SÉRIES - TRANSFORMADAS NOTAS DE AULA

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1 SÉRIES - TRANSFORMADAS NOTAS DE AUA

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3 Não é proo ir qu o oo momo ipirção mi óric pomo r o mi próimo poívl o plicçõ mi práic A N Whih (86-97)

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5 E obr é um compêio o ul, orgi ur () mr livo 7/, pr icipli Cálculo gr ghri UTFPR Câmpu Curiib Nl, bor- Séri Fourir, Trorm Fourir, Trorm plc Trorm Z Além iição, áli covrgêci, propri ivrão, rorm coíu, como Fourir plc, ão plic olução quçõ ircii oriári prcii, mprg molgm ômo mcâico lérico Já Trorm Z, icr, é plic olução quçõ irç lir, pr m um pricípio corol Ruimr ui Nó ruimro@uprubr pgipoluprubr/ruimro

6 6

7 Sumário SÉRIES Squêci uméric iii Séri uméric iii Covrgêci éri uméric iii A éri goméric Coição cári à covrgêci T ivrgêci Séri rmo poiivo: o igrl Covrgêci bolu coiciol 6 Covrgêci éri uçõ 6 Covrgêci uiorm 6 T M Wirr 7 Ercício complmr 9 A SÉRIE DE FOURIER Fuçõ prióic Séri rigooméric Séri Fourir Diição Coici 6 Coiui cciol ou por pr 8 Covrgêci: coiçõ Dirichl 9 Séri Fourir um ução prióic Fuçõ pr uçõ ímpr 8 6 Séri Fourir coo 7 Séri Fourir o 8 O ômo Gibb 6 9 A ii Prvl pr éri Fourir 8 7

8 Covrgêci éri uméric rvé éri Fourir 9 Drivção igrção éri Fourir A orm pocil (ou compl) éri Fourir Aplicçõ éri Fourir olução quçõ ircii prcii 8 Equçõ ircii 8 Equção o clor 9 Equção o 6 Equção plc 6 Ercício rolvio 67 Ercício complmr 78 A INTEGRA DE FOURIER - TRANSFORMADAS DE FOURIER 9 D éri Fourir à igrl Fourir 9 A igrl Fourir 9 Covrgêci igrl Fourir 9 Covrgêci bolu coiciol 9 A igrl coo Fourir 9 A igrl o Fourir 9 6 Form quivl igrl Fourir 9 7 Diição rorm Fourir rorm Fourir ivr 97 8 Trorm coo Fourir 99 9 Trorm o Fourir Fução Hvii Epcro, mpliu rorm Fourir Propri oprcioi rorm Fourir 7 Compormo F(α) quo α 8 iri 8 Simri (ou uli) 9 Cojugo 9 8

9 Trlção (o mpo) 6 Trlção ( rquêci) 7 Similri (ou muç cl) ivrão mpo 8 Covolução 9 Muliplicção (Covolução rquêci) Trorm Fourir riv Driv rorm Fourir 7 Rumo: propri oprcioi rorm Fourir Dl Dirc Propri o l Dirc Trorm Fourir o l Dirc Méoo pr obr rorm Fourir Uo iição propri Uo quçõ ircii 7 Dcompoição m rçõ prcii 8 6 Trorm Fourir lgum uçõ ão bolum igrávi 6 A ução co uiári 6 A ução il 6 A ução gru 6 A ução pocil 6 A ução coo 7 Rumo: rorm Fourir lgum uçõ 8 Ii Prvl pr igri Fourir 6 9 Cálculo igri imprópri 7 Solução quçõ ircii Equçõ ircii oriári Drivção ob o il igrção Rgr ibi Equçõ ircii prcii Solução quçõ igri quçõ ígro-ircii Ercício rolvio Ercício complmr 6 TRANSFORMADAS DE APACE 6 9

10 Diição rorm plc 6 Moivção 6 Fução Hvii 6 Trorm plc 66 Fuçõ orm pocil 69 Covrgêci rorm plc uilrl 7 Covrgêci bolu coiciol 7 Coiçõ uici pr covrgêci 7 Trorm plc uilrl uçõ lmr 7 () = 7 () = 7 Rumo: rorm lgum uçõ lmr 7 Propri rorm plc uilrl 76 Compormo rorm plc F() quo 76 iri 76 Primir propri rlção ou locmo 79 Sgu propri rlção ou locmo 79 Similri (ou muç cl) 8 6 Trorm plc uilrl riv 8 7 Trorm plc uilrl igri 8 8 Driv rorm plc uilri (muliplicção por ) 8 9 Igri rorm plc uilri (ivião por ) 86 Covolução 88 Vlor iicil 89 Vlor il 89 6 Trorm plc uilrl uçõ prióic 9 7 Cálculo igri imprópri 9 8 Méoo pr rmir rorm plc uilrl 9 8 Uo iição 9 8 Epão m éri poêci 9 8 Uo quçõ ircii 97 8 Ouro méoo 97 9 Trorm plc uilrl lgum uçõ 98 9 Fução ul 98 9 Fução gru uiário 98

11 9 Fução impulo uiário 98 9 Algum uçõ prióic Méoo pr rmir rorm plc uilrl ivr Complo quro Dcompoição m rçõ prcii Epão m éri poêci 6 A órmul Hvii 8 A órmul grl (ou compl) ivrão 9 Solução quçõ ircii Equçõ ircii oriári com coici co Equçõ ircii oriári com coici vriávi Equçõ ircii oriári imulâ 7 Equçõ ircii prcii Solução quçõ ígro-ircii Ercício rolvio 8 Ercício complmr 6 TRANSFORMADA Z 9 Diição rorm Z uilrl 9 Trorm Z uilrl lgum quêci Vrão icr ução l Dirc Squêci uiári ou po icro uiário Epocil Poêci Séri poêci: iição, rio covrgêci Eiêci omíio iição rorm Z uilrl Propri rorm Z uilrl 7 iri 7 Trlção (ou locmo) 6 Similri 6 Covolução 6 Dircição rorm um quêci 6 6 Igrção rorm um quêci 6 7 Vlor iicil 67

12 8 Vlor il 67 6 Rumo: rorm Z uilrl uçõ icr lmr 68 7 Trorm Z uilrl ivr 69 8 Méoo pr rmir rorm Z uilrl ivr 69 8 Uo rorm Z uilrl u propri 69 8 Dcompoição m rçõ prcii 7 8 Epão m éri poêci 7 8 Erégi grl ivrão 7 9 Trorm Z bilrl 76 9 Séri ur 76 9 Diição 78 Ercício rolvio 8 Ercício complmr 8 7 EQUAÇÕES A DIFERENÇAS 87 7 Diição 87 7 Equçõ irç lir 88 7 Solução quçõ irç lir por irméio rorm Z uilrl 88 7 Ercício rolvio 9 7 Ercício complmr 98 8 FORMUÁRIO REFERÊNCIAS

13 SÉRIES N cpíulo, ão pro iiçõ orm rlcioo éri uméric éri uçõ A morçõ o orm cio ão cor m livro cálculo [] cálculo vço áli [7,8] Squêci uméric iii Um quêci uméric iii é um ução icr cujo omíio é Emplo Noção:, N \, N \ o ) o ) A quêci é covrg ou ivrg? S lim i, ão é covrg Co corário, é ivrg Como lim lim 9 6,,,,, 8,,,,,,,, 7 9, é covrg Séri uméric iii Um éri uméric iii é ii como o om o rmo um quêci uméric iii Noção: Som prcii: S S S S S lim S S, ão éri uméric iii é covrg S o limi S ão i, ão éri uméric iii é ivrg

14 Emplo ogo, éri uméric iii é covrg Covrgêci éri uméric iii Dircir: coiçõ cári à covrgêci; coiçõ uici à covrgêci; coiçõ cári uici à covrgêci A éri goméric Torm: A éri goméric - r r r r, com, (i) covrg, m por om, ; (ii) ivrg, Emplo o ) o ) lim lim S S S r r r r ou - r r 9 9,,

15 Coição cári à covrgêci Torm: S éri uméric iii A rcíproc ão é mpr vrir é covrg, ão lim T ivrgêci S lim ão iir ou lim, ão éri uméric iii é ivrg Séri rmo poiivo: o igrl Torm: S é um ução coíu, crc vlor poiivo pr oo, ão éri uméric iii (i) covrg igrl imprópri (ii) ivrg igrl imprópri Emplo A éri hrmôic covrg; ivrg é ivrg lim (coição cári, porém ão uici) b lim l lim b b b b limlb Como igrl ivrg, éri hrmôic ivrg

16 Covrgêci bolu coiciol A éri é i bolum covrg covrgir S é i coiciolm covrg covrgir m ivrgir, ão Torm: S covrg, ão mbém covrg Emplo v qu A éri uo Séri Fourir) é bolum covrg, um 6 (prov- poriorm Covrgêci éri uçõ Covrgêci uiorm Séri úmro ri!! 8! 6!! Séri uçõ u u u u!!!!! (éri poêci) 6

