa Soars, mus ornadors d ncação cnífca d msrado, rspcvamn, plos conslhos, ornação oporundads a mm concddos. Ao profssor Davd H. Alln por acrdar no mu poncal plo ncnvo supor cnífco nas áras d Mcânca dos Maras, Tora da Vscolascdad, Mcânca da Fraura Toras d Homognzação. Ao profssor Joaqum Bno Cavalcan No, pla ornação com rlação à gração manpulação das malhas d lmnos fnos. A odos os profssors, alunos funconáros do PTRAN a oda a qup do Laboraóro d Mcânca dos Pavmnos LMP/DT/UFC, por possblarm mu dsnvolvmno acadêmco-cnífco plas xprêncas comparlhadas. Aos ngnhros Mcâncos Francsco Nélo Cosa Fras José Édr d Mndonça Rbro plo supor duran a ralzação dos nsaos xprmnas no Laboraóro d Caracrzação dos Maras LACAM/UFC ao ngnhro Cvl Marclo Slva Mdros Júnor por cdr as bass ulzadas nos nsaos d ração dra. À Agênca Naconal do Prólo ANP plo supor fnancro. prncpalmn a Dus, por odas as graças concddas, a oda a mnha famíla, plo amor, apoo, confança formação éca profssonal, a qum ddco s rabalho dvo mnha vda.

7 v Rsumo da Dssração submda ao PTRAN/UFC como par dos rqusos para a obnção do íulo d Msr m Cêncas M.Sc. m ngnhara d Transpors. MODLO MULTI-SCALA PARA ANÁLIS STRUTURAL D COMPÓSITOS VISCOLÁSTICOS SUSCTÍVIS AO DANO Ornador: Jorg Barbosa Soars, Ph.D. Flávo Vasconclos d Souza Fvrro/25 Obsrva-s, aualmn, uma ndênca crscn d ulzação d maras compósos nas mas dvrsas aplcaçõs da ngnhara. Iso s dv, m grand par, à vanagm dsss maras d possblar o conrol d sus consuns ndvduas suas rspcvas dsrbuçõs spacas d modo a omzar o dsmpnho do maral rsulan. xmplos d maras compósos muo usados na consrução cvl são o Concro d Cmno Porland CCP as msuras asfálcas. No nano, os maras compósos aprsnam pculardads com rlação ao su comporamno consuvo global dvdo às dfrnças d comporamno d gomra dos sus consuns. Assm sndo, para qu s possa comprndr prvr o comporamno dos maras compósos m srvço, orna-s mporan consdrar o comporamno ndvdual d sus consuns suas rspcvas nraçõs. Ns rabalho, dsnvolv-s um modlo compuaconal m duas scalas para a prvsão do comporamno mcânco d msuras asfálcas do po Ara Asfalo Usnada a Qun AAUQ, ond o comporamno da scala maor macroscala ou scala global, consdrada homogêna, é drmnado a parr do comporamno da scala mnor hrogêna mcroscala ou scala local formada por agrgados péros láscos dsrbuídos numa marz vscolásca aqu dnomnada d masqu lgan asfálco msurado com agrgados fnos. O dano obsrvado na scala global do modlo é consqüênca da formação propagação d rncas do dsnvolvmno d dformaçõs prmanns na scala local. O Méodo dos lmnos Fnos MF é usado no cálculo d nsõs, dformaçõs dslocamnos na modlagm da formação propagação d rncas.

8 v Absrac of Thss submd o PTRAN/UFC as a paral fulfllmn of h rqurmns for h dgr of Masr of Scnc M.Sc. n Transporaon ngnrng. MULTI-SCAL MODL FOR STRUCTURAL ANALYSIS OF VISCOLASTIC COMPOSITS SUSCPTIBL TO DAMAG Advsor: Jorg Barbosa Soars, Ph.D. Flávo Vasconclos d Souza Fbruary/25 Compos marals ar ncrasngly usd n many ngnrng applcaons. Th man advanag of compos marals ls on h possbly o conrol h ndvdual componns and hr spaal dsrbuons n ordr o opmz h prformanc of h rsulng maral. Concr and h asphal mxurs ar som xampls of compos marals commonly usd n cvl ngnrng. Compos marals commonly xhb a parcular global consuv bhavor du o h dffrn gomrs and consuv bhavors of s ndvdual consuns. Thus, n ordr o undrsand and prdc h bhavor of compos marals n srvc, s mporan o consdr h ndvdual bhavor of s consuns and hr nracons. In hs rsarch work, a wo scal compuaonal modl s dvlopd o prdc h mchancal bhavor of sand asphal mxurs, whrn h bhavor of h assumd homognous largr scal macroscal or global scal s drmnd basd on h bhavor of h hrognous smallr scal mcroscal or local scal. Th mcrosrucur local scal s formd by lasc gran aggrga randomly dsrbud n a vscolasc asphal marx asphal bndr mxd wh fn aggrgas. In h modl dvlopd hrn, h global scal damag s a rsul of h formaon and growh of cracks and h accumulaon of prmann dformaons n h local scal. Th Fn lmn Mhod s usd n ordr o calcula srsss, srans and dsplacmns and o modl h formaon and growh of cracks.

9 x SUMÁRIO CAPÍTULO INTRODUÇÃO.... PROBLMA D PSQUISA OBJTIVOS Obvo Gral Obvos spcífcos STRUTURA DO TRABALHO... 7 CAPÍTULO 2 RVISÃO BIBLIOGRÁFICA MÉTODO DOS LMNTOS FINITOS MF TORIA DA VISCOLASTICIDAD Lnardad Rlaçõs Consuvas para Maras Vscoláscos Lnars Prncípos d Corrspondênca lásca-vscolásca PCV Modlos Mcâncos Méodos d Rgrssão das Funçõs Vscoláscas Inrconvrsão nr as Proprdads Vscoláscas Méodo d Obnção d a parr d D Trmovscolascdad Incrmnalzação das Rlaçõs Consuvas Vscoláscas MCÂNICA DA FRATURA Modlo d Zona Cosva Mcromcânco Vscolásco MZC-MV TORIAS D HOMOGNIZAÇÃO lmno d Volum Rprsnavo VR CAPÍTULO 3 CONSTRUÇÃO DO CÓDIGO MULTI-SCALA STRUTURA DO PROGRAMA... 67

10 x CAPÍTULO 4 MATRIAL MÉTODOS MATRIAL NSAIOS MCÂNICOS nsao d Crp nsao d Tração Dra nsao d Comprssão Damral DIGITALIZAÇÃO DA AAUQ GRAÇÃO DAS MALHAS D LMNTOS FINITOS DTRMINAÇÃO DO VR DTRMINAÇÃO DO MÓDULO D RLAXAÇÃO DO MASTIQU DTRMINAÇÃO DO MÓDULO D RLAXAÇÃO DA AAUQ CAPÍTULO 5 RSULTADOS DTRMINAÇÃO DO VR PROPRIDADS VISCOLÁSTICAS Função Fluênca do Masqu Módulo d Rlaxação do Masqu Módulo d Rlaxação da AAUQ CALIBRAÇÃO DOS PARÂMTROS D DANO VRIFICAÇÃO VALIDAÇÃO DO MODLO MULTI-SCALA Smulação do nsao d Comprssão Damral Smulação d Carrgamno Cíclco d Flxão m Vga... CAPÍTULO 6 CONCLUSÕS... 2 RFRÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS APÊNDIC A SOLICITAÇÕS HARMÔNICAS M MATRIAIS VISCOLÁSTICOS A. PROPRIDADS COMPLXAS... 39

11 A.2 RLAÇÕS CONSTITUTIVAS COMPLXAS x APÊNDIC B TRANSFORMADAS D LAPLAC APÊNDIC C MODLOS MCÂNICOS VISCOLÁSTICOS C. MODLO D MAXWLL... 6 C.2 MODLO D VOIGT C.3 SÓLIDO LINAR PADRÃO C.4 MODLO D MAXWLL GNRALIZADO... 8 C.5 MODLO D VOIGT GNRALIZADO C.6 RLAÇÕS NTR OS MODLOS D MAXWLL D VOIGT GNRALIZADOS... 87

12 x LISTA D FIGURAS Fgura.: Rprsnação squmáca d uma análs mul-scala... 2 Fgura.2: Rprsnação squmáca d uma análs global hrogêna... 4 Fgura 2.: Dscrzação d um domíno rangular m lmnos fnos... Fgura 2.2: Rprsnação d um lmno T3... Fgura 2.3: Solcação qualqur rspcva aproxmação por funçõs dgrau... 9 Fgura 2.4: Modlos mcâncos para maras vscoláscos Fgura 2.5: Comporamno d uma função xponncal smpls... 3 Fgura 2.6: 5 rspcvos rmos, para, 5 3, 2,..., Fgura 2.7: Forma d scada aprsnada pla quação 2.4 para M 5 spaçados por mas d uma ordm d grandza Fgura 2.8: Rprsnação squmáca da consrução d uma curva msra para o módulo d rlaxação d um maral rmorologcamn smpls Fgura 2.9: Rprsnação squmáca d um MZC... 5 Fgura 2.: a lmno d nrfac, b rprsnação da zona cosva suas forças d suprfíc c forças nodas quvalns às forças d suprfíc Fgura 2.: Rprsnação squmáca do procsso d homognzação Fgura 2.2: xmplo d mcrosruura pródca Fgura 3.: Fluxograma do algormo mul-scala m lmnos fnos Fgura 4.: Curva granulomérca da ara usada Fgura 4.2: Curva granulomérca dos agrgados usados na fabrcação do masqu Fgura 4.3: nsao d crp num corpo d prova d masqu Fgura 4.4: Aparao usado no nsao d ração dra Fgura 4.5: Sção ransvrsal d uma msura m AAUQ rgão usada na dfnção dos lmnos d volum da scala local... 8 Fgura 4.6: lmnos d volum slconados... 8 Fgura 4.7: Malha usada na smulação do nsao d comprssão damral... 8 Fgura 4.8: Malha usada nas smulaçõs m vga com lmnos d nrfac Fgura 4.9: Malha d lmnos fnos com lmnos d nrfac para o V

13 Fgura 4.: Malhas d lmnos fnos usadas na drmnação do VR Fgura 4.: Rprsnação squmáca das condçõs ncas d conorno do VR usadas na solução numérca da quação Fgura 5.: Módulo d rlaxação para os V s slconados Fgura 5.2: VR drmnado a sm lmnos d nrfac b com lmnos d nrfac nsrdos... 9 Fgura 5.3: Função fluênca do masqu para 5ºC, 25ºC 4ºC, rspcva curva msra... 9 Fgura 5.4: Faors d ranslação horzonal com rlação à T R d 25ºC... 9 Fgura 5.5: Drmnação gráfca dos mpos d rlaxação, Fgura 5.6: Módulo d rlaxação função fluênca do masqu Fgura 5.7: Módulo d rlaxação da AAUQ Fgura 5.8: Curvas nsão dformação numércas xprmnas Fgura 5.9: Confguração do VR para a axa d,5/s m a s b x 4s Fgura 5.: Confguração do VR para a axa d,/s m a 7, 5 s b 2s Fgura 5.: Mcrorncas obsrvadas no pco d nsão para a axa d,5/s Fgura 5.2: Múlplas rncas obsrvadas no VR para a axa d,5/s 4 s Fgura 5.3: Rsulados numércos xprmnas para a axa d,mm/s... 2 Fgura 5.4: Rsulados numércos xprmnas para a axa d,4mm/s... 2 Fgura 5.5: Dsrbução das nsõs horzonas, xx, a no pco da força d ração vrcal b ao fnal da smulação para a axa d,mm/s... 3 Fgura 5.6: Dsrbução das nsõs vrcas, yy, a no pco da força d ração vrcal b ao fnal da smulação para a axa d,mm/s... 3 Fgura 5.7: Dsrbução das nsõs csalhans, xy, a no pco da força d ração vrcal b ao fnal da smulação para a axa d,mm/s... 4 Fgura 5.8: Dsrbução da dfrnça d nsõs a horzonas d ração; b horzonas d comprssão; c vrcas d d csalhamno para a axa d,mm/s... 5 Fgura 5.9: lmnos scolhdos m rês rgõs d solcaçõs dsnas... 6

14 xv Fgura 5.2: sruura local do lmno A para a 7 s; b 8, 5 s c s para a axa d,mm/s... 7 Fgura 5.2: sruura local do lmno B para a 7 s; b 5 s c 25s para a axa d,mm/s... 8 Fgura 5.22: sruura local do lmno C para a 7 s; b 5 s c 25 s para a axa d,mm/s... 9 Fgura 5.23: Malha usada para o caso mul-scala com rncas, com os lmnos mul-scala m dsaqu... Fgura 5.24: lmnos mul-scala scolhdos para a análs da sruura local... Fgura 5.25: Carrgamno usado nas smulaçõs m vga... 2 Fgura 5.26: Hsórco da dflxão máxma no cnro da vga... 3 Fgura 5.27: Confguração fnal da vga para o caso mul-scala sm rncas... 4 Fgura 5.28: Confguração da vga para o caso mul-scala com rncas m ambas as scalas m 34, 5 s... 5 Fgura 5.29: Hsórco da nsão horzonal obsrvada no lmno global A... 5 Fgura 5.3: sruura local do lmno A para a 4, 5s; b 22, 5 s; c 3,5 s d 7 s... 6 Fgura 5.3: sruura local do lmno B para a 4, 5s; b 22, 5 s; c 3,5 s d 7 s... 7 Fgura 5.32: sruura local do lmno C para a 4, 5s; b 22, 5 s; c 3,5 s d 7 s... 8 Fgura A.: Rprsnação d R * H no plano complxo Fgura C.: Modlo d Maxwll... 6 Fgura C.2: a Função fluênca b Módulo d rlaxação para o modlo d Maxwll Fgura C.3: Dpndênca das componns das funçõs * D* com rlação à frqüênca, ω, para o modlo d Maxwll Fgura C.4: Modlo d Vog... 67

15 xv Fgura C.5: a Função fluênca b Módulo d rlaxação para o modlo d Vog.. 7 Fgura C.6: Dpndênca das componns das funçõs * D* com rlação à frqüênca, ω, para o modlo d Vog... 7 Fgura C.7: Sóldo lnar padrão Fgura C.8: a Módulo d rlaxação b função fluênca para o Sóldo lnar padrão Fgura C.9: Proprdads vscoláscas complxas para o Sóldo lnar padrão Fgura C.: Modlo d Vog assocado m sér com uma mola Fgura C.: Comparação do domíno d varação do módulo d rlaxação do Sóldo lnar padrão d dados xprmnas hpoécos... 8 Fgura C.2: Modlo d Maxwll gnralzado modlo d Wchr Fgura C.3: Modlo d Vog gnralzado modlo d Klvn... 85

16 xv LISTA D TABLAS Tabla 5.: Cofcns da sér d Prony para a função fluênca do masqu Tabla 5.2: Cofcns da sér d Prony do módulo d rlaxação do masqu Tabla 5.3: Cofcns da sér d Prony para o módulo d rlaxação da AAUQ Tabla B.: Pars d ransformadas d Laplac suas nvrsas para algumas funçõs... 56

17 xv LISTA D SÍMBOLOS, NOMNCLATURAS ABRVIAÇÕS SÍMBOLOS a T faor d ranslação horzonal A ára do lmno fno VR A ára da sção ransvrsal do lmno d Volum Rprsnavo VR do Modlo d Zona Cosva Mcromcânco Vscolásco MZC-MV A k A m D função fluênca ára da sção ransvrsal da k-ésma fbra do VR do MZC-MV parâmros d dano do MZC-MV D * ω função fluênca complxa D ω par ral da função fluênca complxa D ω par magnára da função fluênca complxa módulo d rlaxação c módulo d rlaxação vscolásco lnar do maral qu consu a zona cosva danfcada * ω módulo d rlaxação complxo ω par ral do módulo d rlaxação complxo ω par magnára do módulo d rlaxação complxo R módulo d rfrênca f função qualqur dpndn do mpo F nrga d avação consan H função dgrau unára, m lras usados como índcs lras ndcas N númro d lmnos fnos R rsposa do maral à solcação S R G consan unvrsal dos gass

18 xv R H rsposa unára d um maral R ε consan rprsnando a axa d varação d ε kl kl R δ consan rprsnando a axa d varação d δ s varávl ransformada d Laplac S solcação ao longo do mpo T T R T g mpo ncrmno d mpo mpraura mpraura d rfrênca mpraura d ransção víra u v V dslocamno horzonal dslocamno vrcal volum V suprfíc conorno do volum V V suprfíc conorno xrna d V V I conorno nrno d V x y coordnadas spacas Lras grgas α varávl nrna d sado qu rprsna o dano da zona cosva δ função dla d Drac ε dformação R ε η psudodformaçõs vscosdad λ norma ucldana dos dslocamnos d abrura da zona ν Π θ cosva cofcn d Posson oprador d monagm da marz d rgdz global do vor d forças nodas global dfrnça nr a mpraura aual a mpraura d rfrênca

19 xx ω ξ ψ mpo d rlaxação nsão varávl d ngração no mpo mpo d rardação frqüênca varávl d mpo rduzdo funçõs d forma do lmno fno Marzs [ B ] marz d rlação dformaçõs-dslocamnos nodas [ C ] marz consuva, conndo as proprdads do maral {} d vor d dslocamnos nodas do lmno fno { d} varação no vor d { d } duran o ncrmno d mpo { D } vor d dslocamnos nodas global { } f vor d forças nodas do lmno fno { } f conrbução para o vor d forças nodas dvdo a forças d suprfíc { } f 2 conrbução para o vor d forças nodas dvdo a nsõs xsns no níco do ncrmno d mpo { } f 3 conrbução para o vor d forças nodas dvdo à varação das { F } [] k [ K ] nsõs duran o ncrmno d mpo provocada plo comporamno vscolásco do maral vor d forças nodas global. marz d rgdz do lmno fno marz d rgdz da sruura ou global [ ψ ] marz das funçõs d forma do lmno

20 xx Tnsors Vors α Α Β componn do nsor d dformaçõs médas no conorno nrno, VI componn do nsor assocado às xpansõs érmcas, o qual dfn as dformaçõs érmcas na ausênca d nsõs mposas componn do nsor assocado às xpansõs érmcas, o qual dfn as nsõs érmcas num corpo complamn rsro d movmno no su conorno; C kl componn do nsor módulo d rlaxação δ componn do vor d dslocamno d abrura nr as facs da zona cosva * δ componn do vor parâmro mpírco d comprmno do maral ε kl componn do nsor das dformaçõs médas no conorno xrno, V componn do nsor das dformaçõs J kl componn do nsor função fluênca Λ kl componn do nsor d localzação d dformaçõs n k f componn do vor normal unáro na drção xrna d V componn do nsor d nsõs componn do vor nívl d nsão ncssáro para ncar-s a volução do dano na zona cosva T componn do vor força d suprfíc auan no mpo x k componn do vor das coordnadas spacas NOMNCLATURA a& â drvada d a com rlação ao mpo ndca qu a é uma quandad conhcda

21 xx f méda volumérca d f f s ou L [ f ] ransformada d Laplac d f ~ f s ransformada d Carson F ω ransformada d Fourr d f F C ω ransformada co-sno d Fourr d f F S ω ransformada sno d Fourr d f Im[a ] R[a ] s f componn magnára d a componn ral d a dsvo padrão d f ABRVIAÇÕS AAUQ CAP CBUQ CCP DMT V VR LVDT MDC MF MZC MZC-MV PCV RBV T.L T3 VAM VCB Vv Ara Asfalo Usnada a Qun Cmno Asfálco d Prólo Concro Bumnoso Usnado a Qun Concro d Cmno Porland Dnsdad Máxma Tórca lmno d Volum lmno d Volum Rprsnavo Lnar Varabl Dffrnal Transducr Mcânca do Dano Conínuo Méodo dos lmnos Fnos Modlo d Zona Cosva Modlo d Zona Cosva Mcromcânco Vscolásco Prncípos d Corrspondênca lásca-vscolásca Rlação Bum-Vazos Transformada d Laplac lmno Fno Trangular d Três Nós Vazos no Agrgado Mnral Volums Chos com Bum Volum d vazos

22 CAPÍTULO INTRODUÇÃO O uso d maras compósos, ou sa, maras formados a parr da combnação d dos ou mas consuns ndvduas, m aplcaçõs sruuras m crscdo d forma sgnfcava nos úlmos anos, dsacando-s as aplcaçõs arospacas bomédcas. s uso crscn dv-s ao fao d qu os maras compósos podm ofrcr caracríscas sruuras ómas para drmnadas aplcaçõs qu sus consuns não podm ofrcr ndvdualmn. Além dsso, obsrva-s uma procupação crscn d mnmzar o passvo ambnal provocado por cros maras aparnmn nsrvívs, os quas podm sr aprovados como consuns d maras compósos, como é o caso do asfalo-borracha. Ouros xmplos d maras compósos aplcados na consrução cvl são o Concro d Cmno Porland CCP as msuras asfálcas, prncpalmn o Concro Bumnoso Usnado a Qun CBUQ a Ara Asfalo Usnada a Qun AAUQ, frqünmn usados m pavmnação. No nano, para s omzar o dsmpnho dos maras compósos, é ncssáro o uso d modologas capazs d drmnar as fraçõs dsrbuçõs ómas dos consuns ulzados na fabrcação do compóso. ssas modologas dvm rr o máxmo d nformaçõs sobr a mcrosruura do compóso d modo qu o prosa nha conrol sobr um númro máxmo d varávs. Uma modologa qu vm sndo basan usada na comundad cnífca é a chamada modlagm mul-scala YI al., 998; CAIAZZO COSTANZO, 2; HAJ-ALI MULIANA, 24; SARCY, 24. Nos modlos mul-scala, modologas afns, as análss são ralzadas nas scalas mnors do corpo macroscópco m qusão, caso a condção d homogndad saísca sa sasfa, o comporamno consuvo das scalas maors pod sr obdo aravés d Prncípos d Homognzação ALLN, 2. Além dsso, o dano na forma d rncas pod sr consdrado aravés do uso d algum

