Análise de Sinais. (Notas em Análise de Fourier) J. A. M. Felippe de Souza

Transcrição

1 Anális d Sinais (tas m Anális d Furir) J. A. M. Flipp d Suza

2 J. A. M. Flipp d Suza tas m Anális d Furir Anális d Sinais (tas m Anális d Furir) J. A. M. Flipp d Suza - Séri d Furir Séri trignmtria d Furir para sinais ntínus Séri xpnnial d Furir para sinais ntínus Prpridads da Séri d Furir para sinais ntínus Séri trignmtria d Furir para sinais disrts Prpridads da Séri d Furir para sinais disrts - ransfrmada d Furir A ransfrmada d Furir para sinais ntínus A ransfrmada d Furir para sinais priódis Prpridads da ransfrmada d Furir para sinais ntínus

3 J. A. M. Flipp d Suza tas m Anális d Furir Anális d Furir st apítul studarms a Anális d Furir. A séri d Furir assim m a transfrmada d Furir sã as imprtants ntribuiçõs d matmáti franês Jan Baptist Jsph Furir [768-83]. Sua bra prinipal tm títul: Mémir sur la théri d la halur publiada n Extrait du mémir lu à l'aadémi ds sins l r démbr t. p Abaix vms livr nd fi publiad sta sua bra alguns xtrats ds riginais d Furir. 3

4 J. A. M. Flipp d Suza tas m Anális d Furir - Séri d Furir Séri trignmétria d Furir para sinais ntínus Cnsidr um sinal priódi ntínu {nunt ds númrs rais} t. O sinal x(t) pd sr xprss m: x(t) a a [ a s( t) b sn( t) ] a s t b sn t q. (A) nd: príd fundamntal d sinal x(t). frquênia fundamntal d sinal x(t). a x(t) s t dt x(t) s dt ( t) q. (B ) b x(t) sn t dt x(t) sn dt ( t) q. (B ) Obsrv qu xist a mas nã xist b. Além diss a (na q. (B ) m ) pd sr rsrit d frma mais simplifiad pis m s t s ( t) para ntã a x(t) dt u sa a rprsnta valr médi d sinal x(t) n intrval d um príd. Esta séri é nhida m séri trignmétria d Furir pis ntém trms m sns -sns.

5 J. A. M. Flipp d Suza tas m Anális d Furir A quaçã q. (A) aima é nhida m a quaçã d sínts as quaçõs q. (B ) q. (B ) sã nhidas m as quaçõs d anális da séri trignmétria d Furir. Os a s s b s sã hamads d fiints da séri trignmétria d Furir. Dfiniçã: x(t) é um sinal sinalmnt ntínu (u também hamad d ntínu pr parts ) s x(t) tm um númr limitad d dsntinuidads m qualqur intrval limitad. Dfiniçã: x(t) é um sinal sinalmnt difrniávl s ambs x(t) x (t) frm sinais sinalmnt ntínus. rma d Furir: S x(t) é um sinal priódi sinalmnt difrniávl d príd ntã a séri d Furir (q. (A)) nvrg m ada pnt t para: a) x(t) s sinal x(t) fr ntínu n instant t ; b) ½ [ x(t ) x(t - ) ] sinal x(t) fr dsntínu n instant t. A limitaçã d rma d Furir aima é muit lv pis a grand mairia ds u quas tds sinais d intrss práti sã sinalmnt difrniávis. Prtant rma d Furir aima assgura qu para s sinais x(t) qu frm aprximads pla séri d Furir quant mais trms da séri (u parlas da sma) frm adiinads mlhr srá a aprximaçã. Ou sa s hamarms d x n (t) à séri d Furir m n trms ntã: x n (t) 5 x(t) ns ass m qu x(t) fr um sinal ntínu n instant t; (t) x n [ x(t ) x(t )] ns ass m qu x(t) nã fr um sinal ntínu n instant t.

6 J. A. M. Flipp d Suza tas m Anális d Furir Exmpl : A nda quadrada. x (t) s s < t < < t < Rptind-s (u stndnd-s) st padrã para a dirita d t para squrda d t - btms um sinal priódi qu pd sr aprximad pr uma séri d Furir. D frma smlhant pdms stndr qualqur utr sinal dfinid m um dtrminad intrval trná-l priódi d frma a pdrms aprximá-l pr uma séri d Furir. Caluland-s agra s fiints d Furir para sinal da nda quadrada dfinid aima tms para a primiramnt a x(t) dt ( ) dt ( ) dt Cm príd fundamntal é ntã prtant a x(t) s ( t) dt ( ) s ( t) dt s( t) dt ([ sn( t) ] [ sn( t) ] )... 6

7 J. A. M. Flipp d Suza tas m Anális d Furir Lg s a s sã tds iguais a zr Quant as b s tms qu: b x(t) sn ( t) dt ( ) sn ( t) dt sn( t) ([ s ( t) ] [ s ( t) ] ) dt prtant b s s é par é ímpar Ou sa b b 5 5 b 9 9 b b 6 b b 3 3 b 7 7 b b b 8 t. Lg sta é uma séri d Furir só d sns s primirs trms da séri sã: x(t) sn ( t) sn( 3 t) sn( 5t) sn ( 7 t) sn( 9 t) sn( t)... As figuras abaix mstram sbç d sinal x(t) aprximad pla séri d Furir. Primiramnt m apnas um trm (ist é apnas ) quand x(t) é simplsmnt sn x(t) b sn(t) (/) sn(t) 7

8 J. A. M. Flipp d Suza tas m Anális d Furir Cm trms (até 3 pis b ) tms a sma d sns ( á nta-s pis n sinal aprximad pla séri): x(t) b sn(t) b 3 sn(t) Dpis m 3 trms (até 5 pis b b ) tms a sma d 3 sns ( agra á nta-s 3 pis n sinal aprximad pla séri): x(t) b sn(t) b 3 sn(t) b 5 sn(t) E assim pr diant. Abaix mais figuras qu ilustram sta séri m 9 rsptivamnt. ta-s nitidamnt qu sinal x(t) aprximad pla séri d Furir vai s trnand ada vz mais próxim d riginal a nda quadrada. s pnts t nd x(t) é um sinal ntínu sta séri d Furir nvrg para própri valr d x(t). Pr xmpl para t 5 sabms qu x(5). Pla séri d Furir 8

