f x y x y 3 x y y(3,2) f (, ) lim y f x y e x y f x y f x y (, ) x f (, ) (, ) x y x K L P( K, L) . Calcule usando: (v) (b) (x)
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- Ana Laura Balsemão Lage
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1 ªList d Cálclo Dirncil Intgrl II Fnçõs d váris vriávis Pro. Dr. Cládio S. Srtori Cálclo Dirncil Intgrl II Ercícios List Prt Drivds Prciis ts rlcionds. Prt Intgris dinids indinids.. Considr (,) (, ). Clcl () sndo: (, ) (, ), lim 0. (b) (,) sndo: (, ) (, ) (, ) lim 0. Considr (, ) () Clcl (,). (b) Clcl (,).. Clcl pr s sgints nçõs: (). (, ) 7 0 (b) (c) (d) () () (g) (h) (i) (j) (, ) (, ) 6 (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) 0 5 (, ) 6 0 (, ) ln 9 (k) (, ) sn (l) (, ) cos ln 0 (m) (n) (o) (p) (q) (, ) 0 (, ) ln (, ) cos (, ) 6 (, ) 0 sn (r) (, ) (s) (, ) ln (t) (, ) () (, ) (v) () (, ) (, ) ln () (, ) ln 5. Considr nção d prodção: P( K, L) K L Mostr q: P( K, L) P( K, L) K L P( K, L) K L 6. Um obsrvtório srá constrído n orm d m cilindro circlr rto com m bóbod séric como cobrtr. S o csto d constrção d bóbod srá ds vzs mis cro q n prd do cilindro qis dvrão sr s proporçõs mis conômics do obsrvtório spondo q o volm é io? Prt : Dirncil, Rgr d cdi, Drivd dircionl Grdint. Máimos mínimos d Fnçõs d váris vriávis.. Clclr o dirncil totl o crscimnto totl d nção z= no ponto (,), s =0, =0,:. Um lt d mtl chd, n orm d m cilindro circlr rto, dv possir ltr do ldo intrno igl 6cm, rio intrno d cm spssr d 0, cm. S o csto do mtl sr sdo é 0 cntvos por cm, ncontr o csto proimdo (por dirncição) n bricção d lt.
2 ªList d Cálclo Dirncil Intgrl II Fnçõs d váris vriávis Pro. Dr. Cládio S. Srtori. Nos rcícios bio, ncontr drivd prcil plos dois métodos: () Pl rgr d cdi: r ( )( r ) ( )( r ); s ( )( s ) ( )( s ) (b) Fç s sbstitiçõs d nts d drivr. (b ) ; r s; r s; s ; r (b ) ; r cos t; rsnt ; r ; t ; (b ) r s; r s; r ; s. Um ci vi sr bricd com mdir d / cm d spssr. O comprimnto intrno dv tr 60 cm d spssr, lrgr intrn 0 cm ltr 0 cm. Us dirncil totl pr ncontrr qntidd proimd d mdir q srá tilizd n bricção d ci. 5. Dd nção (,,z)= + +z chr drivd no ponto M (,,): s () N dirção do vtor s z s z (b) N dirção do vtor 6. Sj dd nção: (,, z) z. () Encontr o grdint d no ponto M(,,). (b) Dtrmin drivd d nção (,,z), no ponto M(,,), n dirção do grdint. 7. Encontr drivd dircionl no Ponto P 0 pr nção dd, n dirção no sntido do vtor : g(, ) tg ; () ; P (, ) 0 (b), ) ; ˆ ˆ; P (,0) ( 0 h(,, z ) cos( sn( z ); (c) z; P0 (, 0, ) (,, z ) ln( z ); (d) z; P (,, ) 0 () (, ) cos( ); cos( ) sn( ) ; P (, 0 ) 0 8. Encontr o grdint d m P t d vrição do vlor d nção n dirção sntido d m P. (, ) ; P(, ); () cos sn (b) (, ) ; P(, ); A tmprtr m qlqr ponto (,,z) do 60 spço é dd por T. A distânci é z mdid m cm. () Encontr t d vrição d tmprtr no ponto (,-,) n dirção do vtor 6 z. (b) Encontr dirção mgnitd d vrição máim d T(,,z) m P (,-,). 0. S V volts é o potncil létrico m qlqr ponto (,,z) do spço V, ncontr: z () A t d vrição d V no ponto (,,-). (b) A dirção d t d vrição máim d V m (,,-).. A dnsidd d qlqr ponto P(,) d m chp rtnglr no plno é : () Encontr t d vrição d dnsidd no ponto (,) n dirção do vtor cos sn. (b) Encontr dirção mgnitd d t d vrição máim d m (,).. chp d mtl stá sitd no plno-, d modo q tmprtr T m (,) sj invrsmnt proporcionl à distânci à origm, tmprtr m P(,) é 00 0 F..
