Funções Crescentes e Funções Decrescentes. Funções Crescentes e Funções Decrescentes. Função Crescente. Função Decrescente
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- Bruna Faria Fraga
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1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Definição de Função Crescente e Função Decrescente Funções Crescentes e Funções Decrescentes Uma função f é crescente em um intervalo se, para qualquer e no intervalo, > implica f( ) > f( ) Uma função f é decrescente em um intervalo se, para qualquer e no intervalo, > implica f( ) < f( ). Prof.: Rogério Dias Dalla Riva Funções Crescentes e Funções Decrescentes.Funções crescentes e funções.pontos críticos e sua utilização.uma aplicação: lucro, receita y Função Crescente f( ) f( ) 5 Uma função é crescente se seu gráfico sobe quando se desloca para a direita, e é decrescente se seu gráfico desce quando se desloca para a direita. A definição a seguir constitui um enunciado mais formal. f( ) f( ) y Função Decrescente 6
2 A função da figura a seguir é decrescente no intervalo (-, a), constante no intervalo (a, b) e crescente no intervalo (b, ). Na realidade, pela definição de função crescente e função decrescente, a função eibida na figura é decrescente no intervalo (-, a] e crescente no intervalo [b, ). No presente teto, entretanto, restringimos nosso estudo à determinação de intervalos abertos, nos quais a função é crescente ou decrescente em um intervalo. Eemplo : Mostre que a função é decrescente no intervalo aberto (-, 0) e crescente no intervalo aberto (0, ). A derivada de f é f ( ) = f ' ( ) = Pode-se utilizar a derivada de uma função para determinar se a função é crescente ou decrescente em um intervalo. 7 0 No intervalo aberto (-, 0), o fato de ser negativo implica que f () = é também negativa. Logo, pelo teste para uma função decrescente, podemos concluir que f é decrescente nesse intervalo. Analogamente, no intervalo (0, ), como é positivo, também o é. Logo, concluímos que f é crescente nesse intervalo, como pode ser observado na figura a seguir. 8 Teste para Funções Crescentes e Funções Decrescentes. Se f () >0 para todo em (a, b), f é crescente em (a, b).. Se f () < 0 para todo em (a, b), f é decrescente em (a, b).. Se f () = 0 para todo em (a, b), f é constante em (a, b). 9
3 Eemplo : De 970 a 980, o consumo C de aves (em libras sem osso por pessoa por dia) admite como modelo C =,5 + 0,07t, 0 t 0, onde t = 0 corresponde a 970. Mostre que o consumo de aves cresceu de 970 a A derivada deste modelo é dc/dt = 0,8t. Para t positivo, a derivada é positiva. Portanto, a função é crescente, o que implica que o consumo de aves aumentou de 970 a 980. Definição de Ponto Crítico Se f é definida em c, então c é um ponto crítico de f se f (c) = 0 ou se f não é definida em c. Nota: Esta definição eige que o ponto crítico esteja no domínio da função. 7 No Eemplo, foram dados dois intervalos um em que a função era decrescente e um em que era crescente. Suponhamos agora que tivéssemos de determinar esses intervalos. Para isto, poderíamos ter levado em conta o fato de que, para uma função contínua, f () só pode mudar de sinal em valores de para os quais f () = 0 ou em valores de para os quais f () não é definida, conforme mostra a figura a seguir. Esses dois tipos de números são chamados pontos críticos de f. 5 Diretrizes para Determinar os Intervalos de Crescimento e Decrescimento. Achar a derivada de f.. Determinar os pontos críticos de f e utilizá-los para estabelecer os intervalos de teste; isto é, achar todos os valores de para os quais f () = 0 ou f () não é definida.. Testar o sinal de f () para um valor arbitrário em cada um dos intervalos de teste.. Utilizar o teste das funções crescentes ou para decidir se é crescente ou decrescente em cada intervalo. 8