9 J. A. M. Flipp d Suza tas m Anális d Furir x ( ) 5 sn ( 5) sn( 5 ) sn( 5) sn( 35 ) sn( ) qu d fat nvrg para. Pr utr lad ns pnts t nd x(t) aprsnta uma dsntinuidad sta séri d Furir nvrg para valr médi d x(t) ntr imdiatamnt ants imdiatamnt dpis d t. Pr xmpl para t - sabms qu x( - ) - t - qu x( ). Lg pnt médi é: x( ) x( ) Pla séri d Furir x( 5) sn 3 ( ) sn( ) sn( ) sn( ) sn( ) qu d fat nvrg para. Outr dtalh imprtant: S x(t) é um sinal par ntã a séri d Furir para x(t) é uma séri d -sns. S x(t) é um sinal ímpar ntã a séri d Furir para x(t) é uma séri d sns. Ist rr dvid as prpridads das funçõs pars ímpars. Rrd-s qu - A sma d sinais pars é um sinal par. - A sma d sinais ímpars é um sinal ímpar. - O prdut d sinais pars é um sinal par. O prdut d sinais ímpars é um sinal par. 9

10 J. A. M. Flipp d Suza tas m Anális d Furir S x(t) é um sinal par ntã s fiints b da séri d Furir para x(t) sã tds iguais a zr: b x(t) sn t dt 3... prtant a séri d Furir é uma séri d -sns. Além diss s x(t) é um sinal ímpar ntã s fiints a da séri d Furir para x(t) sã tds iguais a zr (inluind a ): a x(t) s t dt 3... prtant a séri d Furir é uma séri d sns. D fat n Exmpl aima m x(t) ra um sinal par ntã s a s ram tds iguais a zr Séri xpnnial d Furir para sinais ntínus A séri xpnnial d Furir é também hamada d séri mplxa d Furir. S sinal x(t) ntã a séri xpnnial d Furir é a msma qu a séri trignmétria srita d uma frma difrnt m trms d xpnniais d m trms d sns -sns. Entrtant nsidr agra t m vz um sinal priódi ntínu {nunt ds númrs mplxs} u sa sinal x(t) tm valrs mplxs m part ral part imaginária. A séri xpnnial d Furir prmit-ns aprximar x(t) qu nã ra pssívl m a séri trignmétria. a séri xpnnial (u mplxa) d Furir um sinal priódi x(t) pd sr xprss m: x(t) t t q. (C)

11 J. A. M. Flipp d Suza tas m Anális d Furir nd: príd fundamntal d sinal x(t). frquênia fundamntal d sinal x(t). x(t) x(t) t t dt dt ± ± q. (D) Prtant a séri xpnnial (u mplxa) d Furir gnraliza a séri trignmétria d Furir tm também a vantagm d sr mais mpata. Os s sã hamads d fiints da séri xpnnial d Furir u fiints sptrais. A quaçã q. (C) aima é nhida m a quaçã d sínts nquant qu a quaçã q. (D) é nhida m as quaçã d anális da séri mplxa d Furir. Exmpl : mms nvamnt a nda quadrada. x (t) s s < t < < t < E rptind-s (u stndnd-s) st padrã para a dirita d t para squrda d t - btms um sinal priódi qu pd sr aprximad pla séri xpnnial (u mplxa) d Furir. vamnt príd fundamntal é prtant s fiints dsta séri mplxa d Furir para sinal da nda quadrada aima sã: x(t) ( ) ( t) dt ( t) ( t ) dt dt ± ±...

12 J. A. M. Flipp d Suza tas m Anális d Furir Faznd-s as intgrais btms: ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) t t ) ( Agra usand-s as quaçõs d Eülr tms qu: [ ] ( ) ( ) ) s( ) s( ) sn( ) s( ) sn( ) s( prtant ± ± ± ± ±... s... s 5 3 Lg [ ] ± ± ± ± ± ± t t t) sn ( t) s ( (t) x agra dsmmbrand-s a sma ± ± ± m duas d tms: t) sn ( t) s ( t) sn ( t) s ( x(t) prtant s trms m -sn pdm sr anlads fiand:

13 J. A. M. Flipp d Suza tas m Anális d Furir x(t) sn ( t) sn ( t) qu é msm rsultad btid n Exmpl m a séri trignmétria d Furir u sa: x(t) sn ( t) sn( 3 t) sn( 5 t) sn ( 7 t) sn( 9 t) sn( t)... a vrdad xist uma rlaçã ntr a séri trignmétria a séri mplxa d Furir. Pd-s failmnt mstrar qu: a b para a b para t qu nas quaçõs aima inlui fat qu nã xist pis nã é dfinid. a pis bviamnt b á qu t também qu s trms para psitivs sã s nugads d para ngativs ist é: ( )* ± ± ±3 Cm as rlaçõs aima é fáil d s mstrar qu quand x(t) é um sinal ral ntã: x(t) t t a a s t b sn t a [ a s ( t) b sn( t) ] u sa as duas séris d Furir trignmétria xpnnial sã quivalnts. 3

14 J. A. M. Flipp d Suza tas m Anális d Furir Prpridads da Séri d Furir para sinais ntínus Linaridad: Supnha qu qu x (t) é um sinal m príd tm fiints d Furir x (t) é um sinal m príd tm fiints d Furir ntã mstra-s qu: fiints d Furir u sa (t) y(t) α x(t) β x (t) y (t) tm príd y tm frquênia fundamntal α β ranslaçã n tmp ( tim shifting ): Supnha qu qu x (t) é um sinal m príd tm fiints d Furir y(t) x(t t u sa y (t) é sinal x(t) m uma translaçã (shift) n tmp d t. Entã mstra-s qu: fiints d Furir u sa (t) y (t) tm príd y tm frquênia fundamntal ) ~ t ta: θ Cm t ~