3 ªList d Cálclo Dirncil Intgrl II Fnçõs d váris vriávis Pro. Dr. Cládio S. Srtori () Ach t d vrição d T m P n dirção d i j. (b) Em q dirção P mnt mis rpidmnt m P? (c) Em q dirção P dcrsc mis rpidmnt m P? (d) Em q dirção t d vrição é 0?. A spríci d m lgo é rprsntd por m rgião D no plno-, d modo q prondidd (m mtros) sob o ponto (,) é (, ) 00. () Em q dirção m bot m P(,9) dv nvgr pr q prondidd d ág dcrsç mis rpidmnt? (b) Em q dirção prondidd prmnc msm? r rˆ r E r é o chmdo vtor dslocmnto: r ˆ ˆ zzˆ Possi módlo r ddo por: r z 7. Dd nção dinid por: (, ) :dtrmin os trmos rltivos d, s istirm. O potncil létrico V m (,,z) é : V 9 z () Ach t d vrição d V m P(,-,) n dirção d P pr origm. (b) Ach vrição q prodz t máim d vrição d V m P. (c) Ql é t máim d vrição m P? 5. A tmprtr m (,,z) é dd por: T(,, z) 6z Ach t d vrição d T m P(,-,) n dirção i 6 j k. () Em q dirção T mnt mis rpidmnt m P? (b) Ql é st t d vrição? (c) Em q dirção T dcrsc mis rpidmnt m P? (d) Ql é ss t d vrição? 6. O Potncil létrico d m crg létric pntiorm é ddo por: kq kq V ( r) o V (,, z) r por: z Sbndo q o cmpo létrico dst crg é ddo E ( r) V Dmonstr q: E r) Ond: ( KQ rˆ r 8. Dtrmin s dimnsõs rltivs d m ci rtnglr, sm tmp, tndo m volm spcíico V, s qrmos sr mínim qntidd d mtril m s concção: 9. Dtrmin s dimnsõs d m ci rtnglr sm tmps q dv sr it d tl orm q tnh o máimo volm possívl. 0. Encontr númros positivos cj som sj s prodto o mior possívl.. Dd: (, ) 7 : () Dtrmin os possívis pontos críticos P 0 ( 0, 0 ) d (,). (b) Clcl o discriminnt D(, ) vriiq s há máimos o mínimos rltivos. Ddo: (i) tm m vlor mínimo rltivo m ( 0, 0 ) s:
4 ªList d Cálclo Dirncil Intgrl II Fnçõs d váris vriávis Pro. Dr. Cládio S. Srtori s: D( 0, 0 ) > 0 ( 0, 0 ) 0 (ii) tm m vlor máimo rltivo m ( 0, 0 ) D( 0, 0 ) > 0 (iii) não é trmo rltivo m ( 0, 0 ) s D( 0, 0 ) < 0 : ( 0, 0 ) 0 (iv) Não podmos chgr nnhm conclsão s D( 0, 0 ) = 0: bio. Pr ilir clssiicção, s tbl P 0( 0, 0) D( 0, 0) ( 0 0, ) Clssiicção d P 0( 0, 0). O rio bs d m con circlr rto vlm, rspctivmnt, 0 cm 5 cm com rro d 0. cm m cd dimnsão. Dtrmin o máimo rro no volm do con.. S R é rsistênci qivlnt d rsistors d rsistêncis R, R R, dd por: Com vlors: R R R R Rsistêncis R () R () R () Vlors R = 0.5%R Estim o máimo vlor m R.. Encontr drivd dircionl no ponto P n dirção do vtor ddo. () ˆ ˆ, P, v i j (b), ln P, v i ˆ ˆ j (c) g p, q p p q P, v i ˆ ˆ j (d) ˆ ˆ r, s rctg r s P, v 5i 0 j () z,, z z P 0,0,0 v 5,, (),, z z P,,6 v,, (),, z z P,, v ˆj k ˆ 5. Encontr máim t d vrição d nção dd, m l ocorr. Obsrvção: no ponto P indiq dirção m q m ˆ, p q q p q p P 0,0 (), P, P (b) (c), sn P,0 (d),, z P,, (),, z z P,6, (),, z tg z P 5,, () z,, z z P,, v ˆj k ˆ Rrêncis bibliográics:. Jms Stwrt, Clcls, concpts nd contt, Edition.. Swokovski, "O Cálclo com Gomtri Anlític", Volm II, ª Edição, Mkron Books, Volm.. L. Lithold, "O Cálclo com Gomtri Anlític", Volm, Editor Hrbr. ISBN: Hmilton Liz Gidorizzi Um crso d Cálclo, V, Editor LTC Ercícios Rsolvidos. Considr (, ) () Clcl (,) sndo.. (b) Clcl (,) sndo.. Solção: () (, ) (, ), lim 0, lim 0, lim 0 P P
