A EQUAÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR COM CONDIÇÕES MISTAS DE FRONTEIRA 1 THE HEATING TRANSFERENCE EQUATION WITH MIXED BOUNDARY CONDITIONS

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1 Disc Sciia Séri: Ciêcias Narais Tcológicas, S Maria, v 9,, p 63-74, ISSN A EQUAÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DE CAOR COM CONDIÇÕES MISTAS DE FRONTEIRA THE HEATING TRANSFERENCE EQUATION WITH MIXED BOUNDARY CONDITIONS ors Briol Sigãs Marcio Viola Frrira 3 RESUMO Aprsa-s, s rabalho, ma aplicação do méodo d sparação d variávis a rsolção da cohcida qação d rasfrêcia d calor, q modla o o d calor ma barra codora, cja sprfíci laral sá isolada rmicam do mio Iicialm, cosidra-s m caso mais gral d qação parabólica liar d sgda ordm com codiçõs d froira misas, posriorm, fazs ma aális d rês casos pariclars do problma d rasfrêcia d calor: barra com rmidads maidas a mprara cosa, com rmidads isoladas rmidads com o proporcioal à mprara Em cada m dos casos aprsa-s m sqma grá co q mosra o comporamo da solção obida ilizado-s, para isso, o sofwar mamáico Mapl como frrama compacioal Palavras-chav: qação do calor, sparação d variávis, codiçõs misas d froira ABSTRACT This work prss a applicaio of h sparaio of h variabl mhod i solvig h wll-kow haig rasfrc qaio, which shaps h haig ow i a codcig bar, whos sid is hrmally islad from h virom Iiially i is cosidrd a mor gral cas of scod ordr liar parabolic qaio wih mid bodary codiio ad h, i is discss hr spci c cass of h haig rasfr problm: bar Trabalho d Iiciação Cií ca - PROBIC Acadêmico do Crso d Mamáica - UNIFRA 3 Oriador - UNIFRA

2 64 Disc Sciia Séri: Ciêcias Narais Tcológicas, S Maria, v 9,, p 63-74, 008 wih cosa mprar a h ds, islad ds ad ds wih proporioal o hahig I ach cas i is prsd a graphic schm showig h bhavior of h rachd solio, sig for his, h Mapl sofwar as a compaioal ool Kywords: haig qaio, sparaio of variabls, mid bodary codiios INTRODUÇÃO Os sdos mamáicos sobr codção d calor comçaram o séclo XIX com as primiras ivsigaçõs d Josph Forir ( ), época a qal foram, cocomiam, dsvolvidos algs méodos para rsolção dss problma O mais impora, sm dúvida, é o méodo d sparação d variávis, q foi a alavaca para o dsvolvimo da oria sobr séris d Forir A ssêcia do méodo d sparação d variávis sá o fao d q ma class grad d fçõs pod sr dsvolvida como ma séri d sos /o cosos Sali-s q o méodo d sparação d variávis já iha ss primiros raços com Dalmbr, Dail Brolli Elr por vola d 750, a parir d sas ivsigaçõs sobr vibraçõs odas Ns rabalho, faz-s ma aplicação do méodo d sparação d variávis a rsolção d ma class d qaçõs parabólicas q, m pariclar, coém a qação do calor Aprsa-s, assim, m modlo gral com codiçõs d froira misa a posrior aplicação m casos pariclars da qação d rasfrêcia d calor m ma barra: rmidads maidas a mprara cosa, rmidads isoladas rmidads com o proporcioal à mprara Por s raar, a maioria das vzs, d fçõs dadas por séris i ias, o so d frramas compacioais ora-s úil a aális qaliaiva das solçõs d qaçõs difrciais parciais Em cada m dos casos aalisados aprsams, porao, gráficos q mosram o comporamo da solção do modlo Os rcrsos ilizados para ss m foram do sofwar Mapl, pricipalm sas frramas d raçado d grá cos d soma d séris d fçõs EQUAÇÃO PARABÓICA INEAR COM CONDIÇÕES DE FRONTEIRA MISTAS Nsa sção, cosidra-s m caso gral d qação parabólica liar com codiçõs d froira misas: +A + B = 0 0 < <, > 0, ()

3 Disc Sciia Séri: Ciêcias Narais Tcológicas, S Maria, v 9,, p 63-74, C0, = D (0,, C, = D (, > 0, () m q A,B,C,D são cosas O sisma acima é o modlo mais complo d qação do calor, rprsado, coform os valors das cosas, ma siação física difr Cosidra-s, ambém, q sja cohcida a disribição iicial d mprara:, 0) = f () 0 < < (3) O objivo pricipal dsa sção é obr a solção gral do sisma ()- (3) O méodo a sr ilizado a rsolção do sisma acima é o d sparação d variávis As disso, faz-s ma mdaça d variávl adqada, orado o sisma arior mais simpls Com fio, fazdo-s v(, = (, B obém-s q v (, é solção da qação v v 0, 0, 0 (5) com codiçõs d froira (6) O próimo objivo é rsolvr a qação (5), com codiçõs d froira (6), ilizado-s o méodo d sparação d variávis, q pod sr sdado com mais dalhs m Figirdo (003) Procra-s, porao, ma solção v (, da qação (5) da forma (7) v(, = X () T( Sbsiido-s (7) m (5), vê-s q v (, é solção da qação som s X () T ( saisfazm a rlação X X " T T ', (8)