17 A éri Fourir co b é um éri uçõ ri- gooméric Sjm éri u, o,,,, é um quêci uçõ ii m [,b], lim S S S A éri covrg pr S m,b om prcil éri pr c c i um N l qu S pr oo N O úmro N p grlm S N p om, ão éri covrg uiormm ou é uiormm covrg m,b Torm: S c rmo éri é um ução coíu m [,b] éri é uiormm covrg pr S() m [,b], ão éri po r igr b b rmo rmo, io é, u u Torm: S c rmo éri é um ução coíu com riv coíu m [,b] u covrg pr S() quo u ' covrg uiormm m [,b], ão éri po r irci rmo rmo m [,b], io é, u u u u u u S u u u,b T M Wirr Krl Thoor Wilhlm Wirr (8-897): mmáico lmão S i um quêci co M,,,,, l qu pr oo m um irvlo () u M ; 7

18 ão (b) M u covrg, covrg uiorm bolum o irvlo Obrvçõ: ) O orc coiçõ uici, porém ão cári ) Séri uiormm covrg ão ão crim bolum covrg ou vic-vr Emplo co co co co co é uiorm bolum co covrg m, (ou m qulqur irvlo), um v qu 6 8

19 Ercício complmr Mor qu éri ivrg Rpo: u o ivrgêci Mor qu éri covrg rmi u om Rpo: Drmi éri iii guir ão covrg ou ivrg ) b) l Rpo: éri é ivrg: Rpo: éri é covrg: l c) Rpo: éri é covrg: ) l Rpo: éri é ivrg: l Vriiqu éri uçõ gui ão uiormm covrg pr oo ) b) co Rpo: éri é uiormm covrg pr oo Rpo: éri é uiormm covrg pr oo 9

20 c) Rpo: éri é uiormm covrg pr oo Sj Prov qu Rpo: u, o T M Wirr (prov qu covrg uo o igrl) o o qu um éri uiormm covrg po r igr rmo rmo Obrvção: mor- uurm qu 8 96 Aim, 6 Prov qu co co co6 7

21 A SÉRIE DE FOURIER N cpíulo, pr- Séri Fourir u propri Mor- mbém como Séri Fourir urg urlm o proco olução um qução ircil prcil J-Bpi Joph Fourir (766-8): íico, mmáico ghiro rcê Pricipi coribuiçõ: ori coução o clor, éri rigooméric Por qu proimr um ução por um éri o coo? Pr cilir o rmo mmáico o molo, um v qu uçõ rigooméric o coo ão prióic príoo uml, coíu, limi iiim irciávi Fuçõ prióic Emplo Um ução : R R é prióic príoo uml P, P () (b) (c) () P Figur : (), ução príoo uml ; (b) co, ução príoo uml P ; (c), ução príoo uml P k, k ; () ução o rigulr, príoo uml P

22 Como uçõ co co ão π-prióic, mo qu 6 co co co 6 Fuçõ prióic urgm m um gr vri problm íico, i como vibrçõ um cor, o movimo o pl m oro o ol, roção rr m oro o u io, o movimo um pêulo, corr lr m circuio lérico, mré o movimo oulório m grl Séri rigooméric ou Domi- éri rigooméric um éri orm co b co b co b co b () ou co b () Obém- orm () rvé um rormção lir qu lv um irvlo mpliu m um irvlo mpliu Em () ou (), pr c mo um hrmôico éri, b ão o coici éri Emplo : co b co : quêci iii,,,,, A éri rigooméric () mbém po r cri orm A, () o A b, A b A co

23 A orm () é obi muliplico- iviio- orm () por b : ; Coiro A b, A co A b, m- qu: ; Em (), o rmo A é chmo hrmôico orm po r crcrio om pl mpliu A plo âgulo Quõ D um ução () -prióic, qui coiçõ qu () v ir pr qu i um éri rigooméric covrg pr l? So N, m, mor qu: () ; co co (b) ( é ímpr o irvlo, ); co co co b b b co b b b b co b b co co A A, co

24 (c) ; co co m co m co m () (o prouo u uçõ ímpr é pr); co m m m () (o prouo um ução pr por um ímpr é ímpr) m, m, co m co m m - co m co co m co v u co v u co v co u mbro qu: co m, m, m v u co v u co v u qu: mbro m m co m - co m m co m - m co m v u v u v co u mbro qu:

25 Obrvçõ ) O rulo coro riorm coium válio quo o limi igrção ão ubiuío por c c +, rpcivm, com c R ) Fuçõ orogoi Diição : O prouo iro ou prouo clr u uçõ um irvlo [,b] é o úmro, g g Diição : Du uçõ g ão orogoi m um irvlo,b b b g g g m A uçõ g co ão orogoi o irvlo Séri Fourir Diição Sj ução () ii o irvlo, or irvlo ii como, ou j, é -prióic A éri Fourir ou pão Fourir corrpo () é por co b, o qu o coici Fourir, b ão o pl prõ guir

26 6 b Coici S éri covrg uiormm pr m,, mor qu, pr,,,, ; b ; Muliplico por igro, obém-: Coiro m m I m m II: ; m m co ou co b co A co A b co A m co,m,,,, II I m co b co m co m co A m co m co m co

27 7 Pr, () Muliplico por igro, obém-: Coiro m m I: ; m m b ou Igro, obém-: Pr obém-: ; () Compro () (), coclui- qu Obrvção: o rulo coro coium válio quo o limi igrção ão ubiuío por c c +, rpcivm, com R c b co A m,m,,,, I m b co m m A m b m m b b co A b co A,,,, A A A A

28 Torm S u v ão uiormm covrg m b h é coíu m b, ão éri v u, v u, h u v h ão uiormm covrg m b Dmorção: KAPAN, W Cálculo vço Vol São Pulo: Egr Blüchr, 97 Pági 9 Torm To éri rigooméric uiormm covrg é um éri Fourir Mi prcim, éri covrg uiormm pr pr oo, ão é coíu pr oo, m príoo co b co b co b éri rigooméric é éri Fourir Coiui cciol ou por pr Um ução é cciolm coíu ou coíu por pr m um irvlo irvlo po r ubiviio m um úmro iio irvlo m c um o qui ução é coíu m limi, à iri à qur Emplo Figur : Fução cciolm coíu [] 8

29 Covrgêci: coiçõ Dirichl Pr Guv ju Dirichl (8-89): mmáico lmão Sj ução S: () é ii m, () é -prióic; () ão, éri, co m um úmro iio poo; ' ão cciolm coíu m, com coici Fourir, covrg pr: () (), é um poo coiui; (b) Obrvçõ,,, é um poo coiui ª) A coiçõ (), () () impo () ão uici pr covrgêci, porém ão cári co b ª) rprm o limi lri (), à iri à qur, rpcivm lim h lim h h h Dmorção: SPIEGE, MR; WREDE, RC Cálculo vço ª Poro Algr: Bookm, Torm uml Sj um ução ii muio li por pr o irvlo j ii or irvlo l moo qu h príoo Eão éri Fourir covrg uiormm pr m oo irvlo cho qu ão coh coiui Em c coiui, éri covrg pr 9

30 lim lim Dmorção: KAPAN, W Cálculo vço Vol São Pulo: Egr Blüchr, 97 Pági 6 Obrvção: um ução coíu por pr é li por pr m c ubirvlo m riv primir coíu; é muio li por pr m c ubirvlo m riv gu coíu Torm uici Sjm uçõ cciolm coíu o irvlo, moo qu mb hm o mmo coici Fourir Eão, lv o poo coiui, co Dmorção: KAPAN, W Cálculo vço Vol São Pulo: Egr Blüchr, 97 Pági 6 Séri Fourir um ução prióic Emplo,, - Sj, ) Coru o gráico,, - Figur : Gráico,

31 b) A ução i à coiçõ Dirichl? é ii m,, co m (há um úmro iio coiui o irvlo); é prióic príoo uml P, io é, ; ' ão cciolm coíu m, Aim, éri Fourir covrg pr o poo coiui pr (méi o limi lri) o poo coiui c) Drmi éri Fourir corrpo P co co co b co co co co b b b Séri Fourir : ;

32 6 7 ; 7 7 ; 7 6 () Figur : () Epão m éri Fourir com 9 ; (b) pão m éri Fourir com 9 (b) ) Ri pr qu éri Fourir j covrg pr () o irvlo Emplo ], -, -,,, Sj,, ) Eboc o gráico

33 Figur : Gráico,, b) Ep m um éri Fourir P A ução á ii m,, ão m, 8 c c c c 8 co co 8 () Uo igrção por pr, m- qu: uv uv vu ; u, u, co v co, u, u, v, v ; co v co co co co ; ; co ; C

34 Volo (), obém-: co ; co ; c c b () Uo igrção por pr, m- qu: u, u, Volo (), obém-: Séri Fourir : v, co u, u, v co, ; co ; ; co v v co co co b b b co ; ; C co ; co () Em, () covrg pr méi o limi lri, ou j,

35 () (b) Figur 6: () Epão m éri Fourir com ; (b) pão m éri Fourir com c) Uo éri Fourir (), prov qu Coiro m (), m- qu: ; ; Obrvçõ ª) Como o wiplo pr um ução ii por vári ç joi( ) 6 6

