Aula 16 Transformada de Fourier Rápida (FFT) - DIT

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1 Comuicaçõs Digitais Aula 6 Profssor Marcio Eiscraft abril Aula 6 Trasformada d Fourir Rápida (FFT) - DIT Bibliografia OPPEHEIM A. V.; SCHAFER. Discrt-tim sigal procssig 3rd. d. Prtic-Hall. ISB Págias CARLSO G. E. Sigal ad liar systm aalysis d d. Joh ily 998 ISB Págias Trasformada d Fourir Rápida (FFT) Dfiimos a TFD como [ ] [ ] caso cotrário [ ] [ ] caso cotrário Mas s domiarmos trmos: [ ] [ ] caso cotrário [ ] [ ] caso cotrário Para a TFD m trmos d procssamto trmos: úmro d multiplicaçõs complas para coficit úmro d multiplicaçõs complas para coficits úmro d somas complas para coficit

2 Comuicaçõs Digitais Aula 6 Profssor Marcio Eiscraft abril úmro d somas complas para coficits ( ) úmro total d opraçõs. Filosofia básica dsada para cálculo ficit da TFD via FFT: plorar propridad d : Priodicidad - m Simtria - ( m )( l ) ( ) m ( ). Além disso va qu uma TFD d dois potos é muito simpls d calcular. S { ; } a b { a b; ab} 5.. Algoritmo DIT (dizimação o tmpo) raiz Caso particular para Dado [ ] V od V é um itiro... Podmos dividir a sqüêcia m part par part ímpar coform o ídic: [ ] ( pars) [ ] ( ímpars) o. () () o () Figura Divisão do sial para aplicação da FFT. Tmos: [ ] [ ]

3 Comuicaçõs Digitais Aula 6 Profssor Marcio Eiscraft abril 3 () / / () o () é priódico com príodo () o () são priódicos com príodo / [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) impar par como tão: [ ] [ ] [ ] o potos d DFT potos d DFT [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] o o lmbrado qu a DFT é alada Figura Compots do cálculo da FFT. [ ] [ ] [ ] o [ ] [ ] ( ) [ ] o mas ( ) ( ). Logo [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] o o Emplo para 8:

4 Comuicaçõs Digitais Aula 6 Profssor Marcio Eiscraft abril () () () (7) D F T - () () () (7) 3 Figura 3 Estrutura parcial da FFT para 8. Obsrvamos a FFT raiz- a strutura básica domiada "Buttrfly": m (p) m (p) m (q) - m (q) Fator d Rotação Lmbrado qu para por divisõs sucssivas a FFT dsada do mplo chgamos a: 4

5 Comuicaçõs Digitais Aula 6 Profssor Marcio Eiscraft abril () () (4) () (6) () () (3) () (5) (3) (7) (4) (5) (6) (7) Figura 4 Estrutura da FFT para 8. Para a FFT raiz- m trmos d procssamto trmos: -úmro d stágios log -úmro d multiplicaçõs complas por stágio -úmro d multiplicaçõs complas para log stágios log -úmro d somas complas por stágio úmro d somas complas para Dc Biário log stágios log 5 MSB LSB DFT: multiplicaçõs complas ( ) adiçõs complas FFT: log multiplicaçõs complas log adiçõs complas Obs.: a idação dos ídics d trada é d acordo com uma cotagm "bit rvrso". Emplo para 8: bit rvrso Dc

6 Comuicaçõs Digitais Aula 6 Profssor Marcio Eiscraft abril Ercícios. Calcul o úmro d somas multiplicaçõs complas para a DFT a FFT para os casos 6 56 compar os rsultados obtidos.. Para o caso 6 ord as tradas para a aplicação do algoritmo FFT visto acima. L7 Emplos d procssamto d imagm L7. Itrodução Imags digitais são formadas por potos ou pils (pictur lmts). Colocado sts potos suficitmt próimos us dos outros as imags são vistas a tla do computador ou imprssas como s fossm cotíuas. Em um computador digital o brilho a iformação d cor d cada pil são codificados por um úmro ou quivaltmt um lmto d uma matriz. A localização d cada poto da matriz é idada por dois itiros isto é ( 34) idtifica o valor do pil localizado a matriz a trcira liha a quarta colua. Usualmt os valors as matrizs são itiros d a m qu é o úmro d bits usado para rprstar o brilho d cada pil. Por mplo cosidr uma imagm prta braca m qu a lumiâcia ou brilho para cada pil é armazada usado 8 bits. st caso o brilho rlativo d cada pil pod sr rprstado por um d 56 ívis possívis chamados d ívis d ciza. Usualmt o prto é codificado como o braco como 55. A iformação d cors para os pils d uma imagm é codificada como itiros armazados m matrizs sparadas. o Matlab as imags são armazadas como matrizs d itiros a iformação d cor como cada valor d pil é mapado para crta cor é armazada sparadamt. L7. Borrado dado itidz a uma imagm O borrão m uma imagm causada plo movimto pod sr rprstado por um sistma liar. O movimto faz com qu cada pil m uma imagm cotha iformação dos pils atriors a msma liha. Um modlo simpls d borrão horizotal é: y( l ) ( l ) ( ( l ) ( l ) ( l ) ). () 6

