Integrais Resolução dos Exercícios Propostos

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1 Intgrais Rsolução dos Ercícios Propostos Ercício : Encontr a intgral indfinida das sguints funçõs: t a) f( ) 7 + ; ) gt () + t t ; c) hu ( ) u( u+ u ); + d) f( ) ) + hv ( ) ( v ) f) gs ( ) s a) ( ) ( 7) ( 7 + ) d + + C ; ) c) d) ) f) t 6 + t dt t t + t + C t ; u + d ( ) d C + + ; ( + v ) dv ( v + v ) dv v + + C v v ds + C s s u ( u + u ) du ( u + u ) du u + C ; ; Ercício : Encontr a intgral indfinida das sguints funçõs: cos cos t + tg t sn cos a) f( ) ; ) gt () ; c) f( ) + 7sn cos t 7cos 7cos cos a) d cotg cossc d 7sn 7, mas pla tala d drivação dada no final do Fundamntum nº 7, otém-s qu: d cossc cossc cotg d cos Assim, d cossc + C 7sn 7 ) cos + tg cos snt dt t dt cost dt snt dt cos t + + cos t cos t t + tg t cotg tdt, mas novamnt pla tala d drivação dada no final do Fundamntum nº 7, otém-s qu: d sc sc tg, d cos t + tg t assim, dt sn t + sc t + C cos t

2 + ( tg ) sc d + d d sn cos c) 7cos 7cos 7 7 dada no final do fundamntum nº 7, otém-s qu: d tg sc, d sn cos assim, + d tg + C 7cos 7cos 7, mas novamnt pla tala d drivação Ercício : Calcul as sguints intgrais indfinidas, utilizando a técnica d sustituição: a) d ; ) d ; c) d ; d) sn + d ; ) cos( t t ) sc ( ) dt ; f) cos tdt; g) d ; h) d + 9 Sugstão para rsolvr o itm c: considr u + a) Fazmos u, logo du d, assim, d u du u C ( ) C ) Fazmos u, logo du d, assim, d ( u) du u + C ( ) + C c) Fazmos, conform sugstão u +, logo du d, assim, u u d du du + u u u u du u du u u + C ( + ) ( + ) + C d) Fazmos u, logo du d, assim, sn d sn u du cos u C cos C + + ) Fazmos u t, logo du 6t dt, assim, cos( t t ) dt cosu du snu + C snt + C + cost f) Fazmos cos t, assim, + cost cos tdt dt dt+ costdt t + sn t + C g) Fazmos u, logo du d, assim, sc ( ) d sc u du tg u + C tg( ) + C h) Fazmos u, logo du d, assim,

3 + 9 + u arctg arctg( ) d du u + C + C Ercício : Calcul as sguints intgrais, utilizando a técnica d intgração por parts a) d ; ) arcsn d + ; c) ( + )snd ; d) sn d ; ) cossc cotg d ; f) sn sc d a) Façamos u dv d, logo du d v +, assim, + d udv uv vdu + + d + + ( + ) + + C ( ) + + C ) Façamos u arcsn dv d, logo du d v, assim, arcsn d udv uv vdu arcsn d, fazndo agora t, tmos qu dt, assim, d du u ( ) Portanto, u arcsn d arcsn + + C c) Façamos u + dv sn d, logo du d v cos, assim, ( + )sn d ( + )cos + cos d (sn cos ) cos + C d) Sgu imdiatamnt do itm c qu snd sn cos + C Façamos ntão u dv sn d, logo du d v cos Portanto, Analisando a intgral sn d cos + cos d () cosd, osrvamos qu podmos calculá-la tamém por parts, fazndo agora u dv cos d, logo du d v sn, assim, cos d sn sn d pla osrvação acima, concluímos qu cos d sn (sn cos ) () Sustituindo () m (), otmos sn d cos + sn + 6 cos 6sn + C ) Façamos u cossc dv cossc cotg d, logo du cossc cotg d v cossc, assim, cossc cotg d cossc ( cossc )( cossc cotg ) d Logo, cossc cossc cotg d cossc Portanto, cossc cotg d + C f) Façamos u sn dv sc d, logo du cos d v tg, assim, sn sc d sn tg tg (cos d ) sn tg + sn d sn tg + cos + C

