3 M. 2 Freqüência: f > 75% Métodos de Cálculo II - Capítulo 1 - Derivadas Dr. Sartori, C. S. 1. Bibliografia. Ementa da Disciplina

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1 Métodos d Cálclo II - Cpítlo - Drivds Dr. Srtori, C. S. Emnt d Disciplin A Drivd Dinição intrprtção gométric. Rgrs d drivção. Eqção d rt tngnt norml. Rgr d cdi. Drivção implícit. Estdo d máimos mínimos d nçõs: tsts d primir sgnd drivds. Ts rlcionds. A Intgrl Dinição intrprtção gométric d intgrl dinid. Intgrl indinid Torm ndmntl do cálclo. Rgrs d intgrção. Técnics d intgrção: intgris por prts, rçõs prciis sbstitiçõs trigonométrics. Aplicçõs: Cálclo d árs volms. Eqçõs dirnciis. Técnic d sprção ds vriávis. Eqçõs dirnciis linrs d primir ordm. Eqçõs dirnciis linrs d sgnd ordm. Eqçõs dirnciis linrs não homogêns. Aplicçõs: Oscildor hrmônico mortcido circitos létricos. Cônics coordnds polrs. Bibliogri. Lois Lithol, O Cálclo com Gomtri Anlític, Ed. Hrbr, V V, São Plo, 99.. Gorg B. Thoms, Cálclo, Ed. Prson Addison Wsl, V V, Edição, São Plo,.. L. H. Gidorizzi, Um crso d Cálclo, Ed. LTC, V V, 5 Edição, Rio d Jniro,.. Jms Stwrt, Cálclo, V V, Ed. Thomson Pionir, 5 Edição. 5. Mrcllo Nitz & Rodrigo Glh, Mthcd, Gi prático, Edição, Editor Éric, São Plo, Wilrd Kpln, Cálclo Avnçdo, V, Editor Edgrd Blüchr, Nots d l: Sits: Avlição: Provs P, P P d psos igis. Médi: M Rvlição: s P P P Ms R M Frqüênci: > 75%

2 Métodos d Cálclo II - Cpítlo - Drivds Dr. Srtori, C. S. Drivd A miori dos problms m cálclo nvolv o q chmmos d ts rlcionds ntr ds vriávis, m dpndnt otr indpndnt. Dpndndo do problm, tmos q ncontrr rlção q ocorr dss t com s vriávis nvolvids. A sgir, dinirmos qção d rt tngnt à m nção () contín, no ponto d ngênci P(, ). Sj P (, ) otro ponto sobr o gráico d (). A inclinção d rt q pss por sss dois pontos é dd plo coicint nglr d rt scnt: m s tg s Obsrv q mdid m q, o coicint nglr d rt scnt tnd icr o coicint nglr d rt tngnt. Assim, podmos dinir o coicint nglr d rt tngnt por: Y m tg m t t t A drivd d m nção é dinid por: ( ) ( ) ( ) s o it istir. Notção d d ; ; ; d d D ;. ; Emplo - A corrnt létric m m circito létrico é drivd d crg létric m rlção o tmpo: dq i( t) dt Emplo - A Sgnd Li d Nwton. A som vtoril ds orçs trns q tm nm sistm é o prodto d mss do sistm pl clrção : F F m d r R i i dt it Dinição: A nção () é dirnciávl s o ( ) ( ) istir. Dinição: Um nção é dirnciávl s or dirnciávl m todo s domínio. Dirncibilidd Continidd Um nção pod sr contín m m númro, porém pod não sr dirnciávl no msmo númro. Pod-s mostrr q continidd d nção m m númro não implic m dirncibilidd d nção nst númro. Entrtnto dirncibilidd implic m continidd, o q é mostrdo no torm bio: Torm: S é dirnciávl m, ntão é contín m (, ) (, ) () X. Dinição: S nção stá dinid m, ntão drivd à dirit d m, indicd por ( ) drivd à sqrd d, dnotd por ( ) são dinids por: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 8 Emplos Aplictivos: Emplo - Considr m prtícl movndo-s m m rt. Tl movimnto chm-s movimnto rtilíno. Nst movimnto vlocidd sclr ds instntân é drivd d nção posição s(t): v dt. A clrção instntân dst prtícl é dd por: dv d s, o sj, é drivd sgnd d nção dt dt posição. Emplo - Sj nção dinid por s ( ). Vriicr q é contín m 8 s = porém não é dirnciávl nst vlor d. Not q : i) () 5; ii) ( ) iii ) ( ) ( ) () ( ) portnto () é contín m =. Pr vriicr dirncibilidd m = obsrvmos q: ( ) ( ) ( ) 8 5 5;