23 2 po d Tora da Mcânca da Fraura como o Modlo d Zona Cosva MZC, por xmplo. A Fgura. mosra uma rprsnação squmáca d uma análs m duas scala. Fgura.: Rprsnação squmáca d uma análs mul-scala Após dfnção do problma global, dv-s drmnar o lmno d Volum Rprsnavo VR, o qual pod sr dfndo como o mnor volum capaz d rprsnar d forma sufcnmn prcsa o comporamno global do maral. Alguns méodos d drmnação do VR srão dscudos no CAPÍTULO 2. D poss do VR, a análs mul-scala pod sr ralzada da sgun manra: para cada pono gomérco do problma global ralza-s uma análs local, sndo as condçõs d conorno locas drmnadas d acordo com a solcação grada no problma global. Na análs local consdra-s a hrogndad do maral, a formação propagação d mcrorncas os dmas mcansmos d dsspação /ou

24 3 ganho d nrga. Ralzada a análs local, sus rsulados d nsão podm sr homognzados aravés d ormas d méda rornados ao problma global. Val rssalar qu o dano na scala global obsrvado na forma d prda d rgdz do maral homognzado é uma radução dos mcansmos d dsspação d nrga obsrvados na scala local, como, por xmplo, a formação propagação d mcrorncas. Val rssalar qu uma condção a sr obdcda para qu as análss local global possam sr ralzadas sparadamn é qu a scala local dv sr muo mnor do qu a scala global. A modologa d análs mul-scala conrapõ-s à chamada Mcânca do Dano Conínuo MDC radconal, a qual consdra o corpo analsado como um maral homogêno, sndo o dano rprsnado por parâmros chamados d varávs d sado cua l d volução é drmnada xprmnalmn. A prncpal vanagm da MDC é a conoma d mpo compuaconal, pos nnhuma análs na scala local é ralzada sua prncpal dsvanagm é qu o comporamno consuvo do maral é, na maora das vzs, obdo fnomnologcamn ou sm fnomnologcamn. A prncpal vanagm da análs mul-scala dmas modlos basados na Mcromcânca é qu os fnômnos físcos condos na scala mnor são vsualzados quando da solução do problma mcromcânco, podndo-s, porano, avalar a nfluênca dss no comporamno global. Uma oura vanagm é qu, uma vz drmnadas as proprdads consuvas dos maras consuns, a proprdad fva ou homognzada do compóso rsulan pod sr drmnada compuaconalmn para qualqur fração /ou dsrbução dos consuns ndvduas sm a ncssdad d ralzação d grands quandads d nsaos xprmnas. Uma rcra vanagm dos modlos mul-scala é a conoma d mpo compuaconal m comparação com os modlos qu nam consdrar odas as scalas d uma só vz. Ns úlmo caso, a macrosruura é modlada consdrando-s as hrogndads prnns ao maral, sndo sua rsposa obda aravés d uma únca análs análs global hrogêna, não havndo, porano, análss locas Fgura.2.

25 4 Fgura.2: Rprsnação squmáca d uma análs global hrogêna Com rlação aos pavmnos asfálcos, as prncpas causas d falha ou rupura são o rncamno, spcalmn o provocado por fadga, o xcsso d dformaçõs prmanns. A suação mas dramáca provocada plo rncamno do pavmno ocorr quando ssas rncas chgam à suprfíc coalscm formando blocos qu, posrormn, podm formar as chamadas panlas buracos na suprfíc do pavmno, grando dsconforo, aumno dos cusos d manunção dos vículos, aumno o rsco d acdns para o usuáro. A problmáca das dformaçõs prmanns, por sua vz, sá mas rlaconada à prda do conforo do usuáro ao aumno dos cusos d manunção dos vículos, provocados pla formação d ondulaçõs na psa d rolamno. Os fnômnos d rncamno dformaçõs prmanns qu ocorrm na scala do pavmno são nmamn rlaconados a fnômnos nrns às scalas mnors. Por xmplo, o rncamno sá rlaconado aos fnômnos d mcrofssuração na msura asfálca concnração d nsõs na nrfac agrgadolgan, nquano o dsnvolvmno d dformaçõs prmanns sá assocado à dsspação d nrga provocada plo comporamno vscolásco do lgan, spcalmn na nrfac agrgado-lgan dvdo à dfrnça d rgdz dos dos maras. Assm sndo, a consdração dos fnômnos ocorrns nas scalas mnors aravés d um modlo mul-scala proporcona uma prvsão mas confávl do comporamno global da msura asfálca m srvço, além d possblar ao prosa uma snsbldad maor com rlação à nfluênca d drmnadas caracríscas da msura no comporamno global da msma. Uma oura mporan aplcação dos modlos mul-scala é o proo d msuras asfálcas, ond a granulomra fraçõs

26 5 ómas dos maras ulzados agrgados péros, lgan asfálco, fílr, borracha ouros maras alrnavos para cada po d aplcação podram sr drmnadas compuaconalmn, rduzndo, assm, a quandad d nsaos ncssáros omzando o dsmpnho do maral compóso.. PROBLMA D PSQUISA Os problmas mas frqünmn obsrvados nos pavmnos asfálcos são o rncamno o xcsso d dformaçõs prmanns obsrvados ans da vda úl proada do pavmno, os quas são rlaconados à não consdração dos fnômnos obsrvados nas scalas mnors das msuras asfálcas, como a mcrofssuração, as nraçõs lgan-agrgado o nvlhcmno do lgan, d forma mas dalhada no proo das msuras no dmnsonamno dos pavmnos. É ncssáro, porano, qu s sud o fo dos fnômnos ocorrns nas scalas mnors no comporamno global da msura aplcada m campo macroscala, d modo qu, aravés d uma corra caracrzação dos maras consuns das msuras asfálcas, s possa proar pavmnos asfálcos mas durávs ulzando-s agrgados lgans caracríscos d cada rgão. Dsa forma, o prsn rabalho d psqusa propõ o dsnvolvmno d um squma d análs sruural ond dvrsas scalas rprsnavas sus rspcvos fnômnos nrns são analsados d forma nrdpndn, ou sa, o comporamno d uma drmnada scala é consqüênca do comporamno das scalas mnors, d modo qu s possa conrbur para um mlhor nndmno do comporamno mcânco das msuras asfálcas, consqünmn, conrbur para o proo d msuras o dmnsonamno d pavmnos asfálcos mas durávs.

27 6.2 OBJTIVOS.2. Obvo Gral O obvo gral ds rabalho d psqusa é dsnvolvr um modlo mulscala para análs do comporamno mcânco d msuras asfálcas capaz d consdrar o comporamno vscolásco dos maras asfálcos, o dsnvolvmno d dformaçõs prmanns a volução do dano sob a forma d mcrorncas. Ns sforço, prnd-s forncr subsídos para possblar proos d msuras asfálcas mas durávs, consqünmn, conrbur para o dsnvolvmno d novas modologas d dmnsonamno xcução d pavmnos asfálcos com maor vda úl, d forma a mnmzar os cusos com a rcupração dos msmos..2.2 Obvos spcífcos s rabalho d psqusa aprsna como obvos spcífcos: a drmnar m laboraóro as proprdads vscoláscas do masqu lgan msurado com fnos corrspondn à msura m AAUQ Ara Asfalo Usnada à Qun sudada; b drmnar os parâmros d volução d dano da msura nvsgada usando um Modlo d Zona Cosva Mcromcânco Vscolásco MZC-MV a parr d rsulados xprmnas; c vrfcar valdar o modlo mul-scala aravés da smulação dos nsaos d comprssão damral d flxão m vga da comparação dos rsulados numércos com os obdos xprmnalmn para o nsao d comprssão damral; d mosrar a capacdad do squma mul-scala dsnvolvdo m modlar os fnômnos d dformação prmann d rncamno por fadga;

28 7 conrbur para o dsnvolvmno d novas modologas d proo d msuras asfálcas d dmnsonamno xcução d pavmnos asfálcos capazs d consdrar d forma mas dalhada os fnômnos ocorrns nas scalas mnors, consqünmn, capazs d prvnr o rncamno o xcsso d dformaçõs prmanns duran o príodo d proo..3 STRUTURA DO TRABALHO O conúdo rsan do prsn rabalho sá dsrbuído organzado da sgun forma: No CAPÍTULO 2, aprsna-s uma rvsão bblográfca sobr os assunos d maor mporânca para o prossgumno do rabalho. Prmramn, raa-s d forma sucna sobr o Méodo dos lmnos Fnos MF. m sguda, dscorr-s sobr os prncpas ponos da Tora da Vscolascdad, da Mcânca da Fraura das Toras d Homognzação a srm ulzados no prsn rabalho. O CAPÍTULO 3 dscrv a consrução mplmnação do códgo mul-scala d acordo com a formulação do Méodo dos lmnos Fnos MF com bas nas oras aprsnadas no CAPÍTULO 2, mosrando as dfrnças nr as análss global local suas nrlgaçõs. No CAPÍTULO 4, dscrv-s o maral méodos usados no prsn rabalho d psqusa. São aprsnados o procsso d confcção dos corpos d prova, os nsaos xprmnas ulzados, a modologa d dgalzação das sçõs dos corpos d prova, d drmnação do VR d gração da malha d lmnos fnos o procsso d drmnação dos parâmros d dano do MZC ulzado. O CAPÍTULO 5 aprsna os rsulados xprmnas numércos obdos no prsn rabalho. Além dsso, são aprsnadas comparaçõs nr os rsulados xprmnas os rsulados obdos das smulaçõs compuaconas aravés do modlo mul-scala, com o obvo d s vrfcar valdar o modlo.

29 8 Fnalmn, o CAPÍTULO 6 consu-s das conclusõs do rabalho, ond são aprsnados, d forma sucna, os prncpas ponos do rabalho as rcomndaçõs para rabalhos fuuros.

30 9 CAPÍTULO 2 RVISÃO BIBLIOGRÁFICA O prsn capíulo aprsna uma rvsão bblográfca sobr os prncpas assunos abordados ns rabalho, forncndo a fundamnação órca ncssára para o prossgumno do rabalho. s capíulo sá subdvdo m quaro sçõs cuos mas abordados são: Méodo dos lmnos Fnos MF, Tora da Vscolascdad, Mcânca da Fraura v Toras d Homognzação, rspcvamn, como s sgu. 2. MÉTODO DOS LMNTOS FINITOS MF O MF fo dsnvolvdo por vola da década d 95 como uma rsposa à crscn dmanda por procdmnos d análs capazs d raar sruuras complxas ZINKIWICZ, 97; ALLN HAISLR, 985. Concualmn, do pono d vsa da análs sruural, o MF pod sr dfndo como um procsso mamáco aravés do qual um domíno conínuo, o qual possu nfnos graus d lbrdad pos possu nfnos ponos gomércos, é subsuído por um conuno fno d subdomínos lmnos fnos com um númro fno d varávs dsconhcdas graus d lbrdad ZINKIWICZ, 97. Assm sndo, cada lmno pod sr analsado sparadamn a solução para a sruura compla é obda aravés da mposção d compabldad d dslocamno qulíbro d forças ao longo do conorno dos lmnos concados nr s ALLN HAISLR, 985. Além dsso, dv-s adoar uma função solução gralmn um polnômo d grau n, ond n é o númro d nós m cada arsa do lmno para o lmno, d modo qu o ssma d quaçõs a sr rsolvdo para a sruura compla ransform-s m um ssma lnar ond as varávs a srm drmnadas são os graus d lbrdad spcfcados nos nós dos lmnos RDDY, 993. A Fgura 2. aprsna um

31 domíno rangular dscrzado m lmnos fnos rangulars d 3 nós lmno T3, o qual assum uma solução lnar para os dslocamnos no nror do lmno. No-s qu, após a dscrzação do domíno, as forças rsrçõs d dslocamno passam a sr aplcadas aos nós corrspondns da malha. Fgura 2.: Dscrzação d um domíno rangular m lmnos fnos Assm sndo, m-s qu para cada lmno, a sgun quação d qulíbro é válda: [ ] { d} { f } k 2. ond, [ ] k : marz d rgdz do lmno ; {} d : vor d dslocamnos nodas do lmno ; { f } : vor d forças nodas do lmno, conndo conrbuçõs dvdo às forças nduzdas plas dformaçõs, por forças concnradas nos nós, por forças dsrbuídas na suprfíc do lmno por forças dsrbuídas no volum do lmno.

32 A marz d rgdz dos lmnos é obda aravés da solução da sgun ngral sobr o volum do lmno: T [ ] [ B ] [ C ][ B ] k dv 2.2 V ond, V : volum do lmno; [ C ]: marz consuva, conndo as proprdads do maral; [ B ]: marz d rlação dformaçõs-dslocamnos nodas. A marz consuva do lmno é drmnada d acordo com o po do problma sado plano d nsão, sado plano d dformação, ax-smérco, nr ouros com o po d maral lásco, plásco, vscolásco, vsco-plásco, c. A marz [ B ], no nano, é drmnada com bas nas funçõs d forma ou funçõs d nrpolação, as quas dpndm do po do lmno. Para o caso do lmno T3, consdr a Fgura 2.2, abaxo, ond os nós do lmno foram dnomnados d, m no sndo an-horáro, são consdrados dos graus d lbrdad para cada nó, quas sam, o dslocamno horzonal, u, o dslocamno vrcal, v. Fgura 2.2: Rprsnação d um lmno T3

33 2 Ns caso, o polnômo adoado é uma quação lnarmn dpnd d x d y, sndo a função d forma rlaconada ao nó dada por: A y c b x a 2 / ψ 2.3 ond A é a ára do lmno,, m m m m x x c y y b y x y x a 2.4 Assm sndo, os dslocamnos horzonas vrcas no nror do lmno podm sr obdos aravés das sguns quaçõs, rspcvamn: m m m m v v v v u u u u ψ ψ ψ ψ ψ ψ 2.5 D poss das funçõs d forma, pod-s, não, drmnar a marz [ ] B : [ ] x y x y x y y y y x x x B m m m m ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ 2.6 Logo, [ ] m m m m b c b c b c c c c b b b A B Para a sruura compla, composa plo conuno d lmnos, m-s qu: [ ] { } { } F D K 2.8 ond,

34 3 [ K ]: { D }: { F }: marz d rgdz da sruura ou global; vor d dslocamnos nodas global; vor d forças nodas global. Sndo qu, N [ ] [ k] K Π N { } { f } F Π ond N é o númro d lmnos Π é o oprador d monagm da marz d rgdz global do vor d forças nodas global. Val rssalar qu as marzs os vors corrspondns aos lmnos são drmnados com bas numa numração local dos nós,, m, adoada no sndo an-horáro, nquano qu as marzs vors globas são drmnados a parr das rspcvas marzs vors locas, porém com bas na numração global dos nós, rspando as condçõs d compabldad d dslocamno nos nós comparlhados. Após obr-s a solução para os dslocamnos nodas a parr da quação 2.8, pod-s, não, calcular as dformaçõs, ε, nsõs,, no nror dos lmnos usando as sguns quaçõs, rspcvamn: ε u x x v {} ε [ B ] ε y 2. y v γ xy u v u m y x { } [ C ] {} ε v m u v u x y 2.2 xy

35 4 Maors dalhs sobr o MF podm sr nconrados na vasa lraura sobr o assuno, como, por xmplo, m ZINKIWICZ 97, COOK al. 989 RDDY 993, para car apnas algumas rfrêncas. Nas dmas sçõs ds capíulo, quando s fzr ncssáro, como por xmplo, quando da ncrmnalzação das quaçõs consuvas vscoláscas, a formulação m lmnos fnos srá abordada novamn. 2.2 TORIA DA VISCOLASTICIDAD É comum, nas análss sruuras prncpalmn nos procdmnos d dmnsonamno d sruuras, consdrar-s os maras a srm ulzados dnro do rgm lásco lnar. Na ngnhara cvl, sso é vrfcado faclmn nas normas rfrns ao aço ao Concro d Cmno Porland CCP. mbora sa comum consdrar o comporamno d alguns maras, como mas, vdro, CCP maras asfálcos, dnro do rgm lásco lnar, uma parcla do comporamno mcânco dsss maras, spcalmn os maras asfálcos, é dpndn do mpo, muo mbora a manfsação dss comporamno sa prcpívl apnas após um longo príodo d mpo. No caso do vdro, ssa manfsação é noávl nas vdraças d angas consruçõs ond s obsrva qu a bas da placa d vdro s aprsna com uma spssura maor, o qu ndca qu houv scoamno do maral dvdo ao su própro pso. Para o CCP, ss po d comporamno dpndn do mpo pod sr obsrvado prncpalmn m sruuras suspnsas como las vgas, ond ocorrm dformaçõs qu s dsnvolvm ao longo do mpo, sndo chamadas pla lraura écnca d dformaçõs lnas SÜSSKIND, 984. A maora dos maras usados na consrução cvl, quando aprsnam comporamno dpndn do mpo, s é pouco prcpívl. Os maras asfálcos, no nano, fazm par do grupo d maras m qu o comporamno dpndn do mpo pod sr faclmn obsrvado, pos ss maras flum com maor facldad,

36 5 spcalmn a alas mprauras. Uma das prncpas consqüêncas ds comporamno são as dformaçõs prmanns obsrvadas na camada d suprfíc dos pavmnos asfálcos. Além dos maras usados na consrução cvl, muos ouros maras aprsnam comporamno dpndn do mpo. Por xmplo, no ramo das cêncas bológcas, a maora dos cdos anmas ambém aprsna comporamno dpndn do mpo, muas vzs dvdo à ala concnração d fludos, prncpalmn d água, nas células. Uma sruura bológca ond s obsrva ss po d comporamno é a pl, qu sob auação consan da força da gravdad s dforma lnamn, orgnando as rugas; val rssalar qu as rugas são ambém consqüênca do procsso d nvlhcmno, fnômno frqünmn obsrvado m dvrsos maras cuo comporamno consuvo é dpndn do mpo. Um ouro xmplo d sruura bológca qu aprsna ss po d comporamno são os vasos sanguínos, qu s dformam s dlaam dvdo à solcação consan da prssão sanguína, orgnando problmas como quda da prssão sanguína. sss maras qu aprsnam comporamno dpndn do mpo são chamados d maras vscoláscos vscopláscos, vscolasopláscos, c. Mas spcfcamn, o comporamno mcânco dos maras vscoláscos é dpndn do mpo d aplcação da solcação carga ou dslocamno da axa dssa solcação. Assm sndo, a rsposa dos maras vscoláscos não dpnd apnas da solcação aplcada no nsan consdrado, mas d odo o hsórco da solcação CHRISTNSN, 982. A hpós d comporamno lásco lnar smplfca basan a análs o dmnsonamno das sruuras, porém mpossbla a vrfcação a prvsão mas ralsa d alguns faors drmnans na vda úl m srvço da sruura, como dformaçõs prmanns, mcro macrofssuras, fadga ouros fnômnos, caso o maral ulzado aprsn um ouro po d comporamno consuvo. Nsa sção srá abordada apnas a Tra da Vscolascdad Lnar, uma vz qu a não lnardad consdrada ns rabalho srá consqüênca da formação

37 6 propagação d mcrofssuras dscras no maral, modladas aravés d Modlos d Zona Cosva MZC. Toras da vscolascdad não-lnar podm sr nconradas na lraura. Dnr ssas oras, dsaca-s a ora crada por SCHAPRY 984, o qual, aravés da dfnção das chamadas psudovarávs, dsnvolvu quaçõs consuvas méodos d análs d fraura aplcávs a uma grand gama d maras vscoláscos lnars não-lnars. Schapry co-auors dsnvolvram anda um modlo conínuo para modlagm da volução do dano m maras vscoláscos SCHAPRY, 986; SCHAPRY SICKING, 995; PARK SCHAPRY, 997; HA SCHAPRY, 998; SCHAPRY, 999, o qual m sdo aplcado nclusv a msuras asfálcas PARK al., 996; L KIM, 998a, 998b Lnardad Para qu o comporamno d um maral, lásco ou vscolásco, sa consdrado lnar, s dv obdcr a dos prncípos: homogndad ou proporconaldad quação 2.3 suprposção quação 2.4, sndo s úlmo conhcdo como prncípo da suprposção d Bolzmann BOLTZMANN, 876. No caso d uma das quaçõs abaxo não sr sasfa, o maral é do não-lnar. ε [ c ] c ε[ ] 2.3 [ ] ε[ ] ε[ ] ε 2.4 ond, ε : : : dformação; nsão; mpo absoluo;, 2 : mpo d níco da aplcação das nsõs 2, rspcvamn; c : consan.