4 Ercício (rsolução com o uso d calculadora ou microcomputador): Escrva a soma d Rimann das sguints funçõs nos intrvalos indicados, usando a quantidad n d suintrvalos na partição considrada A sguir utiliz uma calculadora ou softwar para calcular o valor numérico da soma a) f( ), [,], n 7, n, n, n ; ) f ( ) sn, [, π ], n 6, n, n, n ; c) f ( ) cos, [, π ], n 6, n, n, n ; d) f ( ) cos sn, [, π ], n 6, n, n, n Ercício 6: Calcul, mdiant o Torma Fundamntal do Cálculo, as intgrais a sguir π π a) cos d; ) (cos sn ) d ; c) ( + ) d π d) sn d ; ) 9 π ( ) a) π π cos d sn snπ sn ) π π (cos sn ) d sn + cos snπ + cosπ sn cos c) ( + ) d + d) No itm d do rcício, vimos qu snd sn cos + C, assim, π π π sn d sn cos sn π π cosπ snπ + cosπ (+ π) π π ) Fazndo u, sgu qu: s, u, s, u du d, assim, 9 9 ( ) d u du u Ercício 7: Nos itns a sguir prss a ára das rgiõs limitadas plas curvas dadas Faça isso d duas maniras, com intgraçõs na variávl com intgraçõs na variávl Escolha uma das maniras calcul a ára a), + ) +, c) +,, a)

5 + P Para s ncontrar as coordnadas do ponto P dvmos tr +, ou sja Intgração na variávl : assim, AR ( ) d+ ( ) ua + d Intgração na variávl : AR ( ) [( ) d ] ( d ) ua ) P Q Para s ncontrar as coordnadas do ponto P dvmos tr, ou sja assim, Para s ncontrar as coordnadas do ponto Q dvmos tr, ou sja assim, Intgração na variávl : AR ( ) ( ) d+ ( ) ( ) d + ua

6 Intgração na variávl : AR ( ) ( d ) + ( d ) + ( ) c) P ua + S R O ponto P tm coordnada como +, tmos qu 6 O ponto Q tm coordnada como, tmos qu O ponto R tm coordnada como, tmos qu O ponto S tm coordnada como +, tmos qu Intgração na variávl : 6 AR ( ) ( + + ) d ( + ) d + + ua 6 Intgração na variávl : 6 AR ( ) ( + ) d+ ( + ) d+ ( ) d ( ) + ( ) ua 6 Ercício 8: Nos itns a sguir, apnas prss, mdiant intgrais dfinidas, a ára da rgião limitada plas curvas dadas Não é ncssário calcular a(s) intgral(is) a),, ),, a) Q

7 P S R Q O ponto P tm coordnada como, tmos qu O ponto Q tm coordnada como, tmos qu O ponto R tm coordnada como, tmos qu O ponto S tm coordnada como, tmos qu 8 Intgração na variávl : AR ( ) ( ) d Intgração na variávl : ) 8 8 AR ( ) ( ) d+ ( ) d+ ( ) d P S R Q

8 Para s ncontrar as coordnadas do ponto P dvmos tr, ou sja assim, + Para s ncontrar as coordnadas do ponto Q dvmos tr, ou sja assim, Para s ncontrar as coordnadas do ponto R dvmos tr, ou sja assim, O ponto S é a origm Assim, tmos Intgração na variávl : (7 ) (+ ) (7 ) (7 ) (+ ) (7 ) A( R ) ( ( )) d + ( ( )) d + ( ( )) d ( + ) d + ( + )) d + ( ) d Intgração na variávl : (+ ) + A( R ) ( ( + ) ) d + ( + + ) d + ( + ) d ( ) ( + ) + ( + 6) d+ ( + ) d+ ( + + ) d ( ) Ercício 9: Encontr o domínio as drivadas d primira d sgunda ordm das sguints funçõs: a) f ( ) ln( ) ; ) g ( ) ln ; c) h ( ) ln ; d) j ( ) sn(ln ) a) Dom f (,), 6 6( ) (6 ) f '( ) f "( ) ( ) ) g ( ) ln ln, assim, Dom g (, ) g'( ) g"( ) c) Dom h {, } ( ) ( + ) h'( ) h"( ) ( ) ( ) d) Dom j (, )