3 Métodos d Cálclo II - Cpítlo - Drivds Dr. Srtori, C. S. ( ) ( ) 6 6 ( ) Logo, concli-s q: ( ) ( ) ( ) Então não é dirnciávl m =. Torm : S é m nção constnt, ntão: ( ) c ( ) Torm : S : ( ) n ( ) n n Torm : S é m nção, c é m constnt g é m nção dinid por: g( ) c. ( ) S ( ) g ( ) c ( ) Torm : S g são nçõs cjs drivds istm s h é dinid por: h( ) ( ) g( ) h ( ) ( ) g ( ) Torm 5: S v são nçõs cjs drivds istm s h é dinid por: ( ) ( ). v( ) ( ) v v Torm 6: S v, com v são nçõs cjs drivds istm s é dinid por: ( ) ( ) v( ) ( ) n v v v Drivds d lgms nçõs: Sj m nção d. Então : () Fnção ponncil d bs. ( ) ( ) ( ) ( ) d d (b) Fnção ponncil d bs qlqr b ( ) ( ) ln ( ) ( ) (ln ) d d (c) Fnção logrítmic nprin ( ) ln ( ) d ( ) ln ( ) d (d) Fnção logrítmic d bs : ( ) log ( ) ( ) log ln d ( ) ln d () Fnção cossno: ( ) cos ( ) sn ( ) cos( ) d ( ) sn d () Fnção sno ( ) sn ( ) cos ( ) sn( ) d ( ) cos d Aplicçõs (i) Eqção d rt tngnt à nção () nm ponto (, ). ( ) ( )( ) (ii) Eqção d rt norml à nção () nm ponto (, ). ( ) ( ) ( ) Emplo 5 - Clcl s drivds indicds: () ( ) ( ) (b) ( ) 6 ( ) (c) 5 ( ) ( )( ) (d) () ( ) ( )( ) ( ) ( ) 5 ( ) ( ) (5 )( ) Torm 7: (Rgr d Cdi) S é m nção d dinid por =() d ist, s é m nção d, dinid por =g() d d d ist, ntão é m nção d ist é dd d d por: d d d d d d o ( ) ( ) ( ) Emplo 6 - Dd () dtrmin s drivd:

4 Métodos d Cálclo II - Cpítlo - Drivds Dr. Srtori, C. S. ( ) ( ) ( ( ) ) 5 ( ) ( ( ) ) Emplo 7 - Dd () dtrmin s drivd: ( ) ( 5 ) 5 ( ) 5( 5 ) ( 6 ) Torm: S é m nção potênci ond r é m númro rcionl qlqr, isto é () = r, ntão: () r r Emplo 8 ( ) ( ). 8 [ ] Torm: S g são nçõs tis q ( ) [ g( )] r ; r Q s g ( ) ( ) r[ g( )] r g ( ) Emplo 9 - ( ) ( ) ( ) ( ) A rzão d vrição instntân d por nidd d vrição m pod sr intrprtd como vrição m csd por m nidd d vrição m s rzão d vrição prmncr constnt.. Dinição: S = () t d vrição rltiv d por nidd d vrição d m : ( ) D ( ) S t d vrição or mltiplicd por, trmos t d vrição prcntl. Ts Rlcionds: Eistm mitos problms rlciondos com rzão d vrição d ds o mis vriávis m rlção o tmpo, nos qis não é ncssário prssr cd m dsss vriávis dirtmnt como nção do tmpo. Por mplo, sponhmos m qção nvolvndo s vriávis, q sjm nçõs do tmpo t, m trcir vriávl. Então, dsd q rzão d vrição d m rlção t d m rlção t sjm dds por d d ;, rspctivmnt, dirncimos mbos os ldos d dt dt qção dd m rlção t plicmos como ilstr o mplo sgir: Emplo - Um scd d 5 mtros d ltr stá poid nm prd vrticl. S bs d scd dsliz horizontlmnt d prd m/sg, q vlocidd dsliz prt sprior d scd o longo d prd, qndo bs s ncontr m d prd? Dirncição implícit S tmos m rlção d dinid implicitmnt, pr ncontrrmos drivd sgimos o procsso d dirncição implícit, como ilstr o mplo bio: Emplo ) d d d d d d Aplicçõs d Drivd: A Drivd como vrição: A Drivd como m rzão d vrição é prss d sgint mnir:. Dinição: S =(), rzão d vrição instntân d por nidd d vrição d m, é ' ( ), o sj, drivd d m rlção m, s st istir í. (m) (m) 5 m Sj: t: númro d sgndos do tmpo trnscorrido dsd q scd comço dslizr d prd. : númro d mtros n distânci dsd bs d scd té prd m t sgndos. : númro d mtros n distânci dsd o piso té prt sprior d scd m t sgndos. Aplicndo o Torm d Pitágors: 5. Dirncindo m rlção t, pois são nçõs d t, trmos: d d. Obsrv q qndo =, =. dt dt Sbstitindo trmos:

5 Métodos d Cálclo II - Cpítlo - Drivds Dr. Srtori, C. S. 5 d d d dt dt dt 9. Obsrv q o sinl ngtivo indic q dcrsc qndo t crsc. Vlors máimos mínimos d () Vimos q intrprtção gométric d drivd é nção inclinção d rt tngnt o gráico d m nção () nm ponto (, ( )). Podmos dscobrir, por mplo, m q pontos ocorr rt tngnt horizontl ; sts são os pontos ond drivd é zro. Tmbém drivd pod sr sd pr ncontrrmos os intrvlos pr os qis o gráico d m nção stá cim d rt tngnt os intrvlos pr os qis o gráico stá bio d rt tngnt. Ants d plicrmos drivd pr trçrmos o sboços d gráicos, ncssitmos d lgms diniçõs Torms.. Dinição: Diz-s q m nção tm m vlor máimo rltivo m c s istir m intrvlo brto contndo c, ond é dinid, tl q (c) () pr todo nst intrvlo. c, b c, b Nst cdo (c) srá o vlor máimo bsolto d no intrvlo. 8. Dinição: Diz-s q m nção tm m vlor mínimo bsolto: c, b c, b Nst cdo (c) srá o vlor mínimo bsolto d no intrvlo. Um trmo bsolto d m nção m m intrvlo é m vlor máimo bsolto o m vlor mínimo bsolto d nção no intrvlo. Um nção pod o não tr m trmo bsolto nm intrvlo ddo. Nos mplos sgir são ddos m nção m intrvlo, dtrminmos os trmos bsoltos d nção no intrvlo ddo. Emplo - Dd ( ) ncontr os trmos bsoltos d no intrvlo (-,] s istirm. Y X c b c b Dinição: Diz-s q m nção tm m vlor mínimo rltivo m c, ond () é dinid, tl q (c) () pr todo nst intrvlo. O gráico mostr nção m (-,]. A nção tm m vlor máimo bsolto d m (-,). Não ist vlor mínimo bsolto d m (-,] pois ( ) 9, ms () é smpr mnor q -9 no intrvlo considrdo. c b c b Torm: S () ist pr todo no intrvlo brto (,b) tm m trmo rltivo m c, ond < c < b c c nção () 6. Dinição: S c é m númro no domínio d c o c, ntão c é chmdo d númro crítico d. 7. Dinição: Diz-s q m nção tm m vlor máimo bsolto nm intrvlo: 5 9. Dinição: Diz-s q (c) é o vlor máimo bsolto d nção () c dom c dom. Dinição: Diz-s q (c) é o vlor mínimo bsolto d nção () c dom c dom. Torm: (Torm do Vlor Etrmo). S () é contín no intrvlo chdo [, b] ntão tm m vlor máimo bsolto m vlor mínimo bsolto no intrvlo [, b]. Sj m nção contín no intrvlo chdo [,b] dirnciávl no intrvlo brto (,b) sjm ()==(b). O mtmático rncês Michl Roll (65-

6 Métodos d Cálclo II - Cpítlo - Drivds Dr. Srtori, C. S. 6 79) provo q s m nção stisz sts condiçõs, ist plo mnos m númro c ntr b pr o ql ocorr ' (c) =.. Torm d Roll. Sj m nção tl q: (i) é contín no intrvlo chdo [,b]. (ii) é dirnciávl no intrvlo brto (,b) (iii) ()=(b)=. Então ist m númro c no intrvlo brto (,b) tl q '(c) =. Aplicmos o torm d Roll pr dmonstrr m dos torms mis importnts m cálclo, conhcido como o torm do vlor médio. O torm do vlor médio é sdo pr dmonstrr vários torms do cálclo dirncil intgrl. Você dvrá str compltmnt milirizdo com o contúdo dst torm.. Torm do vlor médio: Sj m nção tl q: q: (i) é contín no intrvlo chdo [,b]. (ii) é dirnciávl no intrvlo brto (,b) Então ist m númro c no intrvlo (,b) tl ( b) ( ) ( c) b Emplo - Como plicção dst torm, dmonstr q, m lgm instnt d tmpo t, vlocidd instntân d m corpo dscrvndo movimnto rtilíno srá igl s vlocidd médi. Fnçõs Crscnts Dcrscnts: O Tst d Drivd Primir Dinição: Dizmos q m nção dinid nm intrvlo é crscnt nst intrvlo, s somnt s: ( ) ( ) Dinição: Dizmos q m nção dinid nm intrvlo é dcrscnt nst intrvlo, s somnt s: ( ) ( ) S m nção é crscnt o dcrscnt nm intrvlo, ntão dizmos q l é monóton no intrvlo.. Torm: Sj m nção contín no intrvlo chdo [,b] dirnciávl no intrvlo brto (,b): (i) S ' () > pr todo prtncnt (,b), ntão é crscnt m (,b). (ii) S ' () < pr todo prtncnt (,b), ntão é dcrscnt m (,b). Torm: Tst d Drivd Primir pr trmos rltivos. Sj m nção contín m todos os pontos do intrvlo brto (,b) contndo c, sponhmos q ' ist m todos os pontos d (,b) q vntlmnt não ist m c: (i) S ' () > pr todos os vlors d nm intrvlo brto, tndo c como trmo dirito, s '() < pr todos os vlors d nm intrvlo, tndo como trmo sqrdo, ntão tm m vlor máimo rltivo m c. (ii) S ' () < pr todos os vlors d nm intrvlo brto, tndo c como trmo dirito, s '() > pr todos os vlors d nm intrvlo, tndo como trmo sqrdo, ntão tm m vlor mínimo rltivo m c. Drivds d ordm sprior S ' é drivd d m nção, mits vzs é dsignd d drivd primir d m nção. S drivd d ' ist, dsignmos d drivd sgnd d dnotmos por ''. Anlogmnt dsignmos por drivd trcir d drivd d drivd sgnd, ''' ssim scssivmnt. O tst d drivd sgnd pr trmos rltivos Vimos ntriormnt como dtrminr m vlor máimo rltivo o m vlor mínimo rltivo d m nção nm númro crítico c, vriicndo o sinl d ' nos númros dos intrvlos à sqd d c à dirit d c. Otro tst pr trmos rltivos é ql q nvolv somnt o númro crítico c é rqntmnt m tst mis simpls d plicr. Chm-s tst d drivd sgnd pr trmos rltivos. Torm: (Tst d drivd sgnd pr trmos rltivos) Sj c m númro crítico d m nção tl q '(c) = ' ist pr todos os vlors d nm intrvlo brto contndo c. Então s '' ( c ) ist : (i) '' ( c ) < () tm m vlor máimo rltivo m c. (ii) '' ( c ) > () tm m vlor mínimo rltivo m c. Torm: Sj m nção contín no intrvlo I, contndo o númro c. S (c) é o único trmo rltivo d m I, ntão (c) é trmo bsolto d m I. Além disso: (i) s (c) é m vlor máimo rltivo d m I, ntão (c) é m vlor máimo bsolto d m I. (ii) s (c) é m vlor mínimo rltivo d m I, ntão (c) é m vlor mínimo bsolto d m I. 6 6

