Cálculo 3A Lista 6. Exercício 1: Apresente uma parametrização diferenciável para as seguintes curvas planas:

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1 Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatística Departamento de Matemática Aplicada álculo 3A Lista 6 Eercício : Apresente uma parametrização diferenciável para as seguintes curvas planas: a) = {,) ; =, } b) = {,) ; + =, } c) = {,) ; + ++ = } { } d) =,) ; + =, Solução: a) O esboço de está representado na figura a seguir. Fazendo = t temos que = t. omo então t donde t. Portanto, uma parametrização de é γt) = t,t), com t. Esta parametrização é diferenciável pois eiste γ t) = t,) para todo t em [, ]. Observe que γ t) = t, t ) com t é também uma parametrização de, mas não é diferenciável pois não eiste γ ). Observe também que essas parametrizações percorrem da origem,) para, ).

2 álculo 3A Lista 6 88 b) Se + = e então é umarco de circunferência deetremidades 3, ) e 3, ). Então o esboço de está representado na figura que se segue. γt) =,) t Adotando o ângulo t em radianos) como parâmetros, temos que = cost e = sent. Variação de t Temos que t t t. t 3 t tgt = 3 t = π 6 t = π π 6 = 5π 6 Logo π/6 t 5π/6. Assim, uma parametrização diferenciável de é γt) = cost,sent), com π/6 t 5π/6. Observe que essa parametrização percorre no sentido anti-horário. c) De + ++ = temos: = ou + ) + + ) =. ) Logo, é uma circunferência de centro, e raio =. Então, uma parametrização diferenciável de, no sentido anti-horário é γt) = com t π. + cost, + sent ),

3 álculo 3A Lista 6 89 d) O esboço da semielipse está representado na figura a seguir. Uma parametrização de no sentido anti-horário) é γt) = cost,sent), com π/ t π/. Eercício : Apresente uma parametrização diferenciável para as seguintes curvas no espaço: a) é o segmento de reta que liga o ponto,,) ao ponto,3,). b) é a interseção do cilindro + = com o plano z =. c) é a interseção do parabolóide z = + com o plano z = +. Solução: a) Sejam A e B pontos do espaço. Seja P =,,z) pertencente ao segmento AB. z A P B O Então OP = OA + AP. Mas AP é um múltiplo escalar de AB, ou seja, AP = t AB onde t. Então γt) = OP = OA+t AB = A )+tb A) = A+tB A) com t, é a equação vetorial do segmento.

4 álculo 3A Lista 6 9 No nosso caso, temos que A =,,) e B =,3,). Portanto, uma parametrização do segmento AB é: γt) =,,)+t [,3,),,) ] =,,)+t,,) = com t. = t,+t,t) b) Seja P =,,z) pertence à curva. Logo, e satisfazem à equação + = donde = cost e = sent, com t π. omo z = = então z = sent cost. Portanto, uma parametrização de é γt) = cost,sent,sent cost), com t π. c) De z = + e z = + temos + = ou + no plano é a circunferência + t π. omo z = + então = com t π. ) 5 =. Logo, a projeção de ) 5 =. Assim, = 5 cost e = + 5 sent, com sent. Temos então que: 5 γt) = cost, + 5 sent, 3 ) + 5 sent Eercício 3: alcule +) ds, onde consiste no menor arco de circunferência + = de,) a,) e o segmento de reta de,) a,3). Solução: O esboço de = está representado na figura que se segue.,3),),) Por propriedade da integral temos: +) ds = +) ds+ +) ds. álculo de +) ds

5 álculo 3A Lista 6 9 Uma parametrização de é dada por γ t) = cost,sent), com t π/. Logo γ t) = sent,cost) e γ t) = sent) +cost) = = sen t+cos t =. omo ds = γ t) dt então ds = dt. Assim: álculo de +) ds +) ds = π/ = ) ) =. cost+sent) dt = [ ] π/ sent cost = SejamA =,)eb =,3). Umaparametrizaçãode =segmentodereta AB édadaporγ t) = A + tb A), com t ou γ t) = =,)+t [,3),) ] =,)+t,) = t,+t), com t. Logoγ t) =,)donde γ t) = + = = 5 e ds = γ t) dt = = 5dt. Então: +) ds = = 5[3t +t] = 8 5. t++t) 5dt = 5 6t+) dt = Portanto: +) ds = Eercício : Seja parte da curva interseção das superfícies + + z = = e + =, com >, situada no primeiro octante. Determine o valor de de modo que z ds = 8 3. Solução: De + +z = e + = temos z = 3, donde z = 3 3 significa que a curva está contida no plano horizontal z =. pois z. Isto Seja,,z). Então e satisfazem a equação + = donde = cost e = sent. omo e então temos t π/. omoz = com t π/. Logo: e 3,entãoumaparametrizaçãode édadaporγt) = γ t) = γ t) = sent, cost, ) sen t+ cos t =. cost, sent, 3 ),

6 álculo 3A Lista 6 9 z 3,,z) / /,,) Assim: Então: z ds = π/ ds = γ t) dt = dt. ) ) ) cost sent 3 dt = omo ou z ds = 8 3 donde = 3 = 6. = 3 6 então π/ costsent dt = = 8 3 = 6 8 = 3 [ ] sen t π/ = 3 3. Eercício 5: Mostre que o momento de inércia de um fio homogêneo com a forma de uma circunferência de raio em torno de um diâmetro é igual a M onde M é a massa do fio. Solução: Sem perda de generalidade, podemos considerar a circunferência de raio, centrada em,).

