MINICURSO MINISTRADO NO DINCON 2010 INTRODUÇÃO AOS MÉTODOS PRIMAL-DUAL DE PONTOS INTERIORES E APLICAÇÕES

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1 MINICURSO MINISRDO NO DINCON INRODUÇÃO OS MÉODOS PRIML-DUL DE PONOS INERIORES E PLICÇÕES UORES: Prof. Dr. too Robrto Balbo mal: arbalbo@fc.up Profa. Dra. Eméa Cáa Baptta mal: baptta@fc.up.br Dpartamto Matmátca FC Up Campu Bauru Márco uguto a Slva Soua mal: ma@fc.up.br Mara Cláua Savo Maro clauamaro@hotmal.com Programa Pó-Grauação m Eghara Elétrca FEB UNESP Campu Bauru Up Bauru Março Procg of th 9th Brala Cofrc o Damc Cotrol a thr pplcato Srra Ngra SP - ISSN

2 . Itroução O problma rtrto O métoo Pala Barrra O métoo pala Dfcula computacoa lgortmo o Métoo Pala O métoo barrra Dfcula computacoa lgortmo o Métoo Barrra Métoo algortmo f Poto Itror lgortmo Prmal fm Iéa Báca o lgortmo Prmal fm lgortmo Prmal fm Implmtao o lgortmo Prmal fm Compla Computacoal O Métoo Dual-fm para o Problma Prmal O lgortmo Dual-fm para o PPL m Formato Prmal O lgortmo Prmal-Dual Poto Itror Iéa báca o lgortmo Prmal Dual Drção Comprmto o Pao Movmto lgortmo Prmal Dual érmo o lgortmo m mpo Polomal Icao o lgortmo Prmal Dual Implmtação Prátca Métoo Prmal Dual para Varáv Caalaa Drçõ Buca Comprmto o Pao Movmto Crtéro Paraa lgortmo Poto Itror Prmal Dual para Varáv Caalaa Varáv Lmtaa Ifrormt O lgortmo Prmal-Dual Poto Itror para Programação Quarátca Cova com varáv caalaa Problma Programação Quarátca Drçõ buca po Prvor Drçõ Buca -po Corrtor Comprmto o pao Crtéro Paraa tualação o parâmtro barrra lgortmo Prmal-Dual para Varáv Caalaa com Procmto Prvor- Corrtor Buca Umoal. PDPCBU O Molo Dpacho Ecoômco PDE plcação ao Molo Dpacho Ecoômco Procg of th 9th Brala Cofrc o Damc Cotrol a thr pplcato Srra Ngra SP - ISSN

3 7. - aptação o Problma Dpacho Ecoômco ao algortmo propoto PDE com 3 Graor Coraçõ Fa gracmto Bblografa Itroução Em matmátca o trmo otmação ou programação matmátca rfr- ao tuo problma m qu buca mmar ou mamar uma fução atravé a colha tmátca o valor varáv ra ou tra tro um cojuto vávl. m torar algo ótmo é bucar o qu é clt o mlhor poívl "o grau quata ou tao qu cora o ma favorávl m rlação a um trmao crtéro. Otmar é mlhorar até o purmo. No al mlhorar até o mámo. té aqula tuação al a qual como vulgarmt " mr ma pora". Mlhorar ó é poívl tmo colha. Ecolhr uma tr vára altratva. S uma altratva houvr capa trour alguma mlhora fcamo com la. Cao cotráro o qu tmo m mão já é a colha ótma. Otmar é lcoar algo mlhor. Ma qua mpr fcamo rtrto a colhê-lo tr um cojuto lmtao altratva. Obvamt o jo otmar ão bata. Sm crtéro colha por mplo m aata cohcr o uvro altratva. Por outro lao cohco- t ão aata tr crtéro. Iformação portato é fuamtal. Quato ma mlhor; ma pra chgamo à altratva ótma. aplcaçõ a Otmação cotram- prt m toa a moala Eghara a Ecooma a Bologa a grooma tr outra ára tta. Como mplo pomo ctar: Como cortar placa vro forma a atr ao po qu o chgam com um mímo príco poívl matral? Como trbur macat m uma trmaa praa moo qu l trmm ua va o ma prto poívl o poto rgat? Como cotrolar jção combutívl um motor a ploão moo a mamar rmto mmao vbraçõ? Como trbur rga létrca mmao a pra atfao o tma? Como trbur ga létrca mmao o cuto proução atfao o tma? Muto problma pom r molao como problma mamar ou mmar uma fução cuja varáv vm obcr crta rtrçõ:. M mar M amar f ujto a : g m h j j r m ma Ecotrar oluçõ ótma ou mmo apromaa para tpo problma é um afo m mpr fácl r vco. cotrução bo algortmo é a prcpal vocação a otmação. lgortmo gra cofáv qu poívl rolvam cla problma otmação ptmt a mão o parâmtro volvo. t 94 rlatvamt muto pouco tha o volvo obr métoo para otmação umérca muta varáv. maora o métoo otmação foram volvo apó o urgmto o computaor. Durat a Sgua Gra Gurra Mual écaa 4 com o objtvo alocar rcuro cao volvu- o métoo Smpl Datg para problma 3 Procg of th 9th Brala Cofrc o Damc Cotrol a thr pplcato Srra Ngra SP - ISSN