7 Métodos d Cálclo II - Cpítlo - Drivds Dr. Srtori, C. S. 7 Concvidd pontos d Inlão: D (i) ( ) s c ( ) s c; o (ii) ( ) s c ( ) s c Torm: S nção é dirnciávl no intrvlo brto I contndo, s (c,(c)) é m ponto d inlão do gráico d, ntão s '' (c) ist: ( c) nção: Emplo ) Dtrmin os pontos d inlão d Dizmos q o gráico d igr é côncvo pr bio ntr os pontos A C côncvo pr cim ntr os pontos C E. Enqnto P mov-s plo gráico, d A té B, inclinção d rt tngnt é positiv, dcrscnt; isto é, rt tngnt gir no sntido horário o gráico prmnc bio d rt tngnt. Qndo P stá m B, inclinção d rt tngnt é ind stá dcrscndo. Enqnto P s mov plo gráico d B té C, inclinção d rt tngnt é ngtiv ind stá dcrscndo; rt tngnt ind gir no sntido horário o gráico ind stá bio d s rt tngnt (côncvo pr bio). Enqnto P s mov plo gráico, d C té D, inclinção d rt tngnt é ngtiv crscnt; isto é, rt tngnt gir no sntido nti-horário o gráico stá cim d s rt tngnt. Em D inclinção d rt tngnt é ind crscnt. D D E, inclinção d rt tngnt é positiv crscnt, rt tngnt gir no sntido ntihorário o gráico stá cim d s rt tngnt. Dizmos q o gráico é côncvo pr cim d C E d d d d ( ) 6 9 d d d d ( 6 9 ) 9; d ( 9) 6 d Os pondos d inlão ocorrm : 6 7 Dinição: Dizmos q o gráico d m nção é côncvo pr cim no ponto (c,(c)) s ist ' (c) s ist m intrvlo brto I, contndo c, tl q pr todos os vlors c, m I, o ponto (,()) sobr o gráico stá cim d rt tngnt o gráico m (c,(c)). Dinição: Dizmos q o gráico d m nção é côncvo pr bio no ponto (c,(c)) s ist ' (c) s ist m intrvlo brto I, contndo c, tl q pr todos os vlors c, m I, o ponto (,()) sobr o gráico stá bio d rt tngnt o gráico m (c,(c)). Torm: Sj m nção dirnciávl nm intrvlo brto contndo c. Então: (i) s cim m (c,(c)). (ii) s bio m (c,(c)). ( c) Gráico d é côncvo pr ( c) Gráico d é côncvo pr Torm: O ponto (c,(c) é m ponto d inlão do gráico d nção, s o gráico tivr í m rt tngnt s istir m intrvlo brto I, contndo c, tl q s prtnc I, ntão: 7

