COMPARAÇÃO DIDÁTICA ENTRE AS FORMULAÇÕS NO TEMPO E NA FREQUÊNCIA DA ANÁLISE DINÂMICA DE ESTRUTURAS

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1 COMPARAÇÃO DIDÁICA ENRE AS FORMULAÇÕS NO EMPO E NA FREQUÊNCIA DA ANÁLISE DINÂMICA DE ESRUURAS Rodrigo Silvira Camargo - rodrigo_camargo@yahoo.com Uivrsidad Fdral do Rio d Jairo, COPPE Ctro d cologia, Bloco B, sala Cidad Uivrsitária CEP Rio d Jairo - RJ Walório Graça Frrira walorio@psquisador.cpq.br Adílcia Frada Calzai frada.calzai@ig.com.br Augusto Bad Nto - augbad@gmail.com Uivrsidad Fdral do Espírito Sato (UFES, Dpartamto d Egharia Civil Av. Frado Frrari, 54, Goiabiras CEP 75-9 Vitória - ES Fracisco d Assis das Nvs fassis@m.ufop.br Ricardo Azoubl da Mota Silvira - ricardo@m.ufop.br Adréa Rgia Dias da Silva - adradiassilva@yahoo.com.br Uivrsidad Fdral d Ouro Prto, Dpartamto d Egharia Civil Campus Morro do Cruziro CEP 354-, Ouro Prto - MG Rsumo: As rspostas d sistmas struturais sujitos a cargas diâmicas são tradicioalmt avaliadas o domíio do tmpo ou o domíio da frquêcia. Métodos d soluçõs basados o domíio da frquêcia têm sido dsvolvidos os últimos aos. A scolha do método dpd das propridads físicas do sistma strutural. Naquls casos com propridads físicas dpdts da frquêcia ou dotados d amortcimto histrético, a aális o domíio da frquêcia é mais adquada. Embora os métodos qu volvm o domíio do tmpo sjam facilmt assimilados plos studats d gharia, o msmo ão acotc com os métodos rlacioados ao domíio da frquêcia, spcialmt para os studats d gharia civil. O objtivo dss studo é aprstar uma comparação didática tr sss dois importats métodos para a solução d sistmas struturais submtidos a cargas diâmicas, para torar mais fácil o aprdizado plos studats d gharia civil mcâica. Palavras-chav: Aális o domíio do tmpo, Aális o domíio do frquêcia, Itgral d covolução, rasformada d Fourir, Aális comparativa

2 INRODUÇÃO A rsposta d uma strutura submtida a cargas diâmicas pod sr calculada basicamt por duas mairas: rsolvdo-s a quação do movimto o domíio da frquêcia ou o domíio do tmpo. Quado o sistma possui parâmtros dpdts da frquêcia, o procdimto o domíio da frquêcia é o mais idicado. Como xmplo, pod sr citado o caso dos sistmas d itração solo-strutura os quais as forças d rigidz d amortcimto são dpdts da frquêcia. A aális o domíio da frquêcia s torou d uso corrt, somt após o surgimto do algoritmo da FF (Fast Fourir rasform, dsvolvido por COOLEY UKEY (965, pois rduziu substacialmt o sforço computacioal a avaliação da DF (Discrt Fourir rasform, torado-a comptitiva com os métodos do domíio do tmpo. Dsd ssa época, os métodos da frquêcia vêm rcbdo importats cotribuiçõs a busca d sua ficiêcia. A dição mais rct do livro dclough PENZIEN, 993 há um tratamto dtalhado d aális o domíio da frquêcia. Embora os métodos qu volvm o domíio do tmpo sjam facilmt assimilados plos studats d gharia, o msmo ão acotc com os métodos rlacioados ao domíio da frquêcia, spcialmt para os studats d gharia civil. O objtivo dss studo é aprstar uma comparação didática tr sss dois importats métodos para a solução d sistmas struturais submtidos a cargas diâmicas, para torar mais fácil o aprdizado plos studats d gharia civil mcâica. EQUAÇÃO DO MOVIMENO Sja um sistma massa-mola com um grau d librdad, submtido a um carrgamto p(t, como mostrado a Figura. A quação do movimto vm da rsultat das forças qu atuam a massa, qu são o próprio carrgamto, a força d amortcimto viscoso (proporcioal com stido cotrário ao da vlocidad da massa, a força lástica da mola (proporcioal com stido cotrário ao do dslocamto m rlação à posição d quilíbrio. S v(t é o dslocamto o istat t, m é a massa, c é o coficit d amortcimto, é a costat lástica da mola p(t é o carrgamto o istat t, tão a força rsultat é: ou: F m v p c v( t v ( m v + c v( t + v p (