36 Emplo,,, joi,, ª) Como o wiplo pr um om um((,),,,b): om, é b Emplo (/pi)+um((/)*i(**),,,) Ercício Sj,, um ução -prióic ) Vriiqu i à coiçõ Dirichl b) Ep m um éri Fourir Rpo: c) Mor qu ) Como vri r ii m pr qu éri Fourir covrgi pr m? l ) Plo imulm o gráico éri Fourir qu covrg pr Clcul éri Fourir o il prióico rpro o gráico () Figur 7 6

37 () Figur 7: () Sil; (b) Séri Fourir o il com (b) co 8 Rpo: co Sj o il rpro o gráico bio y Figur 8: Sil ) Drmi éri Fourir corrpo o il Rpo: b) Pr quo covrg éri Fourir o il m? E m? Rpo: 7

38 c) U éri Fourir rmi m () pr clculr pr quo covrg éri uméric Rpo: 6 ) Plo imulm o gráico éri Fourir Fuçõ pr uçõ ímpr Um ução () é pr 6 Aim,,, co ão uçõ pr O gráico um ução pr é imérico m rlção o io or, como ilur Figur 9 Figur 9: Gráico ução,, Um ução () é ímpr Aim,,, g ão uçõ ímpr O gráico um ução ímpr é imérico m rlção à origm, como ilur Figur 8

39 Figur : Gráico ução,, Torm Propri uçõ pr ímpr () O prouo u uçõ pr é pr (b) O prouo u uçõ ímpr é pr (c) O prouo um ução pr um ução ímpr é ímpr () A om (ou irç) u uçõ pr é pr () A om (ou irç) u uçõ ímpr é ímpr () S é um ução pr, ão (g) S é um ução ímpr, ão Dmorção Sj F g () A uçõ F b) A uçõ g ão pr, g- g g- g F Fé pr g ão ímpr F, g- g g- - g g F Fé pr 9

40 (c) A ução F é pr ução g é ímpr, g- g g- - g g F Fé ímpr Sj F g () A uçõ F () A uçõ F F g ão pr, g- g g- g F Fé pr g ão ímpr, g- g g- g g F Fé ímpr g- g g F Fé ímpr () (g) é pr é ímpr Emplo co, -,

41 co - co co é ução pr Ercício Vriiqu pri gui uçõ: co,, ; co co,, ;,, ; co,,,, ; 6 co,, ; ; 7 7 co,, ; 8 co,, ; 9,, ; co,,,, ;,,, ; co8 ;,,, co,, ; 6 Séri Fourir coo A ução é pr m,

42 b Emplo co ução pr uçãoímpr Séri Fourir coo: Ep, m um éri Fourir co- o Mor qu clcul pr quo covrg om 8 Rpo: co,, -, co co y, - Figur : Gráico ução,,,, pi m éri Fourir coo com (ul) (vrmlho) 7 Séri Fourir o A ução é ímpr m,

43 co uçãoímpr b Emplo uçãopr Séri Fourir o: b Ep, -, Rpo:, m um éri Fourir o y Figur : Gráico ução,, Fourir o com (vrmlho) (vr), pi m éri Ercício Sj, -, 6

44 ) Dvolv () m um éri Fourir Rpo: b) Drmi pr quo covrg éri Rpo: Clcul éri Fourir o il prióico rpro o gráico () Figur () (b) Figur : () Sil; (b) Séri Fourir o il com cico hrmôico Rpo: Clcul éri Fourir o il prióico rpro o gráico () Figur co co 8

45 () (b) Figur : () Sil; (b) Séri Fourir o il com vi hrmôico 6 Rpo:, - -, -,, Sj, 8 co Rpo: co Drmi éri Fourir Sj, -,, rpr gricm Figur y Figur : Gráico, -,

46 ) Drmi éri Fourir Rpo: co co co b) Emprgo (), clcul pr quo covrg éri uméric 7 Rpo: Sj : R R / co, -, ) Clcul éri Fourir Rpo: 6 b) Drmi pr quo covrg éri uméric Rpo: 6 8 O ômo Gibb Joih Willr Gibb (89-9): mmáico íico órico or mrico Pricipi coribuiçõ: áli voril mcâic íic O ômo Gibb crv mir pculir como éri Fourir ruc um ução prióic cciolm coíu compor viihç um coiui ução A -éim om prcil éri Fourir pr ocilçõ mior mpliu proimi um coiui o ipo lo iio A mpliu ocilçõ ão imiui com o umo o úmro hrmôico, porém um limi Há um imiv pr mpliu ocilçõ proimi um coiui por 6

47 ,9 - A Figur 6 ilur o ômo Gibb pr o qur O qur:,, -, Séri Fourir o qur: y Figur 6: Séri Fourir o qur,,, - (vrmlho), (vr), (ro) (pro), com Ercício Pqui rpio o gui pco o ômo Gibb: ) mpliu ocilçõ; b) como miimir o io o ômo Gibb; c) coquêci o ômo Gibb oci priciplm à compcção img áuio; 7

48 8 ) mlhç r o ômo Gibb Rug (irpolção poliomil) 9 A ii Prvl pr éri Fourir Mrc-Aoi Prvl Chê (7-86): mmáico rcê S ão o coici Fourir corrpo, i coiçõ Dirichl, ão Dmorção Aum- qu éri Fourir corrpo covrg uiormm pr m, D orm, muliplic- por igr- rmo rmo b b b b co co b co

49 9 Aplicçõ Covrgêci éri uméric Vriicr um éri rigooméric é éri Fourir um ução () Ercício Sj,, u rpciv Séri Fourir Drmi ii Prvl corrpo à éri Fourir () Rpo: (9) Covrgêci éri uméric rvé éri Fourir Emplo Emprgo ii (9), morr qu b b b b b co, -, co 96 7

50 () Emprgo (9) (), mor- qu

51 Drivção igrção éri Fourir Torm S u,,,,, orm coíu m,b u covrgir uiormm pr om S m,b, ão Aim, um éri uiormm covrg uçõ coíu po r igr rmo rmo b S u b b b ou u u Torm S,,,,, orm coíu ivrm riv coíu m,b u u,b, ão m,b covrgir pr S quo u ' é uiormm covrg m ou u u ' ' S u D orm, éri po r riv rmo rmo Obrvção: o orm orcm coiçõ uici, porém ão cári Torm A éri Fourir corrpo () po r igr rmo rmo, éri rul covrgirá uiormm pr qu () j cciolm coíu m mbo,, prçm irvlo u u Emplo Sj, -

52 ) Obh um éri Fourir pr, igro éri Fourir b) U éri obi riorm pr morr qu ) Igro- igul rior co co co co 6 C co co co co 8 C co co co co C C co C co C co C co u u u u u u u u uu ' ' () Em (), om i i C C C or cohci, pomo uá-l pr rmir, u u u u u u 8 C co co co co 6

53 () b) Coiro- m () A orm pocil (ou compl) éri Fourir ) Morr qu po r cri orm compl b) Morr qu o coici Fourir pom r crio como um úic igrl ) Rcoro ii Eulr ohr Eulr (77-78): mmáico uíço co b co i c b,,,,,, c - i i co i

54 i Sj co i () i i ico co i i i ico ico é co i co i Volo- (): i co i i co i Aim: i i co co i ; i co i A igul rior coum : co i i ; i i i Subiuio igul cim éri Fourir, prov- o im

55 Coiro ib c, m- qu: c c ; c c i b ; ; Ercício Mor qu b) Muliplic- por, igr- coir- m i i i i i i i i i i ib ib i b i i b i i b i b i b b co ib c i c c m, m, - m i i c m i - m i - m i - m i i - m i c c

56 6 Po- morr o mmo uo- iição c c c c c Emplo P, -, i i co c () i i c Igro- por pr, m- qu: ;, i c ; c (ubiu por m ()); - i - i c c i co c i co ib c i c i c co i co i c

57 c i ; i i i i Vriico quivlêci r orm pocil uul: i co i co Pr opoo, uplic Aim: ul ; c Ercício Drmi éri Fourir orm pocil h i Rpo: i,,,, - Sj, Ep orm pocil m éri Fourir i i i Rpo:, c ou i Sj, -, 7

58 ) Ep m éri Fourir orm pocil Pr quo covrg éri m? i Rpo: i, c ou j, ro Em, éri Fourir covrg pr méi o limi lri, b) U éri rmi o im pr clculr Rpo: 6 Aplicçõ éri Fourir olução quçõ ircii prcii A éri Fourir urg olução quçõ ircii prcii, i como qução o clor, qução o qução plc Equçõ ircii Um qução ircil é um igul qu rlcio um ução u riv (ou p riv ução) Um qução ircil oriári (EDO) é um igul volvo riv um ução um úic vriávl ip Emplo () y y, () u '' u co, Um qução ircil prcil (EDP) é um igul volvo riv um ução u ou mi vriávi ip 8