8 Métodos d Cálclo II - Cpítlo - Drivds Dr. Srtori, C. S. 8 Aplicçõs pr trçr o sboço do gráico d m nção Utilizndo todos os rsltdos disctidos té gor, pr trçrmos o sboço do gráico d m nção dvmos tr o sgint procdimnto: () Pontos críticos: (Tst d drivd Primir) '()=; nális dos intrvlos d crscimnto dcrscimnto. (b) Tst d drivd sgnd: '' () > ; () tm m mínimo m ( concvidd pr cim m (,()). (c) Tst d drivd sgnd: '' () < ; () tm m mínimo m ( concvidd pr bio m (,()). (d) Pontos d inlão: Vlor d m q crv md d concvidd: "() = Emplo 5) Dd ( ) ncontr os trmos rltivos d, os pontos d inlão do gráico d, os intrvlos ond é crscnt, os intrvlos ond é dcrscnt, ond o gráico é côncvo pr cim ond é côncvo pr bio inclinção d qlqr tngnt d inlão. Trc m sboço do gráico. ( ) ( ) 6; ( ) 6 6. Estblcndo q '()=, obtmos = =. Considrndo ''() =, ncontrmos =. Elbormos m tbl considrndo os pontos =,= = os intrvlos q inclm sts vlors d : - << ; << ; < < ; < < + Intrvlo ' '' Conclsão - < < + - é crscnt; o gráico é côncvo pr bio. = + - tm m vlor máimo rltivo; o gráico é côncvo pr bio; < < - - é dcrscnt, o gráico é côncvo pr bio; = - é dcrscnt, o gráico tm m ponto d inlão; < < - + é dcrscnt, o gráico é côncvo pr cim. = - + tm m vlor mínimo rltivo; o gráico é côncvo pr cim. < < é crscnt; o gráico é côncvo pr cim; Esboço do gráico: Ercícios: ) Encontrr qção d rt tngnt d rt norml às crvs dds nos pontos indicdos: () ; P(, 6) (b) ; P(, 6) (c) ; P (,. 5) (d) ; P (, ) () ( ) cos( ); P(, ) () ( ) ln ; P(, ) ) Encontr qção d rt tngnt à crv q sj prll à rt 8 - += ) Encontr qção d rt q pss plo ponto (,-) sj tngnt à crv ) Encontr qção d rt tngnt à crv q sj prpndiclr à rt +-= 5) Dtrmin vlocidd clrção instntâns pr dd nção posição d m prtícl dd bio: () s( t) t t (b) s( t) t (c) s( t) t t 9t 6) No rcício ntrior dtrmin o vlor d vlocidd instntân d clrção instntân, clssiicndo o movimnto (clrdo o rtrddo) (progrssivo o rtrógrdo) nos instnts: () t = s (c) t = s - - (b) t = s (d) t = s 7) Disct continidd d dirncibilidd ds nçõs, n continidd nlis s é d ntrz rmovívl o ssncil: 8 8

9 Métodos d Cálclo II - Cpítlo - Drivds Dr. Srtori, C. S. 9 ( ) ( ), s, s, s ( b) ( ), s 8) Nos problms bio ncontr drivd d nção dd. () ) 5 (b) ( ) (c) ( ) (d) ( ) () ( ) () ( ) (g) ) cos( ) (h) ) tg( ) 9) Encontr o vlor d ' (), dd nção: () ( ) ; (b) ( ) ; ) Dd ( ), trc m sboço do gráico d. Dmonstr q é contín m =. Dmonstr q não é dirnciávl m =, ms q ( ) é, pr todo. (Sgstão:Sj ) ) Dd ( ) mostr q ( ) ist ncontr s vlor. Dmonstr q é contín à dirit m. Trc m sboço do gráico. ) Encontr os vlors d d b tl q ' () ist s: s ( ) b s ) Encontr s drivds ds nçõs: () ( ) 5 (b) ( ) 8 8 t (c) F ( t) t (d) v( r) r 5 () g( ) () ( s) ( s s ) 9 (g) ( ) ( )( 5 6) (h) H( ) (i) ( ) 5 (j) h( ) 8 (k) ( ) 8 (l) ( ) ( ) 5 (m) H( ) ( ) g( ) l( ) (n) H() rcsn rctg ) Dirnci nção ( ) ( )( 5 )( ) sndo rsltdo do problm ) n). Ercícios Aplicçõs - Drivds ) Encontrr drivd d nção dd: ) ( ) ( 5 ) b) ( ) ( 5) c) ( ) ( ) d) h( ) ( 5) ( ) ) g( ) ( 5) ( ) ) ( 7 ) g) ( ) 7 h) ( r) ( r ) ( r 5 ) i) g( ) ( ) ( ) ( 5) j) ( ) ln( ) k) ( ) ln l) ( ) ln m) ( ) n) ( ) o) ( ) ln( ln( )) p) ( ) ln q) ( ) ln r) ( ) sn( ) s) ( ) cos( ) cos t) h( ) sn( ) cos( ) 9

10 Métodos d Cálclo II - Cpítlo - Drivds Dr. Srtori, C. S. ) ( ) ln(sn( 5 )) v) ( ) cos w) ( ) ( cos ( ))sn ) F( ) sn(ln( )) ) ( ) ln(sn( )) ) Encontrr drivd d nção dd: ) ( ) ( 5) b) g( ) 5 c) ( ) d) F( ) 5 ) ( t ) t t ) F( ) g) h( ) 5 h) ( ) 9 9 i) ( ) ) Encontr qção d rt tngnt à crv 9 no ponto (,5). ) Encontr qção d rt norml à crv 6 n origm. 5) Encontr drivd por dirncição implícit: ) 6 b) 8 c) d) 6) Um ppgio d ppl stá vondo m ltr d m. O groto stá mpinndo o ppgio d tl modo q st s mov horizontlmnt à rzão d m/sg. S linh stá sticd, com q rzão o groto dv "dr linh" qndo o comprimnto d cord solt é 5m? 7) Um bol d nv séric é ormd d tl mnir q s volm mnt à rzão d 8 dcímtros cúbicos por minto. Encontr rzão com q é mntdo o rio d bol d nv qndo st or d dm. 8) Acml-s ri m m mont d orm dm cônic, à rzão d. S ltr do mont é smpr min igl ds vzs o rio d bs, q rzão crsc ltr do mont qndo st é igl 8 dm? 9) A Li d Bol pr diltção d m gás é PV=C, ond P é prssão m Nwtons por nidd qdrd d ár, V é o volm do gás, m nidds cúbics C é m constnt. Nm crto instnt, prssão é N / m, o volm é 5m, o rcipint crsc à m rzão d. Encontr rzão d vrição d prssão min nst momnto. ) m scd d m d ltr poi-s m m diq inclindo d 6 m rlção à horizontl. S bs d scd stá sndo movid horizontlmnt m rlção o diq à rzão d dm/sg, com q rpidz mov-s prt sprior d scd qndo bs stivr m do diq? Ercícios ) Encontr os pontos críticos ds nçõs dds: ) ( ) 7 5 b) ( ) c) ( ) d) ( ) ( ) ) ( ) 9 ) Nos rcícios bio ncontr os trmos bsoltos d nção dd trc m sboço do gráico no intrvlo indicdo. ) ( ) ;(, ] b) ( ) ;[, ] c) ( ) ;[, ) d) ( ) ;[, 5] ( ) ) ( ) ;(, 6 ) s 5 ) ( ) 5 ;[,5] s 5 g) ( ) ;[, ] ) Vriiq s s condiçõs do Torm d Roll são stisits pr s nçõs bio; ncontr m vlor convnint pr c q sstisç conclsão do torm d Roll.