38 7 D acordo com SCHAPRY 974, o prncípo d homogndad é auomacamn anddo para qualqur valor raconal d c dsd qu o prncípo d suprposção sa sasfo, no nano, o conráro não é vrdadro. Dsa fa, para s vrfcar a lnardad do comporamno vscolásco d msuras asfálcas é ncssára a ralzação d apnas um po d nsao conhcdo no Brasl como nsao d crp sáco com rcupração, ou nsao d comprssão unaxal. s nsao conss da aplcação d uma força unaxal comprssva m corpos d prova clíndrcos, sndo a dformação do corpo d prova obda ao longo do mpo d duração do nsao. Maors dalhs sobr a vrfcação do comporamno não-lnar d msuras asfálcas podm sr nconrados m SOARS SOUZA Rlaçõs Consuvas para Maras Vscoláscos Lnars como: Consdr uma função dgrau unára Havsd un sp funcon dfnda, para < H 2.5, para > suas proprdads mamácas CHRISTNSN, 982: dh δ 2.6 d δ a, para a 2.7 δ a d 2.8 f δ a d f a 2.9 ond, δ : função dla d Drac; a : consan arbrára undad d mpo;

39 8 f : função qualqur dpndn do mpo. É comum convnn ulzar a função dgrau unára como forma d rprsnar mamacamn os carrgamnos aplcados m problmas qu nvolvm maras vscoláscos como, por xmplo, na rprsnação mamáca d um carrgamno consan ao longo do mpo caso do nsao d crp sáco. A rsposa, R H, d um maral vscolásco dvdo à aplcação d H é função do mpo aual,, do mpo m qu H comçou a auar, : R H RH, 2.2 m dvrsas suaçõs prácas, no nano, a rsposa d muos maras vscoláscos dpnd apnas do mpo d aplcação da solcação: RH RH 2.2 s po d comporamno é caracrísco das suaçõs m qu o maral não sá suo ao nvlhcmno são dos nvarans a ranslaçõs na scala do mpo m ranslaon nvaran. No prsn rabalho, consdra-s apnas a suação m qu o fnômno do nvlhcmno pod sr dsprzado. Consdr agora a suação m qu uma solcação S assum uma forma qualqur. ssa solcação pod, no nano, sr rprsnada aproxmadamn por váras funçõs H quação 2.5, como mosra a Fgura 2.3. A ddução das ngras d convolução para maras vscoláscos qu s sgu fo xraída das noas d aula do Prof. Rchard A. Schapry

40 9 Fgura 2.3: Solcação qualqur rspcva aproxmação por funçõs dgrau Assumndo o comporamno lnar, m-s qu a rsposa à solcação S é: S H R R H S 2.22 Mas H, para o nrvalo ond H R é dfnda. Logo: S R R H S 2.23 Fazndo uso do prncípo da suprposção, podmos xprssar a rsposa dvdo a S como: N N H H H H S R S R S R S R R N H S R R 2.24 Mulplcando dvdndo o lado dro da quação 2.24 por omando-s o lm quando ndr a zro N ndr a nfno, d modo a convrgr para a vrdadra função S, vm: N H N S R R lm

41 2 S R RH d 2.25 A rprsnação mosrada na quação 2.25 é chamada d ngral d convolução ou ngral hrdára. Porano, com bas na quação 2.25, as rlaçõs consuvas vscoláscas para o caso unaxal, podm sr scras como: ε d 2.26 ε D d 2.27 ond, : módulo d rlaxação; D : função fluênca; : : mpo absoluo omado a parr d um rfrncal qualqur níco do nsao; varávl d ngração ambém pod sr nrprado como o mpo nr duas mudanças d solcação. O módulo d rlaxação pod sr obdo aravés do nsao d rlaxação ond uma dformação consan, ε, é aplcada a nsão é obda ao longo do mpo, sndo. A função fluênca, por sua vz, pod sr obda aravés do nsao d crp ε sáco, ond uma nsão consan, é aplcada a dformação é obda ao longo do ε nsao, sndo D. Além dsss nsaos, xsm ouras formas d s obr as proprdads vscoláscas, D, como, por xmplo, aravés d nsaos dnâmcos cargas harmôncas APÊNDIC A.

42 Consdr agora a suação do nsao d crp sáco, ond uma nsão consan,, é aplcada. Tomando-s como rfrncal o níco do nsao, a dformação ao longo do nsao srá dada por: 2 ε D 2.28 Drvando-s a quação 2.28 com rlação a, m-s: d ε dd 2.29 d d Subsundo a quação 2.29 na quação 2.26, sgu qu: dd d d dd d, para > 2.3 d 98: Manpulando-s a ngral acma, pod-s obr a sgun rlação FRRY, D d, para > 2.3 A parr da quação 2.3 ou da quação 2.3, noa-s qu as funçõs módulo d rlaxação D função fluênca, qu rprsnam as proprdads consuvas vscoláscas, não são rcíprocas, como é o caso das proprdads dos maras láscos, mas sm rlaconadas por uma ngral d convolução FRRY, 98. mbora não nham sdo abordadas nsa sção, as solcaçõs harmôncas, suas rspcvas rlaçõs consuvas vscoláscas, são d grand mporânca na Tora da Vscolascdad, prncpalmn com rlação aos méodos aclrados d obnção das proprdads vscoláscas ALLN al., 2; BRTHLOT al., 23, sndo, porano, raadas no APÊNDIC A.

43 Prncípos d Corrspondênca lásca-vscolásca PCV Os problmas vscoláscos, por nvolvrm quaçõs dfrncas ngras d convolução, podm sr consdrados, muas vzs, d dfícl solução às vzs d solução mpossívl, quando s raa d solução analíca. xsm, no nano, frramnas mamácas qu podm auxlar na solução d as problmas. sas frramnas podm sr dvddas bascamn m: numércas analícas. As soluçõs numércas êm obdo dsaqu ulmamn, pla vrsaldad, facldad d uso dssas frramnas pla sua rlava rapdz. Porém, as soluçõs analícas são smpr mas dsávs, ndo m vsa qu sas podm sr consdradas rrfuávs dsd qu as suas hpóss sam rspadas. Dnr as frramnas mamácas analícas usadas na solução d quaçõs dfrncas ngras, as mas comumn usadas na solução d problmas vscoláscos são a ransformada d Laplac a ransformada d Fourr, sndo sa úlma mas aplcada a problmas qu nvolvm solcaçõs pródcas, spcalmn para solcaçõs harmôncas, por sso, é abordada no APÊNDIC A. Os Prncípos d Corrspondênca lásca-vscolásca PCV s basam no fao d qu soluçõs para problmas vscoláscos quando lvadas para ouro domíno mamáco ransformado s assmlham a soluçõs láscas. Assm, a solução d um problma vscolásco pod sr obda a parr da solução lásca do msmo, aravés da subsução das consans láscas plas funçõs vscoláscas ransformadas mulplcadas pla varávl ransformada, s, fuando-s o nvrso da ransformada consdrada CHRISTNSN, 982. A prncpal rsrção da ulzação ds prncípo é qu os conornos do problma gralmn suprfícs não podm dpndr da varávl mpo, ou sa, o po da condção d conorno dslocamno ou nsão a rgão sobr a qual sa condção aua não podm mudar ao longo do mpo SCHAPRY, 974; CHRISTNSN, 982. A ransformada d Laplac T.L d uma função f é dfnda como:

44 23 s f d [ f ] f s L 2.32 ond s é a varávl ransformada. No-s qu os lms d ngração acma são usados para nfazar qu a ngral dv sr calculada para odo o domíno váldo da função. O APÊNDIC B xmplfca como s obr a T.L d uma função, além d aprsnar as T.L, rspcvas nvrsas, d algumas das funçõs mas nconradas quando da solução d problmas vscoláscos. Consdr agora a rlação consuva vscolásca dada pla quação A parr das lnhas 4 5 da Tabla do APÊNDIC B, m-s qu a quação 2.26 ransformada no spaço d Laplac assum a sgun forma: Fazndo-s s ε 2.33 ~ s, sabndo-s qu ~ é a ransformada d Carson do módulo d rlaxação, a quação 2.33 pod sr rscra como: ~ ε 2.34 A parr da quação 2.34, pod-s prcbr a smlhança nr a rlação consuva lásca a rlação consuva vscolásca, quando sa úlma é ransformada no spaço d Laplac. Do msmo modo, a rlação nr as funçõs vscoláscas função fluênca módulo d rlaxação no spaço d Laplac pod sr obda. No spaço d Laplac, a quação 2.3 pod sr rscra da sgun forma lnhas 3 4 da Tabla do APÊNDIC B. D 2 s s s D ~ ~ 2.35 D

45 24 A quação 2.35 mosra qu no spaço d Laplac, consdrando-s a ransformada d Carson, a nr-rlação nr as proprdads vscoláscas s assmlha à nr-rlação xsn nr as proprdads láscas no spaço ral. Assm sndo, dada a smlhança nr a solução vscolásca no spaço d Laplac sua corrspondn solução lásca, pod-s prcbr qu, dspondo-s da solução lásca d um problma, a solução vscolásca do msmo pod sr obda subsundo-s, rspcvamn, as varávs, Ε ε da solução lásca plas ~ varávs vscoláscas ransformadas,, ε, fuando-s, m sguda, o nvrso da ransformada d Laplac. É mporan salnar qu para drmnadas suaçõs, ond s dspõ apnas d soluçõs láscas numércas ou anda a nvrsão analíca da ransformada d Laplac é muo complxa, orna-s mas vávl ulzar procssos aproxmados d nvrsão d ransformadas d Laplac, como o méodo da colocação o méodo dro, ambos proposos por SCHAPRY 962. Um ouro PCV ambém basan ulzado é o PCV dsnvolvdo por SCHAPRY 984. A prncpal vanagm ds PCV é qu s é aplcávl ano para maras vscoláscos lnars como não-lnars, podndo sr usado nclusv para soluconar problmas qu nvolvm rncas conao nr dos maras dfrns. O PCV d SCHAPRY 984 s basa na dfnção d psudovarávs, as quas possblam qu o problma vscolásco s assmlh a um problma lásco corrspondn. ssas varávs não são ncssaramn quandads passívs d nrpração físca, mas são rlaconadas às suas rspcvas quandads físcas aravés d ngras hrdáras. Para o caso das dformaçõs, assumndo qu as msmas são nulas para <, consdrando-s apnas o caso unaxal dsprzando-s os fos do nvlhcmno, dfn-s as psudo-dformaçõs como: R ε ε d 2.36 R ond,

46 25 R ε : ε : psudodformaçõs; dformaçõs quandad físca; : módulo d rlaxação; R : módulo d rfrênca, o qual é uma consan qualqur com dmnsõs guas à do módulo d rlaxação gralmn, assum-s o valor ncal d, ou sa, R. A parr das quaçõs , pod-s chgar à sgun rlação consuva: R R ε 2.37 Dond pod-s obsrvar a smlhança com a rlação consuva lásca Modlos Mcâncos Como vso anrormn, as rlaçõs consuvas vscoláscas nvolvm funçõs, não consans como no caso lásco, qu rprsnam as proprdads do maral, quas sam, o módulo d rlaxação,, a função fluênca, D, as quas dvm sr drmnadas ans d qualqur análs. Além dsso, d modo a ornar possívl a solução das quaçõs consuvas, ssas funçõs dvm sr rprsnadas por funçõs mamácas adquadas. Uma forma d rprsnar as proprdads vscoláscas mamacamn s dá aravés do uso das chamadas ls d poênca powr laws. Por xmplo, consdrando o caso da função fluênca, uma l d poênca basan usada qu é capaz d rprsnar bm as funçõs vscoláscas, chamada d sér d ls d poêncas powr-law srs, é dada pla quação 2.38 PARK KIM, 2. D D g Dˆ M ˆ n 2.38

47 26 ond, D g, ˆD, ˆ n são consans d rgrssão M é o númro d rmos da sér. Para o caso do módulo d rlaxação, pod-s usar a sgun sér d ls d poênca: M ˆ ˆ n 2.39 ond,, Ê, ˆ n são consans d rgrssão M é o númro d rmos da sér. No-s qu as consans n M da quação 2.39 não são ncssaramn guas àqulas da quação Além das ls d poênca, xs uma oura forma d s rprsnar as proprdads vscoláscas, a qual s dá aravés da analoga com modlos mcâncos consuídos d assocaçõs nr molas amorcdors FRRY, 98. A prncpal vanagm dsa rprsnação é qu as consans d rgrssão passam a r um sgnfcado físco assocado às consans láscas das molas à vscosdad dos amorcdors. Além dsso, oura vanagm é qu ssa rprsnação mamáca nvolv prncpalmn funçõs xponncas, as quas podm sr faclmn ngradas. sss modlos mcâncos podm sr mamacamn rprsnados por quaçõs dfrncas rlaconando nsõs a dformaçõs; no nano, é possívl convrr ssas quaçõs dfrncas para uma forma ngral na forma das quaçõs As quaçõs dfrncas produzdas por sss modlos possum a sgun forma: N n a n n d a n d N b m m m d ε b m ε d 2.4 ond, para cada modlo, as consans a, físco dfrn. a n, b b m rão um sgnfcado

48 27 A Fgura 2.4 aprsna alguns modlos mcâncos comumn usados na rprsnação d maras vscoláscos, cuas rlaçõs consuvas são dsnvolvdas no APÊNDIC C. Fgura 2.4: Modlos mcâncos para maras vscoláscos As rprsnaçõs mas comumn usadas para o módulo d rlaxação para a função fluênca são as forncdas plos modlos d Maxwll gnralzado d Vog gnralzado, rspcvamn, pos podm rprsnar as funçõs vscoláscas para mpos basan longos, basando, para sso, acrscnar-s ao conuno sus modlos bas modlo d Maxwll d Vog, rspcvamn.

49 28 É mporan salnar qu os modlos d Maxwll gnralzado d Vog gnralzado são quvalns vd APÊNDIC C, mas as rprsnaçõs mamácas do módulo d rlaxação da função fluênca ornam-s mas smpls quando s consdra os modlos d Maxwll d Vog gnralzados, rspcvamn. As rprsnaçõs rsulans dos modlos d Maxwll gnralzado d Vog gnralzado ambém são conhcdas como sérs d Prony ou sérs d Drchl são dadas plas quaçõs , rspcvamn. D D M N D η ond, é chamado d mpo d rlaxação, é chamado d mpo d rardação, : D 2.43 η 2.44 η D 2.45 No-s qu, para o caso d sóldos vscoláscos, > η PARK SCHAPRY, 999. Uma oura mporan vanagm da rprsnação aravés das sérs d Prony é qu uma vz drmnada a função vscolásca para um maral no domíno do mpo, suas funçõs corrspondns no domíno da frqüênca ω no spaço d Laplac s são obdas dramn m rmos das consans mosradas nas quaçõs , como aprsnado nas quaçõs abaxo PARK SCHAPRY, 999. Val rssalar qu as funçõs dsgnadas com um apósrofo com dos apósrofos

50 29 corrspondm, rspcvamn, às pars ral magnára d suas rspcvas funçõs complxas. M 2 2 ω ω ω M 2 2 ω ω ω 2.47 N D 2 2 ω D ω D 2.48 N D ω ω D η ω ω ~ s D ~ s D η s M s D N s s Méodos d Rgrssão das Funçõs Vscoláscas Quando da análs d maras vscoláscos ras, as proprdads dss dvm sr obdas xprmnalmn rprsnadas na forma d alguma função mamáca d modo qu as quaçõs possam sr rsolvdas. scolhda a função mamáca, dv-s, porano, drmnar os cofcns dsa qu proporconm o mlhor aus aos dados xprmnas. ss procsso saísco d drmnação dos cofcns d uma função para propcar a mlhor rprsnação dos dados obsrvados no xprmno é chamado d rgrssão. Dada a forma xponncal d cada rmo da sér d Prony, caso s qura drmnar ambos os cofcns, para as funçõs módulo, ou, D, para as funçõs fluênca, gralmn opa-s por algum méodo d rgrssão não-lnar ou plo méodo dos rsíduos sucssvos HUANG, 993. cofcns Porém, caso sa possívl assumr-s valors pré-sablcdos para os ou, pod-s usar o méodo da colocação SCHAPRY, 96. O

51 3 méodo da colocação s basa no fao d qu as sérs d Prony são funçõs lnars com rlação aos cofcns rlaxação ou D, porém não-lnars com rlação aos mpo d ou. Assm sndo, assumndo-s valors para os cofcns ou, pod-s drmnar os cofcns ou quaçõs lnars, o qu o orna um méodo basan práco. D aravés da solução d um ssma d Dada a smplcdad ds úlmo méodo sua aplcabldad à rgrssão d qualqur proprdad vscolásca, sa sa ransn dpndn do mpo ou complxa dpndn da frqüênca, s srá o méodo ulzado ns rabalho para rgrdr os cofcns das funçõs vscoláscas. Consdr, porano, o módulo d rlaxação dado pla quação 2.4. No-s qu ssa função é uma soma d funçõs xponncas smpls, o qu prm conclur qu a quação 2.4 s compora qualavamn como uma função xponncal smpls, porém com um domíno d varação maor qu uma função xponncal smpls. A Fgura 2.5 mosra o comporamno d um função xponncal smpls f b, ond a consan b é gualada a para possblar uma mlhor vsualzação do comporamno dsa função m scala logarímca. Obsrv-s qu o domíno d varação da função xponncal smpls é d aproxmadamn duas ordns d grandza., [ - ],,-2,-,,,2 mpo Fgura 2.5: Comporamno d uma função xponncal smpls

52 3 A Fgura 2.6 mosra o comporamno da função 5, para, 5 3, 2,..., 5 o comporamno dos sus rspcvos rmos. 4, 3,5 3, 2,5 2, Trmo Trmo 2 Trmo 3 Trmo 4 Trmo 5 soma Trmo Trmo2,5, 5,,,-4,-3,-2,-,,,2,3,4 mpo Fgura 2.6: 5 rspcvos rmos, para, 5 3, 2,..., 5 A parr da Fgura 2.6, pod-s obsrvar qu m su domíno d varação cnrado num valor próxmo d vara, aproxmadamn, da ordm d grandza anror a aé a ordm d grandza posror a, ou sa, para 2, por xmplo, a função vara aproxmadamn d 3 a. Além dsso, cada rmo conscuvo somado mplca no aumno d, aproxmadamn uma ordm d grandza no domíno d varação, por xmplo, varação d crca d 3 ordns d grandza, como mosra a Fgura possu um domíno d

53 32 Como cada rmo vara da ordm d grandza anror a aé a ordm d grandza posror a, para rgrdr uma função suav a parr d dados xprmnas obdos m M ordns d grandza d mpo ou frqüênca, prcsa-s d, no mínmo, M 2 cofcns. Por xmplo, para dados xprmnas obdos m 5 ordns d grandza d mpo, quas sam, -2, -,, 2, pod-s assumr com ordm d grandza gual a -, 2 com ordm d grandza gual a 3 com ordm d grandza gual a. É mporan salnar qu caso os cofcns scolhdos sam sparados por mas d uma ordm d grandza, a curva rsulan da quação 2.4 soma d xponncas não aprsnará uma forma suav como a da Fgura 2.6, mas aprsnará a forma d uma scada como mosra a Fgura , 3,5 3, 2,5 2, soma,5, 5,,,-6,-4,-2,,2,4,6,8, mpo Fgura 2.7: Forma d scada aprsnada pla quação 2.4 para M 5 spaçados por mas d uma ordm d grandza Com rlação à drmnação dos valors d a srm assumdos, como prmra nava, pod-s assumr valors para os cofcns d modo qu xsa um rmo na sér qu ang a mad do su máxmo valor m k, ond k são

54 33 valors d mpo ond houv obsrvação xprmnal, dvndo sar, na mdda do possívl, sparados por uma ordm d grandza SCHAPRY, 96. Dsa forma, sar-s-á rando o máxmo provo do domíno d varação d cada rmo da sér. Dpos d scolhdos os valors para os cofcns para os mpos k, os valors dos cofcns são obdos aravés da solução d um ssma d quaçõs lnars. Para o módulo d rlaxação, por xmplo, a parr da quação 2.4, pod-s scrvr, para cada valor d k : M k k 2.52 Rscrvndo a quação acma m forma marcal, mos: M M M M M M M M M M M M L M L M M M L L L 2.53 A solução do ssma d quaçõs acma, sgundo-s as rgras comnadas anrormn, rsulará na adquada drmnação dos cofcns. Dpos d drmnados os cofcns, é mporan qu s compar a sér obda com os valors xprmnas a fm d s vrfcar a xsênca d qualqur dscrpânca da sér obda com rlação aos dados xprmnas. Val salnar anda qu ssas dscrpâncas são gralmn mlhor vsualzadas quando as curvas são grafadas m scala logarímca. Na drmnação d ou d D, pod-s adoar o mnor valor xprmnal colado ou um valor mnor qu o mnor valor obdo xprmnalmn, sndo basan mporan o uso do bom snso.