4 66 Disc Sciia Séri: Ciêcias Narais Tcológicas, S Maria, v 9,, p 63-74, 008 m q é cosa (cohcida como cosa d sparação) D (8), cocli-s q T ( dv saisfazr a qação difrcial ordiária T + T = 0 (9), d (6) (8), q X () saisfaz o problma d valor iicial (PVI) X + X = 0, (0) (C + D) X (0) = DX (0) () (C + D) X () = DX () () A aális do problma d cooro d Srm-iovill (0)-() é fia, coform Boyc Di Prima (00), cosidrado-s, sparadam, rês possibilidads para a cosa d sparação : ) S 0 Eão, a solção gral da q (0) é da forma X () = k + k (3) Ao aplicar as codiçõs d cooro () () a solção (3), cocli-s q k = k = 0, lvado-s à solção rivial X () = 0 No caso = 0, chga-s som à solção idicam la v(, = 0 ) S < 0 Para simpli car a oação, pod-s admiir q = - ², com > 0 Spara-s ss caso m dois oros sbcasos: a) S (C + D)² ² D² Sbsiido a q (0), m-s q X" X 0, (4) cja solção gral, coform Coddigo (96), é X ( ) k k (5) Ao aplicar as codiçõs d cooro () () m (5), obém-s o sisma liar homogêo

5 Disc Sciia Séri: Ciêcias Narais Tcológicas, S Maria, v 9,, p 63-74, cjo drmia da mariz dos co cis é Dss modo, rsla q k k 0, cosqm, X () = 0 Novam, obém-s a solção rivial q, o prs sdo, ão s m irss C D b) S (C + D)² = ² D², o sja, Sbsiido-s m (0), m-s q D X " X 0, (6) cja solção gral é X ( ) k k (7) Ao aplicar as codiçõs d cooro () () m (7), cocli-s q, além da solção rivial, o problma d valor iicial (0)-() possi oras solçõs, a sabr: X() = k, s D C D X() = k, s D D C Para corar T ( basa sbsiir m (9), obdo-s T( = k - Porao, ss caso -b o sisma possi solçõs da forma v(, = k, s D C D D (4) sg, ão, q a solção d ()-() é, = k (8) É impora rssalar q, apsar da fção, dada por (8) sr ma solção do sisma ()-(), a codição iicial (3) é saisfia som para ma class bm rsria d fçõs f() Obsrvação: Para a aális arior, dv-s rabalhar com a hipós d q D 0 O caso m q 0 D pod sr raado como m -a

6 68 Disc Sciia Séri: Ciêcias Narais Tcológicas, S Maria, v 9,, p 63-74, 008 3) S > 0 Nss caso, = ², com > 0 Sbsiido m (0), obém-s a qação cja solção gral é X + ²X = 0, (9) X() = k cos + k s (0) Das codiçõs d cooro () (), m-s, jam com (0), q (C + D) k = Dk [(C + D)k + Dk ]s = 0 S for [(C + D)k + Dk ] = 0, ão k = k = 0, ovam, chga-s à solção rivial X () = 0 Escolhm-s, ão, valors d para os qais s = 0, o sja, =, =,,3 Sg-s q Assim, para ão las d (0)-(), da forma () > 0, cora-s m cojo mrávl d aofçõs X D ( ) cos C D s, =,,3 () Para corar T(, basa sbsiir a prssão (), para, a qação (9) Obém-s, porao, T ( K, =,,3 (3) Sg-s, pois, q oda fção da forma v D (, cos C D s (4)

7 Disc Sciia Séri: Ciêcias Narais Tcológicas, S Maria, v 9,, p 63-74, é solção da qação (5) saisfaz as codiçõs d froira (6) Do pricípio da sprposição, cocli-s q a solção gral do sisma (5)-(6) é v(, c D cos C D s sisma ()-(3) Fialm, volado-s à ididad (4), chga-s à solção gral do, B 4 c A B D cos C D s, (5) m q as cosas C são os co cis d Forir da fção f(), q é dada pla codição iicial (3) A solção gral obida acima prmi sdar, sparadam, algs modlos d propagação d calor ma barra, com difrs codiçõs d froira Isso srá fio as sçõs a sgir Obviam, m sdo mais rigoroso da solção do sisma ()-(3) ig ma aális sobr a covrgêcia da séri d fçõs (5), o q fog, o ao, da proposa do prs rabalho, q sá mais crado o comporamo da solção para difrs valors das cosas A, B, C D Um sdo mais dalhado sobr isso é corado m Figirdo (003) Mdiros Adrad (978) BARRA COM EXTREMIDADES MANTIDAS A TEMPERATURA CONSTANTE Aalisa-s, sa sção, o modlo 0,,0) 0, 0, f ( ), 0 0,, 0, 0 (6) A fção, forc a mprara do poo da barra o isa d mpo As codiçõs d froira idicam q as rmidads da barra são maidas m mprara cosa zro O modlo acima é obido do sisma ()-(3)