11 Métodos d Cálclo II - Cpítlo - Drivds Dr. Srtori, C. S. ) ( ) ;[, ] b) ( ) ;[, ] ) A intrprtção gométric do torm do vlor médio é q pr m ddo c convnint no intrvlo brto (,b), rt tngnt à crv =() no ponto ( c, (c) ), é prll à rt scnt q pss plos pontos (, ()); (b, (b)). Nos itns bio, ncontr m vlor c q stisç conclsão do torm do vlor médio c m sboço do gráico d () no intrvlo [,b] mostr s rts scnt tngnt. ) ( ) ;, b b) ( ) ;. ; b 6. c) ( ) 9 ;, b 5) Nos itns dbio, ncontr os vlors d pr os qis ocorrm trmos rltivos, dtrmin os intrvlor ond () é crscnt dcrscnt trc m sboço do gráico. ) ( ) b) ( ) 5 5 c) ( ) d) ( ) ) ( ) ( ) ( ) 5 s ) ( ) 7 s s cim ond é côncvo pr bio, ch os pontos d inlão, s istirm:: ) ( ) 9 b) ( ) 8 c) ( ) d) ( ) s s ) ( ) ) ( ) g) ( ) h) ( ) i) ( ) s + 7 s ) No rcício cim trc m sboço do gráico, com o ílio d todo o stdo dst cpítlo. Apêndic I Limit Binomil ndmntl: ( h) h h 6) Encontr drivd sgnd no problm ntrior. 7) Encontr clrção instntân dd nção posição d m prtícl: s( t) t 5 t 8) Nos rcícios bio ncontr os trmos rltivos d nção dd, plicndo o tst d drivd sgndqndo possívl. S não o or, pliq o tst d drivd primir. ) ( ) b) ( ) 8 c) ( ) ( ) d) ( ) ) ( ) 9) Encontr os trmos bsoltos d nção dd, s istir, ncontr ond o gráico é côncvo pr Apêndic II Fnçõs Espciis ) Fnção Gssin ( ) A c A c são constnts ) Fnção Lwrncin A ( ) c

12 Métodos d Cálclo II - Cpítlo - Drivds Dr. Srtori, C. S. Ercícios Divrsos ) Dtrmin os pontos críticos ds nçõs: ) b) ( ) c) g( ) d) h( ) ( ) ( ) ) Encontr os pontos d inlão ds nçõs: ) b) ( ) c) g( ) d) h( ) ( ) ( ) ) Encontr pl dinição pl rgr d drivção proprid, s sgints drivds ds nçõs bio: ) ( ) b) ( ) 5 ) Encontr drivd ds nçõs bio: ) ( ) 9 b) ( ) ( ) ( ) c) ( ) d) ( ) ( ) ( ) 5 7 5) Encontr qçõs ds rts tngnts normis à crv q têm inclinção /. 6) Encontr qçõs ds rts tngnts normis à crv no ponto (,-). 7) Encontr os trmos rltivos bsoltos d nção 5 no intrvlo [-,]. Ercícios ) Disct continidd d nção: ( ) 6 ; ; s ) Dtrmin s nção bio possi dscontinidd rmomívl o ssncil no ponto ddo. Cso or rmovívl dscontinidd, din () tl q dscontinidd sj rmovid: ( ) 9 pr ) Encontr os trmos bsoltos rltivos d nção ( ) no intrvlo [-,/]. ) Um bricnt d cis d pplão dsj zr cis brts d pdços d pplão d cm qdrdos, cortndo qdrdos igis nos qtro cntos dobrndo os ldos. Encontr o comprimnto do ldo do qdrdo q s dv cortr pr q s tnh m ci cjo volm sj mior possívl. 5) Pr s nçõs bio dtrmin: 5.) Os trmos rltivos d. 5.) Os intrvlos ond é crscnt dcrscnt. 5.) Ond o gráico é côncvo pr cim ond é côncvo pr bio. 5.) Os pontos d inlão. 5.5) Trc m sboço do gráico. ) 6 b) 5 c)

