UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA ESCOLA POLITÉCNICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA ENG 008 Fenômenos de Transporte I A Profª Fátima Lopes

Transcrição

1 UNIVERSIAE FEERAL A BAHIA EPARTAMENTO E ENGENHARIA QUÍMICA ENG 008 Fnômnos d Trnsport I A Profª Fátim Lops Tnsão m um ponto A dscrição do cmpo d tnsõs é dsnvolvid prtir d nális d tnsão m um ponto. Considrndo um lmnto d ár δ A como indicdo sguir., no ponto C, sor o qul tu forç δ F A tnsão m um ponto é dfinid por: Tnsão lim δ A 0 δ F δ A () δ A δ F c A grnd dé δ A é ár do lmnto dirção é norml à suprfíci. Pr dfinir tnsão é ncssário vlir rão d dois vtors δ F δ A. O vtor δ A pod sr scrito: δ A δa i δa j δa k B O lmnto d ár δ A é o lmnto ABC. C 0 A 47

2 UNIVERSIAE FEERAL A BAHIA EPARTAMENTO E ENGENHARIA QUÍMICA ENG 008 Fnômnos d Trnsport I A Profª Fátim Lops δ A δ A δ A δ A δ A componnt d δ A é projção d δ A sor o io. Em grnd é projção d ABC sor o plno (ár OBC), isto é o plno prpndiculr o io. Similrmnt ch-s δ A δ A. O vtor δ F por su v pod sr rprsntdo ns sus componnts. δ F δf i δf j δf Pr dfinir tnsão m um ponto, podmos considrr s componnts δ F d forç F A no ponto C. δ no ponto C tundo sor s componnts k δ A, A δ F, δ F δ δ A d ár Então pr dfinir o cmpo tnsoril, qução () é sustituíd por um séri d nov quçõs. Notção: ij : tnsão tu sor um plno i n dirção j. δ Fj ij lim δ Ai 0 δ Ai ou δ F lim δ A 0 δ A Espcificndo s nov componnts do cmpo d tnsõs: 48

3 UNIVERSIAE FEERAL A BAHIA EPARTAMENTO E ENGENHARIA QUÍMICA ENG 008 Fnômnos d Trnsport I A Profª Fátim Lops ond: tnsão norml tnsão cislhnt Rvisão: iádics Tnsors Pr os vtors B T [] [] T B B T [] [] T B B T [ ] B B T B B T [ ] B Os trmos d mtri [ ] dnominm-s s componnts d diádic mtri s chm mtri ds componnts. 49

4 UNIVERSIAE FEERAL A BAHIA EPARTAMENTO E ENGENHARIA QUÍMICA ENG 008 Fnômnos d Trnsport I A Profª Fátim Lops 50 [ ] [ ] Est é chmd form nonionic d diádic. Em trmos d notção tnsoril crtsin, podmos scrvr: j i j i Em grl rprsntmos por j i ij [ ] B B T notção mtricil ond [ ] é mtri dos componnts ij snvolvndo, tmos: [ ] [ ] finindo: [ ] [ ] [ ] Podmos scrvr:

5 UNIVERSIAE FEERAL A BAHIA EPARTAMENTO E ENGENHARIA QUÍMICA ENG 008 Fnômnos d Trnsport I A Profª Fátim Lops [ ] [ ], finlmnt, n form nonionic: Forçs d cmpo forçs d suprfíci: As forçs d cmpo são tods s forçs trns qu tum sor um ddo corpo sm contto físico. Por mplo, forç dvido ção d grvidd. As forçs d cmpo tmém chmds forçs d corpo são usulmnt prsss por unidd d mss do corpo m qu tu. As forçs d suprfíci, por outro ldo, inclum s forçs qu são plicds sor o contorno d um corpo por sus viinhnçs, trvés d contto dirto. Emplo: forç d prssão tnsão d cislhmnto. Pr studr s forçs d suprfíci, sj um lmnto d ár δ A d suprfíci d um corpo no qul stá tundo um forç d suprfíci δ F como indicdo n figur qu s sgu: δ A δ F δ A δ F n δ F δ F s () Forçs d suprfíci: tngnciis normis () 5