4 lar. O uco crbla gaho urat a gurra foram tão gra qu trmao o coflto grupo ctta a ua ova mtoologa aboragm o problma trafrram para a mpra qu com o "boom" coômco qu guu vram também cofrotaa com problma cão gra compla. aplcação um trmao métoo a um problma ral p bacamt a caractrítca o problma to é o problma r lar ão-lar covo tro âmco tr outra. Em Programação Não-Lar o prmro métoo ram batat rtrto. oraram- gfcatvo o fal a écaa 5 com a troução o métoo métrca varávl por Davo capa olucoar problma muta varáv. Uma cla métoo Otmação muto ploraa o a hoj é omaa métoo Poto tror. O métoo Poto Itror têm o amplamt vtgao utlao prcpalmt a rolução problma Programação Lar ma rctmt m problma Programação Quarátca Não-Lar com bom mpho m problma gra port. a qu ão fom cohco a ltratura com ta omação a tratéga Poto Itror fo troua calmt por FRISCH 955 por CRROL 96 popularaa por FICCO & McCORMICK 968 atravé a utlação a fução Barrra para problma ão-lar. Ralta- qu o tuamo o uo a fução Barrra muu vlmt a écaa 7 vo a algu problma aprtao por ta ta como o mal cocoamto a matr Haa quao u fator Barrra t a ro; a fcula a colha o fator Barrra a colha uma olução cal; a ão-têca a rvaa a olução o aumto lmtao a fução Barrra a vhaça a frotra. O tr pla utlação a mtoologa Poto Itror para a buca oluçõ ótma problma Otmação raparcu quao m 984 KRMRKR 984 publcou o u métoo Projtvo para Programação Lar. Et trabalho provocou uma agtação a atva pqua ta ára. pó a troução fta por Karmarar métoo varat u algortmo orgal foram aprtao. Etr l ctamo: o algortmo Prmal-fm utlao a rolução problma Programação Lar com rtrçõ guala o qual fo aprtao por BRNES 986 por VNDERBEI t al. 986; o algortmo Dual-fm propoto por DLER l al. 989 para rolvr problma Programação Lar a forma guala; a cotrbução MEGIDDO & SHUB 989 com a cação qu a trajtóra qu cou à olução ótma forca plo algortmo f pm a olução cal; a corporação a fução Barrra Logarítmca ao problma Programação Lar a rolução t atravé a mtoologa Poto Itror Prmal-fm Dual- fm o tacamo o trabalho MEGIDDO 987 RENEGR 988 VIDY 99 YE 986; o métoo trajtóra ctral propoto por GONG MONEIRO & DLER 989; o algortmo Prmal-Dual Poto Itror propoto por MONEIRO t al. 99 também por KOJIM t al. 989 o qua ploram uma fução potcal Prmal-Dual varat a fução Barrra Logarítmca o métoo a Barrra Logarítmca Prmal-Dual Prvor-Corrtor m qu a caa tração é ao um pao prvor um pao corrtor trmao rçõ buca mlhor qu a aprtaa por MONEIRO & DLER 989 o qual fo aprtao por MEHROR 99 tr outro. Sguo o avaço o métoo Poto Itror taca- a tora métoo a fução Barrra Mofcaa volva por POLYK 99. Et métoo combam a mlhor propra a fução Lagragaa Cláca a fução Barrra Cláca vtao o problma qu amba frtam. Sguo POLYK 99 a fala qu o métoo a fução Barrra Mofcaa tm para o métoo Poto Itror é a mma qu o métoo a fução Lagragaa umtaa tm para o métoo Pala: ajuá-lo a rblar ua fcula. O métoo a fução Barrra Mofcaa traforma o problma rtrto m um outro problma quvalt o qual é rrtrto rolv uma qüêca problma rrtrto até atgr a olução ótma. Em u trabalho POLYK 99 aprta trê tpo fução Barrra Mofcaa: uma para a fução Barrra CRROL 96 outra para a fução Barrra FRISCH 955 a trcra omaa fução Barrra Shft. Eta fuçõ ão fa atravé a rlaação o cojuto rtrçõ factív. Varat o métoo Barrra Mofcaa pom r cotrao m BREIFELD & SHNNO 996 VSSILIDIS & FLOUDS 997 CHEN & VSSILIDIS 3. 4 Procg of th 9th Brala Cofrc o Damc Cotrol a thr pplcato Srra Ngra SP - ISSN