5 ªList d Cálclo Dirncil Intgrl II Fnçõs d váris vriávis Pro. Dr. Cládio S. Srtori, lim 0, lim 0, lim 0, (,) 6 (b) (, ) lim (, ) (, ) 0 (, ) lim 0 (, ) lim 0 (, ) lim 6 0 (, ) lim 6 0 (, ) lim 6 0 (, ) lim 6 0 (, ) 6 (). Considr (,) 6 (, ) () Clcl (,) sndo.. (b) Clcl (,) sndo.. Solção: (, ) (, ), lim (,) (,), lim, lim (b) 6 6, lim, lim 6, lim 6, 6 (, ) (, ) (, ) lim (,) lim (,) lim 6 (, ) lim (, ) lim (, ) lim (, ) lim (,) 6. Clcl pr s sgints nçõs:. (, ) 7 0, 7, 0.. (, ),, 6 (, ) (, ) 5
6 ªList d Cálclo Dirncil Intgrl II Fnçõs d váris vriávis Pro. Dr. Cládio S. Srtori,,, 6. (, ), (, ) 6 6,, 6, 5. 6., 6 (, ),,,, (, ) (, ),,,, 7. (, ) 0,,,, 8 8. (, ) 0 5, 0 5, 0 0, 0 5, (, ) 6 0, 0,, 0 6, 6 (, ) ln 9, 0,, 0,. (, ) sn 6
7 ªList d Cálclo Dirncil Intgrl II Fnçõs d váris vriávis Pro. Dr. Cládio S. Srtori, ln 0, ln, 0 cos, cos. (, ) cos ln 0, sn 0, sn, 0 0, (, ) 0.,,, 0 0, 0, 0 (, ) ln., ln,, ln ln, ln 5. (, ) cos, cos sn, sn, cos cos, 6 cos 6. (, ) 6, 0 6,, 0,, (, ) 0 sn 7., 0 6, 0 sn 0 sn, 0 sn 0 cos, 0 sn cos, 0 sn, 0 sn 8. (, ) 7
8 ªList d Cálclo Dirncil Intgrl II Fnçõs d váris vriávis Pro. Dr. Cládio S. Srtori,,,,,,,, 9. (, ),, 6, 6,, 0, 0., ln (, ) ln ln, 0 ln, ln, ln ln,., ln ln, (, ), , 0.7, ,
9 ªList d Cálclo Dirncil Intgrl II Fnçõs d váris vriávis Pro. Dr. Cládio S. Srtori (, ), 0.6.., 0., , (, ) 0 0, 0 0,,,. (, ) ln ln,, ln, 5. (, ), 5 5 5, 5, 5 5 5, 5, 5 6. (, ), ln, ln, ln, ln, ln, ln 7. (, ),,,,,, 8. (, ),, 9
10 ªList d Cálclo Dirncil Intgrl II Fnçõs d váris vriávis Pro. Dr. Cládio S. Srtori,,,, 9. (, ), ln, ln, ln, ln, ln, ln 0. (, ) cos cos, sn, sn, sn, cos sn., sn, sn (, ) 5 5, 5 ln 5, 5 ln5, 5 ln 5 5, 5 ln 5, 5 ln 5, 5 ln 5 (, ).,, 6,,, 6, (, )., 6, 8 0,
11 ªList d Cálclo Dirncil Intgrl II Fnçõs d váris vriávis Pro. Dr. Cládio S. Srtori,,, 6. (, ), (, ),. (, ) (, ),,,,, 6,,,,,, 6,, 5. (, ) 7. (, ) (, ),,,,,, (, ),,,,
12 ªList d Cálclo Dirncil Intgrl II Fnçõs d váris vriávis Pro. Dr. Cládio S. Srtori,,,, 8. (, ) (, ),,,,, 9.,,, (, ) ln (, ) ln,,,,,,,,,,
13 ªList d Cálclo Dirncil Intgrl II Fnçõs d váris vriávis Pro. Dr. Cládio S. Srtori,,,, 0. (, ) ln,,,,,,. Considr nção d prodção: P( K, L) K L Mostr q: P( K, L) P( K, L) K L P( K, L) K L Solção: P( K, L) K L 0.5 K L K K P( K, L) K L K P( K, L) K L K L L L P( K, L) K L L P( K, L) P( K, L) K L K L K.5 K L L.5 K L.5 K L.5 L K.5 K L.5 L K P( K, L) P( K, L) K L K L P K L K L nção: (, ) 5. Encontr os máimos os mínimos d (, ) Pontos críticos: ,, 6 P(, ) (, ) (, ) i i i i i i ( i, i) Clss. (0,0) -6 0 Ponto d sl (,) - -6>0 Mínimo locl (, ) - -6>0 Mínimo locl