59 Emplo () u, u,,, () u, y u, y y y,, y () u, u,u, u,,, A orm um qução ircil é pl riv (impl ou prcil) mior orm qu ocorr qução Um qução ircil é i lir quo p lirm ução (vriávl p) volvi u coici ipm ução Um qução ircil é i homogê quo o rmo qu ip ução icógi u riv é iicm ulo Aim, o mplo o riorm, m- m: () um EDO lir orm homogê; () um EDO lir orm ão homogê; () um EDP lir orm homogê; () um EDP lir orm ão homogê (qução Poio); () um EDP ão lir orm ão homogê (qução Burgr) N olução quçõ ircii prcii po- r oi ipo iormçõ uplmr cári à uici olução: coiçõ iicii coiçõ cooro (omíio limio) D orm, m- problm vlor iicil, problm cooro ou problm mio (mbo) Um qução ircil prcil gu orm orm, y, y, y, y, y A B C y y D E y F, y G é i lípic B AC, prbólic B AC hiprbólic B AC Equção o clor u, u, (qução ircil prcil prbólic) A ormulção mmáic qução o clor po r cor m FIGUEI- REDO, DG Aáli Fourir quçõ ircii prcii, pági 9

60 Obr um olução u, pr o problm mio bio u u u u u,, u,,,, M,, (olução limi) Solução: u, X T (prção vriávi) () Subiuio () qução ircil prcil, obém-: T T cooro X X ; c () Po- morr qu um co Aim: 6 m () ão i coiçõ () A olução o im quçõ ircii oriári () é: Subiuio () m (), cor- () () Prci- gor rmir A B l mir qu () iç coiçõ cooro (6) (7) Como B i (7) (ão ir olução rivil), vi- colh (, XT XT T X X T ; T T X X T C X A u u u co B u ) Coir- ão c, Aco B, A Bco, A A u, B, B

61 , Z Subiuio- (8) m (6): u, B Em (9), ubiui- B por u pr ir vlor (8) (9), iico qu co ir pom r mbro qu om oluçõ orm (9) ão mbém oluçõ (pricípio uprpoição), po- crvr (9) como: u, B () A olução () v ir mbém coição iicil u,, Poro, ubiuio m (), obém-: Obrv- qu () quivl pir,, m um éri Fourir o ogo: B Subiuio () m (), chg- à olução B B, () co () Ercício u, () Mor qu olução () i qução ircil prcil, coiçõ cooro coição iicil Equção o, c u, u (qução ircil prcil hiprbólic) 6

62 A ormulção mmáic qução o po r cor m FIGUEI- REDO, DG Aáli Fourir quçõ ircii prcii, pági Drmir um olução u, pr o gui problm mio u u, u u u u u,,,, M, Solução: u, X T (prção vriávi) () Subiuio () qução ircil prcil, obém-: ; ; () A olução o im quçõ ircii oriári () é: T A X B co co XT XT T X X T ; T T X A B Subiuio () m (), cor- (), A co A B co B u () Dv- gor rmir co pr qu () iç coiçõ cooro coiçõ iicii X, B A co A T T () X X u B ( olução rivil ão ir) (6) 6

63 u, A co A B A Bco, A Bco (7) u (8), Z (9) u, Aco B, A A u () Subiuio (9) () m (7), m- qu: u u, B co ;, B co () Em (), crc- o íic à co B po- uprpoição oluçõ u, B () Tm- m () pão () m um éri Fourir o ogo: B () Subiuio- () m (), obém- olução procur u, co () Ercício Mor qu olução () i qução ircil prcil, coiçõ cooro coiçõ iicii Equção plc u, y u, y (qução ircil prcil lípic) yy 6

64 Obr um olução u, y pr o problm cooro guir u u y u,y u u u, y u,, u y, M, y y u Figur 7: Coiçõ cooro pr qução plc Solução:, y XYy u (prção vriávi) () Subiuio- () qução ircil prcil, obém-: y XY XY ; X Y X y Y ; X Y Y X y ; X X Y Y y ; () X X () Y Y y A olução o im quçõ ircii oriári () é: 6

65 X A Y A co coh B y B hy Subiuio- () m (), cor- u cooro, A co B A cohy B hy () () Dv- gor rmir co pr qu () iç coiçõ, y A A cohy B hy u A ( olução rivil ão ir) (6) u, Acoh y Bh y (7), A u A (8) u m- qu:, B h y (9), y B h y, Z u () Subiuio- () m (9) uo- o pricípio uprpoição,, B h y u ; () u, u Bh u () Tm- m () pão u m um éri Fourir o Aim: h B Ercício B u u B co h ; u h co u h () Subiuio- () m (), obém- olução procur u u, h y () h Mor qu olução () i qução ircil prcil coiçõ cooro 6

66 Supoh um brr comprimo (rmo m ) com mprur iicil por um ução () Drmi iribuição mprur brr Pr co, o problm vlor cooro é o por u u u u u,, u,,,,,, M (olução limi) Rpo: u, co co Solucio o problm mio guir u u, u u, u, u,,, M Rpo: B u, 8, Solucio o problm vlor cooro guir mprgo o méoo prção vriávi ) u u,, y u y, y Rpo: u, y y b) u u, y, y u, y u, y u, y y y Rpo: 66

67 Ercício rolvio Sj : R R /,,, ) Plo o gráico com plo mo rê príoo y y () (b) Figur 8: Gráico : R R / : (), ; (b) b) Drmi éri Fourir m- qu: é ução ímpr (prouo um pr por um ímpr), P b () m (), Emprgo- ii u v co u v cou v b Clculo igrl iii (igrção por pr) u, u co v co, v co u, u () co v, v 67

68 68 C co co co co () Roro () co - co b co - co b co b b, 6 8 b 9 6 b Pr clculr b, vol- ()

69 b 6 8 co co co co 6 6 () 9 8 c) Plo imulm o gráico éri Fourir (mprgu ir hrmôico) ç comário pri ruc y y () Figur 9: Gráico ; (b) (b) : () Comário: Como m coiui o ipo rmovívl m,,, coiui (ro), ão obrv o ômo Gibb éri Fourir N, éri Fourir covrg pr méi o limi lri 69

70 ) U éri Fourir pr rmir pr quo covrg éri uméric Coiro m () lmbro qu : Sj : R R / h coh,,, ) Drmi éri Fourir h coh -hcoh - h coh é um ução ímpr (prouo um ímpr por um pr), P b hcoh - () 7

71 Clculo igrl iii (igrção por pr) u, u co v, v u, u co v co, v co co co co co C (6) Subiuio- (6) m (), primirm com poi com b b b - co co co co co 7

72 h h b, h b) Plo imulm o gráico éri Fourir (mprgu ir hrmôico) ç comário pri ruc y Figur : Gráico h coh,,, 7

73 y Figur : Gráico h coh,,, Fourir com (vrmlho) (ul), éri y Figur : Gráico h coh,,, Fourir com (vrmlho) (ul), éri 7

74 y Figur : Gráico h coh,,, Fourir com (vrmlho) (ul), éri y Figur : Gráico h coh,,, Fourir com (vrmlho) 7 (ul), éri

75 y Figur : Gráico h coh,,, Fourir com (vrmlho) (ul), éri Figur 6: Gráico éri Fourir com (vrmlho), (vr curo), (vr clro), (mrro) (pro) 7

76 Comário: Como o prologmo prióico iio, obrv- o ômo Gibb éri Fourir m coiui o ipo lo, io é, ocilçõ mior mpliu viihç o lo A imiv pr mior mpliu é crc % mpliu o lo N coiui, éri Fourir covrg pr méi o limi lri (ro) 9 Sj coh, -, ) Drmi éri Fourir coh coh P coh é um ução pr h coh h coh co (7) Clculo igrl iii (igrção por pr) coh co u v coh, u h u h, u coh co, v co v, v coh coh 9 co co coh coh h b h co coh coh co h co coh co coh h co coh co C 9 (8) Subiuio- (8) m (7), m- qu: coh 9 h co ; 76

77 h 9 6h ; 9 co ; 6h h co (9) 9 b) Clcul pr quo covrg éri uméric 9 8 qu Coiro h h h m (9), m- qu coh ( 6h ; 9 6h ; 9 6h ; 9 é coíu m ) h 9 6h h 8h 77

78 78 Ercício complmr Sj, rpr gricm bio, um ução -prióic () - Figur 7: Gráico -,,, Ep m éri Fourir Rpo: Figur 8: Gráico -,,,, éri Fourir com (vrmlho) (vr) y

79 Sj, rpr gricm bio, um ução -prióic () Figur 9: Gráico Ep m éri Fourir Rpo: co, -,, y Figur : Gráico, -,, com (vrmlho) (pro), éri Fourir 79

80 Sj ução rpr gricm bio Sbo qu rmi éri Fourir orm uul, () - Figur : Gráico 6, 6, -, -, co Rpo: 6 co Sj ução rpr gricm bio Sbo qu 6 rmi éri Fourir orm uul (), - Figur : Gráico 6, - 6, -, -, 6 8

81 co Rpo: 8 co 8, 8, - Sj, 8 pocil 8i i Rpo:, c Ep m éri Fourir orm, -, 6 Sj, ) Ep m éri Fourir orm pocil Pr quo covrg éri m ou j,? i Rpo:, c Em éri Fourir covrg pr méi o limi lri, b) U éri rmi o im pr clculr Rpo: 8 7 ) Obh éri Fourir qu covrg pr ução -prióic, Rpo: h co b) Drmi ii Prvl corrpo à éri obi o im rior h h Rpo: h 8