4 Eemplo : Ache os intervalos abertos em que a função f ( ) = é crescente ou decrescente. 9 Comecemos calculando a derivada de f. Em seguida, igualemos a derivada a zero e resolvamos a equação para achar os pontos críticos. ( ) Diferenciando a função original ' f = = 0 Igualando a zero a derivada ( )( ) = 0 Fatorando = 0, = Pontos críticos A função do Eemplo não somente é contínua em toda a reta real, mas também diferenciável ali. Para tais funções, os únicos pontos críticos são aqueles para os quais f () = 0. O próimo eemplo considera uma função contínua que tem ambos os tipos de ponto crítico os números para os quais f () = 0 e os que f () não é definida. 0 Como não há valores de para os quais f não seja definida, decorre que = 0 e = são os únicos pontos críticos. Assim, os intervalos que devem ser testados são (-, 0), (0, ) e (, ). A tabela abaio apresenta o resultado do teste desses três intervalos. Eemplo : Determine os intervalos abertos em que a função ( ) f ( ) = é crescente ou decrescente. Intervalo (-, 0) (0, ) (, ) Valor de teste = - = ½ = Sinal de f () f (-) = 6 > 0 f (½) = -¾ < 0 f () = 6 > 0 Conclusão Crescente Decrescente Crescente
5 Comecemos achando a derivada da função. ' f ( ) = ( ) ( ) Diferenciar = Simplificar ( ) Vemos que a derivada é zero quando = 0 e que não é definida para = ±. Assim, os pontos críticos são = -, = 0 e =. Pontos críticos Nota: Na tabela anterior, não é necessário calcular f () para os valores de teste basta determinar seu sinal. Assim é que podemos determinar o sinal de f (-) como segue: ' ( ) negativo f ( ) = = = negativo (9 ) positivo 5 8 Isto implica que os intervalos de teste são (-, -), (-, 0), (0, ) e (, ) Intervalos de teste A tabela abaio resume os resultados do teste nesses quatro intervalos; a figura a seguir eibe o gráfico da função. As funções nos Eemplos a são contínuas em toda a reta real. Se há valores isolados de para os quais a função não seja contínua, tais valores devem ser utilizados, juntamente com os pontos críticos, para determinar os intervalos de teste. Intervalo (-, -) (-, 0) (0, ) (, ) Valor de teste = - = - = = Sinal de f () f (-) < 0 f (-) > 0 f () < 0 f () > 0 Conclusão Decrescente Crescente Decrescente Crescente Por eemplo, a função + f ( ) = não é contínua quando = 0. Como a derivada de f, ( ) f '( ) = é zero quando = ±, devemos tomar os seguintes valores para determinar os intervalos de teste: = -, = = 0 (Pontos críticos) (Descontinuidade) 0 5
6 Intervalo (-, ) (, ) Intervalo (-, -) (-, 0) (0, ) (, ) Valor de teste = - = -½ = ½ = Valor de teste = 0 = Sinal de f () f (0) = (0-) > 0 f () = (-) > 0 Conclusão Crescente Crescente Sinal de f () f (-) < 0 f (-½) > 0 f (½) < 0 f () > 0 Conclusão Decrescente Crescente Decrescente Crescente Após testar f (), constatamos que a função é decrescente nos intervalos (-, -) e (0, ), e crescente nos intervalos (-, 0) e (, ), conforme mostra a figura a seguir.. Uma aplicação: lucro, receita Eemplo 6: Um distribuidor nacional de brinquedos estabelece os seguintes modelos d e receita para um de seus jogos. C =, 0,000, R = 7, 0,00, Determine o intervalo em que a função lucro é crescente. 5. Uma aplicação: lucro, receita Eemplo 5: Mostre que a função f() = + é crescente em toda a reta real. Pela derivada de f, f () = 6 + = ( ), podemos ver que o único ponto crítico é =. Assim, os intervalos de teste são (-, ) e (, ). A tabela a seguir resume o teste nesses dois intervalos. Pela figura a seguir, vemos que f é crescente em toda a reta real mesmo que f () = 0. O lucro na produção de unidades é P = R C = (7, 0,00 ) (, 0,000 ) =,8 0,
7 . Uma aplicação: lucro, receita Para achar o intervalo em que o lucro é crescente, façamos o lucro marginal P igual a zero e resolvamos em relação a. ' P =,8 0,006 Diferenciando a função lucro ',8 0,006 = 0 Fazendo P igual a 0. 0,006 =,8 Subtraindo,8 de ambos os membros,8 = 0,006 Dividindo ambos os membros por -0,006 =.000 unidades Simplificando 7. Uma aplicação: lucro, receita No intervalo (0,.000), P é positiva e o lucro é crescente. No intervalo (.000, 6.000), P é negativa e o lucro é decrescente. A figura abaio ilustra os gráficos das funções custo, receita e lucro. 8 7
Funções Crescentes e Funções Decrescentes
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