14 ªList d Cálclo Dirncil Intgrl II Fnçõs d váris vriávis Pro. Dr. Cládio S. Srtori P(, ) (, ) (, ) i i (0,0) 0 80 (.6,.90) (.6,.90) (0.86,0.65) ( 0.86,0.65) i 8.5 i -.8 i i ( i, i) Clss. Máimo locl Máimo locl Ponto d sl 5. Encontr os máimos os mínimos d nção: (, ) Pontos críticos: ,,
15 ªList d Cálclo Dirncil Intgrl II Fnçõs d váris vriávis Pro. Dr. Cládio S. Srtori List d Ercícios Prt Intgris dinids indinids.. Clcl s intgris plo método d Intgrção por prts: d C () (b) d 9 6 C 7 (c) cos5d cos 5 sn 5 C 5 5 (d) cos d cos ( ) sn C () sn d sn cos C () d C sn d sn cos C ln d ln C (g) (h) (i) ln d ln C (j) (ln ) ln ln d C (k) tg sc d sc sc C 5 7 (l) tg sc d cos sc tg C 5 (m) sc sc ln sc d tg tg C (n) sc tgd sc ln sc tg C rctgd rctg ln C (o) (p) rcsn d rcsn C d C (r) (q) d C d C ln d ln C (s) ln ln (t) (w) sc lncos d tg C () (ln ) d ln ln C d C cos d cos sn C sn d 5 cos sn C d C cos d cos sn C cos d 5 sn cos C snd sn cos C (v) () (z) ( ) (b ) (c ) (d ). Encontr intgrl indinid, plicndo o método d sbstitição trigonométric: () d C (b) 9 9 d rcsn C (c) d ln ln 5 5 C (d) d rcsn C () 6 d 6 rcsn C d C ( 9) 9 9 () Obsrvção: ç mdnç: Aprcrá: (g) sc sc d csc C tg Arcsnh d C d C (5 ) 9 5 (h) 5
16 ªList d Cálclo Dirncil Intgrl II Fnçõs d váris vriávis Pro. Dr. Cládio S. Srtori Obsrvçõs: rcsnh ln rccos h ln rctgh ln rc sc h ln rccossch ln rcctgh ln. Encontr s intgris plo método ds rçõs prciis: Ddos: m n A B ( ) ( ) m n A B ( ) ( ) m n q A B C m n q A B C b c b rctg C, s 0 d () C, s 0 b b rg tnh C, s 0 d ln C d 9 ln ln C (b) (c) 5 5ln 5 5 5ln 5 5 d C d C (d) ln ln ln 6 () ln ln ln 5 () d C d C (g) (h) (i) rctg 7 d ln ln 6 C rctg d ln ln C rctg d ln ln 6 C 6. Encontr s intgris sndo técnic d intgrção proprid: () ln ln (b) d C cos sn cos( ) d C sc ( ) d ln cos tg C (c) ln (d) ln () d C rcsn( ) d rcsn( ) C () ln d ln C (g) rctg ( ) d rctg C (h) sn( ) d 9 cos sn C 7 9 d sn C sn(ln ) d cos(ln ) sn(ln ) C d C (i) cos cos (j) (k) d C (l) (m) (n) 5 sc d sc tg sc tg ln sc tg C 8 / 0 cos( ) d 6
17 (o) (p) (q) (r) ªList d Cálclo Dirncil Intgrl II Fnçõs d váris vriávis Pro. Dr. Cládio S. Srtori d 0 / 0 sn( ) d 5 rcsnd 0 8 / 0 cos d cos sn. Encontr s intgris nvolvndo potêncis d sno cossno: Ddos: cos( ) cos cos sn sn sn( ) sn cos sn cos cos cos cos cos cos cos sn sn sn sn sn cos sntdt cos t C cos tdt snt C cos cos sn cos () (b) 0 ( sn) d cos d sn sn C (c) sn d cos cos cos5 C (d) () sn d sn C cos