Capítulo 3 Transmissão de Sinais e Filtragem

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1 Capíulo 3 Transmissão d Sinais Filragm 3.1 Rsposa d Sismas Linars Invarians no Tmpo No diagrama d blocos da Figura 3.1-1, é o sinal d nrada é o sinal d saída. Elmnos qu armaznam nrgia ouros ios inrnos podm alrar o ormao da orma d onda da nrada para a saída. Indpndnmn do qu há dnro do bloco, o sisma é caracrizado por uma rlação ciaçãorsposa nr a nrada a saída. Ns capíulo is inrss m sudar a class d sismas linars invarians no mpo SLIT. Rsposa ao Impulso Ingral d Suprposição Considra-s qu o Sisma Linar Invarian no Tmpo SLIT não nha nrgia armaznada no insan m qu o sinal d nrada é aplicado. Porano, a saída é a rsposa orçada dvido clusivamn à nrada, ou sa: F é oprador linar Linaridad: num SLIT, a q obdc ao princípio d suprposição d ios, ou sa, s suprposição d nradas individuais ond a k são consans, não, F[ ak k ] rsula m k suprposição d saídas individuais Invariância no mpo: num SLIT as caracrísicas do sisma prmancm ias com o mpo, assim, uma nrada dslocada no mpo d produz al qu, a saída ambém é dslocada no mpo, mas sua orma prmanc inalrada.

2 Rsposa mporal d um SLIT maioria dos SLITs consism d lmnos a parâmros concnrados como rsisors, capaciors induors. anális dira d um al sisma, a parir das quaçõs consiuivas d sus lmnos, conduz a uma rlação d nrada-saída, = F, na orma d quação dirncial linar: ond a n b n são coicins consans nvolvndo os valors dos lmnos. O númro d lmnos indpndns armaznadors d nrgia sablcm o valor d n, conhcido como ordm do sisma. Eis alguma diiculdad d s rair a prssão d a parir d 3.1-4, scria impliciamn m rmos d uma dada nrada. Porano, m princípio, a quação dv sr rsolvida individualmn para cada nova nrada : para cada, alra-s a quação, para cada uma is uma caminho dirn para s aingir a solução. Procurar-s-á uma orma mais simpls d s scrvr plicia diramn m rmos d! Rcordando a propridad d amosragm.5-7 d, qual sa: scrvr m rmos da ingral d convolução:, pod-s Oprador sobr a ingral Ingral do oprador comuação acima é prmiida pla linaridad do sisma: a propridad d suprposição. Dinição: unção rsposa impulsiva d um SLIT Quando a nrada do sisma é =, a saída é rprsnada por h, al qu: Rcordando qu o SLIT é invarian no mpo: não na qual s rcorru à propridad comuaiva da convolução.

3 Ingral d suprposição: Rsposa orçada d um SLIT: convolução da nrada com a rsposa impulsiva h, ou sa: 6c Como sa rlação é válida para qualqur qu sa, conclui-s qu o SLIT pod sr complamn caracrizado por sua rsposa impulsiva. Prguna: como s drmina h? Sugsão: usar =u drminar a rsposa ao dgrau:, m sguida, calcular: Prova: Dado =u 3.1-7a, não, d 3.1-6c:. Usando, vm Emplo 3.1-1: Rsposa mporal d um sisma d primira ordm Circuio como ilro passa-baia. i d i C d Ri quação dirncial do circuio é: primira ordm Rsposa ao dgrau, =u =g = F[u]: mosrar iso: usar T. Laplac O capacior comça com nsão inicial nula s carrga m dirção a g =1 com consan d mpo. rsposa impulsiva é obida a parir d: coninua...

4 Rsposa ao dgrau h dg d aplicar a rgra da cadia Rsposa impulsiva mosrar iso! g h são causais pois = para <. Considr-s agora a rsposa do circuio à uma unção pora/ pulso rangular, causal d largura o qual podrá assumir dirns valors: or ousid é iado, é variávl. coninua... 1 / h u Cálculo da convolução:, ou = sm suprposição h *Convolução nula para < << suprposição parcial *Convolução para < < = d / 1 1 / / > = suprposição oal *Convolução para > 1 1 / / / d / [ / / coninua... ]

5 Inrpração: consan ia, sinal d nrada variávl varia variar Para >> Para X com pquna largura d banda. X com pouco conúdo d ala rquência. Filragm das alas rquências, próimas às dsconinuidads. Pouca disorção do sinal d nrada. Para << X com conúdo spcral médio nas alas rquências. Disorção do sinal d nrada. X com grand largura d banda. X com muio conúdo d ala rquência. Filragm da maior par do spcro. Disorção svra do sinal d nrada. Rsposa m Frquência anális no domínio do mpo orna-s diícil para sismas d ordm suprior,, as complicaçõs mamáicas ndm a obscurcr os rsulados signiicans. anális no domínio da rquência consiui uma rramna alrnaiva qu pod proporcionar um pono d visa mais claro da rsposa do SLIT. Dinição: unção rsposa m rquência d um SLIT unção d ransrência?? Traa-s da TF da rposa impulsiva: Quando h é uma unção mporal ral, ib simria hrmiiana ou sa: Inrpração d : para. Esranho?? Vr discussão a sguir coninua...

6 Prova: considra-s o para o caso gral, ond a nrada é dada por airmação d qu 3.1-1a prsis para odos os mpos signiica qu s opra m rgim prmann. saída é obida aplicando-s usando 3.1-1: al qu = para =. Convrndo para a orma polar, m-s: sndo para c.q.d. ingral m Inrpração d : m = por dinição coninua... asor giran lmnar Rsposa m rquência: Considr-s um nrada dada por: ou, na orma d asors conugados: plicando-s 3.1.1b , m conuno o princípio d suprposição: ou Porano: para ] arg [ ] arg [ arg arg arg arg usando b usando coninua...