15 J. A. M. Flipp d Suza tas m Anális d Furir Sinal rfltid / rvrsã n tmp ( tim rvrsal ) m trn d t : Supnha qu qu x (t) é um sinal m príd tm fiints d Furir ntã mstra-s qu: fiints d Furir u sa (t) y(t) x( t) y (t) tm príd y tm frquênia fundamntal ĉ ta: Cm nsquênia dsta prpridad pd-s nluir qu: S x (t) é um sinal par s fiints d Furir sã pars; (i.. ); S x (t) é um sinal ímpar s fiints d Furir sã ímpars; (i.. ). Esalnamnt n tmp ( tim saling ): Supnha qu qu x (t) é um sinal m príd tm fiints d Furir ntã mstra-s qu: (prtant x(t) tm frquênia fundamntal y(t) x( α t) y (t) tm príd α ) u sa y (t) tm frquênia fundamntal y(t) α α t α além diss α t t qu a séri d Furir muda pr ausa da mudança da frquênia fundamntal ( d príd). Entrtant s fiints nã mudam. 5

16 J. A. M. Flipp d Suza tas m Anális d Furir Multipliaçã: Supnha qu x (t) é um sinal m príd tm fiints d Furir x (t) é um sinal m príd tm fiints d Furir qu ntã mstra-s qu: y(t) x(t) x (t) y (t) tm príd u sa tm frquênia fundamntal fiints d Furir i i i [ ] [ ] Ou sa i i i L Cnugaçã: Supnha qu qu x (t) é um sinal m príd tm fiints d Furir ntã mstra-s qu: y(t) y (t) tm príd u sa tm frquênia fundamntal fiints d Furir ta: 6 x (t) Cm nsquênia dsta prpridad pd-s nluir qu: S x (t) ntã

17 J. A. M. Flipp d Suza tas m Anális d Furir s fiints d Furir ; ; Além diss: S x (t) é um sinal par. s fiints d Furir ; S x (t) é um sinal ímpar s fiints d Furir sã imagináris purs ranslaçã na frquênia ( frquny shifting ): Supnha qu x (t) é um sinal m príd tm fiints d Furir para um m intir nstant nsidr agra s fiints m u sa sã s fiints dsfasads d m. Entã mstra-s qu sinal: y(t) m t x(t) tm s fiints d Furir ta: Esta prpridad é dual da translaçã n tmp (tim shifting). Agra a translaçã (shift) fi apliada as nã n tmp t. θ Cm ± ± 7

18 J. A. M. Flipp d Suza tas m Anális d Furir Cnvluçã n príd: Supnha qu x (t) é um sinal m príd tm fiints d Furir x (t) é um sinal m príd tm fiints d Furir qu y(t) x (t τ) x ( τ) dτ Entã mstra-s qu: x (t) x (t) dfinida n príd y (t) tm príd u sa tm frquênia fundamntal fiints d Furir ~ Drivada: Supnha qu x (t) é um sinal m príd tm fiints d Furir qu y (t) dx dt (t) ntã mstra-s qu: y (t) tm príd u sa tm frquênia fundamntal fiints d Furir ta: Para as d drivadas d rdm u mais pd-s apliar sta rgra sussivas vzs. 8

19 J. A. M. Flipp d Suza tas m Anális d Furir Intgral: Supnha qu qu x (t) é um sinal m príd tm fiints d Furir ntã mstra-s qu: y (t) t x(t) dt y (t) tm príd u sa tm frquênia fundamntal fiints d Furir ( ta: as d sta prpridad só é válida para sinais x (t) priódis m valrs finits. Para as d intgrais duplas triplas t. pd-s apliar sta rgra sussivas vzs. Rlaçã d Parsval: Supnha qu x (t) é um sinal m príd tm fiints d Furir ntã mstra-s qu a ptênia média d sinal n intrval d um príd : P x (t) dt ~~~~~~ 9

20 J. A. M. Flipp d Suza tas m Anális d Furir Séri xpnnial d Furir para sinais disrts Já vims (n apítul d Sinais Sistmas) qu um sinal disrt é priódi s nd é príd. [ n] x[ n ] x Além diss vims qu príd fundamntal s fr mnr intir para qual a rlaçã aima satisfaz. E nst as: frquênia fundamntal. O nunt d tds s sinais disrts n tmp d tip xpnniais mplxs qu sã priódis (m príd ) é dad pr φ [] n n n q. (E) tds sts sinais têm frquênia fundamntal qu sã múltiplas d prtant sã harmniamnt rlainads. Existm apnas sinais distints n nunt d funçõs φ [n] dfinid pla q. (E) aima. Ist é uma nsquênia d fat d qu sinais disrts n tmp d tip xpnniais mplxas qu ua difrm na frquênia pr um múltipl d sã idêntis. Ou sa após nsutivs sts trms mçam a rptir-s. φ φ φ φ [ n] φ [ n] [] n φ [] n [] n φ [] n M M [] n φ [] n M M

21 J. A. M. Flipp d Suza tas m Anális d Furir Esta situaçã é difrnt d as ntínu pis φ ( t) t t qu aparm na quaçã d sínts da séri d Furir para sinais ntínus sã tds difrnts uns ds utrs. Prtant a séri d Furir para sinais disrts trá apnas trms para nsutivs valrs d d l até l. smlhantmnt apnas fiints. Lg a séri d Furir para sinais disrts tm a xprssã: x[n] ( l ) l( l ) K n ( l ) l( l ) K n q. (F) nd nfrm á dit príd fundamntal d sinal x[n]. frquênia fundamntal d sinal x[n]. A quaçã q. (F) aima é nhida m a quaçã d sínts da séri d Furir disrta. Já s fiints s n as disrt sã dfinids pr ( l ) n l( l ) K [] x n n ( l ) n l( l ) K [] x n n ± ± q. (G) Os s sã hamads d fiints da séri Furir disrta u fiints sptrais. A quaçã q. (G) é nhida m as quaçã d anális da séri d Furir disrta.

22 J. A. M. Flipp d Suza tas m Anális d Furir Exmpl 3: Cnsidr a sguint nda quadrada x[n] disrta n tmp: x[n] s n utrs n n intrval d smaçã st as s fiints sptrais fiam: n n q. (H) S ± ± L smatóri dsta xprssã d aima fia n n ( ) prtant a xprssã d da q. (H) aima é failmnt xprssa m: ± ± L Entrtant para ± ± L dfinims m n ntã fazms uma mudança d índi n smatóri fiand m (m ) m m.

23 J. A. M. Flipp d Suza tas m Anális d Furir 3 Agra usand a fórmula da sma finita ds lmnts d uma prgrssã gmétria: L L L L q a a q a a q a a : a : : a : a : a 3 3 qu é dada pr: q) ( ) q ( a a S n n pdms substituir smatóri da xprssã ds aima uma vz qu é uma sma finita d uma prgrssã gmétria m ( ) q n a btnd: ) ( L ± ± qu após multipliaçã ds trms pd failmnt sr xprss m L ± ± usand Eülr btms qu sn sn L ± ± Dsta frma tms ntã tds s fiints sptrais da nda quadrada disrta dst xmpl.