6 UNIVERSIAE FEERAL A BAHIA EPARTAMENTO E ENGENHARIA QUÍMICA ENG 008 Fnômnos d Trnsport I A Profª Fátim Lops A forç δ F pod sr dcompost m um componnt norml o lmnto d suprfíci considrdo, δ Fn outr tngncil st msmo lmnto d suprfíci, δ F s. A tnsão norml plos sguints limits: nn tnsão d cislhmnto num ponto são gor dfinids δ Fn d Fn lim δ A 0 δ A d A δ Fs d Fs lim δ A 0 δ A d A nn ss Então, nn são n vrdd componnts d forç por unidd d ár, m ss um ddo ponto do corpo. Um notção convnint pr s tnsõs srá gor prsntd discutid com o uílio d figur qu s sgu, ond é mostrdo um lmnto d fluido n form d um prllpípdo rtngulr. Tnsõs normis d cislhmnto 5

7 UNIVERSIAE FEERAL A BAHIA EPARTAMENTO E ENGENHARIA QUÍMICA ENG 008 Fnômnos d Trnsport I A Profª Fátim Lops O índic duplo tm sido utilido pr idntificr s tnsõs. Gnricmnt tm-s ij. O primiro índic indic dirção norml o plno m qu tnsão tu. O sgundo índic indic dirção própri d tnsão. Assim, indic um componnt do tnsor tnsão d cislhmnto, qu tu num plno prpndiculr o io (plno ) n dirção. A tnsão norml nn tm índic rptido pois dirção d norml o plno sor o qul tnsão tu própri dirção d tnsão são colinrs, ou sj, dirção é msm. Por qu dfinir o concito d tnsão? S-s intuitivmnt qu forçs plicds n suprfíci d um mio são trnsmitids d lgum mnir trvés dss mio. O prolm é d qu mnir sss forçs são trnsmitids. Usndo o concito d tnsão st ção pod sr prfitmnt ntndid. st modo, s distriuição d tnsão m um mio é conhcid, pod-s prfitmnt dscrvr mnir pl qul forç é trnsmitid trvés do mio. Tnsão m um ponto prssão: Foi invstigdo té gor rlção ntr tnsão m qulqur intrfc d um ponto com tnsão m um conjunto d intrfcs ortogonis do ponto (figur ntrior). Usndo li d Nwton tomndo o limit pr o lmnto d fluido tndndo ro, pod-s chgr rlção qu dv istir pr tnsão m um ponto. Srá considrdo inicilmnt o cso mis simpls d fluidos stcionários ou m movimnto uniform. Um v qu fluidos s movm so ção d tnsõs d cislhmnto, um fluido stcionário dv str compltmnt livr dst tipo d tnsão. No cso d movimnto uniform, como vlocidd é constnt, su vrição m qulqur dirção ( d V d n) é nul, ou sj, t d dformção é nul vidntmnt tnsão d cislhmnto tmém srá nul. (Vr crctrição d fluido: µ ) 5

8 UNIVERSIAE FEERAL A BAHIA EPARTAMENTO E ENGENHARIA QUÍMICA ENG 008 Fnômnos d Trnsport I A Profª Fátim Lops ds s nn s d s d s d g (d d d)/ Considr o volum infinitsiml d fluido rprsntdo n figur cim, supondo qu únic forç d cmpo qu tu é forç dvido o cmpo grvitcionl. O lmnto d fluido stá stático ou m movimnto uniform. N dirção Como Eftundo-s o lnço d forç tm-s: cos α N dirção Como Então d, vm: ds d d nn d ds cosα 0 nn d d d d d nn d ds sn α ρ g d sn α, dividindo por d d, vm: ds d nn ρ g 0 No limit, qundo d 0, tm-s nn nn Assim, podmos concluir qu m um fluido stcionário ou movndo-s com vlocidd uniform, tnsão m um ponto é indpndnt d dirção, isto é, é um grnd sclr. Est grnd é quivlnt o ngtivo d prssão trmodinâmic. 0 54