13 Métodos d Cálclo II - Cpítlo - Drivds Dr. Srtori, C. S. Apêndic Algms dmonstrçõs Drivds ) Fnção ponncil d bs : ( ) ( ) b) Fnção ponncil d bs qlqr b ( ) ( ) ( ) ( ) Dmonstrção ) (ln) d d d d ( ) ( ) ( ) (*) Chmndo d: Então: ln( ) ln Not q: Sbstitindo m (*) trmos: ln ln( ) ln( ) ln ln ln ln( ) ln( ) ) ln ( ) ( ln{( ) } ( ) ( ) d d d ( ) ln ( ) ; ( ) ln ( ) d d) Fnção logrítmic d bs : ( ) ( ) ( ) log ( ) ; ( ) ln d ln d Dmonstrção ) ( ( ) ( ) ) Chmndo d: ( ) Log Log ( ) Log ( Log ( ) log ) ( ) Log Sbstitindo m trmos d trmos: ( ) ( ) Log Log Log Aplicndo propridd do logritmo tmos: ( ) Log Como: ( ( ) Vj q s = ) ln ln ( ) ln ( ) Log ( ) Log c) Fnção logrítmic nprin Dmonstrção )

14 Métodos d Cálclo II - Cpítlo - Drivds Dr. Srtori, C. S. Drivd d () = sn ( ) ( ) ( ) ( ) sn( ) sn sn( ) sn cos sn cos Sbstitindo colocndo m vidênci trmos: ( ) sn(cos ) sn cos ( ) cos sn sn cos Mltiplicndo dividindo o primiro trmo por cos + ( ) cos cos sn cos cos () ( ) cos sn sn cos ( ) sn sn cos ( ) sn sn sn cos ( ) sn() cos cos ( ) sn() cos ( ) cos cos () cos cos Emplos Gráicos d nçõs nvolvndo Trigonométrics, polinomiis ponnciis logrítmics nçõs rcionis. Aplicçõs à Físic:. Fnção sn Obsrv q:. Circitos d tnsão ltrnd. Em ltrônic, rprsnt-s nômnos ondltórios por nçõs oscilnts como sno o cossno. Empliicndo n tori d corrnt ltrnd, tmos m tnsão vrindo d orm snoidl, ssim, pr cd cso, corrnt tnsão srão stdds qndo sbmtmos ss tnsão à m:. Rsistor: Circito: U U Eqçõs (Li d Ohm) m cos t U RI R I R U R m cos t U I R 5 t

15 Métodos d Cálclo II - Cpítlo - Drivds Dr. Srtori, C. S. 5 Digrm d Fsors: c. Cpcitor: b. Indtor: Eqçõs: 5 Eqçõs: U L U m cos t di L dt di dt Um cos t L I L Um L cos tdt Q UC Um cos t Q CUmcos t IC dt C I C Um Um Csn t cos( t X C ) dq U I C I L Um sn t L Um cos( t L ) 5 t U I L t - - U C trs-s 9 m rlção Digrm d Fsors: U L dint-s 9 m rlção I L Digrm d Fsors: U L I L t X L L U C I C X C C t Costm-s rcordr por: ELI th ICE mn 5

16 Y Y Métodos d Cálclo II - Cpítlo - Drivds Dr. Srtori, C. S. 6. A nção Gssin: Crl Fridrich Gss ( ), Brnswick, Almnh, o trior, vid d Gss' r mito simpls. Ants do 5º nivrsário dl, l stv vor já moso do trblho dl m mtmátic stronomi. Qndo l s torno l oi pr Göttingn pr s tornr o dirtor do obsrvtório. El rrmnt dio cidd cl m ngócio cintíico. D lá, l trblho drnt 7 nos té mort dl qs 78. Em contrst com simplicidd trn dl, Gss vid pssol r trágic complicd. Dvido à Rvolção rncs, príodo npolônico s rvolçõs dmocrátics n Almnh, l sor polític roz insgrnç inncir. Gss mntv m tividd cintíic incrivlmnt ric. Um pião cdo pr númros cálclos stndrm primiro à tori d númros, pr álgbr, nális, gomtri, probbilidd, tori d rros. Ao msmo tmpo, l contino psqis mpíric tóric intnsiv m mits iliis d ciênci, inclsiv stronomi d obsrvtionl, mcânics clstiis, inspcionndo, gods, cpilridd, gomgntismo, lctromgntismo, ótics d mcnismo, ciênci tril. As pblicçõs dl, corrspondênci bndnt, nots, mnscritos mostrm pr l tr sido m dos miors virtosos cintíicos d todo o tmpo. É dito, q sm qlqr jd, Gss pôd clclr nts d l pdss lr té msmo. El s nsino lr, continrm primntção ritmétic dl intnsivmnt, porq n primir clss d ritmétic dl à idd d oito, l srprnd o prossor dl rsolvndo m problm d ocpdo-trblho imditmnt: chr som dos primiros cm intiros. (n(n+)/) Sndo: z ; dnomind d vriávl rdzid, obsrv como vri distribição gssin com o mnto d,,,,, O númro d Npir : Z John Npir - (Edinbrgh:Scottish (55-67)) - mbor intrprtção d Rvlção r o mpnho d intlctl principl d Npir, l stv intrssdo m mtmátic d m idd cdo. Um MS cdo, só pblico m 85, D rt logistic, tri contribído srimnt álgbr, tv isto sido pblicdo n ocsião. Miriici logrithmorm cnonis dscriptio, 6, logrithmorm d Miriici cnonis constrctio,69, prt o concito d logritmos pblico primir ms dls. Eplicndo troncos, l sistmtizo tmbém trigonomtri séric. Npir z so sistmático d notção dciml r m gnt importnt m s citção. Npir oi rptdo pr sr m mágico n própri idd dl prntmnt. = = = 6 ( ) Y ( ),, Gráico d: ( ) 7.5 5, 68,7%.5, 95,5%, - - Z Fórmls d Drivção