24 J. A. M. Flipp d Suza tas m Anális d Furir Rsumind: sn sn s ± ± L s ± ± L Para as partiular d 9 tms qu: ( ) 5 qu rprsnta númr d pnts qu assumm valr m ada príd nsquntmnt - ( ) 9-5 Rprsnta númr d pnts qu é igual a (zr) m ada príd. O gráfi dst x[n] pd sr vist abaix: s fiints alulads pla xprssã aima sã: M M

25 J. A. M. Flipp d Suza tas m Anális d Furir Obsrv qu a ada fiints ls s rptm. Ist é a ada 9 ls vltam a sr s msms valrs. M 5 L L 7 6 L 8 7 L 9 8 L 9 L L assim pr diant. M Agra m s valrs ds fiints pdms srvr a séri d Furir q. (F). A ntrári d as ntínu m qu tínhams qu arsntar mais mais trms para btr uma aprximaçã mlhr aqui n as disrt é pssívl uma aprximaçã xata m 9 trms nsutivs: x[n] ( l 8) l( l ) K n 9 Pr xmpl s tmarms primiramnt apnas 3 trms nsutivs - trms xˆ 3 [n] n 9 qu ns dá uma primira aprximaçã ainda muit grssira d sinal x[n] m pds vr n gráfi d xˆ 3 [ n] abaix. 5

26 J. A. M. Flipp d Suza tas m Anális d Furir S ntrtant tmarms 5 trms nsutivs - - trms ntã xˆ 5 [n] n 9 qu ns dá uma aprximaçã um pu mlhr mas ainda nada prfita d sinal x[n] m pd-s vr n gráfi d xˆ 5 [ n] abaix. S agra tmarms 7 trms nsutivs trms ntã xˆ 7 [n] 3 3 n 9 qu á ns dá uma aprximaçã bm mlhr mas ainda nã prfita d sinal x[n] m pd-s vr n gráfi d xˆ 7 [] n abaix. Finalmnt s agra tmarms 9 trms nsutivs trms ntã xˆ 9 [n] x[n] n 9 qu ns dá a aprximaçã xata d sinal x[n] pis 9. Ou sa [n] xˆ 9 x[n] 6

27 J. A. M. Flipp d Suza tas m Anális d Furir O gráfi d xˆ 9 [] n qu é inidnt m x[n] pd sr vist abaix. Exmpl : Cnsidr agra sinal sinusidal disrt x[n] sn( n) Est sinal é priódi quand: é um intir u a razã d intirs. Supnha qu lg x[n] é ntã um sinal priódi m príd fundamntal. Usand-s a quaçã d Eülr pdms xpandir st sinal x[n] m a sma d trms xpnniais mplxas btnd-s x[n] n n vms ntã qu: 7

28 J. A. M. Flipp d Suza tas m Anális d Furir 8. d smaçã d n intrval valrs utrs para Pr xmpl n as partiular d 5 ntã n sn x[n] 5 s fiints d Furir srã: M assim pr diant. M

29 J. A. M. Flipp d Suza tas m Anális d Furir O intrval d smaçã pd sr quaisqur 5 fiints nsutivs m pr xmpl: d - até 3 u d até u d até 5 u d até 7 t. t. S tmarms apnas 3 trms nsutivs m pr xmpl: 3 trms xˆ 3 [n] 3 n 5 qu ns dá uma aprximaçã d sinal x[n]. Entrtant s tmarms 5 trms nsutivs m pr xmpl: 3 5 trms ntã xˆ 5 [n] 5 n 5 qu ns dá a aprximaçã xata d sinal x[n] pis 5. Ou sa xˆ [n] x[n] sn n 5 5. Exmpl 5: Cnsidr nvamnt sinal sinusidal disrt x[n] sn( n) mas agra supnha qu M razã d intirs nd M sã intirs qu nã têm fatrs muns. 9

30 J. A. M. Flipp d Suza tas m Anális d Furir 3 Lg M vamnt x[n] é um sinal priódi m príd fundamntal. Usand-s a quaçã d Eülr pdms também xpandir st sinal x[n] m a sma d trms xpnniais mplxas btnd-s: n M n M x[n] prtant. d smaçã d n intrval valrs utrs para M M t qu ( ) ( ) também M M M qu ( ) também M M M Pr xmpl n as partiular d 5 M 3 ntã ( ) n sn n sn n sn [n] x s fiints d Furir srã:

31 J. A. M. Flipp d Suza tas m Anális d Furir M assim pr diant. O intrval d smaçã nvamnt pd sr quaisqur 5 fiints nsutivs m pr xmpl: d - até 3 u d até u d até 5 t. t. S tmarms apnas u u 3 u trms nsutivs trms uma aprximaçã d sinal x[n]. Pr xmpl: n [n] xˆ Entrtant s tmarms 5 trms nsutivs m pr xmpl: 3 5 trms ntã M

32 J. A. M. Flipp d Suza tas m Anális d Furir n [n] xˆ qu ns dá a aprximaçã xata d sinal x[n] pis 5. Ou sa n sn x[n] [n] xˆ Mas ntrtant s tmarms as partiular d 7 M 3 ntã ( ) ( ) n sn n sn n sn n sn [n] x s fiints d Furir srã: M assim pr diant. M

33 J. A. M. Flipp d Suza tas m Anális d Furir O intrval d smaçã agra pd sr quaisqur 7 fiints nsutivs m pr xmpl: d - até 5 u d até 7 u d até 8 t. t. S tmarms apnas u u 3 u trms nsutivs trms uma aprximaçã d sinal x[n]. Pr xmpl: 3 5 xˆ 5 [n] 5 6 n 7 Entrtant s tmarms 7 trms nsutivs m pr xmpl: trms ntã xˆ 7 [n] 7 6 n 7 qu ns dá a aprximaçã xata d sinal x[n] pis 7. Ou sa xˆ [n] 6 x[n] sn n 7 7. ~~~~~~ 33