9 cos(ln ) j'( ) sn(ln ) cos(ln ) sn(ln ) cos(ln ) j "( ) + Ercício : Calcul as intgrais dadas a sguir + a) + d 6 ; ) ln d ; c) tg d; π d) cotg d; ) ln d π + ln a) + d d d C ln ln ln ) Fazndo u ln, tmos qu du d, assim, d c) Fazndo u cos, tmos qu du sn d, assim, sn du tg d d ln u C cos u + ln cos ln sc + C π d) Fazndo u sn, tmos qu: du cos d, além disso, s, ntão u ntão u Assim, cos du ln cotg d d ln u ln ln sn u π π π π ( ) ) Intgrando por parts, tommos u ln dv d, logo, du d v Assim, ln d ln d ln d ln + C ; s π, Ercício : Encontr a drivada das sguints funçõs: a) ln ; ) sn d) ( 7)( ) ; ) a) Como ln ln(sn ) ln ln(sn ), tmos: ( ) ln + ; c) ( 7) ( ) cos(ln ) ; cos ' ln + ln cotg + sn ) Como ( ) ln( + ) 9, tmos: ' ( ) ln( + ) + ( ) + 9 ( ) ( ) ln( + ) + + sn(ln ) c) Como cos(ln ), tmos: ' sn(ln ) d) ' ( )( ) + ( 7)

10 ) Tmos qu: ln ln ( 7) ( ) ln 7 + ln Drivando m ' rlação a, sgu qu: +, assim, 7 ' ( 7) ( ) + 7 Ercício : Calcul as drivadas das sguints funçõs a) f ( ) sn( ); ) g ( ) + ; c) h ( ) ln(cotg ); d) j ( ) sn( ) a) '( ) f cos( ) ) g'( ) + cos c) Como h ( ) ln( ) ln( cos ) ln( sn ), tmos: sn sn cos h'( ) (tg + cotg ) cos sn d) j'( ) sn( ) + cos( ) [sn( ) + cos( )] Ercício : Dadas as quaçõs a sguir, ncontr ' drivando-as implicitamnt m rlação a a) + + 7; ) sn a) + + ' + ( + '), logo, ' + ' ( + + ), assim, + + ', quando ( + ) ) sn + cos ' ( ' + ), logo, '( cos ) sn, assim, sn ', quando cos cos Ercício : Calcular as sguints intgrais: a) d ; ) ( + ) d ; c) sn( ) d ; ln( ) d) d ; ) d + u a) Fazndo a sustituição d variávl, otmos du d d u u d du + C + C

11 ( + ) d d + d + d ) u u + du + + C + + C u c) Fazndo a sustituição d variávis otmos du d d) + sn( ) d sn( )( d) snudu cosu+ C cos( ) + C d u + du ( ) d + d du ln u + C ln + + C u Ercício : A magnitud R d um trrmoto é mdida m uma scala, chamada scala Richtr, dada pla I fórmula R log, ond I é a intnsidad do trrmoto I é uma intnsidad padrão mínima S um I trrmoto ating a magnitud d 6, na scala Richtr, quantas vzs a intnsidad do trrmoto é maior qu a intnsidad padrão? Tmos R log I, assim, I I log 6, I I 6, I I I I I Portanto, a intnsidad do trrmoto é d 6, log 6, 89 vzs maior qu a intnsidad padrão Ercício 6: Uma contagm inicial numa cultura d actérias rvla a istência d 6 indivíduos Após horas o númro d indivíduos passa para 8 Sando-s qu a taa d crscimnto dssa spéci d actérias é proporcional ao númro d indivíduos prsnts, dtrmin uma prssão qu fornça o númro d indivíduos a cada instant t calcul o númro d actérias dpois d horas Tmos t horas 6 t horas 8 kt A taa d crscimnto é proporcional ao númro d indivíduos prsnts η () t M k η() M M M 6 k k η() 6 8 k ln ( ln) t ( ln) Então, η( t) 6 η() 6 7 Ercício 7: S acondicionarmos mg d um matrial radioativo numa caia d chumo sourmos qu a mia vida dss matrial é d anos, após quanto tmpo havrá mg do matrial dntro da caia? Tmos mg m t anos, média d vida anos mg m T anos Assim,

12 mg mg mg 6 mg t t / A li qu rg o dcaimnto radioativo é qt ( ) t T/ T/ T/ log log T ln log log T log (,989) 66, ln Portanto, havrá mg após aproimadamnt 66, anos Ercício 8: Com o auílio da Tala d Intgrais Imdiatas o uso das técnicas d intgração, calcul as sguints intgrais: a) tg udu; ) d ; c) + d ln ; d) cos sn d ; ) d ; g) + d ; f) ( + ) sn(ln ) tg(ln ) d ; h) d ; i) ln d ; j) arctg d ; k) d ; l) sn tg d d Fazndo a mudança d variávis d a) Tmos cos u sc du sn cos dv d v sc d tg cos otmos sn sn d sn tg (sn cos )tg d sn tg (sn cos ) d cos cos sn tg sn d sn tg [ cos ] d sn sn tg + Vrificação:

13 d sn (sn tg + ) sn costg + cos d sn sn + + cos cos tg + sn + cos tg u + ) Fazndo a sustituição d variávis otmos du d I du ln u + C ln + + C u u ln c) Fazndo a sustituição d variávis otmos du d + u u I d u du + C + C u + C ln + C ln + u sn d) Fazndo a sustituição d variávis otmos du cosd 6 sn 6 I u du u + C + C 6 6 u + ) Fazndo a sustituição d variávis du d otmos + u u I + d u du + C + C u + C u + C (+ ) + C + u + f) Fazndo a sustituição d variávis otmos du d I ( + ) d u du u + C ( + ) + C 8 u ln g) Fazndo a sustituição d variávis otmos du d sn(ln d ) I sn udu cosu+ C cos(ln ) + C

14 u ln h) Fazndo a sustituição d variávis otmos du d tg(ln ) I d tg udu ln sc u + C ln sc(ln ) + C du d u ln i) Fazndo a sustituição d variávis otmos dv v I ln d uv vdu ln d ln d ln + C (ln ) + C u arctg du d j) Fazndo a sustituição d variávis + otmos dv d v I arc tg d arc tg d arc tg dw + w arc tg ln w + C arc tg ln + + C u k) Fazndo a sustituição d variávis d otmos du u u I d du + C + C u l) Fazndo a sustituição d variávis otmos du 6 d I d du + C + C + C u u Ercício 9: Prov a fórmula da Tala d Intgrais, isto é, calcul sc d Sugstão: multipliqu divida sc por (sc + tg ) Tmos sc (sc + tg ) sc + sctg ) sc d d d sc + tg sc + tg Fazndo a sustituição d u sc + tg variávis otmos du (sctg + sc ) d (sc + sc tg ) d

15 sc + sc tg ) du d ln u + C ln sc + tg + C sc + tg u Ercício : Calcul as sguints intgrais indfinidas: a) d 6 ; ) + + d ; c) d (sinal trocado no dnominador); + + d) + + d ( )( ) ; ) d a) Tmos 6 ( )( + ) assim Logo, Portanto, A B A ( + ) + B ( ) ( )( + ) A( + ) + B( ) ( A+ B) + A B A+ B A A B B I d d ln + + C 6 + ) Tmos ( ) assim Logo, Portanto, c) Tmos + A B C A( ) + B( ) + C + + ( ) ( ) + ( A+ C) + B + A B A+ C A B B A B C + ln ln I d d + + d + + C + + ( + + ) Como < considramos Logo, + A B + C A( + + ) + ( B + C) ( A+ B) + ( A+ C) + A A+ B A A+ C B A C 8

16 Portanto, + 8 I d d + d d d 8 d Como d d arc tg( ) + C / u + + fazndo a mudança d variávis, lmrando qu du (6 + ) d , otmos 6 + d d d tg( ) 6 du arc + C u 6 /6 /6 ln u arctg( ) + C 6 /6 ln + + arctg( ) + C 6 /6 + + A B C D d) Tmos ( )( ) ( ) ( ) Logo, + + A( ) + B( )( ) + C( )( ) + D( ) ( A+ B) + ( 9A 7 B+ C) + (7A+ B C + D) + ( 7A 9B+ C D) A A+ B 9A 7B+ C B 7A+ B C + D 78 7A 9B C D C + D Portanto, I d d + + d + d ( )( ) ( ) ( ) 78 ln + ln + ( ) 9 ln + ln ( ) ( )