5 Etõ o métoo Poto Itror para problma ão-lar ão covo ão cotrao m CRPENER t al. 99 VNDERBEI & SHNNO 999 SHNNO & VNDERBEI LUKSN t al. 4 BPIS t al. 6 ab tr outro. É prco tacar qu o métoo Poto Itror têm o utlao para a rolução problma ra a ma vra ára. Nt mcuro aborarmo: o problma rtrto o métoo Pala Barrra o métoo Poto Itror af ro a mtoologa prmal-ual com uma aplcação t métoo ao problma Dpacho Ecoômco BLBO t al..8 tuao a ára Stma Erga m Eghara Elétrca.. O problma rtrto Um problma otmação po r omao rrtrto quao apa uma fução é mmaa ou mamaa tro um cojuto pré-trmao. Matmatcamt rprtamo por: Mmar Mamar f S R m qu R. Quao rtrçõ ão acoaa ao problma. t paa a r omao problma rtrto. Matmatcamt rprtamo por:. o Mmar Mamar f ujto a : g rtrçõ fucoa h S R rtrçõ o cojuto h h h hm R m g g g gp R. r. O problma.. rão clafcao como lar ão-lar quarátco tro covo tr outro acoro com a caractrítca a fuçõ volva. 5 Procg of th 9th Brala Cofrc o Damc Cotrol a thr pplcato Srra Ngra SP - ISSN

6 3. O métoo Pala Barrra O métoo aprtao a gur têm por objtvo rolvr problma programação ãolar rtrto a forma: o: R g Mmar f ujto a: g h m r R h R a fuçõ ão cla C O métoo pala Sguo a éa aocar ao problma 3. uma qüêca problma rrtrto a tratéga o métoo a fução pala cot a utlação uma fução aular o a rtrçõ ão troua a fução objtvo atravé um fator pala o qual pala alguma volação ta. E métoo gra uma qüêca poto factív cujo lmt é a olução ótma o problma orgal. fução aular tm a forma f c P o c omao fator pala P fução pala aocaa a 3. aa por: m P r g hj Θ Λ j 3. o Θ Λ ão fuçõ cotíua uma varávl ta qu: Θ Θ > ; Λ Λ > > fuçõ pom aumr a gut forma: Θ p 3.5 Λ [ma {}] p 3.6 o p é um tro potvo. Para p m a fução P é omaa fução pala quarátca. O problma palao cot m: Mmar { R tal qu θ f c P Procg of th 9th Brala Cofrc o Damc Cotrol a thr pplcato Srra Ngra SP - ISSN

7 para c. mo qu à ma qu c P a olução o problma palao covrg para a olução o problma orgal. Emplo 3.: Cor o gut problma: M mar ujto a : Ecotrao a fução pala: P M a mar{ } mo qu : θ P c plcao a coçõ otmala: P c c c Fao c tr a fto tmo: Emplo 3.: Cor o gut problma lm c c M mar ujto a : R Rformulao para um problma rrtrto: M mar c.a. R plcao a coção cára ufct para a otmala: 7 Procg of th 9th Brala Cofrc o Damc Cotrol a thr pplcato Srra Ngra SP - ISSN

8 P P c c c c c mo tão qu. Fao c tr a fto: c c c lm lm lm c c c μ c c c 3.. Dfcula computacoa Ecolho- c ufctmt gra a olução o problma palao rá próma à olução o problma 3.; porém para valor muto gra o fator pala trmo alguma problma mal cocoamto. Para valor gra c há uma maor êfa obr a factbla; a maora o métoo otmação rrtrta mov- rapamt a rção um poto factívl. E poto po tar log o ótmo cauao um térmo prmaturo o métoo. Um outro problma é o mal cocoamto a matr Haa vo à ua pêca c. m a aál covrgêca o métoo po fcar prjucaa. Raltamo qu a colha cal o fator pala o parâmtro pala afta a covrgêca o métoo lgortmo o Métoo Pala. Etablcr o rro covrgêca ξ > o poto cal c > o fator crmto a pala β >. o parâmtro pala. Rolvr o problma utlao um métoo mmação rrtrta para μ fo: Mmar f cp R obto tão. < ξ par a olução ótma fo cotraa. São vá para o pao 4 4. Far c βc 5. voltar para o pao. 3. S cp Emplo 3.3: Implmtamo o algortmo a fução utlao o oftar Matlab aplcamo a rolução o problma: M mar ujto a: R 4 8 Procg of th 9th Brala Cofrc o Damc Cotrol a thr pplcato Srra Ngra SP - ISSN

9 So 5 c β a tolrâca o problma prcpal ξ a tolrâca o ub-problma olução por Nto ξ. Utlao o métoo Nto para cotrar o poto ótmo o ubproblma tm-: Itração BEL 3.: Covrgêca o métoo pala c c f θ 45545; ; ; ; ; ; ; ; ; Pomo obrvar qu a caa tração o valor a fução aproma- o valor a fução aular motrao qu o métoo tá covrgo qu a fução pala t a ro. 3. O métoo barrra Da mma forma qu o métoo pala o métoo barrra traformam o problma rtrto m um problma rrtrto. El troum a rtrçõ a fução objtvo atravé um fator barrra qu pala a apromação um poto factívl à frotra a rgão factívl. rabalhao o tror a rgão ta fator gram barrra qu mpm o poto ar la. Logo part- um poto factívl gram- ovo poto factív. Uma a vatag métoo é a obtção plo mo uma olução factívl cao ocorra uma paraa prmatura l. El trabalha omt com problma guala cujo tror é ão-vao. m aum- o problma 3. obco a a coção. Com o objtvo garatr a prmaêca o tror a rgão factívl pomo grar o gut problma barrra: Mmar { f δ B: h < } 3.8 o δ é omao fator barrra B é uma fução barrra ão-gatva cotíua o tror a rgão factívl {; h < } t ao fto à ma qu a olução aproma a frotra a partr o tror. Dfmo tão: r φ B [ h ] o φ é uma fução uma varávl cotíua obr {; < } atfa Procg of th 9th Brala Cofrc o Damc Cotrol a thr pplcato Srra Ngra SP - ISSN