34 J. A. M. Flipp d Suza tas m Anális d Furir Prpridads da Séri d Furir para sinais disrts Linaridad: Supnha qu qu x [ n ] é um sinal m príd tm fiints d Furir [ n ] ntã mstra-s qu: x é um sinal m príd tm fiints d Furir fiints d Furir u sa [ n ] [ n ] α x [ n ] x [ n ] y β y [ n ] tm príd y tm frquênia fundamntal α β ranslaçã n tmp ( tim shifting ): Supnha qu qu x [] n é um sinal m príd tm fiints d Furir u sa y [ n ] é sinal [ n ] Entã mstra-s qu: fiints d Furir y [ n ] x[ n ] x m uma translaçã (shift) n tmp d n. u sa [ n ] n y [ n ] tm príd y tm frquênia fundamntal ~ n ta: θ Cm n ~ 3

35 J. A. M. Flipp d Suza tas m Anális d Furir Sinal rfltid / rvrsã n tmp ( tim rvrsal ) m trn d n : Supnha qu qu x [ n ] é um sinal m príd tm fiints d Furir ntã mstra-s qu: fiints d Furir u sa [ n ] y [ n ] x[ n ] y [ n ] tm príd y tm frquênia fundamntal ĉ ta: Cm nsquênia dsta prpridad pd-s nluir qu: S x [ n ] é um sinal par s fiints d Furir S x [ n ] é um sinal ímpar s fiints d Furir sã pars; (i.. ); sã ímpars; (i.. ). Esalnamnt n tmp ( tim saling ): Supnha qu qu x [ n ] é um sinal m príd tm fiints d Furir ntã mstra-s qu: (prtant x[n] tm frquênia fundamntal y [ n ] x n m s n é múltipl d m ) s n nã é múltipl d m y (t) tm príd m u sa y [ n ] tm frquênia fundamntal m m além diss y [ n ] ( l ) l( l ) K ( l ) l( l ) K n m n m t qu a séri d Furir muda pr ausa da mudança da frquênia fundamntal ( d príd). Entrtant s fiints nã mudam. 35

36 J. A. M. Flipp d Suza tas m Anális d Furir Multipliaçã: Supnha qu qu x [ n ] é um sinal m príd tm fiints d Furir [ n ] ntã mstra-s qu: x é um sinal m príd tm fiints d Furir [ n ] x [ n ] x [ n ] y y (t) tm príd u sa tm frquênia fundamntal fiints d Furir ( l ) l( l ) K ± ± Ou sa ( l ) l( l ) K 3 L L M M M M t t t t 3 ( ) ( ) Cnugaçã: Supnha qu qu x [ n ] é um sinal m príd tm fiints d Furir y [ n ] x [ n ] nugad d x[n]; ntã mstra-s qu: [ n ] y tm príd u sa tm frquênia fundamntal fiints d Furir 36

37 J. A. M. Flipp d Suza tas m Anális d Furir ta: Cm nsquênia dsta prpridad pd-s nluir qu: S x [ n ] ntã s fiints d Furir ; ; Além diss: S x [ n ] é um sinal par. s fiints d Furir ; S x [ n ] é um sinal ímpar s fiints d Furir sã imagináris purs ranslaçã na frquênia ( frquny shifting ): Supnha qu x [ n ] é um sinal m príd tm fiints d Furir para um m intir nstant nsidr agra s fiints ± ± m u sa sã s fiints dsfasads d m. Entã mstra-s qu sinal: y m n [ n ] x(t) tm s fiints d Furir ta: Esta prpridad é dual da translaçã n tmp (tim shifting). Agra a translaçã (shift) fi apliada as nã n tmp t. θ Cm 37

38 J. A. M. Flipp d Suza tas m Anális d Furir Cnvluçã n príd: Supnha qu qu x [ n ] é um sinal m príd tm fiints d Furir [ n ] x é um sinal m príd tm fiints d Furir y ( l ) [ n ] x [ n ] x [ ] l( l ) K x [ n ] x [ n ] dfinida n príd Entã mstra-s qu: y (t) tm príd u sa tm frquênia fundamntal fiints d Furir ~ Primira difrnça: Supnha qu qu x [ n ] é um sinal m príd tm fiints d Furir ntã mstra-s qu: y [ n ] x [ n ] x [ n ] [ n ] y tm príd u sa tm frquênia fundamntal fiints d Furir ( ) ta: Esta prpridad rrspnd n as disrt à prpridad para a drivada n as ntínu. Para as d drivadas d rdm u mais pd-s apliar sta rgra sussivas vzs. 38

39 J. A. M. Flipp d Suza tas m Anális d Furir Sma aumulada: Supnha qu qu x [ n ] é um sinal m príd tm fiints d Furir ntã mstra-s qu: y (t) n x [ ] y (t) tm príd u sa tm frquênia fundamntal fiints d Furir ( ( ) ta: as d sta prpridad só é válida para sinais x [ n ] priódis m valrs finits. Esta prpridad rrspnd n as disrt à prpridad para a intgral n as ntínu. Para as d intgrais duplas triplas t. pd-s apliar sta rgra sussivas vzs. Rlaçã d Parsval: Supnha qu x [ n ] é um sinal m príd tm fiints d Furir ntã mstra-s qu a ptênia média d sinal n intrval d um príd : P ( l ) n l( l ) K x [ n ] Ana Mura (fadista) ( l ) l( l ) K ~~~~~~ 39

40 J. A. M. Flipp d Suza tas m Anális d Furir ransfrmada d Furir A ransfrmada d Furir para sinais ntínus A séri d Furir só s aplia a sinais priódis. Sinais qu nã sã priódis (dits sinais apriódis) têm uma utra rprsntaçã m a transfrmada d Furir. Um sinal apriódi pd sr vist m um sinal priódi m um príd infinit. Mas na séri d Furir quand príd d um sinal priódi aumnta a frquênia diminui trms harmniamnt rlainads fiam mais próxims na frquênia. Ou sa quand príd pr nsguint a frquênia as mpnnts m frquênia (i.. s s) frmam um ntínu smatóri da séri d Furir dst sinal s nvrt m uma intgral. Cnsidr prtant um sinal ntínu {nunt ds númrs mplxs} u sa sinal x(t) tm valrs mplxs m part ral part imaginária. A transfrmada d Furir dst sinal x(t) nrmalmnt simblizada pr: I{ x(t) } X() prmit xprssar sinal x(t) qu nã ra pssívl m a séri d Furir s sinal nã fss priódi m: x(t) t X( ) d q. (I)