17 A B C D ) Tmos Logo, A( ) + B( ) + C ( ) + D ( + ) ( A+ B+ C) + ( B C + D) A B A+ B+ C A B C D + B A C B D Portanto, I d d + C Ercício : Rsolva as sguints intgrais indfinidas a) cos d; ) sn cos d ; c) cotg d; d) cossc d; ) tg sc d a) cos cos cos d ( + ) d ( cos ) + + d cos cos ( ) cos cos d + d + + d d + d + d d d + cosd + cosd + sn + sn + C ) sn cos d sn cos (cos d) sn ( sn )(cos d) sn sn )(cos d) Fazndo a mudança d variávis u sn du cosd otmos c) 6 6 sn sn )(cos d) ( u u ) du sn sn + C cotg d cotg cotg d cotg (cossc ) d cotg cossc d cotg d Fazndo a mudança d variávis u cotg du cossc d otmos cotg cossc d cotg d udu cotg d u ln sc + C cotg ln sc + C

18 d) cossc d cossc (cossc d ) u cossc du cossc cotg d dv cossc d v cotg vdu cossc cotg d cossc (cossc ) d cossc d cosscd Então, ` cossc d cossc cotg cossc d + cossc d cossc d cossc cotg + cossc d cossc d cossc cotg + cossc d cossccotg + ln cossc cotg + C ) I tg sc d tg (tg ) (sc ) sc sc + 7 I (sc sc + )sc d sc d sc d + sc d Para cada intgral acima usamos intgração por parts com dv sc d v tg u sc du sc sc tgd d dv sc v tg 7 sc d sc tg tg (sc sc tg d ) I sc d sc sc d u sc du sc tg d d dv sc v tg I sc tg tg sc d sc tg sc (sc ) d sc tg sc d + sc d sc d sctg scd sctg + ln sc + tg + C sc d (sc tg + ln sc + tg ) + C

19 I sc d sc sc d u sc du sc sc tgd d v tg dv sc I sc tg sc tg d sc tg sc (sc ) d sc tg sc d + sc d sc d sc tg + (sc tg + ln sc + tg ) sc d sc tg + (sc tg + ln sc + tg ) + C 8 7 I sc d sc sc d u sc du sc sc tgd d v tg dv sc I sc tg sc tg d sc tg sc (sc ) d 7 sc tg sc d + sc d 7 6sc d sc tg + sc tg + (sctg + ln sc + tg ) 8 7 I sc d sc tg + sc tg + (sctg + ln sc + tg ) + C 6 8 Ercício : Calcul as sguints intgrais: a) d d + ; c) d) d (corrigido colocando raiz no dnominador);) d ; 6 a) Fazndo a sustituição d variávis a, snθ snθ d cos θdθ, cosθ cos θ, otmos d ;f) d 9 9 ( ) /

20 cosθ I d d cossc d θ θ θ snθcosθ / ln cosscθ cotg θ + C ln + C / / ln + C ) Fazndo a sustituição d variávis a, tgθ snθ otmos c) Fazndo a sustituição d variávis d sc θdθ, + scθ cosθ d sc θ cosθ I dθ dθ tgθ scθ + cosθ snθ cosscθdθ ln cosscθ cotg θ + C ln + C ln + C Otmos 6sc θ, d 6scθtgθdθ 6 6tg θ, snθ 6 scθ tgθ I d cos dθ θdθ 6 6sc θ 6tg θ 6 snθ + C + C d) Fazndo a sustituição d variávis sc θ, d scθtgθdθ otmos tg θ, snθ 6 scθ I d scθtgθdθ sc θdθ tgθ C + tgθ + C + C

21 ) Tmos I d d d ( ) (7/) 9 Fazndo a sustituição d variávis 7 7 sc θ, d scθtgθdθ Otmos / tg θ, sn θ, cosθ scθtgθ I sc ln sc tg ln d θ θ d θ θ θ C C tgθ / d d d f) Tmos I ( ) ( ) ( ) 8 ( ) Fazndo a sustituição d variávis otmos sc θ, d scθtg θdθ, tgθ θ θ scθ tgθ θ θ θ I d sc d cos d 8 tg θ 8 tg θ 8 sn θ cosθ u snθ Fazndo a sustituição d variávis otmos du cosθdθ I ( ) 8 du + C + C + C + C u 8 u 8snθ 8 8 Ercício : Mostr qu o volum do con circular rto d altura h raio da as r é dado por π r h Sugstão: Rotacion um triângulo rtângulo adquado, cujos cattos stão sor os ios coordnados h h m r h h r h + h r r