82 , - 8 So um ução -prióic:, ) p m um éri Fourir; Rpo: co 8 b) mor qu 7 6 Sugão: clcul ii Prvl 9 Sj, co, u éri Fourir, - () co () A Figur ilur o gráico u éri Fourir com y y () Figur : () Gráico, co,, - 8 (b) co, com ) é pr ou ímpr? Juiiqu b) Iiiqu o coici Fourir ; (b) gráico

83 Rpo:,,, b, b c) Pr quo covrg éri ()? E Rpo: m 9? Juiiqu 6 9 éri covrg pr ; m éri covrg pr 6 ) U éri Fourir pr rmir covrgêci éri Rpo: 6 Prov qu, pr : co co co 6 ) ; 6 8 b) Uo () (b), mor qu: c) ; ) ; 6 6 ) ) Mor qu, m, co 8

84 Figur : Gráico co, -, éri Fourir com b) Uo (), mor qu m co co co co Figur : Gráico, -, éri Fourir com c) Emprgo () (b), mor qu: 8

85 8 ; Rpo: U m () Rpo: U m (b) Sj um ução -prióic, rpr gricm bio Figur 6: Gráico ução, príoo uml ) Vriiqu () i coiçõ Dirichl b) Drmi éri Fourir corrpo () Rpo:,, c) Clcul ii Prvl éri Fourir obi o im rior Rpo:, -, -, -, - P b 8 b

86 ) Uo um owr gráico, plo o gráico éri Fourir rmi m (b) com plo mo qui () hrmôico, - Figur 7: Séri Fourir com ução, príoo uml P -, Sj,, -, 6 ) Eboc o gráico ução com plo mo rê príoo Figur 8: Gráico ução b) Drmi éri Fourir () Rpo: 9, P 6 86,, 7 -, príoo uml 6, b

87 c) Uo um owr gráico, plo o gráico éri Fourir rmi m (b) com plo mo cico () hrmôico Figur 9: Séri Fourir com ução -, prí- oo uml P 6,, Sj,, ) Eboc o gráico com plo mo rê príoo Figur : Gráico y, b) Drmi éri Fourir 87

88 8 Rpo:,, 8 7 b c) Eboc o gráico éri Fourir com,,,, (Eplor limiçõ o plicivo gráico mprgo) Figur : Gráico y y 87 9, (ul) 8 com (vrmlho) 9 Figur : Gráico , (ul) 8 com 9 (vrmlho)

89 Figur : Gráico 87 9 y, (ul) 8 com (vrmlho) 9 y Figur : Gráico 87 9, (ul) 8 com (vrmlho) 9 89

90 69? Ju- iiqu ) Pr quo covrg éri Fourir Rpo: m m 7 7? E, éri Fourir covrg pr , éri Fourir covrg pr 76 ; Sj, co,, - ) Eboc o gráico com plo mo rê príoo b) Drmi éri Fourir Rpo: co c) Plo imulm o gráico éri Fourir Emprgu ir hrmôico ) Pr quo covrg éri Fourir Juiiqu? E ruc? ) U éri Fourir pr rmir pr quo covrg éri uméric Rpo: ; co Rpo: 6 9

91 9 A INTEGRA DE FOURIER - TRANSFORMADAS DE FOURIER U- éri Fourir pr rprr um ução () ii m um irvlo mpliu, ou, Quo ' ão cciolm coíu irvlo, um éri Fourir rpr ução o irvlo covrg pr um prologmo prióico or o irvlo Eblc- cpíulo um orm rprção igrl lgum uçõ ii r (pão () m um igrl Fourir) A prir igrl Fourir, i- rorm Fourir (ir ivr) mprg- rorm olução quçõ igri quçõ ircii oriári prcii D éri Fourir à igrl Fourir Supoh- um ução () ii m, qu iç coiçõ Dirichl Aim: ; () Coiro, rcrv- () como () Como, m- qu b co u u u co u u co u u u, u u u co u u co u u u u u lim

92 ogo, o r () om orm F () Em () m- um om Rim, o qu lv à igrl F D orm, po- crvr o limi (), quo lim F lim u co u uu A B uco u, como A igrl Fourir A igrl Fourir um ução () ii o irvlo, é por A co B o A co B Covrgêci igrl Fourir S: () () () ão cciolm coíu m qulqur irvlo iio; () covrg, io é, () é bolum igrávl m ão igrl Fourir covrg pr () m um poo coiui covrg pr (méi o limi lri) m um poo coiui,, 9

93 Dmorção SPIEGE, Murry R; WREDE, Robr C Cálculo vço Poro Algr: Bookm, Obrvção: coiçõ covrgêci igrl Fourir ão uici, porém ão cári Covrgêci bolu coiciol covrg S A igrl imprópri é i coiciolm covrg é i bolum covrg covrg m ivrg, ão Torm: S covrg, ão covrg Emplo º) co é bolum covrg, poro, covrg, io porqu co covrg º), m - ivrg Aim, - é coiciolm covrg Ercício Mor qu covrg 9

94 A igrl coo Fourir S () é um ução pr o irvlo A B ;, co co A co, m- qu: Igrl coo Fourir ; A igrl o Fourir S () é um ução ímpr o irvlo A B co ;, B ;, m- qu: Igrl o Fourir Ercício, Sj,, Drmi igrl Fourir () Rpo: co 9

95 co, ou,, ou Pr quo igrl Fourir covrg m? Prov qu 6 Form quivl igrl Fourir () () A co B A B uco uu co u uu uco uco u ucou u co u () Form compl uco u u Como uco u é um ução pr m, m- qu 9

96 - uco u u Um v qu u i u u u F (6) é um ução ímpr m, o qu implic qu, po- crvr (6) m um orm pocil i u i u i - i i F o F Obrvção: m (6) coir co u u u u u u ucou i u u u cou i u iu u u u u, m- qu i i F com F - - Ercício Drmi igrl Fourir qu rpr ução pulo, (6), co Rpo: 96

97 97,,, co Obrvção:, ução (6) é chm pulo uiário Rpr por um igrl Fourir uçõ guir ) Rpo: b) Rpo: Uo rprção igrl Fourir, mor qu: ) ; b) 7 Diição rorm Fourir rorm Fourir ivr Igrl Fourir u u F o F i F u i - - i - i -,, co, -,,,,, co co co

98 Trorm Fourir F - - i co i (7) Trorm Fourir ivr F F - i (7) F Figur : Trorm Fourir Di- rorm Fourir como o ução c ução bolum igrávl F ou qu oci ^ : R C ução F : R C ou : R C - ii pl prão (7); u ivr, chm rorm Fourir ivr, é ução qu oci c ução C prc o cojuo im- gm ução bolum igrávl : R C ii pl prão (7) F ^ : R C ou : R ^ F S () é um ução pr, ão F co ( F é um rl 98

99 puro); () é um ução ímpr, ão F é um imgiário puro) F i ( Obrvçõ ª) A lirur ão é uâim quo à orm pr rorm (7) (7) Nl cor mbém o pr rorm bio F - i i F F - F i F F - - F i i F F - - i ª) O pr coium orm iméric ª) Quo à co qu muliplicm igri o pr rorm, o pro- uo mm v mpr r igul ª) A rorm Fourir é covrg om pr um cojuo muio limio uçõ, io porqu coiçõ iêci (uici, ão cári) igrl Fourir ão b rriiv 8 Trorm coo Fourir A ução () é pr o irvlo, 99

100 Igrl coo Fourir A co A co uco uu co Trorm coo Fourir C F co C Trorm coo Fourir ivr C F F co C C 9 Trorm o Fourir A ução () é ímpr o irvlo, Igrl o Fourir B B u uu

101 Trorm o Fourir S F S Trorm o Fourir ivr S F F S S Ercício Sj Clcul Rpo: ivrg, ) Drmi rorm Fourir, Rpo: F ic, ; F b) Eboc o gráico () u rorm Fourir pr () (b) Figur : () Gráico () pr ; (b) gráico pr (ução pr)

102 co c) Clcul -, co Rpo:, -, Solucio qução igrl co co Rpo: co C ; A rorm Fourir prrv pri?, ) Drmi rorm coo Fourir, co Rpo: FC, co b) Mor qu co 6 Sugão: coir m F Fução Hvii Olivr Hvii (8-9): ghiro lrôico iglê A ução Hvii (ou ução uiári Hvii) é ii como

103 H : R,, R () Figur : Fução Hvii A ução Hvii (), mbém chm ução lo uiário ou ução gru uiário, ão é ii m Algu uor im N lirur mbém é comum corr oção u pr A ução gru uiário rl é ii como H H, c u c (), c, Figur : Fução gru uiário rl u,

104 Quo muliplic por our ução ii m,, ução gru uiário () ccl um porção o gráico ução Emplo Hvii Mor qu { { u } }, i u, o u u i i, é ução uiári, i i b i b co i lim b i lim b i lim b i b b co b i b lim b i i i i Obrvçõ ) S C, ão { i u }, R ) A ução ão é bolum igrávl; já ução u é bolum igrávl Ercício Mor qu u é bolum igrávl Epcro, mpliu rorm Fourir Domi- cojuo o úmro complo (C) o cojuo pr oro úmro ri pr o qui ão ii gui propri: igul:,b c, c b ; ição:,b c, b,c ; muliplicção:,b c, c b, bc