41 J. A. M. Flipp d Suza tas m Anális d Furir nd: X( ) x(t) t dt q. (J) é a transfrmada d Furir d sinal x(t). Prtant a transfrmada d Furir é uma funçã d (u d ) d rta frma gnraliza a séri d Furir. A quaçã q. (I) aima é nhida m a quaçã d sínts u também m a fórmula da transfrmada invrsa d Furir. Pr utr lad a quaçã q. (J) qu dá prpriamnt a fórmula da transfrmada d Furir é nhida m as quaçã d anális. Quant à nvrgênia dstas intgrais é pssívl mstrar qu stas fórmulas sã válidas para uma lass bastant ampla d sinais d duraçã infinita. Exmpl 6: Cnsidr sinal x(t) a t u (t) a > u gráfi vê-s a sguir. A transfrmada d Furir d x(t) pd sr alulada usand a quaçã q. (J).

42 J. A. M. Flipp d Suza tas m Anális d Furir X( ) a t t (a ) t (a ) dt prtant a transfrmada d Furir dst sinal x(t) é dada pr: X ( ) (a ) a > Cm a transfrmada d Furir tm valrs mplxs para xprssá-la através d um gráfi é nssári dmpr m diagrama d módul X( ) diagrama d fas X( ). Para sta transfrmada X() é fáil d vrifiar qu diagrama d módul X( ) fia X ( ) a

43 J. A. M. Flipp d Suza tas m Anális d Furir qu diagrama d fas X( ) fia X( ) tg a a Obsrv qu s ntã tg tg () prtant ( ) X ( ) tg. a ambém é fáil vrifiar qu s - a ntã tg tg ( ) prtant X ( ) tg a tg prtant a Pr utr lad s a ntã tg () X ( ) tg a 3

44 J. A. M. Flipp d Suza tas m Anális d Furir a a t também qu s - ntã tg lim tg tg ( ) prtant X ( ) tg a a a Mas ntrtant s ntã tg lim tg tg ( ) prtant X ( ) tg a Exmpl 7: Cnsidr agra sinal x(t) a t a > u gráfi vê-s abaix. A transfrmada d Furir d x(t) pd sr alulada usand a quaçã q. (J).

45 J. A. M. Flipp d Suza tas m Anális d Furir X( ) a t t dt a t t dt a t t dt (a ) (a ) t (a ) (a ) t (a ) (a ) prtant a transfrmada d Furir dst sinal x(t) é dada pr: Esta transfrmada d Furir ( ) ( a ) > ntã a X( ) (a ) X tm valrs rais além diss m a > X( Lg diagrama d módul X ( ) ) X( ). a X( ) X( ) (a ) 5

46 J. A. M. Flipp d Suza tas m Anális d Furir Cm ( ) X tm valrs rais psitivs para diagrama d fas X( ) zr para. é X( ) Exmpl 8: Cnsidr agra sinal x(t) s s t t < a > a u gráfi vê-s abaix. 6

47 J. A. M. Flipp d Suza tas m Anális d Furir Caluland-s a transfrmada d Furir d x(t) usand a quaçã q. (J) tms X( ) a a t dt ( ) ( ) t a a a a ( ) prtant usand Eülr a transfrmada d Furir dst sinal x(t) é dada pr: X( ) sn(a) Prtant sta transfrmada d Furir X( ) também só tm valrs rais mas ntrtant s valrs qu X( ) assum sã ra psitivs ra ngativs dvid às silaçõs d sn. Abaix vms gráfi d X( ). Lg diagrama d módul ( ) X fia 7

48 J. A. M. Flipp d Suza tas m Anális d Furir gráfi d diagrama d fas X( ) fia. Ou sa X( ) s s X( ) > X( ) < 8

49 J. A. M. Flipp d Suza tas m Anális d Furir A ransfrmada d Furir para sinais priódis t qu s ntã x (t ) X( t ) u ( ) u( u ( ) t ) d t d Lg s X( ) u( ) q. (K) x(t) ntã srá: x (t ) t qu é a séri d Furir para sinais priódis. A quaçã q. (K) aima é hamada d train f impulss dfin a transfrmada d Furir para s sinais qu sã priódis m funçã ds fiints s da séri d Furir xpnnial. Exmpl 9: Cnsidr sinal priódi x(t) abaix: x (t) s s t < a < t < 9

50 J. A. M. Flipp d Suza tas m Anális d Furir 5 Primiramnt alulams s fiints s da séri d Furir xpnnial. Para tms qu: a dt a a Para tms qu: dt a a a a t a a t nd. Agra usand-s as quaçõs d Eülr tms qu: a ) sn( u quivalntmnt: a ) sn( Lg a transfrmada d Furir dst sinal priódi é train f impulss γ ) ( u ) ( u a ) sn( (a) u a ) X( nd: γ s a ) sn( s a

51 J. A. M. Flipp d Suza tas m Anális d Furir Abaix pd-s vr gráfi d X() x para as partiular d a. st as ( a) Exmpl : γ γ γ γ 3 3 Cnsidr sinal priódi d sn: γ γ 3 γ 3 M M M x(t) sn( t) 3 3 st as s fiints s da séri xpnnial d Furir sã: 5

52 J. A. M. Flipp d Suza tas m Anális d Furir s s { } s E a transfrmada d Furir ( train f impulss ) nst as é: X( ) u( ) u( ) Exmpl : Cnsidr sinal priódi d sn: x(t) s( t) Agra nst as s fiints s da séri xpnnial d Furir sã: s s { } s E a transfrmada d Furir ( train f impulss ) nst as é: X( ) u ( ) u ( ) 5

53 J. A. M. Flipp d Suza tas m Anális d Furir Prpridads da ransfrmada d Furir para sinais ntínus Linaridad: Supnha qu qu x (t) (t) x sã dis sinais ntínus. y(t) α x(t) β x (t) ntã mstra-s qu a transfrmada d Furir d y(t) é: Y() α X () β X () u sa I { α (t) β x (t) } α I{ x (t) } β { x (t) } x I ranslaçã n tmp ( tim shifting ): Supnha qu x (t) é um sinal ntínu qu: y(t) x(t t ) u sa y (t) é sinal x (t) m uma translaçã (shift) n tmp d t. Entã mstra-s qu: u sa I Y() t X() { x(t t )} t I{ x(t) } 53