55 34 É mporan salnar qu, m gral, o méodo da colocação convrg adquadamn para dvrsos valors d, porém, mbora a curva obda sa ndsnguívl da curva xprmnal, muas vzs o méodo produz valors ngavos para os cofcns, o qu é fscamn rral. Caso so aconça, dv-s assumr ouros valors para ou aé qu s obnha valors posvos para os cofcns ou D. Dnr os méodos proposos para s var cofcns ngavos, dsacas, pla sua smplcdad aplcabldad a dados xprmnas qu aprsnam grands dsprsõs, o dsnvolvdo por PARK KIM 2, o qual propõ a présuavzação dos dados xprmnas aravés da rgrssão d uma sér d ls d poênca posror rgrssão da sér d Prony a parr dos dados pré-suavzados. Para o caso da função fluênca para η, consdrando-s a quação 2.42, a quação 2.53 assum a forma: D D D D D D D D D D D D N N N N N N N N N N M M L M L M M M L L L 2.54 O msmo procdmno pod sr adoado para qualqur sér d Prony, nclusv para as funçõs complxas. Por xmplo, consdrando-s a sér d Prony para a par ral da função fluênca complxa quação 2.48, a msma pod sr rscra m forma marcal, conform a quação abaxo: D D D D D D D D D N N N N N N N N ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω M M L M L M M L L 2.55

56 É mporan rssalar qu, como comnado anrormn, uma vz drmnados os cofcns 35 para uma função módulo qualqur, as dmas funçõs módulo são drmnadas dramn, basando subsur os valors dsss cofcns nas suas rspcvas rprsnaçõs mamácas. Por xmplo, consdr qu os cofcns nham sdo drmnados a parr d rsulados xprmnas do módulo d rlaxação. Assm sndo, para s obr as funçõs módulo complxo, basa subsur os valors dsss cofcns nas quaçõs O msmo é váldo para as funçõs fluênca. Além dsso, as curvas gradas para as funçõs complxas, por xmplo, a parr da subsução dos cofcns podm sr comparadas com suas rspcvas curvas xprmnas, a fm d s vrfcar as hpóss d lnardad d nérca dsprzívl assumdas no dsnvolvmno dos modlos mcâncos, ora rprsnados plas sérs d Prony Inrconvrsão nr as Proprdads Vscoláscas Na Sção 2.2.2, mosrou-s qu xsm duas rlaçõs consuvas corrspondns para os maras vscoláscos quaçõs basadas m proprdads dsnas, as quas são rlaconadas por uma ngral d convolução quação 2.3 ou quação 2.3. Assm sndo, d acordo com as quaçõs , quando s dsa achar o hsórco d nsõs a parr do hsórco d dformaçõs aplcado, ncssa-s do módulo d rlaxação, quando s dsa o conráro, ncssa-s da função fluênca. Muas vzs, porém, é possívl s drmnar xprmnalmn a função fluênca, mas mpossívl ralzar xprmnos para s drmnar o módulo d rlaxação, vc-vrsa, spcalmn quando não s dspõ dos qupamnos ncssáros ou quando ss não ofrcm prcsão confabldad. Ns caso, porano, é nrssan qu s obnha o módulo d rlaxação a parr da função fluênca drmnada xprmnalmn, ou vc-vrsa.

57 É possívl nconrar-s dvrsas rlaçõs nr as dvrsas proprdads vscoláscas, dnr as quas s dsacam as quaçõs 2.3, 2.3, 2.35 as sguns quaçõs FRRY, 98; CHRISTNSN, 982 vd APÊNDIC A APÊNDIC B: 36 * 2.56 D * D D D D D D D D [ ] ω sn ω d 2.6 [ ] ω cos ω d sn ω ω dω 2.63 π ω 2 π cos ω ω dω 2.64 ω D D [ D D ] ω sn ω d 2.65 [ D D ] D ω cos ω d sn ω D D ω dω 2.67 π ω 2 D π cos ω D D ω dω 2.68 ω ~ * ω 2.69

58 No-s qu as quaçõs 2.6 a 2.68 rprsnam uma manra d s drmnar as funçõs ransns a parr das funçõs complxas, vc-vrsa. 37 como: Além dsso, pod-s mosrar qu as quaçõs podm sr rscras D d, para > 2.7 D d, para > 2.7 xsm, anda, alguns méodos aproxmados d nrconvrsão nr as proprdads vscoláscas DNBY, 975; FRRY, 98; CHRISTNSN, 982; PARK KIM, 999; SCHAPRY PARK, 999, os quas podm sr usados quando da mpossbldad do uso d alguma rlação xaa ou quando a solução dsa for nvávl no qu dz rspo às ncssdads prácas. É mporan rssalar qu, muas vzs, as ngras d convolução das quaçõs 2.3, 2.3, são d dfícl solução analíca, sndo, nss casos, vávl a ulzação d algum squma d ngração numérca dsas quaçõs HOPKINS HAMMING, 957; KIM L, 995. PARK SCHAPRY 999 dsnvolvram anda um ouro méodo basan nrssan d nrconvrsão nr as proprdads vscoláscas basado nas sérs d Prony. No rfrdo sudo, é mosrado qu quando um conuno d cofcns da sér d Prony, {,,..., M, } ou {, D,..., N, D η } é conhcdo as consans d mpo dsconhcdas ou são spcfcadas, o ouro conuno d cofcns pod sr drmnado aravés da solução d um ssma d quaçõs lnars smpls. Por sua smplcdad por sr basado nas sérs d Prony, s srá o méodo d nrconvrsão usado no prsn sudo.

59 38 No nano, no sudo ralzado PARK SCHAPRY 999, os auors dsnvolvram apnas as quaçõs ncssáras para s drmnar as funçõs fluênca a parr das funçõs módulo Méodo d Obnção d a parr d D Sgundo-s o msmo procdmno usado por PARK SCHAPRY 999, dsnvolv-s, a sgur, as quaçõs ncssáras para d s drmnar o módulo d rlaxação,, a parr da função fluênca, D, as quas srão usadas posrormn para s drmnar o módulo d rlaxação do masqu sudado a parr da sua função fluênca obda m laboraóro. Porano, consdrando-s apnas o caso dos sóldos vscoláscos η as sguns sérs d Prony vd quaçõs : N D D D 2.72 M 2.73 M δ 2.74 ond, δ é a função dla d Drac : M 2.75 Subsundo-s as quaçõs 2.72, na quação 2.7, m-s: δ d D D o M M N 2.76 Sabndo qu vd quação 2.9:

60 39 f f d f δ 2.77 Sgu, da quação 2.76, qu: M N M N N M d D d D D D D 2.78 A prmra ngral da quação acma val: d 2.79 Logo, sgu da quação 2.78: M N M N N M d D D D D D 2.8 A ngral da quação acma é avalada da sgun forma: d para, para, 2.8 Assm sndo, para, m-s:

61 4 N M M N N M D D D D D 2.82 Sabndo qu CHURCHILL, 958: N s s D D D s D s lm ~ lm ~ lm lm 2.83 rformulando a quação 2.82 numa forma mas convnn, m-s: N N M N D D D D D D 2.84 Para, m-s: N M M N N M D D D D D 2.85 Rformulando-s a quação acma subsundo-s a quação 2.83, pod-s rscrvr a quação acma numa forma mas convnn como sgu: N N M N N N D D D D D D D D 2.86 As quaçõs podm, anda, sr scras na sgun forma marcal: [ ]{ } { } B A 2.87

62 4 ou, A B soma m ;,..., M ; k,..., P 2.88 k k ond, A k N k D D ou k N kd D k N N D k D k k,, para para 2.89 B k k N N D D D D 2.9 Caso o méodo da colocação sa usado, m-s qu P M. Porém, caso o méodo dos mínmos quadrados sa usado, P > M. A slção dos ponos d amosragm k k,..., P ambém dpnd do méodo d solução do ssma d quaçõs. Caso o méodo da colocação sa adoado P M, os ponos k podm sr convnnmn omados como k a k,..., M, ond pcamn assum-s k a ou a / 2. Caso o méodo dos mínmos quadrados sa adoado, pod-s assumr k k,..., P com nrvalos qüdsans nr s com rlação ao xo log os quas dvm sr mnors qu os nrvalos d,..., M, d modo qu P > M. Além dsso, pod sr obdo aravés da quação Sgundo o procdmno proposo por PARK SCHAPRY 999, pod-s ~ drmnar os valors d, quando, grafando-s D s s s <, sndo ~ qu a abscssa corrspondn a cada máxmo da função D s aproxma-s do valor d ~ conhcdo a abscssa corrspondn a cada mínmo da função D s aproxmas do valor d procurado.

63 42 É mporan salnar qu, uma vz conhcdos os cofcns, ~,..., M, as funçõs, ω, ω s podm sr drmnadas aravés das quaçõs 2.4, 2.46, , rspcvamn. Além dsso, quaçõs smlars às quaçõs 2.87 a 2.9 podm sr nconradas parndo-s da quação 2.35 ou da quação Trmovscolascdad Grand par dos maras vscoláscos pod sr consdrada rmosuscívs, ou sa, suas proprdads dpndm da mpraura à qual o maral sá submdo. xsm dos pos d fnômnos rlaconados ao fo da mpraura nas proprdads dos maras vscoláscos: os rvrsívs os rrvrsívs. As mudanças rrvrsívs são rlaconadas a fnômnos ambém rrvrsívs como a qubra das lgaçõs aômcas, formação d novos consuns prda d massa. sas mudanças podm sr modladas smlhanmn ao fnômno d nvlhcmno SCHAPRY, 974. Quano aos fos rvrsívs da mpraura, os maras vscoláscos podm sr classfcados m dos grupos: maras rmorologcamn smpls maras rmorologcamn complxos. A prncpal dfrnça nr sss dos grupos é qu a rsposa mcânca sob condçõs d mpraura ransn dos maras dos rmorologcamn smpls pod sr prvsa a parr da rsposa sob condçõs soérmcas MORLAND L, 96. Consdrando-s, porano, os maras rmorologcamn smpls, as quaçõs consuvas para condçõs não-soérmcas s assmlham às quaçõs para o caso soérmco quaçõs ; porém, há uma mudança d varávl. Porano, para o caso unaxal dsconsdrando-s os fos d xpansão conração érmca, as rlaçõs consuvas para condçõs não-soérmcas podm sr scras da sgun forma:

64 43 ξ dε ξ ξ dξ 2.9 dξ ξ d ε D ξ ξ dξ 2.92 dξ ond, a varávl ξ é chamada d mpo rduzdo, cua dfnção é dada por: a ξ ξ d, T ξ ξ d 2.93 a T ond, [ T ] a T a 2.94 T A função a T é a únca proprdad do maral qu dpnd da mpraura é chamada d faor d ranslação horzonal horzonal shf facor SCHAPRY, 974. As rprsnaçõs mamácas mas comumn usadas na rprsnação do faor d ranslação horzonal são a rlação d Arrhnus quação 2.95, gralmn válda para T < Tg, ond T g é a chamada mpraura d ransção víra glass ranson mpraur, a quação WLF WILLIAMS al., 955 quação 2.96, gralmn válda para T > Tg FRRY, 98. F log a T ,33 RG T TR ond, F : nrga d avação consan por mol; R G : consan unvrsal dos gass,987 cal/mol K; T R : mpraura d rfrênca. c T TR log at 2.96 c T T 2 R

65 44 ond c c 2 são consans qu dpndm d T R. Consdr, porano, o caso do nsao d crp sáco qu é um nsao ralzado sob condçõs soérmcas. Pod-s mosrar qu, ns caso, a quação 2.92 oma a sgun forma: ε D ξ 2.97 Como o nsao é ralzado sob condçõs soérmcas, o faor d ranslação horzonal maném-s consan ao longo do nsao a quação 2.93 pod sr rscra como: ξ 2.98 a T Aplcando-s o logarmo à quação 2.98, obém-s: logξ log log a T 2.99 O msmo procdmno pod sr sgudo para o nsao d rlaxação, dond s chgará, da msma forma, às quaçõs A quação 2.99 é a bas do chamado prncípo d suprposção mpompraura, o qual sablc qu as proprdads vscoláscas função fluênca ou módulo d rlaxação obdas m nsaos soérmcos, porém a dfrns mprauras, podm sr ransladadas horzonalmn ao xo log a fm d s formar uma curva msra capaz d rprsnar a rsposa do maral dsd nrvalos muo curos d mpo aé nrvalos mas longos. m ouras palavras, o prncípo d suprposção mpo-mpraura bascamn sablc qu uma drmnada proprdad obda ao longo d um dado nrvalo d mpo, porém a uma mpraura maor qu uma mpraura d rfrênca qualqur, pod sr corrlaconada com sa proprdad à mpraura d rfrênca, porém para nrvalos d mpo mas longos. Do msmo modo, os valors d uma proprdad obda para uma mpraura mnor qu a mpraura d rfrênca corrspondm aos

66 valors da proprdad à mpraura d rfrênca, porém para nrvalos d mpo mas curos. 45 Assm sndo, pod-s obr uma curva mas compla chamada d curva msra para uma dada mpraura d rfrênca qu comprnda dsd os nrvalos d mpo mas curos aé os nrvalos mas longos sm ncssar-s xcuar nsaos dmorados suprando-s as lmaçõs d aqusção d dados da maora dos qupamnos para nrvalos d mpo muo curos. A Fgura 2.8 aprsna uma rprsnação squmáca da ulzação do prncípo d suprposção mpompraura na consrução d uma curva msra para o módulo d rlaxação d um maral vscolásco rmorologcamn smpls. Fgura 2.8: Rprsnação squmáca da consrução d uma curva msra para o módulo d rlaxação d um maral rmorologcamn smpls Smlhanmn ao prncípo d suprposção mpo-mpraura, pod-s corrlaconar frqüênca com mpo, sndo qu frqüêncas mnors corrspondm a nrvalos d mpo mas longos, nquano frqüêncas maors corrspondm a nrvalos d mpo mas curos. O prncípo d suprposção mpo-frqüênca s basa nas quaçõs 2.63, 2.64, , dond pod-s drmnar as funçõs

67 46 ransns vscoláscas módulo d rlaxação função fluênca a parr d suas rspcva funçõs complxas. A prncpal vanagm ds prncípo sá no fao d qu as proprdads complxas são gralmn obdas aravés d nsaos d cura duração. No caso d s dsar nclur o fo da xpansão/conração érmca na solução d problmas vscoláscos sob condçõs não-soérmcas, as quaçõs consuvas dvm sr modfcadas a fm d nclur as conrbuçõs érmcas. Assm sndo, gnralzando-s para o caso mulaxal, consdrando-s o caso dos maras compósos para os quas as proprdads consuvas varam no spaço, m-s qu SCHAPRY, 974; ZOCHR al., 997: ξ x, ξ C x, ξ ξ k x, ξ ε kl k ξ kl k d Β ξ ξ θ x, ξ ξ k x, ξ ξ dξ k 2. ξ kl xk, ξ θ xk, ξ ε ξ ξ ξ ξ Α, ξ ξ ξ xk, Jkl xk, d xk d 2. ξ ξ ξ ond, x k : : ε kl : conuno d xos d coordnadas; componn do nsor das nsõs; componn do nsor das dformaçõs; θ : C kl dfrnça nr a mpraura aual a mpraura d rfrênca, para a qual as nsõs são nulas; : componn do nsor módulo d rlaxação d quara ordm; J kl : componn do nsor função fluênca d quara ordm; Β : Α : componn do nsor assocado às xpansõs érmcas, o qual dfn as nsõs érmcas num corpo complamn rsro d movmno no su conorno; componn do nsor assocado às xpansõs érmcas, o qual dfn as dformaçõs érmcas na ausênca d nsõs mposas.

68 Incrmnalzação das Rlaçõs Consuvas Vscoláscas mbora sa prfrívl a solução analíca dos problmas vscoláscos, muas vzs sa é d naurza muo dfícl, às vzs, aé mpossívl, spcalmn para aquls problmas d gomra complxa qu nvolvm maras mul-fáscos ond cada fas aprsna um comporamno consuvo dfrn. Nss casos, os méodos compuaconas, como o Méodo dos lmnos Fnos MF, ornam-s mas vávs prácos. xsm dvrsas écncas dsponívs na lraura qu possblam a análs compuaconal d problmas vscoláscos KING, 965; HOPMAN, 994; GHAZLAN al., 995; ZOCHR, 995; PARK KIM, 998, porém, as écncas basadas no MF s dsacam pla sua vrsaldad aplcabldad na solução d dvrsos problmas. As rlaçõs consuvas vscoláscas podm sr ncorporadas à formulação do MF aravés da ncrmnalzação dsas rlaçõs com rlação ao mpo GHAZLAN al., 995; ZOCHR al., 997; FRRIRA al., 2. A écnca d ncrmnalzação adoada no prsn rabalho é aqula proposa por ZOCHR al. 997, a qual assum qu a axa d varação da dformação é consan duran o ncrmno d mpo qu cada mmbro do nsor módulo d rlaxação, C kl, pod sr rprsnado pla sér d Prony orgnada do modlo d Maxwll gnralzado ou modlo d Wchr, conform a quação abaxo. C kl C M kl kl m C m kl m kl, não há soma m,, k, l 2.2 ond, η m kl, não há soma m,, k, l 2.3 C m kl m kl Dsconsdrando-s os fos da mpraura, o algormo d ncrmnalzação da rlação consuva 2. proposo por ZOCHR al. 997 pod sr rsumdo nas sguns quaçõs:

69 R Ckl ε kl ond, C kl C kl η, não há soma m,, k, l 2.5 M kl m m kl kl m ε 2.6 kl Rε kl sndo qu o ncrmno d mpo,, R ε é uma consan rprsnando a axa d varação d ε kl kl duran 3 3 R A, não há soma m, 2.7 k l kl ond, A kl M kl m m kl S m kl, não há soma m,, k, l 2.8 S m kl m m kl m m kl S kl ηklrε, não há soma m,, k, l 2.9 É mporan salnar qu, caso sa mando consan, oda dpndênca no mpo rlava ao comporamno vscolásco do maral rsd m R. Incorporando-s, porano, a rlação consuva ncrmnalzada à formulação do MF, sgu qu ZOCHR al., 997 dsprzando-s as forças d volum fos d nérca: []{ d} { f } { f } { f } k sndo, T [ k] [ B ] [ C ][ B ] dv 2. V

70 T { f } [ ] [ T ] V 49 ψ ds 2.2 { f T } [ B ] [ ] V { f } T R [ B ] [ ] 2 dv dv 2.4 V ond, { d} : varação no vor d dslocamnos nodas duran o ncrmno d mpo; V : suprfíc do lmno ond forças dsrbuídas são aplcadas; [ ψ ]: marz das funçõs d forma do lmno; T : forças d suprfíc auans no mpo ; { } f : conrbução para o vor d forças nodas dvdo a forças d suprfíc; { } f 2 : conrbução para o vor d forças nodas dvdo a nsõs xsns no níco do ncrmno d mpo; { } f 3 : conrbução para o vor d forças nodas dvdo à varação das nsõs duran o ncrmno d mpo provocada plo comporamno vscolásco do maral. 2.3 MCÂNICA DA FRATURA Os maras sóldos, quando usados m aplcaçõs qu vsam rssr sforços, podm sofrr modfcaçõs ao longo do mpo qu dgradam su dsmpnho sruural, aravés do acúmulo d dano, o qual pod sr d dvrsas naurzas rncas, dformaçõs pláscas, c. Dnr os dvrsos modos d dano qu dgradam o dsmpnho sruural dos maras, dsacam-s aquls provocados pla formação d mcrofssuras qu coalscm podm s propagar na forma d macrofssuras.