17 Métodos d Cálclo II - Cpítlo - Drivds Dr. Srtori, C. S. 7 ( ) Fórmls d Drivção ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) rccos rctg rcctg rcsc rcc sc 7 ( ) n n ( ) n h( ) ( ) g( ) h ( ) ( ) g ( ) ( ) ( ). v( ) ( ) v v ( ) ( ) v( ) ( ) v v v ( ) ( ) ln ; ( ) ( ) (ln ) d d d ( ) ln ( ) ; ( ) ln ( ) d ( ) ( ) log ln d d ( ) ln ; ( ) log ( ) ( ) sn cos ( ) d d cos ; ( ) sn( ) ( ) ( ) cos ( ) d sn d sn ; ( ) cos( ) ( ) g( ) ( ) g( ) [ g( )ln ( )] rcsn 7

18 Métodos d Cálclo II - Cpítlo - Drivds Dr. Srtori, C. S. 8 Emplos Rsolvidos Gráicos d Fnçõs. Dds s nçõs, pliq: i. O tst d primir drivd, ncontrndo os pontos críticos; ii. O tst d sgnd drivd, idntiicndo os pontos críticos. iii. Os pontos d inlão o sboço do gráico. (g) i. O tst d primir drivd, ncontrndo os pontos críticos; ( ) ( ) d d d d ( ) ( ) P (,) ii. O tst d sgnd drivd, idntiicndo os pontos críticos. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P(,) m rl iii. Os pontos d inlão o sboço do gráico. ( ) ( ) ( ) Pi, Pi, ( ) ( ) ( ) Pii, Pii, Gráico d () Gráico d () (h) i. O tst d primir drivd, ncontrndo os pontos críticos; ( ) ( ) d v v v d ( ) P, P, ii. O tst d sgnd drivd, idntiicndo os pontos críticos. 8 8

19 Métodos d Cálclo II - Cpítlo - Drivds Dr. Srtori, C. S. 9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P ( ), m rl ( ) P ( ), min rl Gráico d () 9 iii. Os pontos d inlão o sboço do gráico. ( ) ii iii i i i i i ( ) ( ) P, ii ( ii ) ( ii ) Pii ii, ii Pii, ( ) Gráico d () iii ( iii ) ( iii ) Piii iii, iii Piii, 9

20 Métodos d Cálclo II - Cpítlo - Drivds Dr. Srtori, C. S. () ( ).) O tst d primir drivd, ncontrndo os pontos críticos; ( ) ( ) b b c ,, ,, 6 5 ( ) 5,, min rl 5 ( ) 5,, m rl.) Os pontos d inlão: i i i i, i,.) O tst d sgnd drivd, idntiicndo os pontos críticos. ( )

21 Métodos d Cálclo II - Cpítlo - Drivds Dr. Srtori, C. S. (b) ( ).) O tst d primir drivd, ncontrndo os pontos críticos; ( ) ( ) P, ;,, P, P,.) O tst d sgnd drivd, idntiicndo os pontos críticos. ( ).) Os pontos d inlão: i i i i i i, i, ii, ii, 6 6 ( ), P, min rl ( ),, m rl ( ),, m rl

22 Métodos d Cálclo II - Cpítlo - Drivds Dr. Srtori, C. S. () (c).) O tst d primir drivd, ncontrndo os pontos críticos; ( ) ( ) ( ) ( ) ;, P, P,.) O tst d sgnd drivd, idntiicndo os pontos críticos. ( ) 6 P, ( ), m rl P,.) Os pontos d inlão:, min rl ( ) P, P,, ( ) P, P, ( ) P, P,

23 Métodos d Cálclo II - Cpítlo - Drivds Dr. Srtori, C. S Anális ds ssíntots comportmnto ssintótico d nção:. ().6 (d).) O tst d primir drivd, ncontrndo os pontos críticos; () ( ) P, P,.) O tst d sgnd drivd, idntiicndo os pontos críticos. ( ) ( ), P, min rl ( ), P, m rl.) Os pontos d inlão: () ( ).) O tst d primir drivd, ncontrndo os pontos críticos; ( ) ( ) ( ), ( )

24 Métodos d Cálclo II - Cpítlo - Drivds Dr. Srtori, C. S. P, P,.) O tst d sgnd drivd, idntiicndo os pontos críticos. ( ) 8 P,, min rl.) Os pontos d inlão:.6.. i i Pi i, i P i, ii, iii ii P, P, iii ii ii ii ii P, P, iii iii iii iii 8 P,, m rl