7 álculo 3A Lista 6 93 Então a equação de é + = e, portanto, uma parametrização é γt) = cost,sent), com t π. omo o fio é homogêneo então a densidade é constante, isto é, δ,) = k para todo,). Assim, da Física temos M = k comprimento de )= = kπ) = kπ. onsiderando um diâmetro no eio temos I = k ds = k ds onde ds = γ t) dt = sent,cost) dt = sent) +cost) dt = Então: = sen t+ cos t dt = dt = dt. I = k π sent) dt = k 3 π = kπ 3 = kπ = M. [ sen t dt = k 3 t sent ] π = Eercício 6:Umarametem aformadacurvaobtidacomo interseção dasemi-esfera + +z =, com o plano + z =. Sabendo-se que a densidade em cada ponto do arame é dada por f,,z) =, calcule a massa total do arame. Solução: a) A curva está ilustrada na figura a seguir.

8 álculo 3A Lista 6 9 z z Seja,,z). Então + +z =, e +z = donde + + ) =, ou + =, ou ) + =, ou ) + =,. Logo, a projeção de no plano é a semi-elipse ) + =,. Então = +cost = sent z = +cost) = cost. omo, então sent donde t π. Logo, uma parametrização para é dada por σt) = +cost, sent, cost), t π. Temos donde omo M = σ t) = sent, cost, sent) ds = σ t) dt = sen t+cos t+sen t dt = dt. f,,z) ds = ds, então M = π +cost) sent dt = [ = cost+ sen t ] π = u.m. π sent+sentcost) dt = Eercício 7: Achar a massa da elipse 9 + =, situada no primeiro quadrante se a densidade em cada ponto é igual ao produto das coordenadas do ponto. Solução: A densidade δ,) é dada por δ,) =. Logo, a massa M é dada por M = δ,) ds = ds

9 álculo 3A Lista 6 95 onde é parametrizada por: γt) = 3cost, sent), t π/ Então: M = γ t) = 3sent, cost) γ t) = 9sen t+cos t ds = Fazendo u = 9sen t+cos t, tem-se: π/ 6costsent 9sen t+cos t dt. du = 8sentcost 8costsent)dt = costsentdt. Se t = e t = π/, tem-se u = e u = 9, respectivamente. Então: M = 6 9 u / du = [ ] 9 u 3/ = 3 3 3) = u.m. Eercício8:Deseja-seconstruirumapeçadezincoquetemaformadasuperfíciedocilindro + =, compreendida entre os planos z = e + + z =, com z. Se o metro quadrado do zinco custa M reais, calcule o preço total da peça. Faça um esboço da peça. Solução: z z = = f,) S,,) Seja S a superfície lateral de base contida no plano e altura f,) = = em cada,). Então AS) = f,) ds = ) ds

10 álculo 3A Lista 6 96 onde é parametrizada por σt) = cost, sent), π/ π π. Logo, σ t) = sent, cost) donde ds = σ t) dt = dt. Então: AS) = π π/ [ = π +) Logo, o preço da peça é igual a 6π +8)M reais. [ ] π cost sent) dt = t sent+cost = π/ )] ) π + 3π = + = 6π +8 u.a. Eercício 9: alcule a massa de um arame cuja forma é dada pela curva interseção da porção da esfera + +z =, situada no primeiro octante com o plano z =, supondo que a densidade em um ponto P é proporcional ao quadrado da distância de P à origem. Solução: De + +z = e z =,,, z, temos + =, e se, e somente se com e. + ) = + ) Logo, a projeção do arame no plano é um quarto da elipse + ) com e, cuja parametrização é dada por t) = cost e = + sent, com t [ π/,π/], pois. Para encontrar uma parametrização de, utilizamos a equação do plano z =. =, = Temos então que com t [ π/, π/]. Temos donde Logo: ) : γt) = cost, + sent, + sent γ t) = ) sent, cost, cost γ t) = sen t+ cos t+ cos t =. ds = γ t) dt = dt.

11 álculo 3A Lista 6 97 A densidade em P =,,z) é dada por δ,,z) = k + +z ) = k + +z ), onde k >. omo M = δ,,z) ds então: M = k + +z ) ds = k ds = π/ = k π/ + ) [ ] sent dt = π/ k t cost = π/ kπ u.m. Eercício : alcule a primeira coordenada do centro de massa de um fio homogêneo que está ao longo de uma curva γt) = t i + t5/ j + t k, t, se a densidade for δ,,z) =. 5 ) Solução: De γt) = t, 5 t5/, t temos que γ t) =, t 3/,t 3 ), donde obtemos γ t) = +t3 +t 6 = +t 3 ) = + t 3. Logo, ds = γ t) ) dt = + t 3 dt. A primeira coordenada do centro de massa do fio homogêneo é dada por ds onde L é o comprimento de, isto é, Por outro lado, ds = L = b a = L γ t) ) dt = +t 3 dt = t +t 3) dt = ) [ t+t t dt = + t5 5 [ ] t+ t = 6. ] = = 5. Logo: = 5 6 = 7 5.