10 φ < lm φ. 3. fução f δ B é omaa fução aular; a fução barrra po aumr vára forma como: r B ; h r. B l[ h ] fução 3. é omaa barrra cláca ou vra fo tuaa por CRROL 96; 3.6 é omaa fução barrra logarítmca fo tuaa por FRISCH 955. Quao δ B tmo qu δ B aproma a fução barrra al crta atrormt m 3.9 a olução o problma barrra covrg para a olução o problma 3.. Obrvamo qu 3.8 é um problma rtrto po r tão complo quato 3.. Como gmo uma olução cal tror à rgão factívl o métoo trabalha com poto tror a a rgão ao palar o poto qu apromam a frotra mpmo qu l aam a rgão a rtrção po r goraa. rmo ralmt um problma rrtrto para o qual porá r utlaa uma técca otmação rrtrta. Emplo 3.: Rolvr : M mar ujto a: * Obrvamo qu o poto ótmo é ao por f *. Cor tão a fução barrra: B g para δb δ So a fução aular f δb δ tmo o gut problma barrra: Mmar δ < plcao a coçõ otmala: δ δ δ Procg of th 9th Brala Cofrc o Damc Cotrol a thr pplcato Srra Ngra SP - ISSN

11 δ ± δ Fao δ obtmo F por: δ lm δ δ Not qu à ma qu δ crc h < fto para h. F lm δ F f δ * * δ B aproma uma fução qu tm valor ro para o rolvrmo o problma 3.8 utlao a fução 3. camo o proco olução com um poto tror à rgão factívl. Para caa valor δ tmo uma olução qu rá o poto cal para o proco tratvo. À ma qu δ crc apromamo-o a olução o problma orgal ou ja δ * f δ B f *. 3.. Dfcula computacoa Uma a fcula cotraa o métoo barrra é a lção um poto cal factívl. Em muto problma o po r trabalhoo. Váro métoo pom r utlao para a trmação um poto cal factívl quao t ão é cohco. ambém m vrtu a trutura a fução barrra para valor pquo δ muta técca têm éro problma mal cocoamto rro arroamto quao o ótmo aproma. colha o fator barrra o parâmtro barrra pom compromtr o proco otmação lgortmo o Métoo Barrra. Etablcr o rro covrgêca ξ > o poto cal com g < o parâmtro pala δ > o fator crmto a barrra β.. Uao o métoo Nto rolvr o problma traformao para a forma rrtrta: M mar f δ B ujto a: g < obto tão. 3. S δ B ξ < par a olução ótma fo cotraa. São vá para o pao Far δ βδ 5. voltar para o pao. Procg of th 9th Brala Cofrc o Damc Cotrol a thr pplcato Srra Ngra SP - ISSN

12 Emplo 3.3: Rolvr o problma abao: ξ a tolrâca o ub- M mar ujto a: So problma olução por Nto ξ. B Itração 4 5 δ β a tolrâca o problma prcpal Nt problma E o problma é rolvo utlao a fução barrra:. Utlao o métoo Nto para cotrar o poto ótmo o ubproblma tm-: δ BEL 3.: Covrgêca o métoo barrra μ f θ B δ 777; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; Pomo obrvar qu a caa tração o valor a fução aproma- o valor a fução aular motrao qu o métoo tá covrgo qu a fução barrra tá to a fto. Procg of th 9th Brala Cofrc o Damc Cotrol a thr pplcato Srra Ngra SP - ISSN

13 4. Métoo algortmo f Poto Itror 4. - lgortmo Prmal fm Cora- um problma programação lar m ua forma parão Mmar ujto a : b m m qu m R b R R c R o é uma matr poto m. c 4.a 4.b O u problma programação ual é fo por: ma b ujto a: c R m ; c R ; b R m. o 4.ac é chamao Problma Prmal PP 4.c é chamao Problma Dual PD. Obrv qu o omío vávl o problma 4.ab é fo por P { R / b } Df- ma aat o tror rlatvo P com rpto ao paço fm como: P { R / b > } 4. R é chamao um poto tror vávl ou olução tror o problma Um vtor programação lar P. Durat o volvmto t trabalho para garatr a têca poto tror farmo mpr uma upoção fuamtal: P / Há vra mara cotrar uma olução tror um problma programação lar. O talh rão cuto ma tar. Por quato upoha- mplmt qu uma olução tror cal tá poívl aala- a éa báca o algortmo Prmal fm. 4.. Iéa Báca o lgortmo Prmal fm Cora- o prcípo fuamta obrvao por Karmaar a fção u algortmo para a aál o algortmo af ao por: a olução tror atual tvr prto o ctro o poltopo tão fa to movr- uma rção ca rlacoaa ao grat a fução objtvo para cogur um valor mímo; m gra altraçõ o problma orgal uma traformação apropraa po r aplcaa ao paço olução tal qu a olução tror atual ja lvaa para prto o ctro fo o paço traformao. Ø qu: Na formulação Karmarar a trutura pcal mpl fr o poto { R / } ; Δ ta 3 Procg of th 9th Brala Cofrc o Damc Cotrol a thr pplcato Srra Ngra SP - ISSN