71 5 GRIFFITH, aravés do su rabalho publcado m 92 GRIFFITH, 92, du níco ao campo da Mcânca da Fraura, cuo obvo prncpal é dsnvolvr oras écncas d prvsão da formação propagação d rncas m mos sóldos. A ora dsnvolvda no rfrdo rabalho assum a nxsênca d dformaçõs pláscas no maral, ou ssas dformaçõs podm sr dsprzadas, sndo, porano, conhcda como Tora da Mcânca da Fraura Clássca ou Mcânca da Fraura Lnar lásca. Uma oura hpós dssa ora é qu a propagação da rnca ocorr quando a axa d dsspação d nrga xcdr a axa d dsspação d nrga críca, a qual é da como uma proprdad do maral. Porém, muos maras d aplcação práca não sgum o comporamno d um maral lásco dal xbm fnômnos como a propagação subcríca d rncas COSTANZO ALLN, 993. Assm sndo, numa nava d s soluconar al problma, oras alrnavas êm sdo proposas, dnr as quas dsacam-s os Modlos d Zona Cosva MZC, ncalmn dsnvolvdos por DUGDAL 96 BARNBLATT 962 para maras láscos, os quas são capazs d rmovr a sngulardad d nsõs na pona da rnca, smulanamn, nroduzr ducldad na zona d procssamno da rnca. O modlo dsnvolvdo por DUGDAL 96 conss bascamn da aplcação d forças d suprfíc consans, d valor gual à nsão d scoamno do maral, na rgão anror à pona da rnca. BARNBLATT 962, sgundo a msma flosofa, modfcou a dsrbução das forças d suprfíc aravés do uso d rlaçõs não-lnars nr sas o dslocamno d abrura da rnca. m sguda, ouros rabalhos, como os d NDLMAN 987 TVRGAARD 99, sofscaram as rlaçõs consuvas da zona cosva aravés do uso d funçõs poncas d uma l cúbca qu rlacona as forças d suprfíc ao dslocamno nr as facs da rnca, rspcvamn. Com rlação ao uso d MZC m mos vscoláscos, dsacam-s os rabalhos ponros d KNAUSS 974 SCHAPRY 975a, 975b, 975c. O MZC pod sr dfndo como a subsução mamáca da zona danfcada xsn nas proxmdads da pona da rnca ou zona d procssamno da rnca por

72 uma suprfíc mcancamn quvaln submda à ação d forças d suprfíc Fgura Fgura 2.9: Rprsnação squmáca d um MZC Dnr as vanagns aprsnadas plo MZC, dsacam-s as sguns: o MZC prm a análs da propagação d rncas ano a parr d rncas pré-xsns como m suprfícs planas sm rncas; a dpndênca com rlação ao hsórco do carrgamno pod sr ncorporada à axa d dsspação d nrga críca, possblando a prvsão d fnômnos como fadga propagação d rncas m mos vscoláscos COSTANZO ALLN, 993. Na grand maora das aplcaçõs, no nano, númras mcrofssuras s dsnvolvm no maral ao msmo mpo, as quas podm coalscr formar múlplas macrofssuras. Ns caso, orna-s mpracávl modlar cada mcrornca ou cada macrornca, spcalmn quando modlos analícos são ulzados. A zona danfcada mosrada na Fgura 2.9 é um xmplo ond múlplas mcrofssuras s dsnvolvm smulanamn. Bascamn, a modlagm ds po d problma pod sr classfcada m: modlo d dano conínuo modlo dscro dscr fracur modl. A Mcânca do Dano Conínuo MDC s basa nas chamadas varávs nrnas d sado, as quas

73 52 quanfcam o dano no nror do maral. D acordo com ALLN SARCY 2b, os modlos d dano conínuo podm sr formulados fnomnologcamn ALLN al., 987; TALRJA, 994, ond o corpo é assumdo homogêno, ou aravés da homognzação d uma solução mcromcânca BOYD al., 993; COSTANZO al., 996; ALLN YOON, 998. No caso da formulação fnomnológca, nnhum conorno nrno rncas dscras é consdrado ou prvso plo modlo, mas as varávs nrnas d sado podm rprsnar a dsspação d nrga dvdo à propagação d rncas. O modlo fnomnológco d dano conínuo dsnvolvdo por SCHAPRY 98, 99a, 99b para maras vscoláscos m sdo amplamn aplcado na análs da volução do dano m dvrsos maras PARK SCHAPRY, 997; HA SCHAPRY, 998, nclusv msuras asfálcas PARK al., 996; L KIM, 998a, 998b; L al., 2. No caso da formulação mcromcânca, ralza-s uma análs no lmno d Volum Rprsnavo VR, consdrando-s as hrogndads do maral, sndo a formação a volução dos conornos nrnos prvsas aravés d alguma varação da Mcânca da Fraura, como os MZC. O fo dsss conornos nrnos é, não, consdrado na rlação consuva global do maral por mo d varávs nrnas d sado, as quas podm sr drmnadas a parr d uma méda volumérca dos dslocamnos nos conornos nrnos ALLN YOON, 998. Além dsso, a l d volução dssas varávs nrnas d sado ambém é drmnada aravés d análss mcromcâncas. Assm sndo, uma vz drmnadas a rlação consuva global, a proprdad consuva fva do maral as ls d volução das varávs nrnas d sado, nnhuma nova análs na mcrosruura é ncssára COSTANZO al., 996. Dsa forma, uma vanagm da ulzação dos modlos d dano conínuo é a conoma do mpo compuaconal ncssáro na solução d problmas a posror à drmnação da rlação consuva das ls d volução das varávs nrnas d sado, sa fnomnologcamn, sa aravés da mcromcânca homognzação.

74 53 No-s, porém, qu os dalhs físcos são prddos quando da ulzação das varávs nrnas d sado, pos sas gralmn forncm dalhs nsufcns sobr a causa da volução do dano CAIAZZO COSTANZO, 2. xsm, porém, suaçõs m qu o conhcmno das causas do mcansmo d volução do dano é d grand mporânca, como no proo d maras compósos. Nss casos, m qu o nndmno d como os mcansmos d falha s manfsam a nívl macroscópco é dsávl, as mcrorncas ouros pos d dano dvm sr modlados xplcamn para cada aplcação sudada do maral CAIAZZO COSTANZO, 2, o qu pod sr fo aravés d modlos dscros. Nos modlos dscros, a formação propagação dos conornos nrnos são consdradas m odas as análss, pos, ns caso, não s ulzam varávs nrnas. Ns po d modlo, pod-s consdrar qu as rncas podm s dsnvolvr smulanamn m qualqur scala rgão do obo m análs. nrano, xco para os problmas d gomra maras mas smpls, a busca pla solução d problma aravés ds procdmno orna-s nvávl ano para os méodos analícos como para os compuaconas. Uma alrnava é a ulzação da chamada modologa local-global modlos mul-scala FYL, 999; L al., 999; FISH SHK, 2. Nos modlos mul-scala, as sruuras macroscópcas são analsadas aravés d méodos convnconas, porém para cada pono analsado do maral, uma análs na mcrosruura VR é ralzada com o obvo d drmnar o comporamno consuvo do maral, consdrando-s nclusv o fo dos dvrsos mcansmos d volução do dano CAIAZZO COSTANZO, 2. Mas uma vz, o dano provocado pla propagação d cada conorno nrno é conablzado aravés d alguma varação da Tora da Mcânca da Fraura, como os MZC, a rsposa global do maral na macrosruura, nfluncada plo conuno d conornos nrnos, pod sr obda aravés d alguma écnca d homognzação. No-s qu um aspco basan mporan dos modlos basados na Mcromcânca é a slção do VR, o qual dv rprsnar sasfaoramn o comporamno consuvo global do maral compóso.

75 54 Além das aplcaçõs cadas anrormn, a Mcromcânca pod anda sr usada no dsnvolvmno d rlaçõs consuvas para os MZC basadas numa nrpração físca da zona danfcada localzada nas proxmdads da pona d um rnca qualqur. Dsa forma, pod-s, convnnmn, obr uma rlação consuva para a zona cosva a qual coném uma varávl nrna d sado qu rprsna o sado d dano provocado plas mcrofssuras na zona danfcada ALLN SARCY, 2a Modlo d Zona Cosva Mcromcânco Vscolásco MZC-MV ALLN SARCY 2a dsnvolvram um Modlo d Zona Cosva Mcromcânco Vscolásco MZC-MV basados numa nrpração físca da zona danfcada. No rfrdo rabalho, a zona danfcada é rprsnada por um VR mcromcânco dalzado como um conuno d fbras vscoláscas clíndrcas nvolvdas por ar. Como mosrado m ALLN SARCY 2a, o procsso d homognzação do VR dalzado produzu uma rlação consuva não lnar dpndn do dano na zona cosva, conform a quação 2.5: f c λ [ α ] d δ T * λ δ 2.5 ond, : drção rlava a um xo d coordnadas local. Para o caso bdmnsonal, n ou, ond n dsgna a drção normal m rlação às facs da zona cosva dsgna a drção angncal; T : forças d suprfíc homognzadas auans nas facs da zona cosva; δ : dslocamno d abrura nr as facs da zona cosva na * δ : drção ; parâmro mpírco d comprmno do maral rlaconado à drção ;

76 α : varávl nrna d sado qu rprsna o dano da zona cosva; 55 f : nívl d nsão ncssáro para ncar-s a volução do dano na zona cosva rlaconado à drção ; c : módulo d rlaxação vscolásco lnar do maral qu consu a zona danfcada; λ : norma ucldana dos dslocamnos d abrura da zona cosva, dada por caso bdmnsonal: 2 2 δ n δ λ * * 2.6 δn δ Val rssalar qu, YOON ALLN 999, aravés da aplcação dos prncípos da Trmodnâmca à zona cosva ao maral vrgm adacn, chgaram à msma rlação consuva vscolásca dsnvolvda por ALLN SARCY 2a aravés da Mcromcânca. O parâmro nrno d dano, α, rprsna a fração da ára da sção ransvrsal do VR ocupada plos vazos xsns nr as fbras vscoláscas é dado por: N VR k A A k α 2.7 VR A ond, VR A : ára da sção ransvrsal do VR; A k : ára da sção ransvrsal da k-ésma fbra; N : númro oal d fbras no VR. O parâmro nrno d dano pod sr drmnado xprmnalmn aravés do nsao compaco d fraura a nsão compac nson fracur s, sndo α drmnado a parr da dsrbução probablísca dos raos das fbras obsrvados

77 duran o xprmno WILLIAMS, 2. No prsn rabalho, porém, dada a mpossbldad d ralzação ds nsao, ulza-s uma l fnomnológca d volução do dano capaz d xprssar a dcrscn fração volumérca das fbras. A l d volução do dano adoada é a msma l ulzada por ALLN SARCY 2a, a qual rfl a dpndênca no mpo aravés da drvada d α com rlação ao mpo: [ λ ] m A dλ dα, para > α < α& d 2.8 d dλ, para ou α d 56 ond, A m são chamados d parâmros d dano do maral. Obvando smplfcar a mplmnação ds MZC m um códgo m lmnos fnos, SIDL 22 propôs uma forma mas smpls para a quação 2.5, como sgu: f c δ [ ] d T α 2.9 * δ D manra gral, a quação 2.5 a quação 2.9 não pod sr ngrada analcamn dvdo às não-lnardads nroduzdas pla l d volução do dano ALLN SARCY, 2a. nrano, a quação 2.5 a quação 2.9 pod sr ncrmnalzada d modo a prmr sua nclusão m um programa d lmnos fnos. ALLN SARCY 2 aprsnam uma brv dscussão sobr ss procsso d ncrmnalzação, o qual é mas dalhadamn abordado m SARCY 998. D acordo com SIDL al. 24, o algormo ncrmnal proposo por SIDL 22, basando-s nos méodos proposos por SARCY 998 ZOCHR al. 997, pod sr xprsso, d forma rsumda, plas sguns quaçõs: T k δ T 2.2 R ond,

78 57 [ ] [ ] k * δ α 2.2 P η 2.22 [ ] f P P P R T α δ δ α δ α * * 2.23 η δ 2.24 R δ δ 2.25 sndo qu R δ é uma consan rprsnando a axa d varação d δ duran o ncrmno d mpo. O MZC-MV aprsnado m sdo basan usado na prvsão da volução do dano m dvrsos maras, como sóldos polcrsalnos nláscos HLMS al., 999 maras compósos PHILLIPS al., 999; SIDL al., 24, nclundo msuras asfálcas KIM, 23; SOUZA al., 24. Com rlação à mplmnação m lmnos fnos, as zonas cosvas podm sr modladas aravés d lmnos d nrfac, os quas dvm sr govrnados pla rlação consuva do MZC adoado. Os lmnos d nrfac dvm sr locados nas posçõs dsadas nr os lmnos sóldos, como mosra a Fgura 2.. Uma dscussão mas dalhada sobr a formulação d MZC para aplcação m lmnos fnos pod sr nconrada m FOULK al. 2.

79 58 a b c Fgura 2.: a lmno d nrfac, b rprsnação da zona cosva suas forças d suprfíc c forças nodas quvalns às forças d suprfíc 2.4 TORIAS D HOMOGNIZAÇÃO Os maras aualmn ulzados m aplcaçõs sruuras são m grand par consuídos d múlplos consuns, sndo, porano, dnomnados maras compósos. D manra gral, as scalas gomércas dos consuns são pqunas comparadas à scala da pça sruural produzda com o maral, o qu orna nvávl a modlagm da pça como um mo oalmn hrogêno. Porém, frqünmn, os mos hrogênos podm sr aproxmados por um mo homogêno dsd qu a scala gomérca das hrogndads possam sr consdradas pqunas com rlação à scala da pça sruural m análs Fgura 2.. ss procsso é comumn chamado d homognzação, alvz dvdo ao fao d qu um mo homogêno é usado para rprsnar um mo hrogêno ALLN YOON, 998.

80 59 Fgura 2.: Rprsnação squmáca do procsso d homognzação As Toras d Homognzação podm sr dfndas como uma class d modlos consuvos cuo obvo prncpal é prvr o comporamno global d maras hrogênos com bas do arrano gomérco no comporamno dos sus maras consuns SARCY, 24. ss comporamno global é nconrado aravés da solução d um problma mcromcânco posror obnção da méda dos campos mcâncos nsõs, dformaçõs dslocamnos aravés d écncas d homognzação ALLN, 2. Mas spcfcamn, as Toras d Homognzação podm sr classfcadas conform a flosofa d prvsão do comporamno global do maral m ora d homognzação clássca modlos mul-scala. Na aqu dnomnada ora d

81 6 homognzação clássca, a rlação consuva global as proprdads fvas, ou homognzadas, do maral são obdas a pror, a parr d alguma écnca d homognzação, usadas nas análss a posror das pças sruuras. Os sforços ncas s concnraram na solução d problmas láscos SHLBY, 957; HILL, 963; HASHIN, 964; HILL, 965a lasopláscos MANDL, 964; HILL, 965b, 967. D acordo com ALLN YOON 998 as oras d homognzação clásscas foram, posrormn, snddas para sóldos com mcrorncas VAKULNKO KACHANOV, 97; KACHANOV, 972; COSTANZO al., 996, sóldos rmovscoláscos HASHIN, 966; SCHAPRY, 967 sóldos rmovscoláscos com mcrorncas SCHAPRY, 986; ZOCHR ALLN, 997; ALLN YOON, 998. Val salnar qu, mbora xsam muas soluçõs analícas para o caso d compósos qu aprsnam mcrosruura pródca gomras nrnas smpls, a busca por soluçõs orna-s mpracávl quando o compóso aprsna consuns nláscos, d formas rrgulars, dsrbuídos ornados alaoramn, quando s consdra a formação propagação d mcrorncas SARCY, 24. Nss casos, porano, a ulzação d méodos numércos, como o MF, orna-s mas arava. Nos modlos mul-scala, no nano, não s procura drmnar as proprdads homognzadas. Nsss modlos, a análs global scala macro é ralzada aravés d méodos comuns, mas smpr qu há ncssdad d s obr nformaçõs com rlação ao comporamno consuvo do maral, um problma d valor d conorno mcromcânco dv sr rsolvdo xplcamn CAIAZZO COSTANZO, 2. Para o caso d a análs macroscópca sr ralzada aravés do MF, por xmplo, uma análs mcromcânca corrspondn dv sr ralzada para cada pono d ngração da malha d lmnos fnos a cada ncrmno d mpo ao longo da hsóra do carrgamno CAIAZZO COSTANZO, 2; FYL CHABOCH, 2. No-s, porano, qu a solução analíca d problmas usando modlos mulscala orna-s, muas vzs, mpracávl, spcalmn nos casos m qu xs um

82 6 gradn d dformaçõs ou nsõs no spaço. Porém, os modlos mul-scala podm sr faclmn aplcados quando s ulzam méodos numércos na solução do problma, podndo-s, nclusv, ulzar o msmo códgo d análs com mínmas alraçõs na solução dos problmas corrspondns a cada scala, sndo a lgação nr as scalas ralzada aravés d écncas d homognzação ALLN al., 23. A prncpal lmação dos modlos mul-scala convnconas das oras d homognzação clássca é qu ambos assumm a hpós smplfcadora d qu o amanho da scala local, l local, é muo mnor qu o amanho da scala global, l global l local << l global. A nrpração físca dssa hpós é qu a mcrosruura local corrspondra apnas a um pono na scala global. Assumndo-s ssa hpós como vrdadra, não é prcso, porano, ransmr o gradn d dformaçõs da scala global para a scala local, vso qu al hpós mplca na unformdad das dformaçõs globas ao longo do lmno d Volum Rprsnavo VR. A prncpal consqüênca dssa smplfcação é qu s mpossbla a modlagm do chamado fo d amanho sz ffc BAZANT PLANAS, 998 da localzação d dformaçõs alo gradn d dformaçõs na scala global KOUZNTSOVA, 22. É mporan rssalar qu mbora ncssm d uma grand quandad d mmóra compuaconal, dvdo à xsênca d um problma mcromcânco para cada pono d ngração, os modlos mul-scala proporconam uma conoma d sforço mmóra compuaconal s comparados ao modlo ond o maral é consdrado um mo oalmn hrogêno Fgura.2. Além dsso, é possívl rduzr d forma drásca o mpo compuaconal gaso plos códgos mul-scala aravés da ncorporação d écncas avançadas d solução d ssmas d quaçõs, como a compuação paralla. Alguns rabalhos rcns êm aprsnado méodos d consrução d modlos mul-scala, prncpalmn usando o MF como méodo d solução do problma

83 62 sruural L al., 999; FISH SHK, 2; RAGHAVAN al., 2; YU FISH, 22; SARCY, 24. Alguns dsss modlos êm sdo chamados d modlos mul-scala F 2 mulscal F 2 modls, dvdo ao fao d havr uma análs por lmnos fnos na scala local dnro d uma oura análs por lmnos fnos na scala global FYL, 999; FYL CHABOCH, 2. mbora a grand maora dsss modlos nha sdo dsnvolvda com bas na écnca d homognzação assnóca, a qual assum qu o VR é rpvo pródco dnro da mcrosruura, alguns dsss modlos anda podm sr ulzados para mcrosruuras não pródcas, dvndo-s, porém, subsur as condçõs d conorno pródcas do problma local por um po d condção d conorno mas adquado. Para o caso d s usar rsrçõs d dslocamno como condção d conorno do problma local, pod-s opar por rsrçõs lnars com rlação às coordnadas locas. As oras d homognzação, ano os modlos clásscos como os mul-scala, ulzam alguma écnca d homognzação para obr a solução do problma global a parr da mcrosruura do maral. No prsn rabalho, uma écnca d homognzação é dfnda como o procsso mamáco d drmnação das quandads médas auans na mcrosruura /ou da rlação consuva global. ssas écncas são basadas nos chamados ormas d méda. Consdrando uma quandad qualqur, f x,, função da posção spacal, x, do mpo,, a méda volumérca dsa quandad é dfnda como: µ µ µ µ µ f x, f x, µ f x, dv V µ V 2.26 ond, f : méda volumérca d f, quvaln à função f na scala µ scala global, µ f ; µ f : função f na scala µ scala local; x : coordnadas spacas na scala µ, 2 ou 3; µ

84 63 µ V : volum do VR volum analsado na scala µ. Aravés do orma da dvrgênca, pod-s anda ransformar a ngral volumérca da quação 2.26 m uma ngral d suprfíc. sa ransformação é mporan, pos, do pono d vsa d um obsrvador qu não pod vr o nror do VR, a nrpração físca das quandads homognzadas é a d quandads médas homognzadas d suprfíc ou conorno boundary avragd quans ALLN YOON, 998; ALLN, 2. Assm sndo, d acordo com ALLN 2, pod-s mosrar qu, quando as condçõs d conorno aplcadas ao VR são homogênas forças d suprfíc consans no spaço ou rsrçõs d dslocamno lnars com as coordnadas spacas, as nsõs homognzadas no conorno do VR são dadas por BOYD al., 993; COSTANZO al., 996; ALLN YOON, 998: µ µ V n x µ µ µ k k µ V µ ds 2.27 ond, V µ : conorno nrno xrno do volum µ V ; µ n k : vor normal unáro na drção xrna d µ V. É mporan rssalar qu o conorno d V µ, V µ, pod sr dpndn do mpo caso s ulz alguma varação da Tora da Mcânca da Fraura para modlar a propagação d rncas conornos nrnos ALLN, 2. Do msmo modo, a parr da rlação dformação-dslocamno: ε u 2 x u x µ µ µ µ µ 2.28 pod-s mosrar qu: ε µ µ µ α 2.29

85 64 sndo qu, α µ µ V µ µ V µ µ V I 2 V 2 µ µ µ µ u n u n µ µ µ µ u n u n ds ds ond, µ ε : componn do nsor das dformaçõs médas no volum, µ V volum avragd sran nsor; : conorno xrno d µ V ; µ V I : conorno nrno d V µ ; µ : componn do nsor das dformaçõs médas no conorno xrno, µ V xrnal boundary avragd sran nsor; µ α : componn do nsor das dformaçõs médas no conorno nrno, µ V I nrnal boundary avragd sran nsor. µ V A varávl µ α é conhcda como parâmro d dano porqu rsula da formação d conornos nrnos rncas no VR. D acordo com ALLN YOON 998, µ α ambém é conhcdo como o componn do nsor d Vakulnko- Kachanov VAKULNKO KACHANOV, 97, aparnmn fo mnconada pla prmra vz por HILL 963. Para o caso spcal dos maras compósos cua mcrosruura é pródca, pod-s usar a chamada écnca d homognzação assnóca, ou homognzação mamáca, a qual m s dsnvolvdo basan dvdo aos sforços d muos psqusadors BNSOUSSAN al., 978; SANCHZ-PALNCIA, 98; SUQUT, 985; FISH al., 997; CHUNG al., 2; MAGHOUS CRUS, 23; YI al., 998; YU FISH, 22. A Fgura 2.2 mosra um xmplo d mcrosruura pródca. Val rssalar qu sa écnca pod sr usada ano na obnção d rlaçõs