105 C, y,, y R Emplo: i,, i, (imgiário puro),, (rl puro) Form lgébric: i y, i - i ii,,,, Cojugo: i y i y Plo Arg-Gu Im() Y θ R() Figur : Plo Arg-Gu Móulo: y R Im ; i y i y y y Form polr ou rigooméric: co co ; y y ; i y co i i co i

106 Argumo: y y Im g rcg rcg R Sb- qu F, o : R C F: R C Aim, po- coirr rorm Fourir F como o ou F o i F i F () R i F F, I, F é pr rl F, F é pr imgiári F R F R F I I F, () () FI rcg () FR A orm () é orm polr rorm Fourir, () é mpliu rorm Fourir ou o pcro mpliu o il, () é o âgulo rorm Fourir ou o pcro o il P F F F () é o pcro poêci o il R I Ercício Drmi: - Sj ( ) = u ( ), o u, é ução uiári Hvii, pr rl F ; Rpo: FR pr imgiári F ; Rpo: FI o âgulo F ; Rpo: rcg mpliu F ; Rpo: F o pcro poêci Rpo: P 6

107 Propri oprcioi rorm Fourir Fuçõ crcimo rápio é crcimo rápio l or iiim irciávl ( é Um ução C ) : R C lim m D, ou j, () u riv vão mi rpim pr ro o qu poêci pr iiio quo m vão Emplo () (b) (c) Figur 6: () Gráico ; (b) gráico g ; (c) gráico D g 8 O cojuo uçõ cl C R i qu, o como o u riv m ro quo SR A ução Gui, coium o pço Schwr, oo por, com, prc S R O prouo um ução poliomil p h p prc S R S R é um pço voril uçõ S um ução p pl ução Gui é um ução prc S R, ão u riv mbém prc S R 7

108 S um ução prc SR, ão rorm Fourir mbém prc S R Compormo F(α) quo α A rorm Fourir ução coíu qu ul o iiio, io é, Emplo A ução pulo uiário u U u F um ução bolum igrávl é um lim F,, cuj rorm Fourir é,,, U Figur 7: Gráico u U,, U Torm S : R C é um ução bolum igrávl, ão u rorm Fourir F : R C (ou : R C) é um ução coíu limi S, lém io, ^ ^ (ou ) or bolum igrávl, ão é coíu F iri S,g : R C ão uçõ bolum igrávi,b R, ão 8

109 bg b g F bg Prov: gu iição rorm Fourir propri liri igrl bg bg i i i b g F bg Simri (ou uli) S F, ão F Prov -i -i F F F Euo ubiuiçõ F F -i - i F ; ; m (), m- qu: () Emplo 8 8 Cojugo S : R C é um ução bolum igrávl, ão 9

110 F, o F é o cojugo complo Prov i co i -i F Obrvção: g g g g Trlção (o mpo) S : R C é um ução bolum igrávl, ão i F, o F Prov u i i u - u i iu i iu i u u u u F, o F i i Obrvção:, ão F, o F u 6 Trlção ( rquêci) S : R C é um ução bolum igrávl, ão i F, o F

111 Prov u i i i i iu Fu F i Obrvção:, ão i F 7 Similri (ou muç cl) ivrão mpo S : R C é um ução bolum igrávl, ão F, o F (7) Prov (), u, (), u, u, u, u, u, u u, u, u i i u u u u iu u - F Obrvção: coiro- m (7) u u i u, obém- F E úlim igul é cohci como propri ivrão mpo Ercício i u u iu u F u i u

112 Sbo qu G g ; Rpo: g ; Rpo: i g Rpo: g i, clcul: i 6 i G i g i G i g i g G i i 6 i i 6 8 Covolução A covolução (ou prouo covolução) u uçõ bolum igrávi g g é ii como o ução u g u u A igrl imprópri qu i covolução covrg pr oo uçõ, lém rm bolum igrávi, ão mbém quro-igrávi, io é, u quro mbém ão bolum igrávi Schwr A irmiv rior po r comprov com o mprgo igul váli pr oo,b R g ugu u u u, gu u b b, ugu u ugu u u u gu u A covolução uçõ bolum igrávi, quo á ii, é mbém um ução bolum igrávl Trorm Fourir um covolução

113 S,g : R C ão uçõ bolum igrávi, ão g F G, o F G g Prov i g g ug u i i u i u Como : Muo- orm igrção: i u i u g ug uu u Coiro- u v u v v i u g u g u g u gv g u g g g u g g g F G i u i u u u i v v i u u i u u i Propri covolução ) Comuiv ) Aociiv ) Diribuiv g g g h gh g h g h ) Elmo ulo ) Elmo ii : l Dirc (iribuição)

114 Molo mmáico qu volvm covolução ão pr m ir rmo o cohcimo A covolução mol iorçõ m o oor lumio, urg o procmo ii cção o lromgéic /ou mcâic é mbém b lgu im r uri uoprigm N Mmáic, covolução é mprg olução im lir quçõ ircii olução lgu ipo quçõ igri N Eíic, é u pr clculr uçõ i probbili Emplo o g Solucio qução igrl y r ão cohci g yur u y g y r y g y r y g y r Y G Y R Y Y R G R Y G G Y R y Y G G R R y g u i y u r u u, Ercício Mor qu: ) u u ; u b) u u

115 Mor qu u, o u,, 9 Muliplicção (Covolução rquêci) S,g : R C ão uçõ bolum igrávi, ão g F G, o F G g Prov g g F F F F i i g i g G G i Trorm Fourir riv Sjm : R C um ução irciávl bolum igrávl bolum igrávl Como quo, ão ' um ução ' i F, o F Sjm : R C um ução u v irciávl bolum igrávl ' ' ' uçõ bolum igrávi Como ' quo, ão

116 " F, o F Grlio, jm : R um ução v irciávl bolum igrávl riv é orm uçõ bolum igrávi Como ' ",,, quo C, ão i F, o Z,, F Prov ' ' Igro por pr i b ' ' i ' lim lim b i () u v i ' u i v i ' i i i i () Emprgo- () () ' lim i i i b i lim i ' i i i b lim i lim b i ' i - ' i i F i b b b i b i Por rcurivi: " ' i i i F 6

117 Ercício Mor qu ' if i F Sjm : R C um ução irciávl bolum igrávl bolum igrávl Como quo, mor qu: S S ' ) F ; C ' b) F S C C ' um ução Obrvção: rorm o coo Fourir ão ão qu pr rormr riv primir (ou qulqur riv orm ímpr), io porqu rorm o (ou coo) riv ão é pr m rmo rorm o (ou coo) ução Sjm : R C um ução u v irciávl bolum igrávl ' ' uçõ bolum igrávi Como ' quo, mor qu: C C " ' ' ) F ; C " b) F S S S ' Driv rorm Fourir S : R C é um ução bolum igrávl mbém é um ução bolum igrávl, ão ' i F, o F S : R C é um ução bolum igrávl mbém é um ução bolum igrávl, ão " F, o F S : R C é um ução bolum igrávl mbém é um ução bolum igrávl, ão i F, o F 7

118 Prov F F i i i ' F ' i F F F i i i " F i i i i i i i Emplo º) ' " ''' i F F i F º) { u } i i i i i i R u,, º) { u } i i i i i i i i i R u,, 8

119 º) { u } i i 6 i i R u,, º) { u }! i R u,, Ercício u Sj - Drmi:, o u, é ução uiári Hvii, ) pr rl F ; Rpo: F b) pr imgiári F ; Rpo: F c) o âgulo F R I ; Rpo: rcg ) mpliu F ; Rpo: F ) o pcro poêci Rpo: P i Prov propri ircição rquêci F 9

120 Rumo: propri oprcioi rorm Fourir iri bg b g F bg Simri S F, ão Cojugo S F, ão Trlção (o mpo) Trlção ( rqüêci) 6 Dilção (ou imilri) 7 Ivrão mpo F F i F, o F i F, o F F, o F F, o F 8 Covolução g F G, o F G g 9 Muliplicção (covolução rquêci) S F G g, ão g F G Trorm riv primir ' i F, o F ' C S FS ' F S Trorm riv gu Trorm riv C " F, o F " ' ' C C FC " F S S i F, o Z,, F C S

121 Driv rorm Fourir ' i F, o F " F, o F i F, o F Dircição rquêci i F Tbl : Propri rorm Fourir Dl Dirc Pul Ari Muric Dirc (9-98): íico, mmáico ghiro briâico Prilhou o Nobl Fíic 9 com Erwi Schröigr Fução impulo uiário,, -, () A Figur 8: Fução impulo uiário A ução () po r compc uo- ução gru uiário Aim, {u u },

122 o,, u u Coiro- m- iribuição l Dirc lim,,, (), A iribuição () po r cri como c Quo c, m- qu,,,,, c c c Fiicm, o l Dirc po r irpro como um impulo rgi m um im, rão pl qul rcb o om ução impulo Dirc Propri o l Dirc A iribuição l Dirc, ;, R ; ; pr gui propri: or coíu m ; or coíu m ; 6 ; 7, é coíu; 8 9 c c ' u, é coíu m ;, é coíu m c; u, o u é ução gru uiário;