22 r r h h h V π[ + h] d (π πh) d π πh r + + r r hr r r r hr + hr hr π + πh π( h) + πh π π πr h r 6 6 r Ercício : Encontr a ára d um tronco d con circular rto d altura h raios r r h r r h m r r h ( r ) r r h f ( ) ( r ) r r πhr é o volum do cilindro intrno r r r h h hr π π π r r r r r r r r r V V f( ) d [ ( r )] d ( + ) d O volum é r h hr h r hr r h r hr r π + π + π + r r r r r r r r r r r r r hr + hrr hr π 6( r r ) π hr + hrr hr r r πhr π hr + hrr hr ( r r) πhr + π( hr + hrr hr ) + r r ( r r) π hr r hr + hr + hr r hr ) π h r r r r r r r r r r r [ + + ] π h [6r r r + r ] r r Ercício : Considr a rgião R, limitada plas curvas:, + a rgião R, limitada plas curvas: +, Considr os sólidos S S otidos, rspctivamnt, pla rvolução das rgiõs R R ao rdor do io O Considr os sólidos S S

23 otidos, rspctivamnt, pla rvolução das rgiõs R R ao rdor do io O Eprss, mas não calcul, o volum dos sólidos S, S, S S mdiant o uso d intgrais Faça isso d duas maniras, com intgraçõs na variávl na variávl ou / ou / r (/,/) R / ou r R - ou - / + ou -+ Intgração m π + π + π + π π + π VS ( ) π d+ π( + ) d VS ( ) d ( ) ( ) d V( S ) [( ) ( ) ] d [( ) ( ) ] d VS ( ) ( d ) ( d ) Intgração m VS ( ) π [( + ) ( )] d π + π + π π + π VS ( ) [( ) ( ) ] d VS ( ) [( ) ( )] d [( ) ( )] d VS ( ) [( ) ( ) ] d [( ) ( ) ] d

24 Ercício 6: Considr a rgião R, limitada plas curvas: +,, Considr o sólido S otido pla rvolução d R ao rdor do io O Eprss, mas não calcul, o volum d S mdiant o uso d intgrais Faça isso d duas maniras, com intgraçõs na variávl na variávl 6 + ou - ou + Intgração m : Intgração m : π [( + ) ( )] d - 6 π[( ) ] d + π[( + ) ( ) ] d+ π[() ( ) ] d Ercício 7: Calcul o volum do sólido S, situado ntr os planos prpndiculars ao io O m m, com a as no plano, limitada pla paráola, sando qu suas sçõs transvrsais são quadrados A as do sólido S é a rgião do plano limitada pla paráola a rta

25 Para cada [,] o lado do quadrado tm mdida igual a Logo, a ára do quadrado é igual a ( >!) Então V A( ) d d O volum do sólido é unidads d volum Ercício 8: Mostr, mdiant o uso da técnica do volum por fatiamnto, qu o volum da pirâmid d altura h as quadrada d lado l é dado por V l h S considrarmos o io vrtical como prolongamnto da altura da pirâmid orintado para cima podmos dscorir a ára A ( ) do quadrado otido como fatiamnto da pirâmid pla família d planos parallos à as da msma mdiant smlhança d triângulos h h h ( h ) h ( ) h h l/ Na altura, o lado do quadrado é igual a h ( ) Então h ( h ) A ( ) h h h h ( h ) V A( ) d d ( h ) d h h h h V h h ( h ) ( h h) ( h ) h ( h ) d (ára da as)(altura) h Ercício 9: Encontr o comprimnto do arco sor a curva + do ponto (, ) ao ponto (, ) Tmos d d + O comprimnto do arco dsjado é dado por ( 9 ) s + d + d

26 u + 9 du d Fazndo a mudança d variávl 9 u u otmos udu 9 ( ) 7 7 s ( ) (,6 ) 9,7unidads Ercício : Encontr o comprimnto do arco sor o gráfico da função ascissa ao ponto d ascissa f( ) + do ponto d 6 Tmos f ( ) + f ( ) ( 6 ) Assim o comprimnto do arco dsjado é dado por ( ) ( ) d d d d 8 ( ) d d d d d d 8 unidads s + d + + d + + d Ercício : Calcul a ára da suprfíci otida ao rotacionarmos o arco do gráfico d f ( ) ntr os pontos (,) (,) ao rdor do io O A curva é part d uma paráola, ao sr rotacionada ao rdor do io O, gra o paraolóid, conform a figura a sguir d d A π + ( ) d π + d π + d