9 UNIVERSIAE FEERAL A BAHIA EPARTAMENTO E ENGENHARIA QUÍMICA ENG 008 Fnômnos d Trnsport I A Profª Fátim Lops O msmo rsultdo é otido s considrrmos um lmnto d fluido com viscosidd nul, m scomnto. No cso d fluido viscoso m scomnto os fitos viscosos são lvdos m considrção por cus ds tnsõs d cislhmnto. Assim, qundo os fitos viscosos são significtivos, tnsão di d sr um sclr como nos dois primiros csos pss sr um grnd tnsoril. Os nov componnts sclrs do tnsor tnsão são grlmnt indicdos num mtri ond o primiro suscrito corrspond um dd linh o sgundo suscrito um dd colun. ij Propridd importnt do tnsor tnsão ) É um tnsor simétrico, ou sj: st modo, o tnsor tnsão m um ponto prsnt somnt três componnts indpndnts. ) A tnsão norml médi, frqüntmnt chmd d ulk strss é dd por: ( ) A mgnitud d tnsão norml médi é igul à prssão trmodinâmic. Como somnt tnsõs normis ngtivs são possívis m um fluido firmção cim é rprsntd mtmticmnt por: p Propridds do trnsport molculr dos fluidos As propridds d trnsport molculr dos fluidos são quls rlcionds com os fnômnos d trnsfrênci d clor, mss quntidd d movimnto, por mio d mcnismos d ção molculr. As ts d trnsfrênci d quntidd d movimnto, clor mss podm sr prsss por quçõs nálogs pois, m grl, t d trnsport d um quntidd consrvtiv (como é o cso d quntidd d movimnto, d nrgi d mss) é proporcionl o grdint d grnd qu provoc st trnsfrênci. A constnt d proporcionlidd é um propridd físic d sustânci m qustão, tmém chmd d propridd d trnsport. 55

10 UNIVERSIAE FEERAL A BAHIA EPARTAMENTO E ENGENHARIA QUÍMICA ENG 008 Fnômnos d Trnsport I A Profª Fátim Lops As quçõs d trnsfrênci d quntidd d movimnto, clor mss são: ) Trnsfrênci d quntidd d movimnto: d v µ () d ond F tnsão d cislhmnto (forç/unidd d ár) A µ viscosidd dinâmic do fluido d v d grdint d componnt d vlocidd n dirção. A qução () é conhcid como Li d Viscosidd d Nwton pod sr ntndid como: fluo dquntidd dmovimnto quntidd dmovimnto trnsportd ( unidd dár ) ( unidd dtmpo) ( vis cosidd) ( grdint d vlocidd) A viscosidd d um fluido dá um mdid d rsistênci dss fluido o movimnto rltivo d sus prtículs constituints. ) Trnsfrênci d clor: ond q d T k ( q k T) () d Q q - fluo d clor n dirção A Q clor totl trnsportdo por unidd d tmpo A ár trvés d qul Q é trnsportdo k condutividd térmic do mtril. dt/d grdint d tmprtur n dirção A qução () é conhcid como Li d Fourrir pod sr ntndid como: fluo d clor clor trnsportdo ( unidd dár ) ( unidd d tmpo) ( condutivid dtérmic ) ( grdint d tmprtur) 56