d sn sn C 8 sn cos d cos 5 5cos 9 C 70 () (g) sn sn sn6 sn cos d C 9 8sn sn8 (h) sn cos d C 0 (i) cos cos 5 ( sn( ) cos( )) d C 0 cos cos (j) sn d C (k) snsn(cos ) d cos(cos ) C cos cos (m) sn d C sn sn (n) sn d C 8 (o) 6 8 cos sn sn d sn sn C 8 sn cos 8 d cos cos 0 C 8 0 cos 6 cos d cos sn sn0 C 0 (p) (q) crvs Aplicçõs d Intgrl. Encontr o comprimnto do rco d prábol d (0,0) (,). d L d d 0. Encontr o cntróid d rgião limitd pls cos, = 0; 0.. Encontr o cntróid d rgião limitd pls crvs. 7
18 ªList d Cálclo Dirncil Intgrl II Fnçõs d váris vriávis Pro. Dr. Cládio S. Srtori. Encontr o volm do sólido d rvolção ormdo pl rotção do io ds crvs. 6. Encontr o volm d pirâmid plicndo: h 0 V A d 5. Encontr ár d rgião dd pr cd cso. Dic: Smlhnç d triânglos: s A h h s 7. Encontr os volms indicdos, intgrndo sobr m ár proprid.: 8 () (b) (c) tors 8. Encontr o volm obtido pl rotção m torno do io d nção b V d 9. Um orç d 0 N t nm mol d comprimnto ntrl L = 0 cm, provocndo m dormção m s comprimnto d 0 cm pr 5 cm. Sbndo q Li d Hook é F k Ql o trblho ncssário pr provocr m dormção d mol vrindo s comprimnto d 5 cm pr 8 cm?
19 ªList d Cálclo Dirncil Intgrl II Fnçõs d váris vriávis Pro. Dr. Cládio S. Srtori W F d 0. Um rsrvtório possi orm d m con circlr rto invrtido d rio m ltr 0 m.. El é prnchido com ág té m ltr d 8 m. Encontr o trblho ncssário pr svzir o tnq, bombndo ág prtir do topo do tnq. A dnsidd d ág vl 000 kg/m. S () é contín m [,b] ntão ist m vlor c [,b] tl q: b d c b Ach o vlor d c no problm ntrior. 9. Ár d m spríci d rvolção:. Qndo m gás s pnd m m cilindro d rio r, prssão rcid plo gás vri com o volm P = P(V). A orç rcid plo gás sobr o pistão é dd por: F P A F P V r Mostr q o trblho rlizdo plo gás o s pndir d m volm V V é ddo por: V V W P V dv b d S d d Encontr ár d spríci grd pl rotção d crv torno do io. m 5. Um tnq tm orm d m trpézio ddo:. O vlor médio d m nção no intrvlo d ntr b é ddo por: b d b Encontr o vlor médio d nção: no intrvlo [-,]. Encontr orç dvido à prssão hidrostátic s o nívl d ág stivr m do topo do rsrvtório.. Torm do vlor médio:
20 ªList d Cálclo Dirncil Intgrl II Fnçõs d váris vriávis Pro. Dr. Cládio S. Srtori 6. Torm d Ppps: Sj m rgião ormd no plno, o ldo d m linh l; s é gird sobr l, ntão o volm do sólido rsltnt é ddo pl ár d mltiplicd pl distânci d dd plo cntróid d. V A Um tors é ormdo pl rotção d m círclo d rio r m torno d m linh pssndo plo plno d m círclo d rio R. Mostr q s volm é V r R 7. O lo lminr d sng d viscosidd trvés d m rtéri d comprimnto L rio R é ddo por: P v r R r L Mostr q orç sobr s prds d rtéri é dd pl Li d Poisill: R P R F vr rdr F 8 L 0 8. Usndo o rsltndo pr clclr o comprimnto d m nção l = () pr b: b d l d d Clcl: () 0 (b) 0 (c) ln (d) R: () l 0 (b) l (c) l ln (d) l ln Solção ln d d l d l d d tg d sc d tg sc tg tg sc d sc tg sc sc d d tg tg sc tg sc d d d sc tgd tg tg cos d sc tg d sn cos cossc d sc tgd cossc d ln csc cot C o cossc d ln csc cot C 0