54 J. A. M. Flipp d Suza tas m Anális d Furir ta: O módul d sinal transladad nã s altra. Smnt a fas. Ou sa srvnd-s a transfrmada d Furir d x(t) na frma plar (módul ângul): I X() { x(t) } X() X() tms qu a transfrmada d Furir d x(t-t ) pd sr xprssa m: I { x(t t )} t X() X() [( X() t ] Uma translaçã u shift (d t ) n sinal x(t) uma translaçã u shift (d t ) na transfrmada X() dst sinal. Exmpl : Cnsidr sinal x(t) abaix: Est sinal pd sr rsrit m funçã d dis sinais transladads: x(t 5) x(t 5) : x(t) x (t 5) x (t 5) 5

55 J. A. M. Flipp d Suza tas m Anális d Furir Cm as transfrmadas d Furir d (t) X (): ( ) sn X ( ) X x d (t) x sã rsptivamnt X () ( 3 ) sn () ntã usand as prpridads da linaridad da translaçã (tim shifting) tms qu: X() ( ) ( 3 ) 5 sn sn Cnugaçã: Supnha qu qu x (t) é um sinal m príd tm fiints d Furir y(t) nugad d x(t); ntã mstra-s qu a transfrmada d Furir d y(t) é: x (t) Y() X ( ) ist é a a transfrmada d Furir d nugad d um sinal é a nugada simétria da a transfrmada d Furir dst sinal: ta: I { x(t) } X ( ) Cm nsquênia dsta prpridad pd-s nluir qu: S x (t) ntã X() X ( ) Além diss s a transfrmada d Furir d x(t) é xprssa na frma artsiana (part ral part imaginária): ntã m I { x(t) } X() R{ X() } Im{ X() } x (t) ntã R Im { X( )} R{ X( ) } { X( )} Im{ X( ) } (a part ral é par) q. (L) (a part imaginária é ímpar) q. (M) 55

56 J. A. M. Flipp d Suza tas m Anális d Furir Entrtant s a transfrmada d Furir d x(t) é xprssa na frma plar (módul ângul): I X() { x(t) } X() X() ntã m z z z z tms qu: X() X ( ) (a módul é par) q. () X() X ( ) (a fas é ímpar) q. (O) Lg s x (t) ntã só é nssári alular a transfrmada d Furir sa módul ( X( ) ) fas ( X() ) u sa part ral ( R{ X( ) }) part imaginária ( Im{ X( ) }) para frquênias > pis sts valrs para frquênias ngativas ( < ) pdm sr dtrminads usand as rlaçõs aima [ q. (L) q. (M) u q. () q. (O)]. Outr dtalh: S x (t) é um sinal par ( x(t) x( t) ) X () ist é X() ix ral; X( ) X( ) ist é X( ) é par. (a transfrmada d Furir é uma funçã ral par) S x (t) é um sinal ímpar ( x(t) x( t) ) X() é imaginári pur ist é X() ix imaginári; X( ) X( ) ist é X( ) é ímpar. 56

57 J. A. M. Flipp d Suza tas m Anális d Furir Finalmnt a dmpsiçã d um sinal x(t) m part par ( Ev{ X( ) }) ímpar ( Od{ X( ) }): { Ev { x(t) }} R{ X() } { Od{ x(t) }} Im{ X() } I q. (P) I q. (Q) Exmpl 3: Cnsidr sinal x(t) abaix: x(t) a t a > qu vims n Exmpl 7 aima. Mas pl rsultad d Exmpl 6 aima sabms qu: m I { x(t) u (t)} ( a ) pdms srvr qu: x(t) at at s s t t > < x(t) a t u (t) a t u ( t) a t Ev u (t) a t { u (t)} a t u ( t) Agra usand a q. (P) aima tms qu: lg I t { Ev { u (t)}} X() R a I ( a ) a t { Ev{ u (t)} } R a ( a ) ( a ) qu fi rsultad btid n Exmpl 7. 57

58 J. A. M. Flipp d Suza tas m Anális d Furir Drivadas: Supnha qu x (t) é um sinal qu ntã mstra-s qu: y (t) dx dt (t) u sa I Y( ) dx (t) dt X() X() Intgral: Supnha qu x (t) é um sinal qu ntã mstra-s qu: y (t) t x(t)dt u sa Y() X() X( )u( ) t { } x ( τ)dτ X() X( )u( ) I Exmpl : A transfrmada d Furir d impuls unitári u (t) : t { u (t)} u (t) dt I usand a prpridad da intgral para impuls unitári u (t) ist é β α f (t) u (t a)dt f(a) α < a < β btms qu: { } t u (t) I t Ou sa a transfrmada d Furir d impuls unitári u (t) é igual a. 58

59 J. A. M. Flipp d Suza tas m Anális d Furir Exmpl 5: Cnsidr sinal x(t) dgrau unitári u (t) : m x (t) x(t) u (t) t u ( τ) dτ ntã usand a prpridad da intgral para a transfrmada d Furir tms qu X() u( ) u sa a transfrmada d Furir d dgrau unitári u (t) é: Pr utr lad m I { u (t)} u ( ) du u (t) (t) dt usand a prpridad da drivada para a transfrmada d Furir tms qu I { u (t)} I{ u (t)} u u ( ) ( ) Entrtant sabms qu u ( ) iss implia qu: () u prtant: { (t } I ) u qu também fi rsultad nntrad n Exmpl. 59

60 J. A. M. Flipp d Suza tas m Anális d Furir Esalnamnt n tmp ( tim saling ): Supnha qu x (t) é um sinal qu ntã mstra-s qu: u sa I Y() y(t) α x( α t) X α { x( α t) } X α α Sinal rfltid / rvrsã n tmp ( tim rvrsal ) m trn d t : Supnha qu x (t) é um sinal qu y(t) x( t) ntã mstra-s qu: u sa Y( ) X( ) I { x( t) } X( ) Rlaçã d Parsval: Supnha qu x (t) é um sinal. Entã mstra-s qu a nrgia ttal d sinal E x (t) dt pd sr xprssa m trms da transfrmada d Furir pla rlaçã d Parsval: x (t) dt X() dt Dualidad: Supnha qu x (t) x (t) sã sinais ntínus qu { x (t)} X () I { x (t)} X () I 6