14 / / /... / como o poto ctral Δ ta coção fo trmava o poto troua propotaamt obco o prcípo upractao. Quao trabalha rtamt o problma a forma parão a trutura mpl aotaa por Karmarar tá log r cogua o omío vávl pora traformar- um cojuto polral lmtao. oa a trutura a r obca pla formatação parão cot a trção o paço{ R / b} formao pla rtrçõ plícta com o cojuto fo plo octat potvo{ R / } rquro pla rtrçõ ão-gatva. É óbvo qu o octat ão-gatvo ão tm um poto "ctral" ral. Etrtato atravé alguma traformação fta cogur pocoar o ctro o poto... ao mo cogurá matr- a uma tâca gual caa fac o octat ão-gatvo. Ito ocorr qu a tâca movmto qualqur poto qu mov o poto ctral é mpr mor qu prmac o tror o octat ão gatvo. Coqütmt purmo cotrar uma traformação apropraa qu trac uma olução tror atual ao poto tão aalogamt ao algortmo traformação projtva Karmarar pomo car uma tratéga mofcaa como gu: "umo uma olução tror aplqu uma traformação apropraa ao paço oluçõ tal forma a colocar a olução corrt m o paço traformao tão camh a rção ca máma o paço ulo úclo a matr a rtrçõ plícta traformaa ma cotrolao o tamaho o pao rlatvo à rtrçõ ão-gatva a fm prmacr m uma olução tror o paço traformao. Etão ama- a traformação vra para traçar potrormt a olução cotraa ao paço olução orgal como uma ova olução tror. Rpt- t proco até a otmala ou quao a coçõ paraa form atfta." Uma traformação apropraa t cao fo aqula omaa traformação fm. partr ta o pquaor omaram o algortmo varat ta traformação com algortmo af. Quao a traformação é aplcaa rtamt ao problma prmal a forma parão oma- algortmo Prmal fm. E para o problma o formato ual algortmo Dual fm. raformação afm o octat ão gatvo. Sja R um poto tror o octat ão gatvo R to é > para... Dfrmo uma matr agoal R por: 4.3 ag Not qu a matr é ão gular amt uma matr vra qu é também uma matr agoal ma com / como u -émo lmto agoal para.... traformação afm é fa o octat ão gatvo 4 Procg of th 9th Brala Cofrc o Damc Cotrol a thr pplcato Srra Ngra SP - ISSN R por R R : tal qu: 4.4 traformação 4.4 mplmt rcala a -éma compot por um úmro potvo. Gomtrcamt la traforma poto gmto rta o paço orgal para poto gmto rta o paço traformao. Daí a omação traformação fm. Fgura 4. lutra o boço gométrco a traformação o paço bmoal. Not qu para o cao a rtrçõ bmoa guala rprtaa a fgura 4. a varáv calaa clum a

15 varáv folga também. D fato caa bora o polígoo corrpo a uma varávl folga qu tá o ajutaa m ro. Etrtato é fícl rprtar o boço complto uma mma fgura. FIGUR 4. - Eboço gométrco a traformação fm o paço bmoal gut propra K po- faclmt rm vrfcaa: é uma aplcação bm fa é um poto tror o tão 3 é um vértc R. 4 tá a frotra o octat 5 é um poto tror 6 qu: R a R for um vértc. R R for um poto a frotra. R for um poto tror. é uma traformação buívoca a qual amt uma traformação for um poto tror vra R tal para caa R 4.5 Supoha qu uma olução tror o problma programação lar 4.ab é aa. Po aplcar a traformação afm para "ctrar" ua magm m. Pla rlação motraa m 4.5 o paço olução traformao tm- um problma programação lar corrpot a: Mmar c 4.6a ujto a : b 4.6b o c c. No problma 4.6 a magm to é tora- qu matêm a tâca utára a frotra fa o octat ão-gatvo. S movrmo ao logo uma rção qu cotr o paço ulo a matr com um comprmto pao aproprao α > tão o ovo poto α prmac tror vávl para o problma 4.6. lém 5 Procg of th 9th Brala Cofrc o Damc Cotrol a thr pplcato Srra Ngra SP - ISSN