8 70 Disc Sciia Séri: Ciêcias Narais Tcológicas, S Maria, v 9,, p 63-74, 008 qado s oma A = B = D = 0 = gral é dada, ss caso, por Como viso a sção arior, a solção (, c s(), m q as cosas C são os co cis da séri d Forir d sos da fção f() Como mplo, cosidra-s o caso m q a disribição iicial d mprara da barra, f(), é dada por f ( ), s 0, s Dsvolvdo-s f() como ma séri d Forir d sos, obém-s q f ( ) 4 s ( ) A solção gral do sisma (6) é, porao, A gra mosra o comporamo da solção, da disribição da mprara a barra para algs valors os d Noa-s, como ra d s sprar, q 0 Figra (a) Grá co da solção, (b) Disribição d mprara para = 0,, 3

9 Disc Sciia Séri: Ciêcias Narais Tcológicas, S Maria, v 9,, p 63-74, BARRA COM EXTREMIDADES ISOADAS No caso m q as rmidads da barra são isoladas, ão há o d calor aravés das msmas Um sisma q modla ssa siação é dado por (0, 0) 0, 0, (, 0, f ( ), 0 0, 0 (7) O modlo acima é obido do sisma ()-(3) qado s oma A = B = C = 0 = Da prssão (5), prcb-s q a solção, ss caso, é dada por, c cos, sdo q as cosas C são os co cis d Forir da fção f() Ao cosidrar, como mplo d disribição iicial d mprara, a fção f() =, 0 < <, obém-s q, 4 cos A sgir, são os grá cos da fção, (Figra -a) da disribição d mprara a barra para algs valors os d (Figra -b) Figra (a) Grá co da solção, (b) Disribição d mprara para = 0,, 3

10 7 Disc Sciia Séri: Ciêcias Narais Tcológicas, S Maria, v 9,, p 63-74, 008 Pod-s obsrvar, por mio dos grá cos acima, o msmo pla prssão m séri da solção, q, mosrado q o calor a barra d a ma disribição iform ão la BARRA COM FUXO DE CAOR NAS EXTREMIDADES PROPORCIONA À TEMPERATURA Por m, cosidra-s m caso, ambém irssa, m q o o d calor (0, (, as rmidads da barra é proporcioal à mprara sss rmos O sisma q modla ss fômo é dado por (0, 0) 0, 0 0,, ( f ( ), 0,, 0,, 0, (8) Chga-s a ss modlo, a parir d ()-(3), qado s cosidra A = B = 0, C = D 0 = A solção gral d (8) é, porao, da forma, c cos( ) s( ), m q os co cis C são obidos do dsvolvimo da fção f() m rmos das aofçõs () Por mplo, s f ( ) cos( ) s( ) 3, ão,, cos( ) s( ) 3 Abaio, aprsa-s o grá co d, (Figra 3) da disribição d mprara a barra para algs valors os d (Figra 4) Qado = 0, ms a disribição iicial d mprara f(), qado crsc, a mprara a barra d a zro

11 Disc Sciia Séri: Ciêcias Narais Tcológicas, S Maria, v 9,, p 63-74, Figra 3 Grá co da fção (, Figra 4 Disribição d mprara para = 0,, 3 CONCUSÃO O sdo dmosro q o méodo d sparação d variávis é ma podrosa frrama mamáica a rsolção d qaçõs difrciais parciais Além disso, o aílio compacioal, por mio do sofwar Mapl, ambém foi impora a aális do comporamo das solçõs d algs modlos disios d qação do calor Isso s vidcia ão só o raçado dos grá cos, mas ambém a possibilidad d aproimar as solçõs m séri com rro míimo Oras imporas aplicaçõs do Mapl, o sdo d qaçõs difrciais parciais, podm sr coradas m oga (998) Ess ipo d sdo pod sr fio para oras qaçõs difrciais parciais d grad aplo físico, como, por mplo, a qação d odas a qação d Korwg d Vris

12 74 Disc Sciia Séri: Ciêcias Narais Tcológicas, S Maria, v 9,, p 63-74, 008 REFERÊNCIAS BOYCE, William; DI PRIMA, Richard Eqaçõs difrciais lmars problmas d valors d cooro Rio d Jairo: TC, 00 CODDINGTON, Earl, A Irodcio o Ordiary Diffrial Eqaios Nw York: Dovr Pblicaios Ic, 96 FIGUEIREDO, Djairo Gds Aális d Forir Eqaçõs difrciais Parciais Rio d Jairo: Projo Eclids - IMPA, 003 OGAN, Joh David Applid Parial Diffrial Eqaios Nw York: Sprigr, 998 MEDEIROS, iz Adao; ANDRADE, Nirzi G Iiciação às qaçõs difrciais parciais Rio d Jairo: TC, 978