61 J. A. M. Flipp d Suza tas m Anális d Furir ntã mstra-s qu: s ntã ( ) t x (t) X ( ) x (t) t X Exmpl 6: Já vims n Exmpl 3 qu: s f(t) t a > ntã: { f(t } F () I ) ( ) Lg s ntã pla prpridad da dualidad: g(t) ( t ) { g(t) } G() I Dual da drivada (drivada na frquênia): Supnha qu x (t) é um sinal qu ntã mstra-s qu: y(t) ( t) x(t) Y () dx() d u sa I { t x(t) } dx() d qu é a drivada d X() m u dita: drivada na frquênia. 6

62 J. A. M. Flipp d Suza tas m Anális d Furir Dual da intgral: Supnha qu x (t) é um sinal qu ntã mstra-s qu: y(t) x(t) x( ) u t (t) u sa I x(t) t Y () x( ) u X( γ) dγ (t) X( γ) dγ ranslaçã na frquênia ( frquny shifting ): Esta prpridad é a dual da prpridad da translaçã n tmp ( tim shifting ). Agra a translaçã (shift) fi apliada à variávl nã n tmp t. Supnha qu x (t) é um sinal qu y(t) t x(t) u sa y (t) é sinal x (t) multipliad pr Entã mstra-s qu: u sa I Y( ) X t. ( ( ) ) { t x(t) } X( ( ) ) u sa a transfrmada d Furir d y (t) é a transfrmada X( ) m uma translaçã (shift) na frquênia d. Cnvluçã: Supnha qu x (t) (t) x sã sinais ntínus qu y(t) x (t τ) x x (t) x 6 (t) ( τ) dτ

63 J. A. M. Flipp d Suza tas m Anális d Furir Entã mstra-s qu: u sa I ( ) X ( ) Y() X { x (t) x (t)} I{ x (t)} I{ x (t)} X ( ) X ( ) A transfrmada d Furir da nvluçã d sinais (t) transfrmadas d Furir dsts sinais. x (t) x é prdut das Uma intrprtaçã dsta prpridad pd sr a sguint: Já vims qu a saída y(t) d um sistma linar invariant n tmp (SLI) é a nvluçã d h(t) [rspsta d sistma a impuls unitári] m x(t) [sinal d ntrada d sistma]. Prtant a transfrmada d Furir da saída y(t) d um sistma é prdut Y () H ( ) X( ) nd: H ( ) a transfrmada d Furir d h(t) [rspsta d sistma a impuls unitári] X ( ) a transfrmada d Furir x(t) [sinal d ntrada d sistma] H ( ) é também hamad d rspsta na frquênia. 63

64 J. A. M. Flipp d Suza tas m Anális d Furir Além diss: Já vims qu sistmas S S linars invariants n tmp (SLI) stã ligads m asata ntã a rspsta à ntrada impuls unitári ds sistmas unts (S S ) é a nvluçã ( h (t) * h (t) ). A saída y(t) dst sistma m asata é a nvluçã (dupla) d h (t) m h (t) m x(t). y(t) ( t) h ( t) x( t) h Est sistma pd sr rprsntad d frma quivalnt pr apnas um bl: Prtant a rspsta na frquênia dst sistma é ( ) H ( ) H( ) H a transfrmada d Furir da saída y(t) dst sistma m asata é prdut das transfrmadas d Furir d h (t) h (t) x(t). Y() H ( ) H ( ) X( ) 6

65 J. A. M. Flipp d Suza tas m Anális d Furir Exmpl 7: Cnsidr sistma SLI abaix nd a rspsta a impuls é dada pr h(t) u ( t ) t qu usand a prpridad dual d tim shifting para a transfrmada d Furir btms a rspsta n dmíni da frquênia a transfrmada d Furir d h(t) H( ) t I { u ( t) } t Ou sa Prtant para uma ntrada x(t) m transfrmada d Furir X ( ) Furir da saída y(t) Y() H ( ) X( ) t X ( ) a transfrmada d prtant usand a prpridad dual d tim shifting para a transfrmada d Furir y(t) x(t t ) bsrvams qu a saída y(t) é sinal x(t) m uma translaçã (shift) d t. Est sistma é dit sistma m rtard (tim dlay systm). Exmpl 8: Cnsidr sistma SLI abaix hamad d difrniadr nd para um sinal d ntrada x(t) a saída y(t) é a sua drivada y (t) dx dt (t) 65

66 J. A. M. Flipp d Suza tas m Anális d Furir Usand a prpridad da drivada para a transfrmada d Furir Y () I { y(t) } X( ) Lg pla prpridad da nvluçã para a transfrmada d Furir a rspsta na H é frquênia ( ) H ( ) qu é nsistnt m a dfiniçã d H ( ) pis prtant H ( ) é h () t H( ) du(t) dt I { u (t)} Exmpl 9: Cnsidr agra sistma SLI abaix hamad d intgradr nd para um sinal d ntrada x(t) a saída y(t) é a sua intgral y (t) t x( τ) dτ Usand a prpridad da intgral para a transfrmada d Furir m t { u( τ)dτ} u( ) I h t () t u ( τ) dτ ntã a rspsta d sistma na frquênia é: 66

67 J. A. M. Flipp d Suza tas m Anális d Furir { h(t) } u ( H( ) I ). pla prpridad da nvluçã para a transfrmada d Furir tms qu Y ( ) transfrmada d Furir da saída y(t) é a a Y ( ) H( ) X( ) X( ) X( ) u ( ) X ( ) X( ) u ( ) qu é msm rsultad qu btms aluland Y( ) I{ y(t) } da intgral para transfrmada d Furir. t { } x ( τ)dτ X( ) X( ) u( ) I pla prpridad Exmpl : Cnsidr agra filtr passa-baixa idal (lw pass band filtr). H ( ) s s < > Pl Exmpl 8 prpridad da Dualidad para transfrmada d Furir tms h ( t) I{ H( ) } sn( t) t 67

68 J. A. M. Flipp d Suza tas m Anális d Furir Multipliaçã (dual da nvluçã): Supnha qu x (t) (t) x sã sinais ntínus qu Entã mstra-s qu: y(t) x (t) x (t) u sa Y() X ( θ) X ( ( θ ) dθ I x { (t) x (t)} X ( θ) X ( ( θ )) dθ ~~~~~~ 68