3 v(t c m p(t Figura - Rprstação d um Sistma Massa-Mola com Amortcimto. 3 RESPOSA PERMANENE A UMA CARGA HARMÕNICA 3. Domíio do mpo A quação do movimto é uma quação difrcial, sua solução dpd do carrgamto p(t. Obtdo-s as soluçõs para os casos d carrgamto soidal cossoidal, cotra-s a solução gral para carrgamto harmôico (isto é, uma combiação liar d so cosso com msma frquêcia. Assim, dfiido a frquêcia atural do sistma como ω / m a taxa d amortcimto como c ξ mω, é possívl rscrvr a quação do movimto da sguit forma: p v( t + ξω v( t + ω v m (3 Adotado o carrgamto p b sωt d frqüêcia agular ω dfiido β ω / ω, chga-s a quação do movimto, qu é dada por: [( β sωt ξβ cosωt] b v (4 ( β + (ξβ Da msma forma, para um carrgamto p a cosωt, a solução é: [ ξβ sωt + ( β cosωt] a v ( β (ξβ + (5 E, fialmt, quado as duas cargas atuam simultaamt, a solução gral é: v {[ b( a ]s t [ a( b ] cos t} β + ξβ ω + β ξβ ω ( β (ξβ + (6

4 3. Domíio da Frquêcia Pod-s tirar provito das propridads priódicas da fução xpocial complxa (FERREIRA t al., 7 aplicar uma carga complxa do movimto fica: cuja solução é: b m p b iωt. Assim, a quação iωt v( t + ξω v( t + ω v (7 iωt v G(ω (8 m qu: G( ω b ( β + i(ξβ b ( β i(ξβ ( β + (ξβ (9 Essa rsposta mostrou-s sr mais simpls, visto qu aprsta um úico trmo. No domíio do tmpo, há os trmos m so cosso. 4 RESPOSA A UMA CARGA PERIÓDICA QUALQUER 4. Domíio do mpo Um carrgamto priódico qualqur (isto é, ão cssariamt harmôico pod sr xprsso a forma d uma séri d Fourir: com: p a + a cos t + b sωt a a b p p p p p p ω ( p dt p cos psω tdt A rsposta do sistma a ss carrgamto é dada por: ω tdt (

5 v a ( β {[ ( ]s [ ( ] cos b β + aξβ ω t + a β bξβ ω + (ξβ t } ( 4. Domíio da Frquêcia ambém é possívl xprssar o carrgamto como uma séri d Fourir complxa, da sguit forma: iω t p P (3 com: P p i t p ω p dt (4 Nss caso, cotra-s a rsposta a cada compot da séri, qu valrá: iωt v ( t H P (5 v Sdo complxo, sigificado um vtor ral girado o plao complxo. H é dfiido a sguir: H ( β ( i ξβ ( β + i(ξβ ( β + (ξβ (6 A rsposta fial valrá: iω t v H P (7 Sdo v(t agora ral, m virtud da prsça d pars cojugados. 5 RESPOSA A CARGA GERAL 5. Domíio do mpo Sja a carga gral mostrada a Figura a sguir:

6 Figura - Carga Difrcial Impulsiva d um Carrgamto Gral. Basado a rsposta aproximada a uma carga impulsiva rsposta a ss carrgamto, qu srá: p( τ dτ, pod-s chgar à v t p( h( t τ dτ τ (8 Esta itgral é uma itgral d covolução (BRIGHAM, 974, a fução a rsposta d impulso uitário, dfiida por: h( t τ é h( τ sωd ( t τ mω ξω( t τ t (9 m qu: ω ω ξ D ( é a frquêcia amortcida do sistma massa-mola. 5. Domíio da Frquêcia Fazdo-s uso da trasformada d Fourir aplicado-a a quação do movimto, rsulta m: ou: com: iωt iωt v + c v+ v dt p dt ( ( m ( ω + iωc + V( ω P( ω m (

7 V( ω P( ω v p iωt iωt dt dt (3 Vê-s qu a difrça com rlação à carga complxa é qu agora os limits da itgral são. Cotiuado, fica: m qu: V( H( ω P( ω ω (4 H( ω ω m + iωc + ( β + i(ξβ (5 Após o cálculo d V(ω, a rsposta o tmpo valrá: iωt iωt v V( ( ( ω dω H ω P ω dω π π (6 6 SISEMAS COM MÚLIPLOS GRAUS DE LIBERDADE Em sistmas com múltiplos graus d librdad, a quação do movimto, qu rg o dslocamto das múltiplas parts da strutura, é a vrdad uma quação matricial, quivalt à quação do movimto para sistmas com um grau d librdad, dada por: m v + cv + v( t p( t (7 sdo m a matriz d massa, c a matriz d amortcimto, a matriz d rigidz, todas d ordm N x N, v (t, v (t v(t vtors N x. O sistma trá também múltiplas frquêcias aturais d vibração, qu são domiadas: ω { ω, ω, ω3, ωn } (8 Essas frquêcias são os autovalors d um sistma d quaçõs liars cuja quação caractrística é: dt( ω m (9 Os autovtors corrspodts são os modos d vibração:

8 v ˆ,,, N } (3 { 3 Esss autovtors possum as sguits propridads, para r s : r m r s s (3 Ambas as propridads são a vrdad aplicaçõs da dfiição gralizada d produto itro tr r s. Portato, diz-s qu modos d vibração difrts são prpdiculars tr si, tato com rlação à matriz d massa, quato com rlação à matriz d rigidz (CAMARGO, 8. Além disso, para um msmo modo d vibração, tm-s: m M K (3 Os valors M K são chamados, rspctivamt, d massa gralizada rigidz gralizada. Quado s dfi o cojuto d vtors d modo, diz-s qu são ortoormalizados m rlação à matriz d massa, pois além d ortogoais m rlação à msma, tm-s qu m v ˆ. Usado-s os vtors d modo como coluas d uma matriz quadrada, forma-s a matriz d modo Φ : Φ { φ φ φ3 φ N } (33 6. Dsacoplamto das Equaçõs do Movimto plo Método da Suprposição Modal Os vtors d modo são dfiidos a partir dos autovtors do sistma,, por isso, são liarmt idpdts. Ess fato prmit qu sjam usados para grar qualqur vtor v, através da combiação liar: ou, matricialmt: N Y + φy + φ3y4 + + φnyn φ v φ Y (34 φ v ΦY (35 M