11 UNIVERSIAE FEERAL A BAHIA EPARTAMENTO E ENGENHARIA QUÍMICA ENG 008 Fnômnos d Trnsport I A Profª Fátim Lops A condutividd térmic k é um mdid d rsistênci qu um sustânci ofrc à trnsfrênci d clor. c) Trnsport d mss: J A d CA () AB d ond N A JA - fluo molr do componnt A n dirção A N A númro d mols d A trnsportdo por difusão A ár trvés d qul A s difund AB coficint d difusão mássic do componnt A no componnt B dc A /d grdint d concntrção molr do componnt A n dirção A qução () é conhcid como Primir Li d Fick pod sr ntndid como: fluo molr d A númro d nols d A trnsportdo ( unidd d ár) ( unidd d tmpo) ( coficint d difusão) ( grdint d concntrção) O coficint d difusão m um sistm d componnts (A,B) é mdid d rsistênci à difusão molculr d um dos componnts (A) no outro (B). Anlisndo-s s quçõs (), () () pod-s vrificr nlogi istnt ntr os procssos d trnsport, isto é, trnsport d clor, mss quntidd d movimnto. v-s slintr qu o fluo d clor q o fluo d mss J são grnds vtoriis, nqunto qu tnsão d cislhmnto é um grnd tnsoril. st modo, nlogi qu é prfit ntr clor mss, só pod sr plicd o trnsport d quntidd d movimnto s st último for considrdo m um únic dirção. As quçõs (), () () podm ntão sr rprsntds por um únic qução dsd qu s tnh m mnt rstrição cim: P c G ond, P é o fluo d um crt quntidd, provocdo plo grdint d grnd G c é constnt d proporcionlidd qu é um propridd crctrístic do mtril ond ocorr o procsso d trnsport m qustão. 57

12 UNIVERSIAE FEERAL A BAHIA EPARTAMENTO E ENGENHARIA QUÍMICA ENG 008 Fnômnos d Trnsport I A Profª Fátim Lops Osrvção: Trnsfrênci d quntidd d movimnto: d µ v d () N ddução d li d Nwton d viscosidd: µ d v d () v-s slintr qu difrnç d sinl ntr s quçõs () () dv-s o fto d qu primir () rprsnt tnsão d cislhmnto no fluido sgund rprsnt tnsão d cislhmnto n plc pln. Assim sndo, qundo s dsj studr os fitos d tnsão no fluido o sinl ngtivo d qução () dv sr lvdo m considrção. Condutividd térmic A condutividd térmic é cpcidd d um sustânci trnsfrir clor por condução molculr. A qução difrncil pr condução molculr d clor unidimnsionl m um sustânci já foi prsntd ntriormnt. d T q k d O sinl ngtivo é dvido o fto do clor sr conduido d rgião d lts tmprturs pr is tmprturs ou sj, n dirção contrári o grdint d tmprtur. Pr qu qução ntrior sj dimnsionlmnt consistnt, s dimnsõs d condutividd térmic (k) dvm sr: k [ ] q d T d Como [ ] ( M L T ) q L T L 58

13 UNIVERSIAE FEERAL A BAHIA EPARTAMENTO E ENGENHARIA QUÍMICA ENG 008 Fnômnos d Trnsport I A Profª Fátim Lops d T d [ ] θ L k M L [ ] [ ] [ ] M L T θ L T T θ L M T θ L A condutividd térmic (k) é um propridd d trnsport qu tmém dpnd d tmprtur, sndo m grl indpndnt d prssão, pr prssõs rduids io d 0,. ifusividd (ou coficint d difusão) A difusividd m um sistm d dois componnts é mdid d trnsfrênci d mss d qulqur dos componnts so influênci d um difrnç d concntrção. A difusão s dá n dirção dcrscnt d concntrção. Est fto plic o sinl ngtivo d qução difrncil qu s sgu. Est qução é válid pr trnsfrênci d mss por difusão m um dirção. J A AB d C d A A difusividd AB é dpndnt dos dois componnts qu compõm o sistm, tmém é função d prssão d tmprtur. 59