16 o ua magm vra tora- uma ova olução tror para o problma 4.ab. D qu oo objtvoo é mmar o valor a fução objtvo a tratéga aotar o procmto máma ca é caa. Ou ja qur- projtar o grat gatvo c o paço ulo a matr crar uma rção factívl qu mlhora ou mu a fução objtvo o paço traformao. Para t fm f- prmramt a matr ula a projção o paço por: P I I 4.7 Etão a rção movmto é aa por: P c [ I ] c Not qu a matr projção P é bm fa ao logo mpr qu complto m >. É tambémm fácl vrfcar qu. Fgura. motra projção. 4.8 u tm poto a o boço a FIGUR 4. Eboço a projçãoo o vtor rção o Métoo Prmal fm o paço bmoal gora tm- a coção muar o paço olução traformao a olução tror atual ao logo a rção para uma ova olução tror > garato o crécmo o valor a fução objtvo. Fao am tm- qu colhr um comprmto o pao α > aproprao tal qu: α Obrv qu tão α porá r colho como qualqur úmro potvo prmaco o tror a rgão.. Not qu < para algum tão α v r colho calmt corao a raõ: > Dta forma po- colhr < α < aplcar o tt rao mímo α m α < ; 6 Procg of th 9th Brala Cofrc o Damc Cotrol a thr pplcato Srra Ngra SP - ISSN

17 para trmar um comprmto o pao aproprao qu garata a potva. Quao α tá prto a olução atual é mova qua mpr para a frotra ma próma o octat potvo para fr uma ova olução tror o paço traformao. Eta muaça olução é lutraa também a fgura 4.. Noa próma tarfa é traformar a ova olução para o paço olução orgal para obtr uma olução mlhoraa para o problma 4.ab. Ito porá r fto aplcao a traformação vra a. Em outra palavra tm-: o α α P c α I 7 Procg of th 9th Brala Cofrc o Damc Cotrol a thr pplcato Srra Ngra SP - ISSN [ ] c [ c c] [ c ] α α 4. c 4. Ito gfca qu a rção movmto o paço olução orgal é [ c ] α quao [ c ] o paço traformao. Dvra o comprmto o pao é obrvaçõ mportat pom r fta aqu: Obrvação. Not qu PK c vta m 4.7. O crécmo a fução objtvo é motrao a partr : c c o α c c α c α α c P é uma matr projção c 4. Ito mplca qu é crtamt uma olução crécmo a fução objtvo a rção movmto. lém o têm- o gut lma qu pom r cotrao m [FNG PUHENPUR 993]: Lma 4.. S tr um 4.ab é lmtao. Prova. D qu α P com > tá o paço ulo a matr rtrção α tão o problma programação lar > ab- qu é vávl ao problma 4.6 para too >. Coqutmt po- colhr α o ftamt potvo tão a Equação 4. mplca qu o lmt c aproma t caopara α P. Lma 4.. S t um P com tão toa olução vávl o problma programação lar 4.ab é ótma.

18 ab qu Prova. Rcor qu P é uma matr projção o paço ulo. Para P c c tá o complmto ortogoal o paço ulo a matr ortogoal t cao é o paço fo plo úmro lha a matr qu. D qu o complmto t um vtor u c ou u c D qu t gu qu u c. gora para toa a olução vávl c u u b D qu u b ão p o valor c prmac cotat m P. u tal Lma 4.3. S o problma programação lar 4.ab for frormt lmtao ua fução objtvo ão for cotat tão a qüêca { c...} é bm fa trtamt crct. Prova. Eta é uma coqüêca rta o Lma Equação 4.. Obrvação. S for ralmt um poto o vértc tão a prão 4. po r rua a B cb o qual é fo como o " vtor Dual" para o Métoo Dual Smpl. m oma- como tmaor ual corrpot à olução prmal o algortmo Prmal fm. lém o t cao o vtor: r c 4.3 ru- a c B cb qu é o cohco vtor cuto ruo ou cuto rlatvo o Métoo Smpl. Daí chama- r vtor cuto ruo ou rlatvo aocao a o algortmo afm. Obrv qu quao r a tmatva ual traforma uma olução vávl ual r r traforma a folga complmtar o par olução vávl to é c b r 4.4 No cao r com r tm- coguo tão a factbla prmal a factbla ual a coçõ folga complmtar. Ou ja é ótmo prmal é ótmo ual. Baao a cuão acma boça- aqu um procmto tratvo o algortmo Prmal fm. 4.. lgortmo Prmal fm. Pao calação: Etablcmo > tal qu b cuto ma tar. Dtalh a r Pao Cálculo o vtor tmatva ual: Calcular o vtor tmatva Dual. c o é a matr agoal vto m 4.3 cujo lmto ão a compot. Pao 3 Cálculo o vtor cuto rlatvo: Calcular o vtor cuto ruo. r c 8 Procg of th 9th Brala Cofrc o Damc Cotrol a thr pplcato Srra Ngra SP - ISSN