9 sdo Y um vtor qu cotém os coficits Y, qu são chamados coordadas modais. Fazdo a substituição d v assim xprssado a quação do movimto para sistmas com múltiplos graus d librdad, fica: mφ Y + cφy + Φ Y( t p( t (36 qu, pré-multiplicada por φ, fica: φ mφy + φ cφy + φ Φ Y( t φ p( t (37 Dvido às propridads já aprstadas d ortogoalidad m rlação à matrizs d massa rigidz, a xprssão atrior pod sr scrita como: M Y + C Y + K Y p (38 Dsd qu c sja adotada proporcioal às matrizs d massa rigidz (amortcimto d Rayligh. Dss modo, o sistma d quaçõs fica dsacoplado o sistma strutural d N graus d librdad com N quaçõs, m coordadas físicas, é trasformado m N quaçõs d um grau d librdad, m coordadas modais (CLOUGH PENZIEN, 993. Ao s achar a solução d cada quação d um grau d librdad (isto é, cada Y, a solução gral do sistma m coordadas físicas valrá: N v φy (39 Solução o Domíio do mpo A solução d cada uma das N quaçõs m coordadas modais, quado fita o domíio do tmpo, através d uma itgral d covolução, é: Y M ω t p ( τ ξ ω ( t τ sω ( t τ dτ D (4 Solução o Domíio da Frquêcia Aplicado a trasformada d Fourir a cada uma das quaçõs m coordadas modais, stas são passadas para o domíio da frquêcia, rsultado m: m qu: V ( ω H ( ω P ( ω (4

10 H ( ω ω M ω M P ( ω ( β ( β i(ξ β ( β + (ξ β p iωt dt + i(ξ β (4 Fialmt, aplicado a trasformada ivrsa d Fourir, cada rsposta fial val: 7 CONSIDERAÇÕES FINAIS Y i ω t dω π t V ( ω ( (43 Est artigo aprsta uma abordagm comparativa tr os procdimtos d solução das quaçõs do movimto o tmpo a frquêcia para sistmas struturais submtidos a cargas diâmicas. O pricipal objtivo foi pdagógico, o stido d aprstar as soluçõs das quaçõs d movimto m uma itrssat squêcia, primiramt aprstado-as o domíio do tmpo, para m sguida, o domíio da frquêcia. A abordagm tora as vatags d s rsolvr as quaçõs o domíio da frqüêcia bastat claras, pois as quaçõs difrcias s toram algébricas suas soluçõs são obtidas com opraçõs uméricas simpls, com a úica difrça d volvr úmros complxos, qu podm sr maipulados da msma maira qu os úmros rais. Agradcimtos Os autors agradcm ao CNPq, CAPES, FAPES FAPEMIG plo apoio rcbido para a ralização dst trabalho. 8 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BRIGHAM, E. O. h fast Fourir trasform, Prtic-Hall, 974. CAMARGO, R. S. écicas ficits d corrção d rros a aális diâmica d struturas o domíio da frqüêcia, 8, Dissrtação (Mstrado, Uivrsidad Fdral do Espírito Sato. CLOUGH, R.W., PENZIEN, J. Dyamics of structurs, Nw Yor, a. dição, McGraw-Hill, (993. COOLEY, J.W, UKEY, J.M. A algorithm for th machi calculatio of complx Fourir sris, Mathmatical Computatios, vol. 9, p. 97-3, (965.

11 FERREIRA, W. G.; CAMARGO, R. S.; FRASSON, A.; MANSUR, W. J. O úmro complxo su uso a gharia strutural, XXXV Cogrsso Brasiliro d Educação m Egharia, Aais... Curitiba, 7. DIDACIC COMPARISON BEWEEN IME AND FREQUENCY DOMAIN FORMULAIONS OF DYNAMIC ANALYSIS OF SRUCURES Abstract: h rspos of structural systms subjctd to dyamic loads ca traditioally b valuatd i tim domai or i frqucy domai. Solutio mthods basd i frqucy domai hav b i dvlopmt i rct yars. h choic of th mthod dpds o th physical proprtis of th systm. I thos with frqucydpdt physical proprtis or with hystrtic dampig, frqucy domai aalysis is rcommdd. Although tim domai mthods ar asily assimilatd by girig studts, th sam dos ot happ to frqucy domai mthods, spcially to civil girig studts. h goal of this articl is to itroduc a didactic compariso btw ths two importat mthods to th solutio of structural systms subjctd to dyamic loads, i ordr to ma it asir for civil ad mchaical girig studts to lar this subjct. Ky-words: first im domai aalysis, Frqucy domai aalysis, Covolutio itgral, Fourir trasform, Comparativ aalysis.