27 u + du d Fazndo a mudança d variávl u u 7 tmos 7 7 π ( ) ( ) π ( ) ( ) π π A π udu π u ( ) ( ) ,8 unidads quadradas Ercício : Considr o arco do gráfico d f ( ) ntr os pontos (,) (,8) Calcul a ára da suprfíci otida ao girarmos ss arco ao rdor do io O A curva a suprfíci d rvolução stão rprsntados a sguir A π + ( ) d π + 9 d u + 9 du 6 Fazndo a mudança d variávl tmos u u π 7 u π π π A π du u ( ) ( ) (,,6) 99, unidads quadradas Ercício : Esoc a rgião idntificada com a intgral imprópria do Emplo 8

28 A intgral do mplo 8 é d lim d - O Ercício : Encontr os valors d k para os quais a intgral imprópria o valor da intgral k k k k k d d k k k lim lim lim ( ) k d convrg dtrmin k S k >, lim ( ) Logo k k d é divrgnt para k > k k d k k é divrgnt para k k lim Logo d k S k <, lim ( ) Logo S k, d d lim ] Portanto a intgral imprópria k > d é convrgnt para todo k < é divrgnt para k Ercício : Considr a rgião ilimitada R, acima do io O aaio do gráfico da função f( ) situado sor o intrvalo [, ) Mostr qu o volum do sólido ilimitado otido pla rotação d R m torno do io O é igual a π unidads cúicas

29 / O d Osrv qu: spssura do disco: d ; raio do disco: ; volum do disco: π( ) d Assim, V π d lim π d lim π π lim ( ) π Ercício 6: Dtrmin s a intgral imprópria é convrgnt ou divrgnt, no caso d sr convrgnt, calcul o valor da intgral (a) sn d; () d ; (c) d ; (d) ln d; () d ; (f) d ; ln (g) ln d; (h) ln d ( ) Como assum a) sn d lim sn d lim cos] lim (cos cos) lim ( cos ) todos os valors d nπ nπ, ntão cos assum todos os valors d a Portanto, lim cos não ist Consquntmnt a intgral imprópria divrg

30 ) d lim d Inicialmnt vamos rsolvr a intgral a a u du d d variávl a u a u Portanto, otmos a d Fazndo a mudança u a a u a d du ( ( ) ( ) ( ) a ln a ln ln ln ln a a a ln ln d lim [ ( )] c) Fazndo a mudança d variávl d lim d u du d dv v otmos d d + d Portanto, Assim, d ( ) ( ) + d lim ( + ) lim lim + Osrv qu lim é uma indtrminação do tipo, nst caso, podmos aplicar a rgra d L Hospital, isto é, lim lim Logo, d) lim lim d + + ln d lim ln d Rsolvndo a intgral por parts tmos u ln du d dv d v Logo, Assim, ln d ln d ln d ln ] ln d ln ln ( ) ln + ln d lim ( ln + ) Portanto a intgral divrg

31 d lim a ( + )( ) a ) d A + B ( ) + ( + ) ( + ) + + ( + )( ) A B A B A B A+ B A A B + B d ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) a + + d + + d + d + + d ( ) ( ) a lim ( ln + + ln + + lim ( ln + + ln + a + ( ) lim ( ln + + ln + ln a ( a a ) + lim ( ln + ln + ln Osrv qu os limits acima não istm, pois lim ln lim ln a Portanto a intgral imprópria divrg Not qu, nst caso, astaria analisar apnas uma das intgrais da parcla inicial + a + a d d lim (ln ) (ln ) Fazndo a mudança d variávl f) u ln du d otmos ln d du u (ln ) ln u ln + d Portanto, lim ( + ) A intgral imprópria convrg para (ln ) ln g) ln d lim ln d + Mas, plo ítm d) tm-s qu ln d (ln ) Logo, ε ε ] ln d (ln ) (ln ) ε(lnε ) εlnε + ε ε lnε ln d lim ( ε ln ε + ε) lim + lim ε + + ε + ε ε ε Aplicando a rgra d L Hospital, vm lnε lim ε lim lim ε + ε + ε ε + ε ε Portanto a intgral imprópria convrg para zro

32 h) ln d ln d+ ln d lim ln d+ lim ln d Vamos calcular inicialmnt a intgral lim ln d + a a + a a lim ln d lim ln lim [ a(lna )] lim alna+ lim lna ] a a a a a a a Pla rsolução do itm g), tm-s qu Vamos calcular agora lim Portanto, a intgral imprópria ln d lim alna Logo a + lim ln d + a a lim ln d lim (ln ) ] lim (ln ) ln d divrg