MATEMÁTICA ATUARIAL DE VIDA Modelos de Sobrevivência
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- Stefany Anjos
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1 EAC 44 Maáica Auaria II Ciêcia Auariai Nouro FEA USP Prof. Dr. Ricaro Pachco MAEMÁICA AUARIAL DE VIDA Moo Sobrvivêcia Uivria São Pauo º Sr 5
2 A ábua oraia u oo icro obrvivêcia. Daa a ábua Moraia hipoéica: Copu a gui probabiia: (a) 5 p (probabiia u iivíuo zro ao obrvivr po o 5 ao, i.., copar 5 ao) 5 p 5 976,976 (b) q 5 (probabiia u iivíuo zro ao orrr co 5 ao ia) 5 q 5 4,4 (c) q (probabiia u iivíuo ao orrr r 5 7 ao ia) 4 4 q () p (probabiia u iivíuo ao obr ai ao, i.., copar ao) p () q (probabiia u iivíuo ao orrr a copar 3 ao) q A oria oo coíuo obrvivêcia. Supoha qu o po via u rcéacio é uifor iribuío o irvao [ ;]. (a) (b) Iifiqu a fução ia probabiia (fp) f ( ), Iifiqu a fução iribuição cuuaiva (fc) F ( ) f ( u) u,u,, (c) Cacu a probabiia a or ocorrr r a ia 6 8 P ( 6 8) F ( 8) F ( 6), ( 8 6),.3 Supoha qu o po via u rcéacio é pocia iribuío co éia 75 ao. (a) Iifiqu a fução ia probabiia (fp) (b) 75 / ( ), > f 75 Iifiqu a fução iribuição cuuaiva (fc) u / 75 u / 75 / / 75 ( ) ( ) [( ) ( )] / F u 75
3 (c) Cacu a probabiia a or ocorrr r a ia 6 8 P(6 8) F (8) F (6) ( Propriachav a fução obrvivêcia 8/ 75 ) ( 6/ 75. () é coíua ãocrc co ( ) ( w). ( ) F ( ) Û f ( ) '( ) b 3. Pr( a b) f ( ) ( a) ( b) a ) 6/ 75 8/ 75,58.4 Supoha qu o po via u rcéacio é pocia iribuío co éia 75 ao (a) Iifiqu a fução obrvivêcia () (b) / 75 ( ) F ( ), > Cacu a probabiia obrvivêcia qu u rcéacio aia ja vivo ao ao / 75 ( ), 636 (c) Cacu a probabiia qu u rcéacio orra r a ia 6 75 P ( 6 75) ( 6) ( 75) 6 / / 75 < <, Supoha qu o po via u rcéacio é uifor iribuío o irvao [ ;]. (a) Iifiqu a fução (probabiia ) obrvivêcia () ( ) P( > ) f ( u) u,u, ( ),, (b) Iifiqu a fução ábua oraia ( ) (,), Propriachav a fução ábua oraia. é o quaia praa obrviv ia u grupo rcéacio. ( ) é coíua ãocrc co w.6 Supoha qu a fução ábua obrvivêcia é.( ) para. Iifiqu a fução iribuição cuuaiva (fc) a fução ia probabiia para a aociaa variáv po via. ( ) ( ). ( ),. F ( ) ( ) ( ), é ( ) ù ( ) ê, ú ë û 5. f ( ) F ( ) 3
4 .7 Supoha qu há. via rcéacia cujo po via obc a u oo obrvivêcia.( ) para. Dri o irvao qu copr oi vioparão oro L (), a frquêcia aaória obrviv a ia. L() obc a ua iribuição bioia co:. ( ) ( ) p Ai o: E V,8 [ L( )] p.,8 8 [ L( )] pq.,8 (,8) 53, 9 L ( ) 53,9, 46 Porao, o irvao rqurio é: [ 8,46;8,46] [ 785,9;834,8] Propriachav a força oraia f ( ) '( ) ' ( ( ) ( ). ) [ ( ( ) )]' é ù. ê ( ) p ( y) yú ë û 3. ( )D» Pr( D ³ ) 4. () é ãogaiva coíua parcaa o fiia w ( y ) y para qu ( w) 5..8 Supoha qu a força oraia para u oo obrvivêcia é aa pa fórua:, 9 ( ) para 9 9 Cacu a fução obrvivêcia. é ù é,9 ë û ë 9 y ( ) pê ( y) yú pê yú,9 é æ 9 ù æ 9 [ ( 9 y) ] p,9ç ç, 9 p,9 ê ë 9 ú øû ù û 9 ø 4