123 Obrvção: mi iormçõ rpio o l Dirc pom r obi m HSU, HP Sii im Poro Algr: Bookm, Trorm Fourir o l Dirc Aplico- rorm Fourir à propri 7, prov- rorm Fourir o Dl Dirc D mir, po- crvr o pr rorm Méoo pr obr rorm Fourir Uo iição propri Mor qu, R,, i lim k i lim k i i i k lim k i k i i co i co i i k lim k i k

124 i i k i k co lim i k i k co i lim R k k R k k i i i i i Emplo 6 i Emplo Sj 6 R / R : Drmi F F, F i, i F

125 , () Plo o gráico F pr com-o 6

126 F y Figur 9: Gráico F 88 (ul) 6 Comário: 7 F ão uçõ (vrmlho) qu ulm o iiio; pr; limi; coíu; bolum igrávi; 6 prc o pço Schwr 6 Clcul Coiro- m (), m- qu F 7 Propri imri (uli): F, F 6

127 , 7 6, 7 Uo quçõ ircii Mor qu, coqüm,, o orm ução gui Sj Eão, ' i à qução ircil oriári primir () Aplico- rorm Fourir mbo o lo (), obém-: F l F ; F ; ; ; ; () Aplico- rorm Fourir ivr (), chg- ' i F i l F i F F i F ; F l F C C i F F C Coiro- m (), m- qu i () 7

128 C Clculo- igrl m (): u u, u ; u, u, ; C () C u u Clculo- igrl m (): u w ; u u w u w w, u w w ; u w, u () C u u w w w Subiuio (6) m (), obém- w w w (6) C (7) C Subiuio- (7) m (), m- qu F (8) Coiro- m (8), coclui- qu Emplo i 9 Dcompoição m rçõ prcii Sj i Drmi F F 8i 6 8i 8 i 6 i i i 8

129 i F () i i Dcompoo- () m rçõ prcii, m- qu: i A B F () i i i i A i B i i A i B A B i i A i A B i A i, B -i i B Subiuio- () m (), obém-: F F F F i i i i i i i i i i i i i i i i () () Sb- qu { i u }, R,, (), u Aplico- rorm Fourir ivr () mprgo- (), chg- F u u u coh i i u u 9

130 Ercício Sj, Drmi, i Rpo: U um rorm Fourir cohci propri oprcioi pr cl- culr Rpo: Clcul 8i Rpo: Sj : R C/, R ) A ução é bolum igrávl? Clcul, poívl, Rpo:, R b) Mor qu, R 6 Trorm Fourir lgum uçõ ão bolum igrávi Abor- gor rorm Fourir lgum uçõ qu ão ão bolum igrávi 6 A ução co uiári A ução co uiári po r vi como o co limi ução pulo

131 , Fução pulo:, lim - lim lim lim lim y 6 A ução il, Fução il: g, - A ução il po r pr plo limi,, o u u Aim: g { lim [ lim {[ g lim [,, u - u - u ]} u ]} u - u ],

132 i lim i i i lim i g g i i g i Obrvção:, ão Ercício Mor qu { i u }, R, o u,, 6 A ução gru, Fução gru uiário: u, Po- rcrvr ução gru uiário como ogo: u g {u } g g i i u i

133 u i i Obrvção:, ão {u()} i i 6 A ução pocil T T S T ic T, ão lim,, T i i i i lim T lim T T T T T co co T i lim T T T lim T T T T T lim T i lim T T T T lim ic T T T lim T T T i i Obrvção:, ão i

134 Ercício Mor qu i 6 A ução coo i co co lim co co lim T T T lim T i T T i T i T T i- i i co T T Ercício Mor qu: i ; i ; { cou } i ; { u } F Sugão: u i F, o F u,, u or coíu m

135 7 Rumo: rorm Fourir lgum uçõ u, R, R, R,, c, u c, c u, R, c, u c, c,,,, F, F! i FC i FS lim,,, g,,,, i u i i co i co u i

136 u i F i F Tbl : rorm Fourir lgum uçõ iribuiçõ 8 Ii Prvl pr igri Fourir Prov u iv, u u, y, v v, y F, o F u iv g F G i g FuG uu (8) Coiro- m (8), obém- ii g FuG uu (8) Aumio- m (8) g lmbro qu g g F G : G G F u Fu F, prov- 6

137 F F F (8) como S g ão uçõ pr, po- rcrvr (8) como g F G D mm orm, quo Quo g F G C S C S (8) g ão uçõ ímpr rcrv- (8) (8) g, (8) (8) orm-, rpcivm, F C FS 9 Cálculo igri imprópri Po- mprgr rorm Fourir ou Ii Prvl pr clculr pr quo covrgm rmi igri imprópri Emplo Sj : R R / Plo o gráico,, 7

138 y Figur : Gráico : R R /,, Drmi F F i co i co i Clculo- igrl iii por pr u, u v co, v u, u v, co v co co co co C 8

139 F co co co co, F co co F, Clcul co 6 Ii Prvl: F - co co 6 co 6 co 6 Ercício, Sj, ) Drmi rorm coo Fourir () 9

140 Rpo: F C, b) Drmi rorm o Fourir () co Rpo: F S, co c) Mor qu ) Mor qu Clculr co C Rpo: Dcorrêci: C Solucio qução igrl Rpo: Dcorrêci: S Clculr Rpo:, p, Sjm : R R / p : R R / p

141 ) Clcul F co Rpo: F i, F b) Drmi pr quo covrgm igri - co i Rpo: - co i Solução quçõ ircii Equçõ ircii oriári Emplo Solucior qução ircil oriári y " ' y y () Sj y Y Aplico- rorm Fourir, obém- olução () orm igrl " ' y y y " ' y y y Y iy Y F i Y F Y y F i F Y i F i i Quão E m () o um poliômio iio m,?

142 Emplo Solucio EDO gu orm D D Q, () o D,, Q ão co Aplico- rorm Fourir (), obém-: D D ; ; D ; ; Q Q () D Aplico- rorm Fourir ivr (), m- qu Q () D mbro qu, D D Q D D Q Q D Q D Q, po- crvr () como Drivção ob o il igrção Rgr ibi Wilhlm Gori ibi (66-76): mmáico ilóoo lmão, coiro, jum com o íico mmáico briâico Ic Nwo (6-77), uor (pi) o cálculo ircil igrl Sj u,, b, u u p Eão u u, u, u u, u u, ()

143 ,, ão coíu m m lgum rgião o plo icluio u u b b, u u orm coíu com riv coíu pr Quo u ipm, po- rcrvr () como u u u, Equçõ ircii prcii u, : ução vriávi, R, Fio- vriávl mporl, u, or- um ução p vriávl pcil, ii r Aim, po- rmir rorm Fourir u, com rlção à vriávl i u, u, U, u, i u, u, u, iu, i u, u, u, U, ^ i i u, u, u, u, U, () () Em (), plic- propri rorm Fourir obr riv; m (), riv mporl é prrv pl rorm Fourir (riv ob o il igrção uilio rgr ibi) D orm, quo plic rorm Fourir um qução ircil prcil m u vriávi ( ), riv prcii pcii u, u prcm p riv mpori

144 u, u prmcm, ou j, rorm Fourir rorm qução ircil prcil m um qução ircil oriári m A olução um qução ircil prcil pl rorm Fourir po r rumi à gui p: ª) obr rorm Fourir coiçõ iicii coiçõ cooro ( iirm); ) plicr rorm Fourir à qução ircil prcil, rormo- m um qução ircil oriári; ª) olucior qução ircil oriári, obo- U, ; ª) rmir co pr m U, uo- coiçõ iicii coiçõ cooro; ª) plicr rorm Fourir ivr, pr obr olução u, qução ircil prcil U Equção o clor (EDP prbólic) Solucior qução o clor u u, u,, -, - () o κ é co iuibili érmic,, (ução pulo uiário) Solucior () é rolvr o problm coução clor m um brr homogê, iol rmicm iii (problm Cuchy) Em (), um- qu ução é limi bolum igrávl qu u, ( olução é limi pr ) M Augui-oui Cuchy (789-87): mmáico rcê, um o mior mmáico o éculo XIX Solução: u, i u, u, U,

145 u, U,, Aplico- rorm Fourir (), obém-: () ( ) u u, ; () Spro- vriávi m (), chg- : U, l U procur, U, l U, l U,, C U, U, U, C () Pr rmir co C m (), u- coição iicil () U, C () Subiuio- () m (), m- qu U, (96) Aplico- rorm Fourir ivr m (6), obém- olução

146 u, u, u, u, u, U, co co i co i i Ercício Rolv o problm Cuchy u u u,,, -, - i Rpo: u, F Obrvção: olução rior ão é covi m cr plicçõ práic, poi mm p F Po- prr olução m ução uo propri covolução m (96) SPIEGE, Murry R Thory problm o Fourir lyi, p 9, problm Solucio o problm u u, u, -,, - Rpo:, co co u, ou u 6

147 Equção o (EDP hiprbólic) Solucio qução o u u c, u,, u u, g, -, - - () o c é co rlcio à vloci propgção o Solucior () é rolvr o problm vibrçõ rvri um cor iii, homogê po prívl Em (), um- qu uçõ limi pr ) M g ão limi bolum igrávi qu u, ( olução é Solução: u, i u, u, U, F u, U, g G u, U, Aplico- rorm Fourir m (), obém-: () () u U, ; u, ;, c U, c U, c U, () Fmíli oluçõ oi prâmro pr ():, C coc C c U () Ercício Vriiqu qu () é olução () 7