21 ªList d Cálclo Dirncil Intgrl II Fnçõs d váris vriávis Pro. Dr. Cládio S. Srtori d d ln csc cot csc cot d d csc cot d ln csc cot csc cot csc d csc cot d csc cot ln csc cot csc csc d csc cot d ln csc cot sc tg cotg = cossc sc d ln C d ln C d ln C d C ln ln l d l d ln ln l d ln ln l d ln ln ln l d Cônics. Pr cd cônic: ln. Dtrmin os prâmtros;. Escrv qção m coordnds polrs.. Constr o gráico com o comndo polrplot no mthcd pr coordnds polrs. () Elips: = ½ = (b) Hipérbol: = = (c) Elips: = 8/0 = 8 (d) Hipérbol: = / = 6 () Prábol: = () Prábol: = (g) Elips: = ½ = 6 (h) Hipérbol: = = (i) Elips: = 7/0 = (j) Hipérbol: = 6/5 = 6 (k) Prábol: = 0.5 (l) Prábol: = 8 (m) Elips: = ½ = (n) Hipérbol: = 6 = (o) Elips: = /7 = (p) Hipérbol: = /5 = 5 (q) Prábol: = 0.7 (r) Prábol: = Ercícios d Rvisão. Vriiq, clclndo s intgris por prts: () cosd sn cos C ln d ln C (b) (c) sn5d 5 6cos5 5 sn5 C 5 5 (d) rctg rctgd rctg C. Mostr, sndo dcomposição proprid por rçõs prciis: () (b) 9 d ln ln C 5 d ln ln C ln d ln C (c) 5 5 (d) () () d ln ln ln ln C 6 6 d rctg ln 6 C 6 6 d rctg ln ln C
22 ªList d Cálclo Dirncil Intgrl II Fnçõs d váris vriávis Pro. Dr. Cládio S. Srtori Apêndic Intgris indinids - Dmonstrçõs Cso: < 0 d b c d d d d b c b b c Chmndo: b v dv d c b c b t t d dv b c v t d dv b c t v t t d dv b c t v t b c b b c Chmndo gor d: v dv d dv td t t Sbstitindo, trmos: d td b c t d d b c t d rctg C b c t d v rctg C b c t t b d rctg C b c d b rctg C b c Cso: = 0 d d b c b d b b c b c d b d C d C b c b Cso: > 0 d d b c b b c, A B b c A B b c 0 A B A B b c AB0 A B
23 ªList d Cálclo Dirncil Intgrl II Fnçõs d váris vriávis Pro. Dr. Cládio S. Srtori A AB B B B d A B d b c d d d d b c d ln ln C b c d b c ln C b b b b b b d b ln b c b b c b C d b ln C Como: rg tnh ln b Chmndo d b b rg tnh ln b rg tnh b ln b b rg tnh b ln b b rg tnh b ln b b rg tnh b ln b b b b rg tnh ln b b b rg tnh ln b b b rg tnh ln b b b rg tnh ln b Sbstitindo, trmos: d b rg tnh C b c Assim, trmos: b rctg C s 0 d C s 0 b c b b rg tnh C s 0
24 ªList d Cálclo Dirncil Intgrl II Fnçõs d váris vriávis Pro. Dr. Cládio S. Srtori Fórmls d Intgrção dv v vd ) n n ) d C, n n d ) ln C ) d C 5) d C ln 6) sn. d cos C 7) cos. d sn C 8) sc. d tg C 9) csc. d cot C 0) sc tg. d sc C ) csc cot. d csc C ) tg. d ln cos C ) cot. d ln sn C ) sc. d ln sc tg C 5) csc. d ln csc cot C d d rctg d rcsc d ln d ln C d ln C rcsnh C d ( ) ln 8 8 d ln 6) rcsn C 7) C 8) C 9) C 0) ) ) C ) C d ) d ln C 5) ln C d 6) ln C d 7) ln C d 8) C d 9) C ( ) 0) d rcsn C ) d ( ) rcsn C 8 8 ) d ln C d ) d rcsn C rcsn ) C 5) ln C d 6) ln C d 7) ( ) d ( 5 ) rcsn C 8 8 8) C ( d ) ln 9) d C