86 consuvas globas d proprdads fvas aravés da ora d homognzação clássca como nos modlos mul-scala. 65 Fgura 2.2: xmplo d mcrosruura pródca 2.4. lmno d Volum Rprsnavo VR A drmnação das caracríscas gomércas do VR é d fundamnal mporânca quando s ulza alguma Tora d Homognzação para prvr o comporamno sruural d um maral compóso. Como comnado anrormn, um VR pod sr dfndo como o mnor volum da mcrosruura capaz d rprsnar sasfaoramn o comporamno consuvo global do maral compóso. Sgundo ALLN 2, um VR pod sr drmnado comparando-s o gráfco nsão dformação homognzado. Caso o comporamno nsão dformação homognzado, não dpnda do amanho do volum µ V, não, pod-s dzr qu o VR é grand o sufcn para capurar os dalhs da scala mnor. nrano, o amanho do VR pod sr drmnado sascamn, sndo o amanho do VR adquado caso a condção abaxo conhcda como homogndad saísca sa sasfa para odas as quandads analsadas: µ << µ s f f 2.32

87 66 ond, µ s f é o dsvo padrão dado por: 2 2 µ µ µ s f f f dv µ 2.33 µ V V Anda d acordo com ALLN 2, m alguns casos, o amanho do VR pod sr drmnado aravés da análs saísca das dmnsõs gomércas da scala local, como, por xmplo, as dmnsõs das parículas, sua ornação dsrbução no nror do VR HLMS al., 999; HLMS, 2; SIDL al., 24. ZMAN ŠJNOHA 23, com bas nos sudos d POVIRK 995 ZMAN ŠJNOHA 2, aprsnam uma modologa d drmnação do VR com bas m parâmros saíscos da mcrosruura. Ns rabalho, a confguração orgnal da mcrosruura é caracrzada por parâmros saíscos própros, m sguda, subsuída por uma célula unára smplfcada. STROVN al. 24, dsnvolvram um procdmno para drmnação d VR s para mos granulars alaóros como concro d cmno porland, solos, msuras asfálcas ouros. Ns sudo, ulzou-s um programa compuaconal chamado SPAC Sofwar Packag for h Assssmn of Composonal voluon para grar alaoramn a dsrbução das parículas no nror do VR. m sguda, a mcrosruura é dscrzada numa malha d lmnos fnos análss não lnars são ralzadas. Fnalmn, uma análs saísca é fa com rlação a alguma proprdad do maral como, por xmplo, a carga d pco, a nrga dsspada ouras para vrfcar s o amanho da mcrosruura consdrado é mnor ou maor do qu o amanho d um VR sasfaóro para aqula proprdad consdrada. No prsn rabalho, o VR fo drmnado ulzando-s um procdmno smlhan ao dsnvolvdo por STROVN al. 24, porém, a mcrosruura é drmnada a parr d uma sção ransvrsal d corpos d prova fabrcados m laboraóro a proprdad do maral consdrada é o módulo d rlaxação. Além dsso, consdrou-s ambém a análs saísca do amanho ára gomérca dos agrgados na scala local como créro d drmnação do VR ALLN, 2.

88 67 CAPÍTULO 3 CONSTRUÇÃO DO CÓDIGO MULTI-SCALA s capíulo dscrv m lnhas gras a consrução do códgo mul-scala com bas nas oras aprsnadas no CAPÍTULO 2. É aprsnada uma vsão gral do códgo d análs, sua nrada d dados suas apas d cálculo. 3. STRUTURA DO PROGRAMA O códgo d análs mul-scala dsnvolvdo no prsn rabalho basa-s no MF fo mplmnado m FORTRAN usando a lnguagm d programação sruurada. Grand par das subronas usadas plo prsn códgo foram adapadas a parr das subronas orgnas do códgo SADISTIC Srucural Analyss od Damag Inducd Srsss n ThrmoInlasc Composs ALLN al., 994, gnlmn cddo plo profssor Davd H. Alln. A ulzação da lnguagm d programação sruurada m FORTRAN não proporconou maors dfculdads por dos movos prncpas: a análs é ralzada m apnas duas scalas, uma global oura local; o programa dsnvolvdo não possu pré pós-procssadors gráfcos d alo nívl, os quas s basam na lnguagm d programação ornada a obos POO. As duas smplfcaçõs adoadas na consrução do códgo s dvm ao fao d qu s é apnas um sforço ncal d dsnvolvmno d um códgo mul-scala para análs d maras vscoláscos; no caso spcífco, d msuras asfálcas. No nano, no caso da análs d ssmas d gomra complxa d grands dmnsõs spacas, um númro muo grand d análss mcromcâncas dv sr ralzado, grando, porano, um norm sforço compuaconal consumndo um grand spaço d mmóra. Nss casos, o uso d écncas avançadas d solução d

89 ssmas d quaçõs, como a compuação paralla, orna-s mprscndívl, podndo rduzr o mpo compuaconal d forma drásca. 68 A compuação paralla é uma cnologa crada rcnmn s basa na ulzação d dos ou mas procssadors por uma únca máquna compuador. Ds modo, arfas ndpndns nr s podm sr ralzadas parallamn por procssadors dfrns. Algumas lnguagns ornadas a obos, como a C, á dspõm d classs spcífcas para manpulação d dados grncamno d procssos própros da compuação paralla. Val rssalar anda qu a ulzação da POO orna-s ssncal quando s prnd consrur um programa d análs com nrfac amgávl com o usuáro aravés do uso d pré pós-procssadors d alo nívl. Os rabalhos d FYL 999 FYL CHABOCH 2 ulzam ambas as écncas d compuação paralla POO na consrução do modlo mul-scala compuaconal. Com o obvo d mnmzar o consumo d mmóra compuaconal, o prsn códgo prm qu as análss mul-scala sam ralzadas apnas m lmnos préslconados da malha da scala global, o qu aumna a mprcsão do modlo. ssa prda pod sr mnmzada caso os lmnos mas solcados suscívs à volução do dano sam sablcdos como lmnos mul-scala. No prsn rabalho, consdram-s apnas análss bdmnsonas, sndo os lmnos rangulars d dformação consan rês nós lmno T3 os lmnos d nrfac forças d suprfíc consans ao longo do lmno os úncos lmnos mplmnados para ambas as scalas. Com rlação às cargas aplcadas na scala global, é prmda a aplcação d rsrçõs d dslocamnos d forças concnradas dsrbuídas nos nós da malha. O códgo aqu dsnvolvdo sá dvddo, bascamn, m quaro pars: nrada d dados; análs na scala global; análs na scala local v saída d dados. A Fgura 3. mosra o fluxograma do algormo ulzado na consrução do códgo mul-scala m lmnos fnos.

90 Fgura 3.: Fluxograma do algormo mul-scala m lmnos fnos 69

91 7 Com rlação à nrada d dados, dos arquvos dvm sr scros: um para a scala global ouro para a scala local. As prncpas nformaçõs condas no arquvo d nrada da scala global são: a malha d lmnos fnos grada a pror lmnos rangulars d nrfac, spcfcando os lmnos mul-scala; as nformaçõs sobr a subdvsão da scala d mpo m ncrmnos váldas ambém para a scala local; as condçõs d carrgamno forças rsrçõs d dslocamno; v as proprdads consuvas assocadas a cada lmno T3 d nrfac. Val rssalar qu as proprdads consuvas globas são ncssáras para a drmnação do ncrmno d dformaçõs globas para cada ncrmno d mpo, spcalmn para os lmnos qu não são mul-scala, para os quas, as proprdads ambém são usadas no cálculo das nsõs globas. No prsn rabalho, as proprdads consuvas globas ulzadas na nrada d dados global corrspondm às proprdads lnars do maral compóso obdas aravés da homognzação da solução numérca plo MF d um problma mcromcânco ALLN YOON, 998, ond não s consdrou a formação propagação d rncas. Com rlação ao arquvo d nrada local, as prncpas nformaçõs são: a malha d lmnos fnos do VR; as proprdads consuvas assocadas a cada lmno T3 d nrfac. Os modlos consuvos mplmnados para ambas as scalas são o lásco o vscolásco lnars, com bas na ncrmnalzação das rlaçõs consuvas vscoláscas mosrada na Sção A formação propagação d rncas pod sr consdrada m ambas as scalas é modlada aravés d lmnos d nrfac cuo comporamno é rgdo plo MZC-MV aprsnado na Sção A vrfcação da convrgênca m ambas as scalas, ncssára dvdo à naurza não lnar do problma, é fa aravés do méodo d ração d Nwon-Raphson ZINKIWICZ, 97. Após a nrada d dados, procd-s à análs mul-scala. Incalmn, rsolv-s o problma global, drmnando-s os dslocamnos nos nós as dformaçõs m cada lmno. Os ssmas d quaçõs lnars são rsolvdos aravés do méodo d lmnação d Gauss ZINKIWICZ, 97. m sguda, nca-s uma

92 sér d análss locas, uma para cada pono d ngração dos lmnos spcfcados como mul-scala. 7 Dada a não prodcdad do VR na sruura global, para cada análs local, rsrçõs d dslocamnos lnars com rlação às coordnadas locas são aplcadas ao conorno do VR BOYD al., 993; COSTANZO al., 996; ALLN YOON, 998; ALLN al., 23; CLUNI GUSLLA, 24; SARCY, 24: uˆ ε x m L G L L V 3. ond, os sobrscros L G dnoam as scalas local global, rspcvamn, o símbolo ^ é usado para spcfcar uma condção d conorno conhcda L V rprsna o conorno xrno da gomra local VR. No-s qu sss dslocamnos aplcados no conorno xrno do VR produzm dformaçõs médas no conorno xrno da scala local VR quvalns às dformaçõs obsrvadas no rspcvo pono d ngração da malha d lmnos fnos global ALLN al., 23. Uma vz rsolvdo o problma local, vrfca-s a convrgênca local procds ao cálculo das nsõs homognzadas, G, rfrn à análs local L spcífca, para, m sguda, comçar uma nova análs local, connuando o loop sobr os ponos d ngração globas. As nsõs homognzadas são obdas a parr da méda volumérca das nsõs na scala local, a qual corrspond à nsão no pono corrspondn da scala global SARCY, 24. Para o caso do lmno T3, as nsõs homognzadas podm sr obdas a parr da sgun quação: L V n N L L [ v ] n n L 3.2 ond, L V : N : L v n : volum do VR; númro d lmnos qu consum a malha do VR; volum do lmno n da malha do VR.

93 72 Concluídas odas as análss locas para um drmnado ncrmno d mpo ncrmno d carga, aualzam-s as nsõs dos ponos d ngração dos lmnos globas mul-scala com as nsõs locas homognzadas SMIT al., 998, vrfca-s a convrgênca global. Caso a convrgênca global sa angda, o programa procd à saída d dados, scrvndo m um arquvo odos os rsulados da análs global os rsulados das análss locas pré-slconadas. m sguda, caso anda haa ncrmnos d carga a srm aplcados, o programa nca uma oura análs global para o próxmo ncrmno d mpo. Caso conráro, a xcução do programa é rmnada. É mporan rssalar qu odas as análss locas comçam com a msma gomra VR, as msmas proprdads consuvas msmas condçõs ncas. Porém, à mdda qu a análs procd, cada análs local orna-s únca, uma vz qu cada uma dlas rcb condçõs d conorno úncas a parr das dformaçõs globas quação 3.. sa é a prncpal razão do grand consumo d mmóra compuaconal, pos é prcso armaznar as nformaçõs ano da análs global como d odas as análss locas. Assm sndo, para os problmas m qu não há gradn d dformaçõs na scala global, ou sa, as dformaçõs axas d dformação nos dvrsos ponos d ngração globas são guas nr s, a análs mul-scala prd o sndo. Ns caso, é mas vanaoso rsolvr o problma mcromcânco para o hsórco d carrgamno obsrvado na scala global comum a odos os ponos homognzar sua solução, obndo-s assm a proprdad consuva fva a sr usada no problma global.

94 73 CAPÍTULO 4 MATRIAL MÉTODOS O prsn capíulo aprsna os maras ulzados na prsn psqusa, os nsaos ralzados as modologas usadas na drmnação das proprdads dos maras, nos procssos d cração dos modlos gomércos gração das malhas d lmnos fnos na drmnação do lmno d Volum Rprsnavo VR. 4. MATRIAL Os maras usados no dcorrr ds rabalho d psqusa são: CAP Cmno Asfálco d Prólo; agrgados; AAUQ Ara Asfalo Usnada a Qun; v masqu msura do CAP com agrgados fnos. O CAP aqu ulzado é o CAP 5/6 forncdo pla Probras/Lubnor, o qual é orundo do prólo Faznda Algr do spíro Sano. No dcorrr ds rabalho, o CAP ambém é chamado d lgan asfálco ou smplsmn lgan. Os agrgados usados podm sr classfcados como ara d campo, consundo-s d fraçõs d granulomra méda fna, não havndo, porano, agrgados graúdos, como bra. A Fgura 4. mosra a curva granulomérca da ara usada, a qual s nquadra na Faxa C do DNR DNR, 995. A msura asfálca m AAUQ consu-s da msura do CAP com os agrgados ara, d modo a produzr um maral com caracríscas nrmdáras nr sss dos maras. A msura rsulan é posrormn compacada com o obvo d dar mas conssênca ao maral, xpulsando-s grand par dos vazos condos na msura. No prsn rabalho, as msuras m AAUQ foram compacadas usando-s um compacador graóro Suprpav, o qual s propõ a smular o procsso d

95 74 compacação d campo. A msura fo compacada com prssão d 6kPa 2 gros com ângulo d gro d,25º sndo as dmnsõs médas dos corpos d provas d 5mm d alura por mm d dâmro. 8 % passando Granulomra AAUQ Faxa C Faxa d conrol mn Faxa d conrol max,, Abrura da pnra mm Fgura 4.: Curva granulomérca da ara usada A dnsdad aparn méda dos corpos d prova fo d 2,82 o cofcn d varação fo d,3%, para um oal d nov corpos d prova a srm nsaados. O or d CAP usado nssas msuras fo d 9,%, drmnado plo méodo d dosagm Marshall DNR, 995. O volum d vazos Vv a rlação bum-vazos RBV do AAUQ fo d 5% 8%, rspcvamn. O VAM vazos no agrgado mnral fo d 24% o VCB volums chos com bum fo d 9%. A dnsdad máxma órca DMT drmnada fo d 2,29 ASTM, 2. Dos nov corpos d prova fabrcados, rês dls foram srrados para produzr ss corpos d prova clíndrcos d dmnsõs 6mm d alura por mm d dâmro a srm usados no nsao d comprssão damral; os ss rsans d dmnsõs mm d dâmro por 5mm d alura foram usados no nsao d ração dra. Val rssalar qu, mbora s rcomnd rspar a rlação 2: nr a alura o dâmro, com o obvo d mnmzar os fos d borda no nsao d ração dra, o sudo ralzado por CHHAB al. 2 mosra qu corpos d prova d

96 75 5mm produzm rsulados smlhans aos rsulados produzdos por corpos d prova d 75 5mm, sndo as dfrnças obsrvadas sascamn nsgnfcans. O masqu consu-s da msura do CAP com uma fração fna dos agrgados. No caso do prsn sudo, sa fração fna fo drmnada com bas no procsso d dgalzação dos corpos d prova. A fração qu consu o masqu corrspond à fração mas fna dos agrgados da msura m AAUQ qu não fo capurada duran o procsso d dgalzação. A mnor dmnsão das parículas capuradas fo d,4mm, d modo qu as fraçõs fnas a parr da pnra Nº 4 abrura d,42mm foram usadas na confcção dos corpos d prova d masqu. Assm sndo, o prcnual d cada fração fo drmnado d modo qu o maral produzdo corrsponda ao masqu da msura m AAUQ, basando para sso dsconsdrar-s o maral rdo na pnra Nº 4. Dsa forma, o or d lgan usado na fabrcação do masqu fo d 2,%; a curva granulomérca dos agrgados usados é dada na Fgura 4.2. Foram fabrcados ss corpos d prova clíndrcos d masqu d dmnsõs mm d alura 55mm d dâmro, sndo ss compacados por mpaco d modo a obr uma dnsdad aparn próxma à obda nos corpos d prova d AAUQ. 8 % passando Granulomra AAUQ Faxa C Granulomra masqu,, Abrura da pnra mm Fgura 4.2: Curva granulomérca dos agrgados usados na fabrcação do masqu

97 76 É mporan salnar qu é rcomndávl xrar o núclo obdo da srragm d corpos d prova maors a fm d produzr corpos d prova mas homogênos, lmnando-s as rgõs xrnas com maor concnração d vazos DANIL, 2. s procdmno, no nano, não fo adoado no prsn rabalho dvdo à fala dos qupamnos ncssáros. 4.2 NSAIOS MCÂNICOS No prsn rabalho, foram ralzados rês pos d nsaos mcâncos: nsao d crp crp sáco m corpos d prova d masqu; nsao d ração dra m corpos d prova d AAUQ; nsao d comprssão damral ração ndra m corpos d prova d AAUQ nsao d Crp O nsao d crp crp sáco fo ralzado nos corpos d prova d masqu com o obvo d drmnar xprmnalmn a função fluênca dss maral. sa função fluênca srá ulzada na drmnação do módulo d rlaxação do masqu, o qual consu dado d nrada do problma mcromcânco nas smulaçõs numércas. O nsao d crp conss da aplcação d uma prssão unaxal consan,, a um corpo d prova clíndrco, sndo os dslocamnos unaxas obsrvados no corpo d prova ao longo do nsao mddos aravés d LVDT s Lnar Varabl Dffrnal Transducrs. A Fgura 4.3 mosra o aparao usado na ralzação do nsao d crp. m sguda, obém-s as dformaçõs unaxas, ε, dvdndo-s os dslocamnos unaxas pla alura ncal do corpo d prova. D poss das dformaçõs unaxas, pod-s obr a função fluênca aravés da sgun xprssão: ε D 4.

98 77 Fnalmn, obém-s, aravés do méodo da colocação SCHAPRY, 96, os cofcns da sér d Prony D a parr da função fluênca obda xprmnalmn. Fgura 4.3: nsao d crp num corpo d prova d masqu No prsn rabalho, os nsaos d crp foram ralzados a rês mprauras dfrns 5ºC, 25ºC 4ºC, oalzando ss nsaos dos para cada mpraura, sndo qu odos ulzaram uma prssão d comprssão d,kgf/cm². Os nsaos foram ralzados a mprauras dfrns d modo a s obr uma curva msra da função fluênca aravés do prncípo d suprposção mpo-mpraura SCHAPRY, 974; ZHAO KIM, nsao d Tração Dra O nsao d ração dra conss da aplcação d dslocamnos unaxas a uma drmnada axa consan carrgamno monoônco aé a rupura compla do corpo d prova. Como o nsao aplca dslocamnos d ração, os corpos d prova foram colados às bass málcas ulzando-s o adsvo póx Arald Profssonal. Para mnzar os fos da dscnralzação do corpo d prova da fala d parallsmo nr as facs oposas do msmo, ulzou-s um ssma d róula fxado a uma das bass málcas smlhan ao usado por PARK al Os nsaos d ração dra foram ralzados numa máquna unvrsal d nsaos Fgura 4.4.