19 Pao 4 t para otmala: S r r ε um úmro potvo pquo fo tão PRE gut. é ótmo prmal Pao 5 Drção tralação: Calcul a rção r 9 Procg of th 9th Brala Cofrc o Damc Cotrol a thr pplcato Srra Ngra SP - ISSN é ótmo ual. Cao cotráro vá para o pao Pao 6 t para lmtara valor objtvo cotat: S > tão PRE o problma é lmtao. S tão também PRE para o Pao 7. é ótmo prmal. Cao cotráro vá Pao 7 Cálculo o comprmto o pao: Calcul o comprmto o pao α α m tal qu < Pao 8 Dtrmação uma ova olução: tual Faça vá para o pao α o < α < O lgortmo Prmal fm vto ta ção mplmtao m Lguagm Pacal 7. é utlao o mplo umérco 4. ao a gur para lutrar t algortmo Emplo 4. Cora- o Problma Programação Lar: Mmar - ujto a : 5 5 Et a forma caôca é pro por: Mmar - ujto a : O métoo Prmal fm rá ttao para o problma ao a forma caôca ou ja o problma 4.. a qual tá fo com rtrçõ guala. Nt cao - B [ 5 5] c [- ] um- [ 7 3] a qual é uma olução tror factívl. Daí: 7 lém o 3 c [ ]

20 [ ] r c 77 D qu alguma compot r ão gatva r. 87 olução atual é ão ótma. Coqütmt progu- para ttar a rção buca com r [ ] Supoha qu é colho α. 99 tão o comprmto o pao.99 α Coqütmt a ova olução é: o α [ ] Obrv qu o valor a fução objtvo fo mlhoraa 8 ab- qu a para Fao- ma traçõ vrfca- qu o proco tratvo covrg à olução ótma [ ] com o valor a fução objtvo 45. O rultao obto a trprtação gométrca o problma ao a oluçõ cotraa plo algortmo ão vta rpctvamt a abla 4. a Fgura 4.3. BEL 4. Rultao Obto plo lgortmo Prmal fm para o 4.. Itração Fução Objtvo Procg of th 9th Brala Cofrc o Damc Cotrol a thr pplcato Srra Ngra SP - ISSN

21 olução ótma cotraa computacoalmt fo o valor a fução objtvo é Na mplmtação fta o algortmo Prmal fm ão fo utlao como crtéro paraa o crtéro a folga complmtar. Nta optou- por utlar o crtéro mpl m compot trm a ro o qu trma um vértc o problma para uma prcão ε 3. FIGUR 4.3 Itrprtação gométrca para o problma.4.a a oluçõ obta plo algortmo Prmal fm covrgêca o algortmo Prmal fm. Noo objtvo é motrar qu a qüêca { } graa plo algortmo Prmal fm m parar a tapa 6 covrg a uma olução ótma o problma programação lar 4.ab. fm mplfcar a prova fa- a gut upoçõ:. O problma programação lar m coração tm um omío vávl lmtao com tror ão-vao;. O problma programação lar é ão-grao prmal ão grao ual. prmra upoção rtra a pobla trmar o algortmo Prmal fm com lmtara po r potrormt motrao qu ta ua upoçõ mplcam qu: ' a matr é poto complto m colua L.I. para caa P ; m o vtor tmaor ual r têm o mámo m ro para caa R. gur rão rvto algu Lma mpl ma mportat para oa aál covrgêca. Lma Quao aplca- o algortmo Prmal fm tm- qu lm r. Prova. D qu a qüêca { c K } é mootocamt crct é lmtaa frormt pla prmra upoção tão a mma é covrgt. Daí a quaçõ mplcam qu Procg of th 9th Brala Cofrc o Damc Cotrol a thr pplcato Srra Ngra SP - ISSN

22 lm c c lmα lm α Obrv qu α > logo tm-: lm lm r E a prova o rultao é mata. Not qu o rultao acma é atamt a coção a folga complmtar. Dfo C P como o o cojuto m qu vrfcam a folga complmtar ou ja: C { P / r } ; 4.5 além o trouo D P como o o cojuto m qu a coção vávl ual vrfca to é D { P / r } ; 4.6 corao- a coçõ otmala o problma programação lar é fácl provar o gut rultao: C D Lma Para too é uma olução ótma o problma programação lar 4.ab. gora tá- proto para provar qu a qüêca { } graa plo algortmo Prmal fm covrg para uma olução ótma o problma 4.. Prmramt motra- qu: 4.ab orma 4. - S { } covrgr tão lm é uma olução ótma para problma Procg of th 9th Brala Cofrc o Damc Cotrol a thr pplcato Srra Ngra SP - ISSN Prova Prova- t rultao pla cotração. Prmramt ot qu quao { K } covrgr para ão é ótmo prmal. D qu. lém o o Lma 4.4 mplca qu: v r vávl prmal. Etrtato para provar t rultao aum- qu r é uma fução cotíua a r lm r ab- qu r lm r é bm fo. Daí tm- C. Por upoção Lma 4.5 ab- qu D. Coqutmt t ao mo um íc j tal qu r j <. Rcorao qu C tm- j. Dvo à cotua r t um tro K tal qu para too K { } <. Etrtato cor qu: j j D qu r < j j j j j r j α j r j tmo > > K. Daí chga- a uma cotração oa hpót. Portato O trabalho rtat v motrar qu a qüêca { } crtamt covrg. j o qu cotra o fato qu é ótmo prmal.