7 Comuicaçõs Digitais Aula 6 Profssor Marcio Eiscraft abril A quação () rprsta um filtro FIR pod sr implmtado utilizado-s o comado filtr como fito as aulas atriors. A rprstação d imags o Matlab o su procssamto são ilustrados as atividads sguits. Atividads A. Trabalhado com uma imagm sta atividad plorarmos como imags são mostradas rprstadas como matrizs o Matlab. A iformação d cors é codificada m uma colormap (tabla d cors a sr usada). Imags podm sr armazadas m arquivos imag_am.mat carrgadas usado o comado load imag_am. O Matlab tm uma séri d imags padrõs dispoívis.. Digit load clow vrifiqu as variávis carrgadas digitado whos >> whos am Siz Byts Class 3 5 doubl array captio 4 char array map doubl array Foram criadas três variávis: captio (guarda as iformaçõs d cabçalho da imagm) map (iformação d cors) (guarda a iformaçõs d itsidad da imagm).. Olh algus lmtos do vtor (por mplo digit (65:75 :)). Os valors a matriz dvm sr itiros. Obsrv os valor o vtor map. Quatas cors form usadas a figura? Quatos bits stão sdo usados a codificação? 3. Para mostrar a imagm digit imag(). Você dv vr o palhaço uma ala apsar d sua cor parcr ão-atural. 7

8 Comuicaçõs Digitais Aula 6 Profssor Marcio Eiscraft abril Para obtr as cors corrtas digit colormap(map). Agora o palhaço dv aparcr as cors corrtas Para aumtar o brilho da imagm pod-s utilizar o comado bright(bta) sdo bta um úmro tr -. úmros maiors qu zro rsultam uma imagm mais brilhat mors do qu zro uma imagm mais scura. Por mplo 8

9 Comuicaçõs Digitais Aula 6 Profssor Marcio Eiscraft abril >> bright(.7) Podm-s utilizar opraçõs matriciais ormalmt para trabalhar com imags. Por mplo traspor a matriz implica a trasposição da imagm. Para colocar a imagm d pota cabça basta ivrtr a ordm das lihas da matriz. '; (d:-::); figur(); subplot(); imag(); subplot(); imag(); colormap(map); 7. Tt grar a imagm a sguir: 9

10 Comuicaçõs Digitais Aula 6 Profssor Marcio Eiscraft abril 8. Podmos slcioar um pdaço da imagm pgado algumas lihas coluas da matriz. Por mplo o olho squrdo do palhaço pod sr obtido usado: olho (5: 5:5); imag(olho); colormap(map); Tt obtr uma ampliação do ariz do palhaço. 9. Usado o comado filtr a Equação podmos borrar a imagm a horizotal a vrtical usado os sguits comados: 5; Yvrt filtr(os()/ ); subplot();imag(yvrt); colormap(map); Yhori filtr(os()/ '); Yhori Yhori';

11 Comuicaçõs Digitais Aula 6 Profssor Marcio Eiscraft abril subplot();imag(yhori);colormap(map);. A imagm pod sr aproimadamt rcuprada utilizado um filtro ivrso. Por mplo para dsfazr o borrão vrtical usamos: Yvolta filtr( os()/ Yvrt); subplot(3);imag(yvolta);colormap(map); Tt dsfazr o fito a imagm Yhori. B. Imagm o fomato pg O formato pg é um dos mais utilizados para codificação d imags. O comado [] imrad(fileame pg ) pod sr utilizado para importar uma imagm st formato para o Matlab. É grado um vtor tridimsioal com os compots RGB da imagm. A matriz (::) cotém a iformação do vrmlho ( rd ) a matriz (::) a iformação do vrd a matriz (::3) a iformação do azul ( blu ).

12 Comuicaçõs Digitais Aula 6 Profssor Marcio Eiscraft abril O comado IMRITE(AFILEAME pg ) grava a matriz A o arquivo FILEA- ME.pg. Muitos outros formatos são possívis. Lia o hlp dos comados acima para mais iformaçõs. A sguit squêcia d comados lê a figura moiho.pg mostra suas compots: imrad('moiho.pg''pg'); rd (::); gr (::); blu (::3); subplot();imag(); titl('moiho.pg'); subplot();imag(rd); titl('compot rd'); subplot(3);imag(gr); titl('compot gr'); subplot(4);imag(blu); titl('compot blu'); moiho.pg Compot rd Compot gr Compot blu um arquivo pg as cors podm sr trabalhadas sparadamt. Por mplo os sguits comados aumtam a itsidad do vrd da imagm. Tt outras cofiguraçõs d cors. imrad('moiho.pg''pg'); rd (::); gr (::); blu (::3); grovo doubl(gr)*3; rdovo doubl(rd); bluovo doubl((::3));

13 Comuicaçõs Digitais Aula 6 Profssor Marcio Eiscraft abril ovo(::) uit8(rdovo); ovo(::) uit8(grovo); ovo(::3) uit8(bluovo); subplot();imag(); titl('moiho.pg'); subplot();imag(ovo); titl('cors modificadas'); C. O qu stá scrito? A sguit foto foi tirada d uma placa com o carro m movimto. Ela sta armazada o arquivo tstplacavrm.mat

14 Comuicaçõs Digitais Aula 6 Profssor Marcio Eiscraft abril Carrgu sta imagm usado as técicas aprdidas tt idtificar o qu stá scrito a placa. 4