7 razão é válida para qualqur rquência é o gráico d ganho. Da msma orma, a dasagm arg é o gráico d as. Ganho m db: log1 log1 / Fas m graus dgrs: arg Rsposa m rquência: anális no domínio spcral Rlmbrando o orma da convolução, s, não: a qual consiui a bas da anális no domínio da rquência. Prmi usar opraçõs mamáicas simpls: S or um sinal d nrgia, não, ambém o srá, al qu: dnsidad spcral d nrgia nrgia oal orma da nrgia d Raligh Fica sablcido um novo par d ransormada d Fourir: G G d Prova: s = X=1; porano, aplicando rsula: Y =.1 = = h, d acordo com a dinição. Pono d visa do domínio da rquência: o spcro plano d X=1 coném odas as rquências m igual proporção, consqunmn, o spcro d saída Y assum a orma d. coninua... 1

8 Rsumo: Uma vz conhcidos X, a saída ambém pod sr drminada, aravés d: Inlizmn a ingração acima pod sr ão diícil quano a ingral d convolução. icácia da anális d sismas no domínio da rquência sá m podr inrir sobr o sinal d saída sm prcisar sair ds domínio. # Formas d s drminar sm nvolvr h: a Conhcndo-s a quação dirncial do sisma aplica-s a TF.3-8, ou sa: Y para s obr [ ]: X Emplo: ilro passa-baia [ 1] Y X Y X 1 1 #

9 b plicar a ransormada d Laplac subsiuir s=+ por s= s s 1 Y s X s Y s 1 1 X s 1 s 1 # c Calcular a rsposa do sisma ao asor lmnar m rgim prmann, usando Como oi viso anriormn, a rsposa dv sr do ipo a sr drminado. Subsiuindo-s na quação dirncial:, ond é um coicin a parir da qual s rai: 1 1 1/ # d rsposa do sisma ao asor m rgim prmann pod sr drminada usando-s Es méodo corrspond à anális d impdâncias Z m circuios léricos: 1. Enrada: asor: X = arg = 1 arg = 1 a rquência ica implícia Saída: asor: Y = arg = solução d circuios léricos basia-s na impdância, razão nr nrada saída: Y X Z Y ZX Z. 1 Z arg Sab-s qu:.1 arg arg arg Z arg c.q.d. vr mplo d aplicação a sguir

10 Emplo 3.1-: Rsposa m rquência d um sisma d primira ordm O circuio do Emplo nconra-s dsnhado abaio, na orma d impdâncias Z R =R Z C =1/C, subsiuindo os parâmros R C. divisor d nsão Y Z C Dsd qu Z, X Z C Z R rsula: # sndo O módulo a as d são: Filro passa-baia: Quas não aa as ampliuds das componns d baia rquência, ond <<B; Rduz drasicamn as ampliuds das componns d ala rquência, ond >>B; O parâmro B srv como uma mdida da banda d passagm ou largura d banda do ilro. nális m rquência do ilro d primira ordm Sa um sinal arbirário cuo conúdo spcral é dsprzívl para > W,, um ilro d primira ordm com largura d banda. Três casos prcisam sr sudados: a W<<B. b WB. c W>>B. o sinal d nrada não muda a Espcro do sinal d nrada a consan d mpo do ilro varia B varia Rsposa m rquência do ilro Espcro do sinal d saída Y = X

11 Domínio spcral Caso a W<<B. 1 arg na banda < W Y = X X Ocorr ransmissão sm disorção aravés do ilro. Emplo: pulso rangular d largura capíulo Banda d sinal: W=1/ S W<<B 1/<<1/ / pquno Consan pquna: o circuio rspond rapidamn ao sinal d nrada. coninua... Domínio spcral Caso b W B aumnando-s. Cai a largura d banda B Y dpnd d X. saída é ormn disorcida. saída dir da nrada Domínio mporal Pulso d nrada do ilro Vrsão disorcida do sinal d nrada coninua...

12 X Domínio spcral Caso c W>>B aumnando-s ainda mais. O spcro da nrada m valor aproimadamn consan, X, para < B. X é consan ssim, Y X X h O sinal d saída s parc com a rsposa impulsiva. Domínio mporal Ns caso, o sinal d nrada pod sr modlado aproimadamn como um impulso. W=1/ >> B Ocorr / >> Consan grand: o circuio rspond lnamn ao sinal d nrada. Rcordação: Conorm viso no Emplo 3.1-1: rsposa impulsiva Conorm viso ainda há pouco ambém no Emplo 3.1-1: rsposa ao pulso, caso <<

13 nális d diagrama d blocos Funçõs para opraçõs primiivas no domínio do mpo: ssociação d blocos ipós: os ios d carrgamno á são incorporados m cada bloco. Um simpls sguidor d nsão com ampliicador opracional pod sr usado para proporcionar isolação nr os blocos viar o carrgamno. ssociaçõs básicas: Ngaiv dback

14 Emplo 3.1-3: Zro-Ordr old sgurador d ordm zro Bloco 1 Bloco 3 Bloco Bloco 1 = caminho diro Bloco = rardo T Bloco 3 = ingrador ssociação paralla nr blocos 1 : ssociação séri nr 1 3 :, uma unção sinc m rquência. coninua... Emplo 3.1-3: Zro-Ordr old nális alrnaiva: obnção d a parir d h Por dinição, =h quando =, não, T O sinal d saída =h é obido ingrando-s sa úlima prssão: pulso d largura T ou não Usando o orma do rardo.3-: a TF do sinc: / T Tsinc T obém-s o rsulado anrior: #