23 orma 4. - qüêca { } graa plo algortmo Prmal fm é covrgt. Prova. D qu o omío vávl é ão-vao fchao lmtao vo a compaca o cojuto P a qüêca { } tm ao mo um poto acumulação m P to. Noo objtvo é motrar qu { }. é também o úco poto acumulação { } Obrvao- qu r. é uma fução cotíua m aí t é o lmt a qüêca graa aplcao- o Lma 4.4 po- coclur qu C. lém o a upoção ão-gração mplca qu caa lmto m C cluo v r uma olução vávl báca vértc P. Daí pomo otar ua varáv ão báca por f- Ñ como o íc para ajutar ta varáv ão báca. lém o j para too δ > f- uma bola rao δ > ao ror Bδ { P / < δ N } aa por : um- qu r ja o vtor cuto ruo corrpot a ual agura-o cotrar um ε > tal qu m r ~ j N j > ε. ão gração prmal Rcor qu a upoção ão-gração mplca m caa mmbro C r um vértc P há omt um úmro fto o vértc m P. Daí C tm um úmro fto lmto po- colhr um aproprao δ > tal qu B δ C 4.7a m > 4.7b Rcorao qu tm- ~ j N lm K r j ε B δ lm lm[ r ] K j j Dvo à coção P r lmtao ab- qu o comprmto o pao α m caa tração é um úmro potvo lmtao. Coqütmt para ε δ apropraamt colho B δ qu é ufctmt prómo vê- qu α [ j rj ] < ε δ. Daí po- fr um cojuto ~ Sε δ { B α [ j rj ] < ε δ j N} 4.8 gora para too Sε δ 4.8 mplca qu ~ α [ j ] rj < δ j N qu além o ~ j j α [ j rj ] < δ j N Ito motra qu B S j δ ε r 3 Procg of th 9th Brala Cofrc o Damc Cotrol a thr pplcato Srra Ngra SP - ISSN

24 gora po- motrar qu é o úco poto acumulação { K } upõ- qu a qüêca { } tm ma um poto acumulação. D qu. Por cotração é um poto acumulação a qüêca { } prtc a S ε δ mpr qu 4.7b tá atfta. Ma como ão é o úco poto acumulação a qüêca é altraa mpr qu aproma um ovo poto atfa 4.7b. Etrtato caa v qu a qüêca é altraa S ε δ la prmac m B δ / Sε δ. Coqütmt fto lmto { } prmacm m B δ / Sε δ. Not qu t frt cojuto tm um fcho compacto a ubqüêca { } qu prtc a B δ / Sε δ v tr um poto acumulação o fcho compacto. Dvo à fção C ab- qu caa poto acumulação { } v prtcr-lh. Etrtato C é juto o fcho B δ / Sε δ. Et fato juto com a Equação 4.7 caua uma cotração. m crtamt é o lmt a qüêca { }. Ma rultao a rpto a covrgêca o algortmo fm ob a coção gração tm aparco rctmt Implmtao o lgortmo Prmal fm mplmtaçõ fta ctam um poto tror cal para rm aplcaa. Nta ção rá fo um procmto para trmação uma olução factívl cal bm como a vrfcação a ocorrêca otmala a buca uma olução báca vávl báca ótma. Icao o algortmo Prmal fm. D mara aáloga aqula tablca para o Métoo Smpl Rvao [LUENBERGER 984] rá trouo aqu o mcamo a abr o Métoo Bg-M o Métoo Dua-Fa para cotrar uma olução vávl tror cal. O prmro métoo é cutao ma faclmt aproprao para a maora a aplcaçõ. Etrtato uma cução comrcal ma éra cora frqütmt o guo métoo vo a ua tabla. a Métoo Bg-M. Nt métoo acoa- uma varávl artfcal aocao com um úmro potvo gra M ao programa lar orgal para far qu... R traform uma olução vávl tror cal para o gut problma: a Mmar c M 4.9a a ujto a : [ b ] b 4.9b a o... R. Comparao o Métoo Bg-M com o Métoo Smpl Rvao tm- aqu omt varáv m v m. Quao o algortmo Prmal fm é aplcao ao problma Bg-M 4.9ab com M ufctmt gra qu o problma ja vávl chga- m uma olução ótma ao problma Bg-M ou coclu- qu o problma é lmtao. S a varávl artfcal prmacr potva a a olução fal o problma Bg-M tão o problma programação lar orgal é factívl. Cao cotráro ou o problma orgal é frormt lmtao ou é a olução ótma o problma programação lar orgal. pó a coraçõ o mcamo ca vê- o crtéro paraa para a mplmtação o algortmo Prmal fm. orma.3.: Coçõ Otmala Karuh-Kuh-ucr - KK * é uma olução Cor o problma 4.ab o problma o formato ual 4.c. O vtor é olução ótma para o Problma Dual 4.c omt : b factbla prmal ótma o problma 4.ab * * 4 Procg of th 9th Brala Cofrc o Damc Cotrol a thr pplcato Srra Ngra SP - ISSN