5 .9 Supoha qu a força oraia para u oo obrvivêcia é aa pa fórua:, 9 ( ) para 9 9 Cacu a probabiia aproiaa qu ua via 4 ao orra ro ua aa. Eabco, / 365 D, a probabiia rquria é: ( 4 ) D, 35 Probabiiaparão u oo coíuo probabiia obrvivêcia. Probabiia qu ua via aua co ia obrviva ao ( ) Pr( > ) p Pr( > > ) ( ) Pr > ( ). Probabiia qu ua via aua co ia orra o próio ao Pr( > ) Pr( > ) q Pr( > ) Pr > ( ) 3. Probabiia qu ua via aua co ia obrviva ao a orra o gui ao q ( ) Pr < >. Supoha qu a força oraia para u oo obrvivêcia é aa pa fórua:, 9 ( ) para 9 9 Cacu a gui probabiia: (a).5 p (b) q.5 (c) q.5 A fução a ábua oraia é:,9 æ 9 9 ø ( ) ç, 9 Por ipicia, coho ( 9 ), 9 ( 9,5) ( 9 ) 9,9,5,5 p,9 (a),9678,5 (b),5q,5 p, 3 (c),9,9 ( 67,5) ( 66,5),9,5 3,5,5 q,9 7,9 5
6 Propriachav r a probabiiaparão. p q. p p p 3. q p q p p q q 4. p p p... p quao é iiro 5. q q q quao é iiro q... O po via fuuro coíuo poi a ia po via fuuro: ( ) > ( ) ( ) ( ) Pr( ( ) > ) p (ua vz qu ( ) ( ) ) Ruaochav co rpio à ração a iribuiçõ (). F ( ) F ( ) F ( ) ( ) q ( ) ( ) ( ) f. ( ) f ( ) ( ) p( ) ( ). Supoha qu a fução ábua obrvivêcia é.( ) para. (a) Cacu a fução obrvivêcia para via rcéacia. ( ) ( ) ( ). æ, ç. ø (b) Cacu a fução obrvivêcia para via aua co a ia. (). ( ( ) ) ( ) p. ( ) æ 8 ç, 8 ø. Supoha qu a fução ábua obrvivêcia é.( ) para. (a) Cacu a fução iribuição para o po via fuuro ua via co ia. Nó já abo qu: æ 8 p ( )() ç, 8 8 ø Porao, a fução iribuição para () é: æ 8 F ( )() ( )() ç, 8 8 ø (b) Cacu a fução ia para o po via fuuro ua via co ia. () ( ( ) ( )()) æ 8 ç æ 8 8 f F, 8 ç 8 ø ø 8 3. Oura opção: f ( ) p ( ) 8 6
7 ( ) () æ 8 8 f ç ( ) 8 ø 3. O po via fuuro curao poi a ia [ ( )] K ( ) I é o vaor iiro o po via fuuro. [ K( ) k] Pr[ k ( ) k ] k f ( K ( ) k) Pr q k para k,,..., w k K ( ) ( k) k p FK ( ) ( k) k q k p para k,,..., w k para,,..., w.3 Supoha qu a fução ábua obrvivêcia é aa pa fórua: para Cacu a fução probabiia K(75). A fução probabiia para K(75) é: P ( K( 75) k) ( 75 k )( 75 ) ( 75) 75 k 75 k 75 k k Eão K(75) 5 vaor poívi (,,,3,...,4) qu ão igua provávi ocorrr..4 Supoha qu a fução ábua obrvivêcia é aa pa fórua: para æ ç 5 ø Cacu a fução obrvivêcia para K(75). K ( 75 k ) 75 k 4 k ( k) 75,,,, K,4 ( 75) k p k Supoha qu a fução ábua obrvivêcia é aa pa fórua:,5. para ³ Cacu a fução probabiia K(75). P,5(75 k),5(7 k ) ( ( ) ) k k k ,5k,5 K 75 k ( ), Diribuição Goérica.6 Supoha qu a fução ábua obrvivêcia é aa pa fórua: ³,5. para Cacu a fução obrvivêcia para K(75).,5(75 k ) 75,5( ( k) ) p75 k k k, k,,, K,5(75) 75 K ( 75) 7
8 Epcaiva po via fuuro ua via aua co ia Dfia L y cooa quaia ao vivio r a ia para ua aa quaia iicia y y w yy L L w Dfia w... L E( ) ( ) E( ^ ) quaia agrgaa ao fuuro vivio aé a ição a popuação ( ) Epcaiva via copa w w w E[ ] f ( ) ( ) ( ) w w [ ( ) ] f ( ) ( ) E ( ) A pcaiva via po r copuaa rê fora ifr: O vaor prao a variáv aaória () A ára baio o gráfico a fução obrvivêcia A aa r poaao vivio poi a ia por grupo o úro poa o grupo a ia (u úro éio ao vivio por u bro o grupo obrviv à ia ) Epcaiva via copa porária (ao prao via o próio ao) : E[ ( )^ ] ( ) : p Epcaiva via curaa (pcaiva via ao iiro a par fracioária o úio ao via ão é coiraa) a r vivia pa via () poi u ao... E ( w å k k 3 w E K( ) w [ K ) ] k q p p p... p [ ] : [ K( )^ ] p p 3p p E....7 Copu a fução para a gui fuçõ ábua oraia: (a) (b). para ( y) æ (. ) ( y) y ç 5 ø ( ),5. para ³ 8