25 0) ªList d Cálclo Dirncil Intgrl II Fnçõs d váris vriávis Pro. Dr. Cládio S. Srtori d ( ) ln C 8 8 ) d. rccos C ) d ln C ) d ln C d ) C 5) C ( d ) d 6) 6) ln C ( ) d 7) ( b ln b ) C b b 8) d [( b) ( b) ln b ] C b b d ( b) 9) ln C d ( b) d ( b) b b 50) ln C b b ln b ( b) b 5) C d ( b) ( b) b 5) ln C d 5) b b C b b ln b ( ) 5) b. d (b )( b) C 5b 57) b s ln C, d b 0 b s rctg C, 0 b 58). d b b b b n n b. d ( b) b(n ) 59). d d b d b n 60) n bd d b b b(n ) n n d b d b b(n 6) n b ( n ) ( n ) n n 6) sn d sn C 6) csc. d sn C 65) tg. d tg C 66) cot. d cot C cos 67) sn. d ( sn ) C 68) cos. d ( cos ) sn C 69) tg. d tg ln cos C 70) cot. d cot ln sn C d b 7) sc. d sc. tg ln sc tg C 7) csc. d csc.cot ln csc cot C 5 d 55) ( b ) b C b b 56) d (8 b b) b C b 5b n n n n 7) sn. d sn.cos sn. d n n n n n n 7) cos. d cos. sn cos. d n n n n n 75) tg. d tg tg. d n
26 ªList d Cálclo Dirncil Intgrl II Fnçõs d váris vriávis Pro. Dr. Cládio S. Srtori n n n n n n n 76) cot. d cot cot. d n 97). d d n n n n n 77) sc. d tg.sc sc 98). d n n snb. d (. snb b.cos b) C b 78) n n n 99) n csc. d cot.csc csc. d cos b. d (.cos b b. snb) C n n b 79) sn sn( b) sn( b). snb. d C ( b) ( b) 00) ln. d ln. C 80) sn( b) sn( b) n cos.cos b. d C n ( b) ( b) 0). d [( n )ln C cos( b) cos( b) ( b) ( b) 8) sn. cos b. d C 8). sn. d sn. cos C 8). cos. d cos. sn C n n n 8). sn. d cos n cos. d n n n 85).cos. d sn n sn. d 86) n m n m sn.cos n sn cos.. d sn n m n m n m sn.cos m n m sn cos. d n m n m n.cos m. d 87) rcsn. d. rcsn C 88) rccos. d.rccos C 89) rctg. d. rctg ln ( ) C 90) rcsn. d. rcsn C. rctg. d rctg 9).rccos. d rccos C 9) C n 9) n n d rcsn. d rcsn C,{ n } n n n n d 9) rccos. d rccos C,{ n } n n 95) n n d rctg. d. rctg C,{ n } n 96). d ( ) C ln ] ( n ). d ln ln ln snh. d cosh 0) C 0) C 0) cosh. d snh C 05) tgh. d ln. cosh C 06) coth. d ln snh C 07) sc h. d rctgh. snh C 08) h csc. d ln tgh C 09) sc h. d tgh C 0) csc h. d coth C ) sc h. tgh. d sc h C ) csc h.coth. d csc h C ). d rccos C ). d rccos C 6 5). d. rccos C 6). d rccos C d 7) rccos C 8) d. rccos C 6
27 ªList d Cálclo Dirncil Intgrl II Fnçõs d váris vriávis Pro. Dr. Cládio S. Srtori 9) d ( ) rccos C 0) d C 7
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4.21 EXERCÍCIOS pg. 176
78 EXERCÍCIOS pg 7 Nos rcícios d clculr s drivds sucssivs t ordm idicd, 5 7 IV V 7 c d c, 5, 8 IV V VI 8 8 ( 7) ( 8), ( ) ( ) '' ( ) ( ) ( ) ( ) 79 5, 5 8 IV, 8 7, IV 8 l, 9 s, 7 8 cos IV V VI VII 5 s
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