99 78 Róula Fgura 4.4: Aparao usado no nsao d ração dra O obvo ds nsao é obr curvas d nsão dformação numa suação m qu há volução do dano. A parr dsas curvas, porano, pod-s calbrar os parâmros d dano do MZC-MV A m aravés d smulaçõs numércas. As smulaçõs numércas consum-s da aplcação das condçõs carrgamno ds nsao ao VR, sndo os parâmros d dano calbrados d forma qu as curvas nsão dformação obdas numrcamn sam smlars às obdas xprmnalmn. Como a volução do dano no MZC-MV aqu ulzado dpnd da axa d aplcação da dformação, ralzaram-s nsaos a duas axas d dformação,5/s,/s, sndo nsaados rês corpos d prova para cada axa d dformação, oalzando ss corpos d prova. Todos os nsaos foram ralzados à mpraura d 25ºC. Os fos d nérca foram dsprzados nsao d Comprssão Damral O nsao d comprssão damral, nrnaconalmn conhcdo como nsao braslro brazlan s CARNIRO, 943, conss da aplcação d dslocamnos monoôncos à axa d aplcação consan damralmn a um corpo d prova clíndrco, obndo-s a força d ração do corpo d prova. Como rsulado, podm-s obr as curvas força dslocamno /ou força mpo. No caso d msuras

100 asfálcas, os dslocamnos são comumn aplcados aravés d frsos d carga dsposos damralmn cua largura val 2,7mm. 79 No prsn rabalho, ralzaram-s nsaos d comprssão damral m corpos d prova d AAUQ a duas axas dfrns,mm/s,4mm/s à mpraura d 25ºC numa máquna unvrsal d nsaos, sndo rês corpos d prova para cada axa. Os fos d nérca foram dsprzados. Os nsaos d comprssão foram ralzados com o obvo d s obr rsulados xprmnas para vrfcação valdação do modlo compuaconal mulscala, aravés da comparação dos rsulados xprmnas com os obdos a parr d smulação numérca. m ouras palavras, s nsao fo smulado compuaconalmn aravés do modlo mul-scala sndo as proprdads consuvas do masqu dos agrgados obdas do nsao d crp da lraura, rspcvamn, os parâmros d dano calbrados a parr do nsao d ração dra. m sguda, os rsulados compuaconas foram comparados com os xprmnas d modo a avalar o dsmpnho do modlo. 4.3 DIGITALIZAÇÃO DA AAUQ A sruura da scala local scala mcroscópca fo drmnada a parr d sçõs ransvrsas d alguns dos corpos d prova srrados damralmn. ssas sçõs foram, não, dgalzadas para prmr a cração do modlo gomérco rprsnavo da scala local. Prmramn, algumas sçõs ransvrsas foram scanadas, slconandos uma para a dfnção da sruura local, usando como créro d slção a qualdad da magm. m sguda, scolhu-s uma rgão quadrangular d lado gual a,m, próxma ao cnro da sção ransvrsal, ond os conornos dos agrgados foram dfndos manualmn Fgura 4.5. A parr dssa rgão, podm-s dfnr dvrsos lmnos d volum V, dnr os quas um fo dfndo como o lmno d volum

101 rprsnavo VR. Os lmnos d volum slconados corrspondm a subdvsõs da rgão mosrada na Fgura 4.5, conform mosra a Fgura Fgura 4.5: Sção ransvrsal d uma msura m AAUQ rgão usada na dfnção dos lmnos d volum da scala local Fgura 4.6: lmnos d volum slconados No-s qu a gomra da sruura local ambém pod sr obda aravés d modologas numércas. Uma alrnava é a gração do conorno dos agrgados m posçõs alaóras dnro d um conorno xrno quadrangular, por xmplo, a parr da curva granulomérca. STROVN al. 24 aprsnam uma modologa d

102 drmnação do VR para maras granulars ond a gomra alaóra da mcrosruura é obda aravés d um modlo compuaconal GRAÇÃO DAS MALHAS D LMNTOS FINITOS Para os casos m qu não há lmnos d nrfacs, as malhas d lmnos fnos foram gradas por rangulação, com lmnos rangulars d rês nós T3 ulzando-s o programa Mool TCGRAF5, 997. A malha usada nas smulaçõs do nsao d comprssão damral, por xmplo, não ulza lmnos d nrfac, mas a volução do dano é consdrada na scala local, sndo ransmdo para a scala global na forma d prda d rgdz. No-s qu, obvando rduzr o sforço compuaconal, a análs mul-scala é ralzada apnas nos lmnos mas suscívs à volução do dano. Também com o obvo d rduzr o sforço compuaconal dada a smra do problma, apnas um quaro do corpo d prova do nsao d comprssão damral fo modlado Fgura 4.7, cua malha oalzou 276 lmnos T3. Fgura 4.7: Malha usada na smulação do nsao d comprssão damral

103 82 No caso da ulzação d lmnos d nrfac, as malhas foram ncalmn gradas plo Mool, smlhanmn à modologa usada por FRITAS 22, sndo qu um novo algormo fo dsnvolvdo para nsrr lmnos d nrfac nas nrfacs masqu-masqu masqu-agrgado. s algormo prmramn dca odas as nrfacs nr os lmnos T3 as classfca m nrfac masqu-masqu, masqu-agrgado agrgado-agrgado. m sguda, cra lmnos d nrfac nas nrfacs masqu-masqu masquagrgado, duplcando os nós da nrfac, aualzando a concvdad dos lmnos T3 crando a concvdad as proprdads gomércas dos lmnos d nrfac. A numração dos novos nós duplcados sgu a connuação da numração ncal, o qu aumna sgnfcanmn a largura d banda da marz d rgdz, consqünmn, o sforço compuaconal. Dsa forma, após a gração da nova malha com lmnos d nrfac, o algormo sgu para uma rona ond o algormo rvrso d Cuhll-McK CUTHILL MCK, 969; GORG, 97; LIU SHRMAN, 975, o qual rduz a largura d banda aravés da rordnação dos nós, fo mplmnado, d modo qu a malha fnal com lmnos d nrfac proporcon um mnor sforço compuaconal. mbora não nham sdo ralzados nsaos xprmnas d flxão m vga, s nsao fo smulado compuaconalmn com o obvo d vrfcar a capacdad do modlo mul-scala d modlar os fnômnos d dformação prmann d rncamno por fadga. No caso das smulaçõs m vga, apnas mad do corpo d prova fo modlada, dvdo à smra do problma. Ns caso, ulzaram-s duas malhas, uma sm lmnos d nrfac oura com lmnos d nrfac dsposos ao longo d oda a malha, manndo-s m ambos os casos a msma gomra númro d lmnos T3. A Fgura 4.8 mosra a gomra do problma a malha usada, a qual possu 26 lmnos T3 338 lmnos d nrfac m lnhas mas spssas.

104 83 Fgura 4.8: Malha usada nas smulaçõs m vga com lmnos d nrfac Val rssalar qu foram nsrdos lmnos d nrfac ao longo d oda a malha da vga xco no conorno da vga para lusrar a volução smulâna do dano ano na scala local como na scala global. Além dsso, é mporan salnar qu as smulaçõs m vga são apnas lusravas, uma vz qu não foram ralzados nsaos xprmnas m vga, sndo o obvo dsas smulaçõs mosrar a capacdad do modlo m smular os fnômnos d dformação prmann d rncamno por fadga. No caso da scala local, foram nsrdos lmnos d nrfac m odas as nrfacs nr os lmnos da marz vscolásca masqu nas nrfacs nr o masqu os agrgados. A Fgura 4.9 mosra uma malha para o V-2, ond os lmnos d nrfac são dsacados m lnhas mas spssas. Agrgados Masqu Fgura 4.9: Malha d lmnos fnos com lmnos d nrfac para o V-2

105 DTRMINAÇÃO DO VR O VR fo drmnado sgundo-s uma modologa smlhan à usada por STROVN al. 24, ond uma proprdad do maral é ulzada como créro d rprsnavdad do lmno d volum. No caso do prsn rabalho, a proprdad consdrada fo o módulo d rlaxação lnar do V, não sndo, porano, ulzados os lmnos nrfacs. Além do créro da proprdad consuva do maral, um créro gomérco, qual sa, a dsrbução saísca do amanho dos agrgados, ambém fo consdrado na drmnação do VR ALLN, 2; SIDL al., 24. As malhas d lmnos fnos usadas para o V-, o V-2 o V-3 são aprsnadas na Fgura 4., as quas possum 29, lmnos T3, rspcvamn. a V-,25m,25m b V-2,5m,5m c V-3,m,m Fgura 4.: Malhas d lmnos fnos usadas na drmnação do VR

106 DTRMINAÇÃO DO MÓDULO D RLAXAÇÃO DO MASTIQU O módulo d rlaxação do masqu fo drmnado com bas na função fluênca obda xprmnalmn. A quação 2.87 para, obda da nrrlação nr as duas funçõs da rprsnação na forma d sérs d Prony, fo usada no cálculo dos cofcns da sér d Prony para o módulo d rlaxação. Os rsulados ~ ~ obdos são anda vrfcados mulplcando-s a função por D, rprsnadas por sérs d Prony, comparando-s o rsulado da mulplcação com a undad vd quação O rro é, não, avalado pla sgun xprssão: ~ ~ rro s D s 4.2 k k s k s k ond, s. k k O cofcn d Posson, ν, do masqu fo assumdo consan drmnado a parr das dformaçõs radas, ε r, longudnas, ε l, obsrvadas no fnal do xprmno, conform a quação abaxo: ν ε r 4.3 εl 4.7 DTRMINAÇÃO DO MÓDULO D RLAXAÇÃO DA AAUQ O módulo d rlaxação da msura m AAUQ fo drmnado aravés da homognzação da solução numérca d um problma mcromcânco, ond s consdra a hrogndad do maral a dsspação d nrga dvdo ao comporamno vscolásco do masqu. No nano, como o obvo é drmnar o módulo d rlaxação lnar, a volução do dano na forma d rncas não fo consdrada ns caso. No-s qu o módulo d rlaxação homognzado da AAUQ é usado como a proprdad consuva dos lmnos da scala global qu não são consdrados mulscala. Além dsso, é ambém usado no cálculo do ncrmno d dformaçõs globas

107 86 ncas dos lmnos mul-scala para cada ncrmno d mpo, porém, à mdda qu o dano volu na scala local, obsrva-s uma quda na rgdz do maral global consqün comporamno não lnar, uma vz qu a rgdz passa a sr drmnada plo problma local. ALLN YOON 998, aravés d écncas d homognzação, dsnvolvram uma quação para o cálculo do módulo d rlaxação homognzado d maras compósos vscoláscos, dada pla xprssão abaxo: G kl L L L L Λ mnkl Λmnkl d mn mn dv 4.4 V V ond, G L dnomnam as scalas global local, rspcvamn, : L ε L Λ kl 4.5 G kl ond, L Λ kl : componn do nsor d localzação d dformaçõs sran localzaon nsor; L ε : componn do nsor das dformaçõs na scala local função das coordnadas locas; G kl : componn do nsor das dformaçõs méda no conorno xrno do VR quação 2.3. No-s qu o prmro rmo da quação 4.4 lva m consdração uma dsconnudad da função Λ no mpo CHRISTNSN, 982. Além mnkl dsso, sa quação ambém consdra, por xmplo, as nraçõs masqu-agrgados a dsspação d nrga dvdo ao comporamno vscolásco do masqu dvdo à propagação d rncas. No nano, a propagação d rncas não srá consdrada nss caso, pos o obvo é drmnar o módulo d rlaxação lnar da AAUQ.

108 87 No prsn rabalho, a quação 4.4 fo rsolvda numrcamn para o VR drmnado o qual dv rprsnar o comporamno da msura m AAUQ plo MF usando as condçõs ncas d conorno do nsao d rlaxação aplcação d dformação unaxal consan, conform mosra a Fgura 4.. Após a solução numérca da quação 4.4, drmnaram-s os cofcns da sér d Prony do módulo d rlaxação da AAUQ plo méodo da colocação. mbora a quação 4.4 consdr o caso d ansoropa do maral, por smplfcação dada a alaordad da dsrbução dos agrgados na msura, o módulo d rlaxação drmnado para uma drção do VR é consdrado consan para as dmas drçõs, ou sa, o comporamno consuvo do VR é consdrado sorópco. No nano, val rssalar qu a ansoropa, spcalmn a produzda pla propagação d rncas na scala local, é consdrada no modlo mul-scala. Fgura 4.: Rprsnação squmáca das condçõs ncas d conorno do VR usadas na solução numérca da quação 4.4 O cofcn d Posson da AAUQ fo assumdo consan drmnado a parr dos rsulados numércos obdos na drmnação do módulo d rlaxação lnar. Smlhanmn à quação 4.3, o cofcn d Posson da AAUQ fo drmnado a parr das dformaçõs obsrvadas no fnal da smulação, conform a xprssão: ε ν 4.6 ε xx yy

109 88 CAPÍTULO 5 RSULTADOS O prsn capíulo aprsna os rsulados xprmnas numércos obdos ns rabalho. Incalmn drmnou-s o VR. m sguda, as proprdads vscoláscas os parâmros d dano foram drmnados, d modo a prmr a ralzação das análss numércas. Fnalmn, o modlo mul-scala fo vrfcado valdado aravés d smulaçõs numércas da comparação dos rsulados xprmnas com os obdos numrcamn. 5. DTRMINAÇÃO DO VR Como comnado no capíulo anror, o VR fo drmnado com bas m dos créros: módulo d rlaxação dos V s cofcn d varação do amanho ára gomérca dos agrgados. Val rssalar qu, mbora o VR nha sdo aqu drmnado sm consdrar a volução do dano na forma d rncas, por smplcdad, a homogndad saísca da dsrbução do dano ambém pod sr usada como créro na drmnação do VR. O módulo d rlaxação dos V s fo drmnado aravés da solução da quação 4.4 d acordo com a modologa proposa na Sção 4.7. Ns caso, consdrou-s apnas o módulo d rlaxação no sndo vrcal da Fgura 4.. Os rsulados numércos do módulo d rlaxação para os rês V s são mosrados na Fgura 5.. Os cofcns d varação do amanho dos agrgados para os rês V s, usado como créro goméco drmnado pla razão nr o dsvo padrão a méda da ára gomérca dos agrgados, foram d,59;,5,5 para os lmnos d volum V-, V-2 V-3, rspcvamn.

110 89,8,7,6 VR 3 VR 2 VR kpa,5,4,3,2,-7,-5,-3,-,,3,5,7 Tmpo s Fgura 5.: Módulo d rlaxação para os V s slconados Obsrva-s, porano, uma convrgênca dos rsulados à mdda qu o amanho do V aumna. Assm sndo, dado qu o V- aprsnou o maor CV dada a smlhança nr os rsulados do V-2 do V-3, o V scolhdo como VR fo o V-2, dvdo à rdução sgnfcava d sforço compuaconal proporconada pla mnor malha do V-2. No-s qu a rdução do sforço compuaconal é maor anda quando s consdram os lmnos d nrfac, uma vz qu a malha do V-2 possu 477 lmnos T3.2 lmnos d nrfac, nquano a malha do V-3 possu.33 lmnos T lmnos d nrfac. A Fgura 5.2 mosra, porano, o VR drmnado com suas malhas m lmnos fnos sm com lmnos d nrfac os lmnos d nrfac são dsacados m lnhas mas spssas. É mporan rssalar qu a ansoropa provocada pla dsrbução ornação dos agrgados das rncas é consdrada m odas as análss locas. Além dsso, o comporamno não lnar produzdo pla propagação d rncas ambém é consdrado nas análss da scala local.

111 9 a b Fgura 5.2: VR drmnado a sm lmnos d nrfac b com lmnos d nrfac nsrdos 5.2 PROPRIDADS VISCOLÁSTICAS 5.2. Função Fluênca do Masqu Com rlação ao masqu, a função fluênca o cofcn d Posson foram obdos xprmnalmn, sndo o módulo d rlaxação drmnado a parr da rprsnação na forma d sér d Prony da função fluênca, conform dscro na Sção 4.6. O cofcn d Posson obdo fo d,4 a Fgura 5.3 mosra a função fluênca do masqu obda para as mprauras d 5ºC, 25ºC 4ºC a curva msra para a mpraura d rfrênca, T R, d 25ºC, obda a parr da ranslação das curvas a 5ºC 4ºC. Os faors d ranslação horzonal, a T, com rlação à mpraura d rfrênca d 25ºC, são mosrados na Fgura 5.4.

112 9 D kpa -,-2,-3,-4,-5,-6 5 C 5 C dslocado 25 C 4 C 4 C dslocado Curva msra,-7,-8,-5,-3,-,,3,5,7 Tmpo s Fgura 5.3: Função fluênca do masqu para 5ºC, 25ºC 4ºC, rspcva curva msra 4 loga T C 25 C 4 C Tmpraura o C Fgura 5.4: Faors d ranslação horzonal com rlação à T R d 25ºC Os cofcns da sér d Prony para a função fluênca do masqu drmnados a parr da curva msra da Fgura 5.3 usando o méodo da colocação são

113 dados na Tabla 5., sndo qu os mpos d rardação,, foram scolhdos d modo a proporconar o mlhor aus da curva. 92 Tabla 5.: Cofcns da sér d Prony para a função fluênca do masqu D kpa - s 3,487-8, , , ,59-7,7-4 8,23-7,3 5 2,78-6 3,4 6,699-5,42 7 7,829-5,23 8 5, ,93 9,83-3 7,4 D,4-7 kpa Módulo d Rlaxação do Masqu O módulo d rlaxação do masqu fo drmnado a parr dos cofcns da sér d prony da função fluênca mosrados na Tabla 5. da quação 2.87 para, conform xposo na Sção D poss dos cofcns D, D, sgundo o procdmno proposo por ~ PARK SCHAPRY 999, os valors d foram drmnados grafando-s D s vrsus ~ s s <. A abscssa corrspondn a cada máxmo da função D s aproxma-s do valor d conhcdo a abscssa corrspondn a cada mínmo da ~ função D s aproxma-s do valor d procurado, conform mosra a Fgura 5.5.

114 93,,-,-3,-5,-7,-9,-,-4,-2,,2,4,6 -/s Fgura 5.5: Drmnação gráfca dos mpos d rlaxação, m sguda, os cofcns foram drmnados a parr das quaçõs , rspcvamn. Os cofcns da sér d Prony do módulo d rlaxação do masqu são mosrados na Tabla 5.2. A Fgura 5.6 mosra o módulo d rlaxação do masqu, unamn com a função fluênca a parr da qual o módulo d rlaxação fo drmnado. Tabla 5.2: Cofcns da sér d Prony do módulo d rlaxação do masqu kpa s 2,796 8, ,6756 5, ,256 6, ,9295 4,6-5 4,4775 4,5 6,524 4, 7 9,2843 2,42 8,7483,93 9 5,5352 2,44 4,792 kpa

115 94,7,-2,6,-3 kpa,5,4 D,-4,-5 D kpa -,3,-6,2,-7,-5,-3,-,,3,5,7 Tmpo s Fgura 5.6: Módulo d rlaxação função fluênca do masqu Os rsulados obdos foram vrfcados conform procdmno aprsnado na Sção 4.6. Assm sndo, o rro máxmo nconrado calculado pla quação 4.2 fo d,% Módulo d Rlaxação da AAUQ Conform mosrado na Sção 4.7, a quação 4.4 fo rsolvda aravés da smulação numérca do nsao d rlaxação consdrando-s a gomra do VR o sndo vrcal do msmo. Val rssalar qu o módulo d rlaxação da AAUQ fo drmnado sm consdrar a volução do dano na forma d rncas. As proprdads láscas dos agrgados foram assumdas com bas no sudo d MHTA MONTIRO 993, sndo o módulo d lascdad gual a 4,5GPa o cofcn d Posson gual a,5. O módulo d rlaxação o cofcn d Posson do masqu usados foram os drmnados anrormn. Assm sndo, d poss dos rsulados numércos, drmnou-s um cofcn d Posson d,4 o módulo d rlaxação mosrado na Fgura 5.7. Os cofcns da sér d Prony para o módulo d rlaxação da AAUQ são dados na Tabla 5.3.

116 95 kpa,8,7,6,5,4 da AAUQ solução numérca Sér d Prony do Masqu,3,2,-5,-3,-,,3,5,7 Tmpo s Fgura 5.7: Módulo d rlaxação da AAUQ Tabla 5.3: Cofcns da sér d Prony para o módulo d rlaxação da AAUQ kpa s 5,8445, ,336, ,26, ,2236,5-5 5,365,5 6 7,8335 4,5 7 5,2344,5 8 2,7234,52 9 3,9473,53,3773,54 2,965,55 8,692 kpa A Fgura 5.7 mosra ambém uma comparação nr os módulos d rlaxação da AAUQ do masqu. Obsrva-s dsa fgura qu a adção d agrgados ao masqu aumna a rgdz do maral d forma não homogêna ao longo da scala d mpo. Iso s dv prncpalmn às nraçõs nr o masqu os agrgados dsnvolvdas duran o procsso d rlaxação do masqu.

117 96 No-s anda qu são ncssáros mas rmos na sér d Prony da AAUQ onz rmos para qu sa rprsn adquadamn o módulo d rlaxação ds maral do qu foram ncssáros na sér do masqu nov rmos. Iso s dv ao chamado fo mmóra mmory ffc, o qual é nduzdo plo procsso d homognzação d compósos vscoláscos ALLN YOON, 998; MAGHOUS CRUS, 23. O fo d mmóra é fscamn usfcado plas nraçõs nr os dvrsos componns do maral compóso. 5.3 CALIBRAÇÃO DOS PARÂMTROS D DANO Os parâmros d dano foram calbrados a parr da smulação numérca do nsao d ração dra para o VR da comparação dos rsulados numércos com os obdos xprmnalmn. Dada a dpndênca da volução do dano com rlação à axa d dformação, os parâmros d dano foram calbrados para duas axas d dformação dsnas,5/s,/s, d modo a prmr qu os valors calbrados possam sr usados para dfrns axas d dformação. Nas smulaçõs numércas do nsao d ração dra, ulzou-s um ncrmno d mpo d,5s. Assm sndo, os parâmros d dano foram consdrados adquados quando a curva nsão dformação obda numrcamn mosrou-s sasfaoramn próxma à curva drmnada xprmnalmn. * O parâmro mpírco d comprmno do maral, δ, usado fo d 2,5-5m para ambas as drçõs normal angncal. O nívl d nsão ncssáro para ncar-s f a volução do dano na zona cosva,, fo consdrado nulo para ambas as drçõs normal angncal. os valors dos parâmros d dano, A m, qu produzram mlhors rsulados foram d,6 4,, rspcvamn. O módulo d rlaxação lnar das zonas cosvas fo assumdo gual ao módulo d rlaxação do masqu. Val rssalar qu, por smplcdad, sss valors foram usados para odos os lmnos d nrfac, ano nas nrfacs masqu-masqu como nas nrfacs masqu-agrgados. A Fgura 5.8 mosra as curvas nsão dformação xprmnas * f méda d rês corpos d prova obdas com os valors d δ,, A m cados.