148 U (6) Pr rmir co C m (), u- coiçõ iicii () () procur, C c c C c coc Coiro- m () uo- (), obém- U, C F (7) Coiro- U, C c G C C m (6) uo- (), obém- G c (8) Subiuio- (7) (8) m (), m- qu U, F coc G c c (9) Aplico- rorm Fourir ivr m (9), obém- olução u U, F coc, F coc G c c G c c i () Obrvção: uilio- igrl Fourir, po- morr qu () é quivl quo g u, c c SPIEGE, Murry R Thory problm o Fourir lyi, p 9, problm Ercício Rolv o problm u u, -, u,, - u,, - Rpo: u, 8

149 Equção plc (EDP lípic) A mprur o cioário m um chp mi-iii é rmi por u u y u y,, y -y, y, u, y, y u u y,, y cc Dirichl cc Num () Pr Guv ju Dirichl (8-89): mmáico lmão Joh vo Num (9-97): mmáico húgro Figur : Coiçõ cooro pr qução plc () O omíio vriávl y coição blci m y iicm qu rorm coo Fourir é qu pr o problm, um v qu C " ' F C Solução: u, y Fio- vriávl, m- qu: C C u, y u, y u, y U, C co y y U, ; ; () 9

150 ou U, () Aplico- rorm coo Fourir m (), obém-: () Fmíli oluçõ ( oi prâmro) pr (): C C U, y, y C u c C C u u U, U, y, y u, y, y u, y U, U, C u, y y C, C coh C h U () Ercício Vriiqu qu () é olução () h, coh Obrvçõ: coh h, h coh Pr rmir co C m (), u- coiçõ C cooro () () Coiro- m () uo- (), obém- U, C (6) Coiro- m () uo- () (6), obém-, C h C U (7) h Subiuio- (6) (7) m (), m- qu

151 U, h (8) h Aplico- rorm coo Fourir ivr m (8), obém- olução procur C u, y U, C h h h h co y Ercício Solucio o problm vlor cooro u u u u yy,, y,,, u, y, y y, h y Rpo: u, y co coh Uo rorm Fourir, mor qu olução qução plc o miplo uprior (problm Dirichl) u u é por u yy,,, u, y y - -, - F y y (órmul igrl Poio) Siméo-Di Poio (78-8): mmáico rcê Solução quçõ igri quçõ ígro-ircii () Solucior qução igrl gu u u,

152 o, g,, Noção: F g Aplico- rorm Fourir (), m- qu: g 6 9 i F i GF F i i F F 9 F F i i F F i 9 i 9 i i 9 () Aplico- rorm Fourir ivr (), obém- olução procur F i i 9 i F 6i i i 9 Ercício Coir um im ávl ivri o mpo, crcrio pl qução ircil y ' y, ()

153 o Fourir u propri u Solucio qução ircil () mprgo rorm Rpo: y u Uilio rorm Fourir u propri, olucio o problm o, g, u u, u,, g -, -, co Rpo: u, U rorm Fourir pr rolvr qução igrl Rpo: u u u, R Uilio rorm Fourir u propri, olucio qução igrl u h hu uu, Rpo: h, h,

154 Ercício rolvio Sj R / : R ) Clcul F F, F i, 8i i i 6 6 i 6 i i i i i i i i 6 8i F b) Drmi pr quo covrg igrl - i Propri imri (uli): 8i - i 8i - i i i - i - i i i i F, F

155 c) Clcul pr quo covrg igrl - 8 i Propri imilri: F, F i i i i i 8 8 i Uilio rorm Fourir u propri, olucio qução ircil guir Noção: y Y ' ' y y 6 9 y ' ' y ' ' y y Y Y Y Y Y i 6 9 A B C D Y 6 6 A 6 9 A B C D 9 A B B C 9C D 9D A C B D A 9C B 9D A C A C A 9C 9 Y Y Como y,, m- qu: Y 6 9 B D B B 9D D

156 Ercício complmr Drmi gui igri imprópri: i ) ; Rpo: i b) Rpo: - Clcul: - ) ; Rpo: i b) Rpo: - 8 Sbo qu, R, clcul: ) ; Rpo: 9 i b) Rpo: i Clcul gui igri: - ) co6 ; Rpo: 6 b) c) co 9 ; Rpo: 6 6 i! Rpo: i Clcul: ) ; Rpo:

157 b) Rpo: Sj : R R / u, o u, ução gru uiá-, rio ) Clcul F Rpo: 9 i b) Drmi F R 6 7 Rpo: 9 c) Drmi F Rpo: 7 9 ) Clcul I i 8 i 9, Rpo: u, 7 Drmi gui rorm: ) b) ; Rpo: ; Rpo: c) {u u ) i ) i i i }; Rpo: ; Rpo: 6 Rpo: 9 8 i 9 i 7

158 8 Sbo qu S, rmi Rpo: co, 9 Sj Drmi, co corário Rpo:, Sj Drmi, co corário i Rpo: co, Rolv qução igrl co, Rpo:, Solucio qução igrl,, Rpo: co co, Sj, ) Drmi rorm Fourir () Rpo: F, F b) Clcul o limi rorm quo Rpo: 8

159 Du uçõ muio u o uo ii ão uçõ (ução rgulr) ic Mor qu ic rc rc,,, Sj,, ) Eboc o gráico b) Clcul i Rpo: co c) U (b) pr clculr Rpo: co 6 Sj,, ) Clcul Rpo: b) A ução po r rpr orm igrl? Juiiqu c) Em co irmivo, pr quo covrg igrl Fourir? ) Clcul i Rpo: co 9

160 7 Sj,,, ) Eboc o gráico b) A ução é bolum igrávl? Juiiqu c) Clcul Rpo: co ) U (c) pr clculr 8 Rpo: 8 Sj co, co Rpo: C Clcul C co 9 Clcul, R, R w R;w Rpo: co, Coir um im ávl ivri o mpo, crcrio pl qução ircil y " ' y y, () o Fourir u propri R: u Solucio qução ircil () mprgo rorm u 6

161 Uo rorm Fourir, olucio qução ircil prcil com u, limi u u, u, u,, Rpo: u,, Uilio rorm Fourir, olucio qução ircil prcil u u, 9, -,, uji à coiçõ iicii u, u,, co i co co Rpo: u, - Emprgo rorm Fourir u propri, olucio o gui problm vlor iicil: Rpo: u, u u u u,, - - i, i -, - Emprgo rorm Fourir, olucio o problm vibrção vig iii u u u, c u,,, g -, - - G Rpo: U, F coh c hc ; i u, U, c 6

162 Emprgo rorm Fourir u propri, olucio o problm vlor iicil bio u u, u, 6, u, 6 -, Rpo: u, co co 6

163 TRANSFORMADAS DE APACE Pirr-Simo Mrqui plc (79-87): mmáico, íico rôomo rcê Embor plc h uo rorm igrl qu rcbu u om, é mi provávl qu igrl h io u iicilm por Eulr (ução gm: ) Di- cpíulo rorm plc (ir ivr) mprg rorm olução quçõ ígro-ircii quçõ ircii oriári prcii Diição rorm plc Moivção Solução quçõ ígro-ircii, como quçõ ircii oriári, i como, () () N quçõ () () m- qu i é corr, q é crg iâ o cpcior C Ri i E i q C, como o rpro Figur R q q E E C é orç lromori (m) m um circuio lérico m éri -R- Figur : Circuio m éri -R-C [] A orç lromori é mui v cciolm coíu, como ilur Figur 6

164 () (b) Figur : () Fução rr; (b) ução o qur [8] Fução Hvii No uo rorm plc, i- u pr como, u, (), o é um co poiiv Quo muliplic por our ução ii pr () ccl um porção o gráico ução, ução gru uiário Emplo,, u, um v qu u,, () (b) Figur : () Gráico ; (b) gráico u 6

165 A ução gru uiário () po r u pr crvr uçõ ii por vári ç m um orm compc Emplo A volgm m um circuio é por E mbro qu u E, (), u -,, po- prr () como, Ercício, Sj Ecrv orm compc uo ução gru, uiário Rpo: u - Grlição Ercício g, S, ão g gu - hu - h,,, S g, b, ão g [u - u - b] b Sj ução rpr gricm bio 6

166 () Epr orm compc uo ução gru uiário Rpo: [u u ] Trorm plc iy F H H, o iy () F : ução origil : ução rorm : úclo rormção : R C F : C C Como H é ução Hvii, po- crvr () como F () 66

167 A prão () é chm rorm plc uilrl rorm i igrl imprópri m () covrg pr lgum vlor A Noção F G S F, ão F é ror- i m plc uilrl ivr g y Y C F F Figur : Trorm plc Po- blcr um rlção r rorm Fourir plc iy S rorm plc, H, coir- g H, m- g iy, qu mi é o qu rorm Fourir g A rorm plc uilrl um ução F : C C qu oci : R C é um ução N um ução compl F, o N D D ão poliômio com coici ri O vlor i qu N ão o ro rorm F ; o vlor i qu D ão o polo rorm F A rorm plc bilrl é ii como 67