9 æ,5y,5y ç ( ) ( ). y ç,5,5 ø,5.8 Copu a pcaiva via copa a ia para a gui fuçõ ábua obrvivêcia: (a) (b). para (. ) (. ),5. para.,5 (. ) ³,5 66,67,5.9 Copu a pcaiva via copa porária a ao a ia 5 para a gui fuçõ ábua obrvivêcia: (a) (b). para o : 5,5. para. ³ 9,5 5,5 6 ( ) 9. 8 o :,5 5 5.,5. Supoha qu a fução ábua obrvivêcia é aa pa fórua: para (a) Copu a pcaiva via curaa para u rcéacio. K K p p K 99p 49,5 (b) Copu a pcaiva via curaa porária a ao à ia 5. A aa oraia cra K K p5 p 5 : 5 K p5 5 8,9 A aa cra oraia para ao oaa por copua a éia poraa a força oraia u irvao qu a ia para a ia. p ( ) p q : ( ) L L... L rpra or ocorria r a ia ração à poição (úro oa poaao vivio por via ia ). No a aaogia r probabiia or aa cra oraia para ao: 9
10 q L Obrv aia qu a força oraia () ão é ua probabiia, a ( ) D probabiia qu ua via aua co ia orrrá o ia gui. Supoha qu a fução ábua obrvivêcia é aa pa fórua: Cacu 5 ( ), 5 q, (5) 5. D. é aproiaa a Para 5ciao 5:,5 5,5 ( ) (, ) 5: æ 5, ç p,5, 5 q 5 ( ) 5 5 q æ 49 ç 5ø,5,5 ( 5) ( 5),5/ 5 5, 5 5,5, :,,5 5, ø,99498 Li oraia A i a força oraia coa () Não é aquao para u oo oraia huaa. A corr fução obrvivêcia é aa por: æ ( ) pç y para > A fução ia probabiia: ø f ( ) ( ) ( ) para > E a fp o po via fuuro:
11 ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) para > f O po via u rcéacio o po fuuro via poi a ia guiria ua iribuição pocia iêica co éia /. A i Goprz Sob a i Goprz, a força oraia é riaa pa fórua: ( ) Bc o B >, c >, ³ A fórua apra ua força oraia co crcio goérico para oar o fio o vhcio. Drivo a fução obrvivêcia: æ y æ ( ) pç pç y Bc G Bc y ç ( ) ø c O B (c) æ B( c ) p ç p ( ) ø c ø ( ( c ) ) A i Makha ( ) A Bc o A, B >, c >, ³ A corrpo fução obrvivêcia rá: M A ( ) ( ) (A é u cofici qu capa or acia copo à or aurai por G vhcio a i Goprz) A i Wibu ( ) k o k >, >, ³ A fução obrvivêcia: W æ k ( ) p ç ø Quao, o a i a força oraia coa.
12 Lia rcício rfr à aua. Daa a ábua Moraia hipoéica: Copu a gui probabiia: (a) p (b) q (c) q 4 3 () p4 () q5 3. Supoha qu ( ) para >. (a) Dri a FDP, a FDC, a fução obrvivêcia para o po via u rcéacio. (b) Cacu co ba o oo obrvivêcia o vaor p q.. 3. Supoha qu ( ) para >. (a) Dri p, a fução obrvivêcia para u iivíuo ao. (b) Dri a probabiia qu o po via fuuro curao a ia ja o o qu ao. 4. Para a fução ábua oraia (a) Dvova ua fórua para. (b) Dri : 5.,95.( ) para
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Í é á: 565 á é í ú á í é á: 566 A A é, 376 A, 378 379 A á, 146 147 A, 309 310 A á, 305 A ( ), 311 A, 305 308 A á B, 470 A á, 384 385 A,, ç Bç, 338 340 A é, 337 Aé, 333 A, 410 419 A K, 466 A, 123 A, 32
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