118 97 No-s qu, a parr das pars ncas das curvas mosradas na Fgura 5.8, pod-s conclur qu as proprdads lnars vscoláscas do masqu láscas dos agrgados usadas foram adquadas dada a proxmdad nr as curvas numércas xprmnas ,5/s xprmnal,5/s numérco,/s xprmnal,/s numérco 25 kpa 2 5 5,,5,,5,2 ε mm/mm Fgura 5.8: Curvas nsão dformação numércas xprmnas As Fguras mosram a confguração do VR para o pco d nsão à dformação d,2mm/mm para as axas d dformação d,5/s,/s, rspcvamn. Obsrva-s dsas fguras qu a dsposção ornação das macrorncas Fgura 5.9b Fgura 5.b são basan smlhans para ambas as axas d dformação.

119 98 a Pco d nsão; s b ε, 2 ; 4s Fgura 5.9: Confguração do VR para a axa d,5/s m a s b 4 s a Pco d nsão; 7, 5 s b ε, 2 ; 2 s Fgura 5.: Confguração do VR para a axa d,/s m a 7, 5 s b 2 s Val rssalar qu, mbora não s nha obsrvado o aparcmno d macrorncas para os pcos d nsão, pôd-s obsrvar váras mcrorncas, mbora so não sa prcpívl nas fguras acma. A Fgura 5. mosra algumas mcrorncas obsrvadas no pco d nsão para a axa d,5/s.

120 99 Fgura 5.: Mcrorncas obsrvadas no pco d nsão para a axa d,5/s No-s anda qu, para ambas as axas d dformação, obsrvou-s a volução smulâna d múlplas rncas mcro /ou macro no nror do VR, o qu orna a análs mas ralsa. Iso s dv à nclusão d lmnos d nrfac m odas as nrfacs masqu-masqu masqu-agrgado. A Fgura 5.2, a qual om a malha d lmnos fnos, vdnca a volução smulâna d mcro macrorncas no VR para a axa d,5/s 4s. Obsrva-s ambém na Fgura 5.2 uma ornação prfrncal das rncas no sndo horzonal, o qu s dv ao fao d o carrgamno sr no sndo vrcal. É mporan salnar qu a nclusão d lmnos d nrfac no nror dos agrgados pod ornar as análss anda mas ralsas, prmndo, assm, a formação propagação d rncas no nror dos msmos.

121 Macrornca prncpal Múlplas mcrorncas Fgura 5.2: Múlplas rncas obsrvadas no VR para a axa d,5/s 4s 5.4 VRIFICAÇÃO VALIDAÇÃO DO MODLO MULTI-SCALA sa sção aprsna os rsulados das smulaçõs numércas do nsao d comprssão damral obdos aravés do modlo mul-scala os compara aos rsulados obdos xprmnalmn, com o obvo d vrfcar valdar o modlo mul-scala aqu dsnvolvdo para msuras asfálcas. m sguda, o nsao d flxão m vga é smulado aravés do modlo mulscala, obvando mosrar a capacdad ds m smular os fnômnos d dformação prmann rncamno por fadga. Ns caso, consdra-s um carrgamno cíclco, sndo ralzadas duas análss: uma ond não s consdra a propagação d rncas para modlar o fnômno d dformaçõs prmanns provocado pla dsspação d nrga dvdo ao comporamno vscolásco do masqu oura s consdrando a propagação d rncas na scala local para modlar o fnômno d rncamno por fadga Smulação do nsao d Comprssão Damral A Fgura 4.7 mosrou o modlo gomérco usado na smulação do nsao d comprssão damral, dsacando os lmnos globas mul-scala as condçõs d

122 conorno. Porano, consdrou-s apnas um quaro da gomra d modo a rduzr o sforço compuaconal. Como a spssura dos corpos d prova clíndrcos é pquna, consdrou-s o sado plano d nsão nas smulaçõs ds nsao SHRP, 993; ZHANG al., 997. As proprdads consuvas do masqu, dos agrgados da AAUQ usadas foram dadas anrormn. Val, no nano, salnar qu os lmnos mul-scala possum comporamno consuvo vscolásco ansorópco produzdo pla confguração dos agrgados das rncas na mcrosruura não lnar dvdo à propagação d rncas, nquano os dmas lmnos possum, por smplfcação, comporamno vscolásco lnar sorópco, cuo módulo d rlaxação é o drmnado para a AAUQ. Com rlação ao frso d carga m aço, usou-s um módulo d lascdad d 2GPa um cofcn d Posson d,3 BR JOHNSTON, 995. As axas d dslocamno damral usadas foram d,mm/s,4mm/s. Os ncrmnos d mpo usados nas smulaçõs numércas foram d,5s,s para as axas d,mm/s,4mm/s, rspcvamn. D modo a normalzar os rsulados xprmnas, a força auan no frso fo dvdda pla spssura dos corpos d prova. As Fguras mosram a volução da força normalzada auan no frso d carga com o mpo para as axas d,mm/s,4mm/s, rspcvamn. Os rsulados xprmnas corrspondm à méda d rês corpos d prova. A parr das Fguras , pod-s vrfcar qu os rsulados obdos plo modlo mul-scala são corns com os rsulados xprmnas. As dfrnças obsrvadas nr o modlo mul-scala os rsulados xprmnas podm r sdo provocadas por dvrsos faors, dnr os quas s dsacam: o uso d lmnos fnos d nrfac smpls T3 nrfac nodal d malhas pouco dscrzadas lmação d mpo compuaconal; a hpós d qu l local << l global gradn d dformaçõs da scala global não é ransmdo à scala local; as lmaçõs sprmnas; v o fao d qu os parâmros d dano do MZC-MV foram calbrados não dmrnados xprmnalmn.

123 2 Força/spssura kn/m Modlo mul-scala,mm/s xprmnal,mm/s Tmpo s Fgura 5.3: Rsulados numércos xprmnas para a axa d,mm/s Força/spssura kn/m Modlo mul-scala,4mm/s xprmnal,4mm/s Tmpo s Fgura 5.4: Rsulados numércos xprmnas para a axa d,4mm/s A dsrbução das nsõs horzonas, vrcas d csalhamno, no pco da força d ração vrcal ao fnal da smulação, é mosrada nas Fguras 5.5, , rspcvamn, para a axa d dslocamno d,mm/s. As nsõs para a axa d,4mm/s aprsnaram dsrbução smlhan. A convnção d snal adoada sablc qu nsõs d ração são posvas as d comprssão são ngavas.

124 3 xx kpa a b Fgura 5.5: Dsrbução das nsõs horzonas, xx, a no pco da força d ração vrcal b ao fnal da smulação para a axa d,mm/s yy kpa a b Fgura 5.6: Dsrbução das nsõs vrcas, yy vrcal b ao fnal da smulação para a axa d,mm/s, a no pco da força d ração

125 4 xy kpa a b Fgura 5.7: Dsrbução das nsõs csalhans, xy, a no pco da força d ração vrcal b ao fnal da smulação para a axa d,mm/s A parr das Fguras 5.5a, 5.6a 5.7a pod-s obsrvar qu a rgão próxma ao frso d carga é a rgão mas solcada m rmos d magnud das nsõs. Além dsso, obsrvou-s qu as nsõs d comprssão, vrcas horzonas, as nsõs d csalhamno máxmas nas proxmdads do frso d carga são maors m magnud do qu a nsão horzonal d ração máxma no cnro do corpo d prova. No-s qu as dsrbuçõs das nsõs aqu obdas numrcamn são d acordo com os rsulados mosrados no sudo d ZHANG al. 997, o qual s basa nas quaçõs analícas d HONDROS 959. Com o obvo d s drmnar, d forma qualava, a dsrbução do dano rdução das nsõs no corpo d prova dvdo à dsspação d nrga na scala local, smulou-s o nsao d comprssão damral axa d,mm/s consdrando-s apnas a scala global, ou sa, nnhum lmno global fo consdrado mul-scala. m sguda, calculou-s a dfrnça nr as nsõs nos lmnos para as duas suaçõs sm com lmnos mul-scala no mpo 25 s fnal da smulação, d modo a obr-s a dsrbução da dfrnça d nsõs, D, no corpo d prova, como mosra a Fgura 5.8. No-s qu na Fgura 5.8, uma rdução d nsõs d ração produz um

126 5 valor posvo, nquano uma rdução d nsõs d comprssão produz um valor ngavo. D xx kpa D xx kpa a b D yy kpa D xy kpa c d Fgura 5.8: Dsrbução da dfrnça d nsõs a horzonas d ração; b horzonas d comprssão; c vrcas d d csalhamno para a axa d,mm/s A Fgura 5.8 mosra qu as maors dfrnças d nsõs, m magnud, são localzadas nas proxmdads do frso d carga, o qu ra sprado, vso qu al rgão é a mas solcada. Além dsso, a rdução d nsõs comprssvas é maor qu a rdução d nsõs d ração.

127 É mporan salnar qu a dfrnça d nsõs, 6 D, mosrada anrormn não corrspond ao valor xao da rdução d nsõs dvdo à volução do dano, pos, à mdda qu o dano volu, a dsrbução das nsõs s modfca m rlação ao caso lnar sm dano, modfcando, porano, o hsórco d carrgamno nsõs dformaçõs nos lmnos. Assm sndo, como o hsórco d dformaçõs para o caso não-lnar com dano dfr do hsórco d dformaçõs para o caso lnar sm dano, a dfrnça nr as nsõs dos dos casos não corrspond ao valor xao da prda d nsõs provocada pla propagação d rncas na scala local. No nano, sa dfrnça pod xprssar, d forma qualava, as rgõs mas danfcadas. Val anda rssalar qu o valor xao do dano, ou sa, da rdução d nsão provocada pla propagação d rncas, pod sr calculado aravés d xprssõs qu rsulam dramn do procsso d homognzação no conorno nrno do VR SARCY, 24, ou, quvaln, usando-s a quação 2.3 ALLN YOON, 998. Analsando-s agora o qu ocorru na scala local, pod-s vrfcar a volução do dano na forma d mcrorncas nas dvrsas rgõs do corpo d prova. Para ano, scolhu-s rês lmnos m rgõs d solcaçõs dsnas do corpo d prova, como mosra a Fgura 5.9. Fgura 5.9: lmnos scolhdos m rês rgõs d solcaçõs dsnas

128 7 As sruuras locas, para a axa d,mm/s, nos lmnos A, B, C Fgura 5.9 são mosradas nas Fguras 5.2, , rspcvamn, para drmnados mpos. Os nsans d mpo scolhdos corrspondm a 7s, ao pco da nsão horzonal méda no VR ao fnal da smulação ou nsan m qu s obém rgdz nula na scala local. No-s qu os dslocamnos horzonas dos nós foram magnfcados m dz vzs para prmr uma mlhor vsualzação. As sruuras locas para a axa d,4mm/s aprsnaram confguração smlhan. a b c Fgura 5.2: sruura local do lmno A para a 7 s; b 8, 5 s c para a axa d,mm/s s

129 8 a b c Fgura 5.2: sruura local do lmno B para a 7 s; b 5 s c 25s para a axa d,mm/s

130 9 a b c Fgura 5.22: sruura local do lmno C para a 7 s; b 5 s c 25s para a axa d,mm/s As Fguras 5.2, mosram qu a rgão próxma ao frso d carga é a rgão qu prmro aprsnou rncas vsívs na scala local provocadas

131 prncpalmn pla combnação d nsõs comprssvas d csalhamno. D acordo com a smulação, com a rdsrbução das nsõs ao longo do corpo d prova provocada pla falênca sruural da rgão próxma ao frso d carga Fgura 5.2, o dano passa a s propagar mas nnsamn nas rgõs cnras do corpo d prova, ond auam prncpalmn nsõs vrcas d comprssão horzonas d ração Fguras É mporan rssalar qu, mbora não s nha obsrvado, aparnmn, rupura por comprssão, as nsõs d comprssão, ano horzonas como vrcas, dsmpnham papl mporan no procsso d volução do dano. Além dsso, a prda d rgdz na drção vrcal dvdo à propagação d mcrorncas por ração na drção horzonal por csalhamno produz prdas d nsão d comprssão vrcal, rsulando, porano, na quda da força d ração do corpo d prova obsrvada duran o nsao. No-s anda qu mbora não nham sdo obsrvadas macrorncas na scala local do lmno C, s aprsnou uma rgdz na drção horzonal quas nula dvdo à xsênca d númras mcrorncas, spcalmn no conorno dos agrgados Fgura Val salnar qu os rsulados numércos aqu aprsnados podm sr anda mlhorados caso odos os lmnos globas sam consdrados mul-scala caso os parâmros d dano sam drmnados xprmnalmn WILLIAMS, 2, m vz d calbrados. Além dsso, caso s consdr lmnos d nrfac na scala global, a forma da propagação das rncas na scala global pod sr obda numrcamn comparada com a confguração das rncas obsrvada xprmnalmn Smulação d Carrgamno Cíclco d Flxão m Vga Como comnado anrormn, o obvo das smulaçõs m vga é lusrar a capacdad do modlo mul-scala m smular os fnômnos d dformação prmann d rncamno por fadga, os quas consum os prncpas pos d falha

132 obsrvados nos pavmnos asfálcos. O modlo gomérco com as condçõs d conorno a malha d lmnos fnos foram mosrados na Fgura 4.8. Para odas as smulaçõs m vga, consdrou-s o sado plano d nsão. Duas suaçõs dsnas foram consdradas. Na prmra não s consdrou a volução do dano na forma d rncas m ambas as scalas global local, mas odos os lmnos T3 qu consum a vga foram consdrados mul-scala. O nuo da prmra análs é avalar a dformação prmann produzda plo comporamno vscolásco do masqu, spcalmn nas nrfacs masqu-agrgados, ond há concnração d nsõs. Na sgunda análs, consdrou-s a volução do dano na forma d rncas m ambas as scalas aravés d lmnos d nrfac dsposos ao longo das malhas d lmnos fnos, d modo a prmr a vsualzação da propagação smulâna d rncas m ambas as scalas. Ns caso, apnas os lmnos mas solcados foram consdrados mul-scala, conform mosra a Fgura Fgura 5.23: Malha usada para o caso mul-scala com rncas, com os lmnos mul-scala m dsaqu Dnr os lmnos mul-scala mosrados na Fgura 5.23, scolhram-s rês lmnos m rgõs solcadas dsnamn para analsar-s suas rspcvas sruuras locas, conform mosra a Fgura Fgura 5.24: lmnos mul-scala scolhdos para a análs da sruura local

133 2 Como o obvo é mosrar o acúmulo d dformaçõs prmanns o rncamno por fadga, consdrou-s um carrgamno cíclco sm-snodal consuído d dz cclos com pco d 8kPa príodo d 4s sgudos d um nrvalo d rpouso d 3s, conform mosra a Fgura O ncrmno d mpo usado nas smulaçõs numércas fo d,5s. Tmpo s Prssão kpa Fgura 5.25: Carrgamno usado nas smulaçõs m vga As proprdads consuvas do masqu, dos agrgados da AAUQ usadas foram dadas anrormn. No nano, val salnar qu os lmnos mul-scala possum comporamno consuvo vscolásco ansorópco produzdo pla confguração dos agrgados das rncas na mcrosruura não lnar dvdo à propagação d rncas, nquano os dmas lmnos possum, por smplfcação, comporamno vscolásco lnar sorópco, cuo módulo d rlaxação é o drmnado para a AAUQ. Os parâmros d dano usados na scala local foram os msmos usados nas análss anrors. No caso da scala global, o parâmro mpírco d comprmno do * maral, δ, usado fo d,25-3m para ambas as drçõs normal angncal. O f nívl d nsão ncssáro para ncar-s a volução do dano na zona cosva,, fo consdrado nulo para ambas as drçõs normal angncal. os valors dos parâmros d dano, A m, usados foram d,57 4,, rspcvamn. O módulo d rlaxação lnar das zonas cosvas na scala global fo assumdo gual ao módulo d rlaxação da AAUQ.

134 3 Val rssalar qu os parâmros d dano da scala global foram assumdos com bas nos parâmros d dano da scala global, porém o valor d A fo aumnado para prmr a vsualzação d rncas na scala global duran a smulação dos dz cclos d carga. A Fgura 5.26 aprsna o hsórco da dflxão máxma obsrvada abaxo do carrgamno no cnro da vga para os casos analsados. No-s qu a Fgura 5.26 ambém mosra a dflxão máxma para o caso ond nnhum lmno é consdrado mul-scala, sndo o comporamno consuvo dss rgdo plo módulo d rlaxação drmnado numrcamn para a AAUQ aravés da quação 4.4 dsnvolvda por ALLN YOON 998. É mporan rssalar qu, orcamn, os rsulados obdos com o módulo homognzado da AAUQ dvram concdr com os rsulados da smulação mulscala sm rncas. Porém, obsrva-s uma pquna dfrnça nr sss rsulados, a qual s dv prncpalmn aos rros nroduzdos plo procsso d rgrssão da sér d Prony do módulo homognzado da AAUQ Tmpo s Não mul-scala s/ rncas Mul-scala s/ rncas Mul-scala c/ rncas Dflxão máxma m Fgura 5.26: Hsórco da dflxão máxma no cnro da vga

135 4 No-s anda qu, dvdo ao comporamno vscolásco do masqu, consqünmn, da AAUQ, xs uma dfasagm no mpo das dflxõs com rlação ao carrgamno aplcado. No caso dsa smulação, os pcos da dflxão máxma ocorrram,5s após os pcos do carrgamno aplcado. A parr da análs mul-scala sm a consdração da propagação d rncas, pod-s prcbr o acúmulo d dformaçõs prmanns provocado plo comporamno vscolásco do masqu. No-s qu, mbora s acumulm dformaçõs prmanns, a amplud da dflxão s maném consan para odos os cclos. A Fgura 5.27 mosra a confguração da vga para 7 s. Fgura 5.27: Confguração fnal da vga para o caso mul-scala sm rncas Para o caso com rncas m ambas as scalas, obsrvam-s dflxõs maors, conform a Fgura 5.26, provocadas ncalmn pla rdução da rgdz na scala local mcrorncas, posrormn, pla rdução da rgdz na scala global macrorncas. No-s, a parr da Fgura 5.26, qu há um aumno brusco na amplud das dflxõs no nono cclo, o qual é produzdo pla propagação d uma rnca na scala global, conform mosra a Fgura A propagação d rncas na scala local, mbora não produza um aumno brusco na dflxão global, produz uma rdução na rgdz do maral na scala global, o qu provoca um aumno gradavo na dflxão da scala global Fgura Além dsso, ssa rdução d rgdz produz uma quda ambém gradava na nsão horzonal máxma rssda plo maral na scala global, como mosra a Fgura 5.29.

136 5 Fgura 5.28: Confguração da vga para o caso mul-scala com rncas m ambas as scalas m 34, 5 s xx kpa Tmpo s Fgura 5.29: Hsórco da nsão horzonal obsrvada no lmno global A A parr das Fguras , as quas mosram o acúmulo d dformaçõs prmanns a prda da rssênca do maral, rspcvamn, ao longo dos cclos d carga, pod-s vrfcar a capacdad do modlo m smular os fnômnos d rncamno por fadga d acúmulo d dformação prmann ano dvdo ao comporamno vscolásco do masqu como dvdo à formação propagação d mcrorncas.

137 6 As Fguras 5.3, aprsnam as sruuras locas m mpos dsnos para os lmnos A, B C da Fgura 5.24, rspcvamn. Os mpos scolhdos corrspondm aos pcos d dflxão do quaro, sxo oavo cclos, ao fnal da smulação, rspcvamn. Os dslocamnos horzonas mosrados nssas fguras foram amplados m dz vzs para prmr uma mlhor vsualzação. a b c d Fgura 5.3: sruura local do lmno A para a 4, 5s; b 22, 5 s; c 3,5 s d 7 s

138 7 a b c d Fgura 5.3: sruura local do lmno B para a 4, 5s; b 22, 5 s; c 3,5 s d 7 s

139 8 a b c d Fgura 5.32: sruura local do lmno C para a 4, 5s; b 22, 5 s; c 3,5 s d 7 s A parr das Fguras 5.3, , pod-s prcbr qu a sruura local da rgão mas solcada Fgura 5.3 s aprsnou mas danfcada qu as dmas. Nos qu é usamn para s po d problma, ond há um gradn d nsõs ao longo da gomra do problma, qu os modlos mul-scala s mosram mas fcazs, uma vz qu a volução do dano ambém dpnd do hsórco do carrgamno.